GEX 242 - An´alise Combinat´oria e Probabilidade
Distribui¸c˜ao binomial
Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequˆencia de ensaios de Bernoulli. Tal
sequˆencia ´e definida por meio das seguintes condi¸c˜oes:
Em cada ensaio considera-se somente a ocorrˆencia ou n˜ao-ocorrˆencia de um certo evento que ser´a
denominado sucesso (S) e cuja n˜ao-ocorrˆencia ser´a denominada falha (F). Os ensaios s˜ao independen-
tes. A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p ´e a mesma para cada ensaio. A probabilidade
de falha ser´a denotada por 1-p. Para um experimento que consiste na realiza¸c˜ao de nensaios inde-
pendentes de Bernoulli, o espa¸co amostral pode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em que
cada posi¸c˜ao h´a um sucesso (S) ou uma falha (F).
A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos kprimeiros ensaios e falhas nos n−k
ensaios seguintes ´e pk(1 −p)n−k.
Note que esta ´e a probabilidade de qualquer ponto com ksucessos e n−kfalhas. O n´umero de
pontos do espa¸co amostral que satisfaz essa condi¸c˜ao ´e igual ao n´umero de maneiras com que podemos
escolher kensaios para a ocorrˆencia de sucesso dentre o total de nensaios, pois nos n−krestantes
dever˜ao ocorrer falhas. Este n´umero ´e igual ao n´umero de combina¸c˜oes de nelementos tomados ka
k, ou seja,
n
k=n!
k!(n−k)!.
Ou seja, para k= 0,1, . . . , n:
P[X=k] = n
kpk(1 −p)n−k.
Defini¸c˜ao:
Seja Xo n´umero de sucessos obtidos na realiza¸c˜ao de nensaios de Bernoulli independentes.
Diremos que Xtem distribui¸c˜ao binomial com parˆametros nep, em que p´e a probabilidade de
sucesso em cada ensaio, se sua fun¸c˜ao de probabilidade for dada por
p(x) = P[X=k] = n
kpk(1 −p)n−k.
Usaremos a nota¸c˜ao X∼b(n, p).
Exemplo: Suponha que numa linha de produ¸c˜ao a probabilidade de se obter uma pe¸ca defeituosa
(sucesso) ´e p= 0,1. Toma-se uma amostra de 10 pe¸cas para serem inspecionadas. Qual a probabilidade
de se obter:
1. Uma pe¸ca defeituosa?
2. Nenhuma pe¸ca defeituosa?
3. Duas pe¸cas defeituosas?
4. No m´ınimo duas pe¸cas defeituosas?
5. No m´aximo duas pe¸cas defeituosas?
Solu¸c˜ao: 1. P(X= 1) = 10
1(0,1)1(1 −0,1)10−1=10!
1!(10−1)! 0,1(0,9)9= 0,3874.
2. P(X= 0) = 10
0(0,1)0(1 −0,1)10−0=10!
0!(10−0)! (0,9)10 = 0,3486.
3. P(X= 2) = 10
2(0,1)2(1 −0,1)10−2=10!
2!(10−2)! (0,1)2(0,9)8= 0,1937.
4. P(X≥2) = P(X= 2) + P(X= 3) + . . . +P(X= 9) + P(X= 10).
ou seja, P(X≥2) = 1 −[P(X= 0) + P(X= 1)] = 0,2639.
5. P(X≤2) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) = 0,9298.
Exemplo: Suponha que um aluno pretende fazer um teste de m´ultipla escolha com 10 quest˜oes
e cinco alternativas por quest˜ao respondendo cada uma das quest˜oes de forma aleat´oria. Qual ´e
probabilidade dele acertar no m´aximo 3 quest˜oes?
