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Integral Indefinida
Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Dada uma curva, achar o coeficiente angular de sua tangente ou, de modo equivalente, dada uma função, achar sua derivada. Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de “derivação para trás” ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivação. No entanto, aqui essas regras são usadas no sentido contrário e levam em particular á “Integração” de polinômios.
Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo:
x dx
dF x 2
Podemos descobrir qual a função F(x)?
F(x) = x^2
Podemos acrescentar um termo constante que não muda a derivada.
x^2 +1; x^2 - 3 ; x^2 + 5 ....
e mais geralmente, x^2 + C onde C é uma constante qualquer.
Proposição: Se F(x) e G(x) são duas funções tendo a mesma derivada f(x) num certo intervalo, então G(x) difere de F(x) por uma constante, isto é, existe uma constante C com a propriedade de que: G(x) = F(x) + C para todo x no intervalo.
Ex.: F(x) = 1/3 x^3 + 3
G(x) = 1/3 x^3 + 3
Para ver por que essa afirmação é verdadeira, notemos que a derivada da diferença G(x) – F(x) é igual a zero no intervalo considerado.
f x f x dx
dF x dx
dGx
Segue-se que essa diferença deve ter um valor constante C, e assim: G(x) – F(x) = C ou G(x) = F(x) + C Que é o que queríamos estabelecer:
Esse princípio permite-nos concluir que toda solução da equação x dx
dF x 2
deve ter a forma x^2 + C para alguma constante c. O problema que acabamos de discutir envolveu a descoberta de uma função desconhecida cuja derivada é conhecida. Se f(x) é dada, então a função F(x) tal que
f x dx
dF x
chama-se uma antiderivada (ou primitiva) de f(x), e o processo de achar F(x) a partir de f(x) é a antiderivação (ou primitiva). Vimos que f(x) não precisa ter uma antiderivada única, mas se pudermos achar uma antiderivada F(x), então todas as outras terão a forma F(x) + c para vários valores da constante c. Por exemplo, 1/3x^3 é uma antiderivada de x^2 e a fórmula 1/3 x^3 + c inclui todas as possíveis antiderivadas de x^2.
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:
f^ ( x ) dx F ( x ) c
O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. Da definição da integral indefinida, decorre que:
(i) f ( x ) dx F ( x ) c F '( x ) f ( x )
(ii) f ( x ) dx ,representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da
função integrando.)
Exemplo:^23 3
x dx x x^^2 dx x^3 c
Estão ambas corretas, mas a primeira dá uma integral enquanto a segunda dá todas as possíveis integrais. A constante c na segunda fórmula chama-se constante de integração e é frequentemente referida como uma constante arbitrária.
Propriedades da Integral Indefinida
Proposição Sejam f, g: I R e K uma constante. Então:
(i) Kf ( x ) dx K f ( x ) dx.
(ii) ( f ( x ) g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx.
A integral da soma é a soma das integrais separadas. Isto se aplica a qualquer número finito de termos.
(iii) , 1
1
n
x x dx
n n n≠ -1 Para integrar uma potência, some ao expoente uma unidade
e divida a nova potência pelo novo expoente.
Exemplos:
- Calcular as integrais indefinidas:
Exercícios:
- Calcular as integrais indefinidas:
a) 3
x
dx b) dt t
t
3 92 1 c) ( ax^4 bx^3 3 c ) dx
d) dx
x x
x
e) ( 2 x^2 3 )^2 dx f)
sen x
dx 2
g) dx x
x
2
h) dx x
senx
cos 2 i) t t dt
et
j) cos. tg . d k)
dx x
x )
3
1
l) sec 2 x (cos^3 x 1 ) dx m) tg^2 x. cos ec^2 x. dx
