Aula - 02 - Integral - Indefinida, Notas de aula de Matemática

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

Antiderivação e Integração

 (^) Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma função F cuja derivada (F ‘) é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f. 

Exemplo

 (^) Seja. Uma antiderivada de f é: pois.  Costuma-se chamar a operação de antiderivação também por integração e a antiderivada de integral.

F x  x  C

3

2 f ( x ) x 2 F ' ( x ) x



Integral Indefinida

 (^) A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma antiderivada. O que muda então?  (^) A notação!  (^) Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação:  (^) Seja. Uma primitiva de f é: pois. Assim, a nova notação estabelece que: 2

f ( x ) x F x  x  C

3

F ' ( x ) f ( x )  f ( x ) dx  F ( x )



Exemplo

 (^) A integral de é:  (^) A integral de é:  (^) A integral de é:  (^) A integral de é:  (^) ... 2 f ( x ) x C x x dx    3 3 2 f ( x )sen x sen xdx^  cos x  C x f ( x ) e e^ dx e C x x    f ( x )cos x xdx^  x  C  cos sen



Definição simbólica

 (^) Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é representada pela expressão:  O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a variável sobre a qual se processa a integração.

f ( x ) dx  F ( x ) C



Exemplo

 Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.  Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”. x dx  2 x y dy  2 3 .



Integral de uma função potência

 (^) Seja, por exemplo, f(x)=x (^4).  (^) Uma primitiva de f(x) é pois F’(x)=x (^4). Logo:  Portanto, uma primitiva da função f(x)=xn, com n-1, é a função 5 ( ) 5 x F x  C n x x dx n n      1 . 1

C

x x dx    5

5 4 1 ( ) 1    n x F x n



Caso especial de Integral de uma função potência

 (^) Seja, por exemplo, f(x)=x-1=1/x.  Uma primitiva de f(x)=1/x é a função F(x)=ln|x|, portanto: dx x C x   

. ln 1



Integrais de funções trigonométricas



Integral das funções inversas

x tgxdx  x  C  sec.. sec

xdx  gx  C



cos sec cot

2 x gxdx  x  C  cossec .cot. cossec

dx x C

x



. arcsen

2

dx arctgx C

x



2



Propriedades

 (^) Integral da soma  Exemplo   

[ f ( x ) g ( x )]. dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx

   

( x  x  4 ) dx  x dx  xdx  4 dx

2 2 3 3 x 2 2 x (^) 4 x

• • • C

 (^) Técnicas de Integração  (^) Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada também faça parte dela.  (^) Exemplo  (^) Podemos dividir a equação acima em duas partes:  (^) sen x.dx e  (^) cos x.  (^) Repare que a derivada do cos x é sen x, portanto, a derivada do cosseno faz parte da função. dx x x  cos sen

 Passos:  (^) Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função. Se você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;  (^) Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;  (^) Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral original;  (^) A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.

 Solução

 (^) Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e “du”;  (^) Integral original:  (^) Nova integral:  (^) Que também pode ser re-escrito como:  x x dx cos sen.   u du   u du



Solução

 (^) Basta calcular: ;  O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da original: u C u du     ln| | x C u du     ln|cos |