Baixe Análise de proposições lógicas: tautologias e contradições e outras Esquemas em PDF para Lógica, somente na Docsity!
LIC¸ ˜AO 3
IMPLICAC¸ ˜AO E EQUIVAL ˆENCIA L ´OGICA.
TAUTOLOGIA, CONTRADIC¸ ˜AO E
CONTING ˆENCIA
Podemos ter proposic¸ ˜oes compostas P(p, q,... , r) que assumem somente o valor l ´ogico verdadeiro ou somente o valor l ´ogico falso para quaisquer que sejam os valores l ´ogicos das proposic¸ ˜oes p, q,... , r. Proposic¸ ˜oes que satisfazem uma dessas propriedades possuem um papel importante na l ´ogica e, por isso, s˜ao denominadas conforme a definic¸ ˜ao:
Defini¸c˜ao 3.1 (Tautologia, Contradic¸ ˜ao e Contingˆencia). Seja P(p, q,... , r) uma proposi¸c˜ao. Diremos que:
(a) P ´e uma tautologia se P assume o valor l´ogico verdadeiro para quaisquer que sejam os valores l´ogicos das proposi¸c˜oes p, q,... , r.
(b) P ´e uma contradi¸c˜ao se P assume o valor l´ogico falso independentemente dos valores l´ogicos das proposi¸c˜oes p, q,... , r.
Se P n˜ao ´e uma tautologia e nem uma contradi¸c˜ao, diremos que P ´e uma con- tingˆencia.
Exemplo 3.1. A proposic¸ ˜ao composta (p ∧ ¬p) sempre ´e falsa enquanto que (p ∨ ¬p) sempre ´e verdadeira, conforme Tabela 3.1. Portanto, (p ∧ ¬p) e uma contradic ´ ¸ ˜ao enquanto que (p ∨ ¬p) e uma tautologia.´
Exemplo 3.2. Mostre que a proposic¸ ˜ao P(p, q) : (p → q) ↔ (¬p ∨ q) e´ uma tautologia.
p ¬p p ∧ ¬p p ∨ ¬p V F F V F V F V
Tabela 3.1: Tabelas-verdade de (p ∧ ¬p) e (p ∨ ¬p).
p q ¬p p → q ¬p ∨ q (p → q) ↔ (¬p ∨ q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V
Tabela 3.2: Tabela-verdade da proposic¸ ˜ao (p → q) ↔ (¬p ∨ q).
Demonstra¸c˜ao. Devemos mostrar que a proposic¸ ˜ao P sempre assume o va- lor l ´ogico verdadeiro. Para tanto, considere a Tabela 3.2, em que ´e apresen- tada a tabela-verdade dessa proposic¸ ˜ao. Uma vez que (p → q) ↔ (¬p ∨ q) sempre assume o valor l ´ogico verdadeiro, podemos concluir que P e uma´ tautologia.
Exemplo 3.3. Demonstre que a proposic¸ ˜ao P(p, q) : (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) e uma contradic ´ ¸ ˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Pela Tabela 3.3, conclu´ımos que a proposic¸ ˜ao P : (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) sempre assume o valor l ´ogico falso. Portanto, P e uma contra-´ dic¸ ˜ao.
Exemplo 3.4. Prove que a proposic¸ ˜ao P(p, q) : ¬(p ∧ ¬q) e uma con-´ tingˆencia.
p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q p ∧ q (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) V V F F F V F V F F V V F F F V V F V F F F F V V V F F
Tabela 3.3: Valores l ´ogicos da proposic¸ ˜ao (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q).
p q r p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r P V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V
Tabela 3.5: Tabela-verdade da condicional P : [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r).
conjectura poderia ser escrita na forma p → q. Lembre-se que uma con- jectura ´e uma afirmac¸ ˜ao que acreditamos ser verdadeira mas ainda n˜ao foi demonstrada. Logo, ela pode ser tanto verdadeira como falsa.
Exemplo 3.5. Considere o teorema de Pit´agoras: “Se um triˆangulo ´e retˆangulo, ent˜ao a medida da hipotenusa ´e igual a soma dos quadrados dos catetos”. Esse te- orema pode ser escrito como p ⇒ q, em que p e a proposic´ ¸ ˜ao “o triangulo ´e retˆangulo” e q e a proposic´ ¸ ˜ao “a medida da hipotenusa ´e iguala soma dos qua- drados dos catetos”. Desse modo, numa aplicac¸ ˜ao desse teorema teorema, verificamos se p e verdadeira e, posteriormente, utilizamos o fato de´ q ser verdadeira.
Exemplo 3.6 (Silogismo ou Lei da Transitividade). Provaremos nesse exem- plo o princ´ıpio fundamental do racioc´ınio l ´ogico dedutivo, a “Lei do Silo- gismo Hipot´etico”, tamb´em chamada ”Lei Transitiva”, que estabelece:
[(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r). (3.1)
Demonstra¸c˜ao. Para demostrar esta implicac¸ ˜ao l ´ogica, devemos verificar que a proposic¸ ˜ao P : [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) e uma tautolo-´ gia. Para tanto, constru´ımos as tabelas-verdade das proposic¸ ˜oes [(p → q) ∧ (q → r)], (p → r) e P, apresentadas na Tabela 3.5. Analisando esta tabela, podemos afirmar que P ser´a sempre verdadeira e, portanto, con- forme Definic¸ ˜ao 3.2, temos uma implicac¸ ˜ao l ´ogica em (3.1).
Exemplo 3.7. Considere verdadeiras as seguintes condicionais:
p q p ∨ q p ∧ q p → (p ∨ q) p → (p ∧ q) V V V V V V V F V F V F F V V F V V F F F F V V
Tabela 3.6: Tabelas-verdade das proposic¸ ˜oes p → (p ∨ q) e p → (p ∧ q).
(a) Se a ent˜ao b.
(b) Se b ent˜ao c.
A Lei do Silogismo garante a veracidade da condicional:
(c) Se a ent˜ao c.
Exemplo 3.8. Sejam p e q duas proposic¸ ˜oes, mostre que:
(a) p ⇒ p ∨ q.
(b) p 6 ⇒ p ∧ q.
Demonstra¸c˜ao. No item (a), devemos mostrar que p → (p ∨ q) ´e uma tauto- logia. De um modo similar, no item (b), devemos verificar que p → (p ∧ q) n˜ao ´e uma tautologia. Para tanto, constru´ımos as tabelas-verdade das proposic¸ ˜oes p → (p ∨ q) e p → (p ∧ q) conforme mostra a Tabela 3.6. Observe que p → (p ∨ q) e sempre verdadeira. Portanto, ´´ e correto escre- ver p ⇒ p ∨ q. Todavia, p 6 ⇒ p ∧ q pois a condicional p → (p ∧ q) e falsa´ quando p e verdadeira e´ q e falsa.´
Exemplo 3.9. Sejam p e q duas proposic¸ ˜oes quaisquer. Mostre que que (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q).
Demonstra¸c˜ao. Devemos mostrar que a condicional (p ∧ q) → (p ∨ q) e´ uma tautologia. Com efeito, observamos na Tabela 3.7 que a condicional (p ∧ q) → (p ∨ q) e sempre verdadeira.´
Exemplo 3.10. Sejam p e q proposic¸ ˜oes quaisquer. Mostre que (p → q) 6 ⇒ (¬p ↔ ¬q).
Demonstra¸c˜ao. Devemos mostrar que a condicional (p → q) → (¬p ↔ ¬q) n˜ao ´e uma tautologia. Com efeito, a Tabela 3.8 mostra que (p → q) → (¬p ↔ ¬q) e falsa quando´ p e falsa e´ q e verdadeira pois, nesse caso, temos´ p → q verdadeira mas ¬p ↔ ¬q falsa. Logo, conclu´ımos que p → q n˜ao implica ¬p ↔ ¬q e escrevemos (p → q) 6 ⇒ (¬p ↔ ¬q).
p q ¬p ¬q p ↔ q (¬p ↔ ¬q) (p ↔ q) ↔ (¬p ↔ ¬q ) V V F F V V V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V
Tabela 3.9: Tabela-verdade da proposic¸ ˜ao (p ↔ q) → (¬p ⇔ ¬q).
p q p ∧ q q ∧ p (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V
Tabela 3.10: Tabela-verdade da bicondicional (p ∧ q) ↔ (q ∧ p).
Comutativa: (a) p ∧ q ⇔ q ∧ p. (b) p ∨ q ⇔ q ∨ p. Associativa: (c) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (d) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r. Distributiva: (e) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). ( f ) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos verificar que (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) e´ uma tautologia. Para tanto, apresentamos na Tabela 3.10 todas as possi- bilidades dessa bicondicional. Observe que ela ´e sempre verdadeira. Por- tanto, ´e uma tautologia. Para mostrar que [p ∧ (q ∧ q)] ↔ [(p ∧ q) ∧ r] e [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∧ r)] s˜ao tamb´em tautologias, vamos verificar que “p ∧ (q ∧ r) e (p ∧ q) ∧ r”, bem como “p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)”, possuem os mesmos valores l ´ogicos. Com efeito, as Tabelas 3.11 e 3.12 apresentam respectivamente as tabelas-verdade dessas proposic¸ ˜oes s˜ao apresentadas. Observe que as duas ´ultimas colunas dessas duas tabelas s˜ao iguais. As demonstrac¸ ˜oes das demais equivalˆencias ser˜ao deixadas a cargo do leitor.
Exemplo 3.12. Demonstre as seguintes equivalˆencias l ´ogicas:
(a) ¬(¬p) ⇔ p.
p q r p ∧ q q ∧ r p ∧ (q ∧ r) (p ∧ q) ∧ r V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F V F F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F
Tabela 3.11: Tabelas-verdade das proposic¸ ˜oes: p ∧ (q ∧ r) e (p ∧ q) ∧ r.
p q r p ∨ q p ∨ r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V V F V V V F F V V F V V F V V V V V V V F V F V F F F F F F V F V F F F F F F F F F F F
Tabela 3.12: Tabelas-verdade das proposic¸ ˜oes: p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(b) (p → q) ⇔ (¬p) ∨ q.
(c) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p).
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente constru´ımos as tabelas-verdades apresentadas nas Tabelas 3.13, 3.14 e 3.15. A partir dessas tabelas conclu´ımos que s˜ao tautologias as bi-condicionais ¬(¬p) ↔ p, (p → q) ↔ (¬p) ∨ q e (p ↔ q) ↔ (p → q) ∧ (q → p).
Exemplo 3.13. Seja p e q duas proposic¸ ˜oes. Mostre que (p → q) 6 ⇔ (¬p → ¬q).
Demonstra¸c˜ao. A Tabela 3.16 apresenta todos os valores l ´ogicos da bicon- dicional (p → q) ↔ (¬p → ¬q). Observe que ela n˜ao ´e uma tautologia. Portanto, podemos escrever (p → q) 6 ⇔ (¬p → ¬q).
p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] V V V V V V V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V
Tabela 3.15: Tabela-verdade da bicondicional (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)].
p q ¬p ¬q p → q ¬p → ¬q (p → q) ↔ (¬p → ¬q) V V F F V V V V F F V F V F F V V F V F F F F V V V V V
Tabela 3.16: Tabela-verdade da proposic¸ ˜ao (p → q) ↔ (¬p → ¬q).
(b) 2 n˜ao ´e par e 2 n˜ao ´e primo. Nega¸c˜ao: 2 ´e par ou 2 ´e primo.
(c) 3 n˜ao ´e ´ımpar ou 3 n˜ao ´e primo. Nega¸c˜ao: 3 ´e ´ımpar e 3 ´e primo.
(d) 5 divide^1 6 ou 6 divide 5.
Nega¸c˜ao: 5 n˜ao divide 6 e 6 n˜ao divide 5.
Vamos concluir essa lic¸ ˜ao com um teorema que apresenta diferentes formas de expressar a condicional p → q.
Teorema 3.3 (Contrapositiva e Reduc¸ ˜ao ao Absurdo). Sejam p e q duas pro- posi¸c˜oes quaisquer e C uma contradi¸c˜ao. Ent˜ao, a condicional p → q ´e equivalente as condicionais:
(a) Contrapositiva: ¬q → ¬p.
(b) Redu¸c˜ao ao Absurdo: (p ∧ ¬q) → C.
(^1) Sejam a e b n ´umeros inteiros com a 6 = 0. Dizemos que a divide b se existe um inteiro k tal que b = ak.
p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V
Tabela 3.17: Tabelas-verdade das proposic¸ ˜oes: ¬(p ∧ q) e (¬p ∨ ¬q).
p q ¬p ¬q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V
Tabela 3.18: Tabela-verdade da proposic¸ ˜ao ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q).
Demonstra¸c˜ao. A Tabela 3.19 cont´em todos os valores l ´ogicos das condici- onais p → q, ¬q → ¬p e (p ∧ ¬q) → C: Observe que as trˆes condicio- nais possuem os mesmos valores l ´ogicos. Portanto, conclu´ımos as equi- valˆencias l ´ogicas: (p → q) ⇔ ¬q → ¬p e (p → q) ⇔ (p ∧ ¬q) → C.
Exemplo 3.15. A afirmac¸ ˜ao
“Se um triˆangulo ´e retˆangulo, ent˜ao a medida da hipotenusa ´e igual `a soma dos quadrados dos catetos”
pode ser expressa em termos da condicional “p → q”, em que p e a´ proposic¸ ˜ao “o triangulo ´e retˆangulo” e q e a proposic´ ¸ ˜ao “a medida da hipote- nusa ´e igual a soma dos quadrados dos catetos”. A contrapositiva desse dessa condicional ´e “¬q → ¬p” que correspondea afirmac¸ ˜ao:
“Se a medida da hipotenusa n˜ao ´e igual `a soma dos quadrados dos catetos, ent˜ao o triˆangulo n˜ao ´e retˆangulo”.
Finalmente, a reduc¸ ˜ao ao absurdo (p ∧ ¬q) → C pode ser interpretada como
“Se um triˆangulo ´e retˆangulo e a medida da hipotenusa n˜ao e igual `´ a soma dos quadrados dos catetos, ent˜ao temos uma contradic¸ ˜ao”.
(a) Modus Ponens: [p ∧ (p → q)] → q.
(b) Modus Tollens: [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p.
Exerc´ıcio 3.3. Sejam p, q e r proposic¸ ˜oes quaisquer. Demonstre as seguin- tes implicac¸ ˜oes l ´ogicas:
(a) p ⇒ (p ∨ q).
(b) (p ∧ q) ⇒ p.
(c) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q).
(d) (p → q) ∧ p ⇒ q.
(e) [(p → q) ∧ (¬q)] ⇒ (¬p).
(f) [p → (q ∨ r)] ∧ (¬r) ⇒ (p → q).
(g) (q → p) ∧ (r → p) ⇒ (q ∧ r → p).
(h) (p → q) ⇒ [(p ∧ r) → (q ∧ r)].
Exerc´ıcio 3.4. Verifique as seguintes n˜ao implicac¸ ˜oes para proposic¸ ˜oes p, q e r quaisquer.
(a) (p ∨ q) 6 ⇒ p.
(b) p 6 ⇒ (p ∧ q).
(c) (p ∨ q) 6 ⇒ (p ∧ q).
(d) q 6 ⇒ (p → q) ∧ p.
(e) (¬p) 6 ⇒ [(p → q) ∧ (¬q)].
(f) (p → q) 6 ⇒ [p → (q ∨ r)] ∧ (¬r).
(g) (q ∧ r → p) 6 ⇒ (q → p) ∧ (r → p).
(h) [(p ∧ r) → (q ∧ r)] 6 ⇒ (p → q).
Exerc´ıcio 3.5. Dˆe exemplos ou esclarec¸a por que o exemplo solicitado n˜ao existe.
- Uma implicac¸ ˜ao l ´ogica com uma conclus˜ao falsa.
- Uma implicac¸ ˜ao l ´ogica com uma conclus˜ao verdadeira.
- Uma implicac¸ ˜ao l ´ogica com uma hip ´otese verdadeira e uma con- clus˜ao falsa.
Exerc´ıcio 3.6. Sejam p, q e r proposic¸ ˜oes quaisquer. Demonstre as seguin- tes equivalˆencias l ´ogicas:
(a) p ∧ p ⇔ p
(b) (p → q) ⇔ (p ∨ q → q).
(c) (p → q) ⇔ (¬q → ¬p).
(d) (p → q) ⇔ [p ∧ (¬q) → C].
(e) (p → q) ⇔ (¬p ∨ q).
(f) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p).
(g) (q ∨ r → p) ⇔ (q → p) ∧ (r → p).
(h) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).
Exerc´ıcio 3.7. Verifique as seguintes n˜ao equivalˆencias para proposic¸ ˜oes p, q e r quaisquer.
(a) (p ∧ q) 6 ⇔ (p ∨ q).
(b) (p → q) 6 ⇔ (q → p).
(c) (p → q) 6 ⇔ (p ↔ q).
(d) [(p → q) ∧ p] 6 ⇔ q.
(e) [(p → q) ∧ ¬q] 6 ⇔ (¬p).
(f) (p → q) 6 ⇔ (p ∧ q → C).
(g) [(p → q) ∧ (q → r)] 6 ⇔ (p → r).
(h) (q ∧ r → p) 6 ⇔ (q → p) ∧ (r → p).
Exerc´ıcio 3.8. Sejam p, q, r e s proposic¸ ˜oes quaisquer. Demonstre as se- guintes implicac¸ ˜oes l ´ogicas:
(a) [(p → q) ∧ (r → s)] ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)];
