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1 Integração
Nesta parte da materia estudaremos o problema de encontrar uma função para o qual a função dada é sua derivada.
2 Integral Inde nida
De nição 2.1 Seja f uma função de nida num intervalo I. Diz-se que F : I → R é uma primitiva ou antiderivada de f sobre I se
F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I.
Exemplo 2.1 Seja n ∈ Z. Para f (x) = xn, ∀x ∈ R, a função F (x) = xn+1, x ∈ R, é uma antiderivada para f em R.
Exemplo 2.2 Para f (x) = 1/x, x > 0 , a função F (x) = ln x é uma antidri- vada. Já para a função g(x) = 1/x, x < 0 , a função G(x) = ln(−x) é uma antiderivada.
Observação 2.1 Se F é uma antiderivada de f em I, então, para qualquer constante C ∈ R, F + C também uma antiderivada de f.
Teorema 2.3 Seja F uma antiderivada de f sobre o intervalo I. Então qualquer outra antiderivada (G) é da forma F + C, para alguma constante C. Isto é, G = F + C.
Demonstração: Seja G uma outra antiderivada de f. Para H(x) := G(x) − F (x), x ∈ I, segue que
H′(x) = F ′(x) − G′(x) = 0.
Então H(x) é constante sobre o intervalo I. Daí segue o resultado. •
De nição 2.2 Seja F (x) uma antiderivada de f (x) em I. Denomina-se integral inde nida de f (x), denotada com
f (x)dx, ao conjunto de todas as antiderivadas de f sobre o intervalo I.
Notação 2.1 (^) ∫
f (x)dx = F (x) + C.
Observação 2. d dx
f (x)dx) = f (x).
Teorema 2.4 (Propriedades da Intergral Inde nida) Se f e g são funções que admitem antiderivada, então:
a) (^) ∫ [f (x) + g(x)]dx =
f (x)dx +
g(x)dx
b) (^) ∫ [rf (x)]dx = r
f (x)dx,
onde r é uma constante qualquer.
3 Métodos de Integração
Teorema 3.1 (Método de Substituição ou Mudança de Variável) Seja f (x) uma função que admite antiderivada no intervalo I. Para x = g(t), t ∈ J, onde g : J → I é uma função tal que g′(t) 6 = 0, ∀t ∈ J, tem-se ∫ f (x)dx =
f (g(t))g′(t)dt.
Método 3.2 (Substituição Trigonométrica:) Trataremos em forma separada os diferentes casos associados a uma integral da froma: (^) ∫
R(x,
px^2 + qx + r)dx,
onde R é uma função racional em relação a x e
px^2 + qx + r. Notando que px^2 + qx + r, completando o quadrado, a menos de uma constante, pode ser expresso como: u^2 + a^2 , u^2 − a^2 , ou a^2 − u^2.
Caso 3.3 (a^2 − u^2 :) Se px^2 + qx + r tem a forma a^2 − u^2 , faça a substituição u = a sin t, a > 0. Vejamos a seguinte situação particular: Calcular
−x^2 + 6x − 8. Como −x^2 + 6x − 8 = 1 − (x − 3)^2 então, para u = x − 3 , e u = sin t, temos que ∫ (^) √ −x^2 + 6x − 8 dx =
1 − (x − 3)^2 dx
=
1 − u^2 du (u = x − 3 → dx = du)
1 − (sin t)^2 cos tdt (u = sin t → du = cos tdt)
=
cos^2 tdt
Exemplo 3.
x + 2 (x + 3)(x − 5)
A
x + 3
B
x − 5
Exemplo 3.
− 3 x(x + 7)
A
x
B
x + 7
Exemplo 3.
5 x (x + 7)^2
A
x + 7
B
(x + 7)^2
Teorema 3.12 Sejam r 1 , r 2 , r 3 , a, b, c números reais dados, onde r 1 , r 2 e r 3 são distintos dois a dois. Então existem constantes A, B, C e B tais que
i) ax^2 + bx + c (x − r 1 )(x − r 2 )(x − r 3 )
A
(x − r 1 )
B
(x − r 2 )
C
(x − r 3 )
ii) ax^2 + bx + c (x − r 1 )(x − r 2 )^2
A
(x − r 1 )
B
(x − r 2 )
C
(x − r 2 )^2
Exemplo 3.
x (x + 1)(x − 1)(x − 2)
A
x + 1
B
x − 1
C
x − 2
Exemplo 3.
x (x + 1)(x − 6)^2
A
x + 1
B
x − 6
C
(x − 6)^2
Teorema 3.15 Se Q(x) é um polinômio de grau n, tem-se a seguinte de- composição:
Q(x) = a(x − r 1 )n^1 (x − r 2 )n^2 ...(x − rk)nk^ (x^2 + a 1 x + b 1 )m^1 ...(x^2 + asx + bs)ms^ ,
onde n = n 1 + n 2 + ... + nk + 2m 1 + ... + 2ms.
Teorema 3.16 Se P (x)/Q(x) é uma fração própria (grau P < grau Q ), tem-se a seguinte decomposição em frações parciais:
P (x) Q(x)
A 11
x − r 1
A 12
(x − r 1 )^2
A 1 n 1 (x − r 1 )n^1
A 21
x − r 2
A 12
(x − r 2 )^2
A 2 n 2 (x − r 2 )n^2 Ak 1 x − rk
Ak 2 (x − rk)^2
Aknk (x − rk)nk
Bsms x + Csms (x^2 + psx + qs)ms^
Exemplo 3.
x (x^2 − 1)(x − 2)
A
x − 1
B
x + 1
C
x − 2
Eleminando o denominador comum de ambos os membros desta igualdade conduz a seguinte identidade:
x = A(x + 1)(x − 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x + 1)(x − 1), ∀x ∈ R.
Considerando em particular nesta identidade x = 1, x = − 1 e x = 2 segue, respectivamente, que 1 = − 2 A, −1 = 6B e 2 = 3C. A solução deste sistema é: A = −^12 , B = −^16 , C = −^23. Portanto
Exemplo 3.
x^2 − 1 x(x^2 + 1)^2
A
x
Bx + C (x^2 + 1)^2
Dx + E x^2 + 1
Daí segue que:
x^2 − 1 = A(x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x + (Dx + E)(x^2 + 1)x
Identi cando os respectivos coe cientes desta identidade, tem-se −1 = A, 0 = C + E, 1 = 2A + B + D, 0 = E, 0 = A + D. Então A = − 1 , B = 2, C = 0, D = 1 e E = 0. Portanto x^2 − 1 x(x^2 + 1)^2
x
2 x (x^2 + 1)^2
x x^2 + 1
Observação 3.2 Método alternativo:
