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Distribuição das probabilidades
Distribuição das probabilidades e distribuições discretas
Distribuição de probabilidades (ou modelo de probabilidade) de uma variável aleatória é um modelo matemático que se idealiza para estudar o fenómeno aleatório em causa, ou seja, é um gráfico, tabela, ou fórmula que indica a probabilidade correspondente a cada valor da variável aleatória. No caso de uma variável aleatória discreta o modelo de probabilidades é o conjunto constituído por todos os valores que a variável pode assumir (o suporte da variável) e pelas probabilidades de que esses valores ocorram.
As distribuições discretas por sua vez, devem ser utilizadas para modelar situações em que a saída de interesse só pode assumir valores inteiros (discretos) como, número de caras ou coroas, 0 ou 1 para falha ou sucesso, ou 0,1, 2, como o número de ocorrências de um determinado evento de interesse.
Exemplo 1: um psicólogo aplicou um teste para classificar o nível de estresse dos 150 funcionários de uma empresa. Para isso, ele atribuiu cinco possibilidades: muito calmo, calmo, moderado, irritado, muito irritado. Essas características foram pontuadas com valores de 1 a 5, onde 1 indica a qualidade “muito calmo” e 5 indica “muito irritado”. Definindo a variável aleatória X: nível de estresse, podemos dizer que x=1,2,3,4,5. Os resultados da pesquisa estão na tabela a seguir:
X frequência 1 24 2 33 3 42 4 30 5 21 Total 150
Construir uma distribuição de probabilidade para a variável X.
Resolução:
Utilizando a tabela, podemos calcular as probabilidades:
P(X=1) = 24/150 = 0,
P(X=2) = 33/150 = 0,
P(X=3) = 42/150 = 0,
P(X=4) = 30/150 = 0,
P(X=5) = 21/150 = 0,
A distribuição de probabilidades está apresentada na tabela a seguir:
X 1 2 3 4 5 P(X-x) Ou P(x)
Graficamente, podemos representar da seguinte forma:
fonte: http://professorguru.com.br/estatistica/distribuicoes-de-probabilidade
Prova de Bernoulli
Conceito
Considere uma experiencia aleatória que tem apenas dois resultados possíveis: A que se designa por sucesso e Ā designado por fracasso.
O ensaio de Bernoulli consiste em realizar um experimento aleatório uma só vez e observar se certo evento ocorreu ou não.
O sucesso ocorre com probabilidade p e o fracasso com probabilidade q=1-p
Definição da distribuição binomial
Teoricamente, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade e estatística discreta do número de sucessos decorrentes de uma determinada sequência de tentativas.
Podemos afirmar também que quando um experimento tem apenas dois resultados possíveis e a probabilidade de cada resultado permanece constante ao longo das suas repetições independentes, ele é chamado de experimento binomial.
O modelo tradicional para um tal experimento é o de uma moeda sendo lançada, com os possíveis resultados sendo cara ou coroa. Para cada repetição do experimento (lançar a moeda), os resultados possíveis são sempre dois, cara ou coroa, com probabilidades independentes dos resultados obtidos em experimentos anteriores.
Propriedades de um experimento binomial
As propriedades de um experimento binomial são resumidas da seguinte forma:
- Deve haver um número definido de repetições, ou seja, deve ter um espaço amostral finito;
- O resultado de cada repetição deve ser um entre dois possíveis eventos, ou seja, deve existir apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) para cada tentativa;
- As probabilidades de cada uma das duas possibilidades deve permanecer constantes ao longo das repetições, ou seja, todos os elementos devem possuir possibilidades iguais de ocorrência;
- Cada repetição deve ser independente das outras, ou seja, os eventos devem ser independentes um dos outros.
Em geral, como apenas dois resultados são possíveis, denota-se a probabilidade de um evento por p e a do outro por q=1-p.
Como exemplos, temos: a transmissão de uma doença genética, uma gravidez resultar em menina ou menino, um paciente morrer ou não dentro de um ano, um paciente ter teste positivo ou não etc.
Função de distribuição binomial
P(X x
Notação para a Distribuição Binomial
n - Denota o nº de provas (valor fixo à partida).
x - Denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.
p - Denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.
q - Denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.
P(x) - Denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).
Métodos para determinar as probabilidades com a Distribuição Binomial
Vejamos três métodos possíveis para determinar as probabilidades correspondentes à variável aleatória X com distribuição binomial, que são:
Método 1: usando a fórmula da probabilidade na distribuição binomial:
Onde:
n= nº de provas
x= nº de sucessos nas n provas
p= probabilidade de sucesso em cada prova
q= probabilidade de insucesso em cada prova (q= 1 –p)
Método 2: Usando uma Tabela de Probabilidades:
Reproduz-se em baixo parte da tabela da binomial que vamos usar. Com n= 5 e p= 0.2 na distribuição binomial, as probabilidades de obter 0, 1, 2, 3, 4 e 5 sucessos são 0.3277, 0. (=0.7373-0.3277), 0.2048 (=0.9421-0.7373), .0512, 0.0064 e 0.0003, respectivamente:
Método 3: Usando a Tecnologia :
Software Estatístico, Excel e algumas calculadoras fornecem-nos as probabilidades da distribuição binomial.
S1 S2 S3 F4 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2= 0, S1 S2 F3 S4 0,8 x 0,8 x 0,2 x 0,8= 0, S1 F2 S3 S4 0,8 x 0,2 x 0,8 x 0,8= 0, F1S2 S3 S4 0,2 x 0,8 x 0,8 x 0,8= 0, S1 S2 S3 S4 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,8= 0,
P(3) + P(4) = {4 x (0,8)3x (1 -0,8)1} + {1 x (0,8)4x (1 -0,8)0} = 0,
Aspecto gráfico da função de probabilidade binomial A cada uma das distrubuiçoes da família binomial representadas nos gráficos a baixo corresponde a um valor de p e portanto de (1-p) = q diferentes. O numero de provas de Bernoulli e de n=5 para qualquer das distribuições apresentadas.
fonte: Estatística aplicada vol.1, 5ª edição
Uma analise da figura anterior evidencia características relevantes na forma gráfica da distribuição binomial.
- Quando p = 0,5, a distribuição e simétrica, e isto e valido para qualquer valor de n.
