Manual de Cálculo Integral: Unidade 1.3 - Integral Indefinida, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Ensino Superior

1.3- Integral Indefinida

Exercícios Resolvidos

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Unidade 1. Integral Indefinida (Revisão)

Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Técnicas de Integração (Primitivação)

uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Amintas Paiva Afonso

EXERCÍCIO 01 Calcular (^) (x ^ 1) 2xdx 2 50 Solução Seja **u = x 2

• 1** Logo: 2x dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como:  (u) du 50 C 51 (x 1) C 51 u (u) du 51 2 51 50 



INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

2x dx du 

EXERCÍCIO 02 Calcular  sen(x 9)dx Solução Seja u = x + 9 Logo: dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como:  sen(u)du sen(u) ducos(u)Ccos(x9) C 

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

dx du 

EXERCÍCIO 04 Calcular (^)  dx x e x Solução Então 2 x

x

x 2

x dx d dx du 2 1 2 1 2 1    

 Seja u = x Logo: dx = du 2 x

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Assim, a integral dada pode ser escrita como: 2e du 2 e du 2 e C 2 e C u u u x             dx 2 x

dx 2e 2 x

e dx x e (^) x x x   dx 2e du 2 x

2e x u Ou seja: dx^2 e C x e (^) x x    dx 2 du x 1 dx du 2 x 1    outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):



(u  2u1) u du

2 ou:   

u 2u u du

(u 2u 1)u du u u 2uu 1u du

2 1 2 3 2 5 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Portanto:

C

u

u

u

u 2u u du

1 2 1 1 2 3 1 2 5 2 1 2 3 2 5

   

u C 3

u 5

u 7

u 2u u du 2 3 2 5 2 7 2 1 2 3 2 5     

 Finalmente: Escrevendo em termos de x: (x 1 ) C 3

(x 1 ) 5

(x 1 ) 7

x x 1 dx 2 3 2 5 2 7 2         

EXERCÍCIO 07 Calcular   x e dx 2 x Solução Seja: 2

u  x dv e dx

x

Assim:

du 2x dx

x x x

dv e dx v e dx e

  

   Portanto: x e dx udv uv vdu x e ( e ) 2xdx 2 x 2 x x             

INTEGRAÇÃO POR PARTES

A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x^2 foi substituído por x. ou:

x e dx x e 2 xe dx

2 x 2 x x     

Outra integração por partes aplicada a completará o problema. x e dx x   Seja:

u  x dv e dx

x

  1 2 x x x 1 2 x x x 2 x 2 x x x e 2 xe 2 e 2 C x e 2 xe e C x e dx x e 2 xe dx                       Portanto: x e dx (x 2 x 2 )e C 2 x 2 x       

O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5. Pela regra do fator linear , o fator (x + 2) no denominador introduz o termo: x 2

A

Determinar  (^)  

dx (x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 2 2 4 3 2 EXERCÍCIO 08 Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM

FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

que resulta: (x 2)(Dx E) 3x 4x 16x 20x 9 (x 3) A (x 2)(x 3)(Bx C) 4 3 2 2 2 2  

Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta: (6C 9A 2 E) (6B 3C 2D E) x (6A 3B 2C D) x 3x 4x 16x 20x 9 (A B)x (2B C) x 2 4 3 2 4 3  

Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:

9A 6C 2 E 9

6B 3C 2D E 20

6A 3B 2C D 16

2B C 4

A B 3

A solução deste sistema resulta: A  1 B 2 C 0 D 4 E 0 Portanto: 2 2 2 2 2 4 3 2 (x 3) 4x x 3 2x x 2

(x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 