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EFEITO COMPTON
Prof. Manoel M. Ferreira Jr
INTRODUÇÃO
Durante as duas primeiras décadas do século XX, o espalhamento de raios-x pela matéria era
descrito por uma teoria clássica formulada por J.J. Thomson. Do ponto de vista clássico, a radiação
eletromagnética, ao incidir sobre um determinado átomo da matéria, irá colocar um ou mais elétrons
deste átomo em vibração com a mesma freqüência da radiação incidente. Em conseqüência, este
elétron irá emitir radiação de mesma freqüência. Logo, na teoria de espalhamento de Thomson, a
radiação espalhada (ou secundária) tem sempre a mesma freqüência da radiação incidente (ou
primária). Ademais, nesta concepção clássica, a radiação eletromagnética primária, ao interagir com um
elétron ligado a um átomo, exerce sobre o mesmo uma força. Como resultado, o elétron entra em
vibração sob ação de uma força restauradora, resultante da interação com o átomo e com a própria
radiação incidente. Este átomo vibrante é o elemento radiador da teoria de Thomson, capaz de emitir
radiação secundária igualmente em todas as direções, proporcionando um espectro isotrópico.
No total, cada porção de raio-x interage com todos os elétrons do alvo, uma vez que a onda
eletromagnética está dispersa por todo espaço. A radiação espalhada é um então reflexo do efeito
conjunto sobre estes elétrons, que vibram na mesma freqüência da radiação incidente. A teoria de
Thomson previa ainda que: (i) a energia da radiação espalhada por um elétron deveria ser a mesma,
sempre igual a da radiação primária; (ii) a intensidade da radiação espalhada deveria ser igual dos dois
lados da folha espalhadora, estipulando uma simetria para seção de choque para espalhamento e retro-
espalhamento. Na época, era conhecido que as previsões de Thomson haviam sido validadas por
dados experimentais produzidos por C.G. Barkla, que estudou espalhamentos de raios-x “moles”
1 com
a matéria.
O efeito Compton foi descoberto em uma série de experimentos realizados por Arthur Holly
Compton
2 , ao longo de 4 anos, envolvendo o espalhamento de luz (raio-x) pelos átomos contidos em
uma fina folha de matéria. Os resultados de Compton foram apresentados em 1923, em dois artigos
publicados no Physical Review
3 , mostrando que a teoria clássica de Thomson não poderia mais ser
considerada correta. Mais precisamente, Compton mostrou que os dados experimentais só
concordavam com a teoria de Thomson quando os raios-x incidentes eram “moles”. Quando os raios-x
eram “duros”, era observado que a radiação espalhada apresentava uma freqüência menor que a
freqüência da radiação incidente. Nas próprias palavras de Compton:
“ Recentemente foi observada uma dificuldade muito séria com a teoria clássica de
espalhamento de raios-x. De longo tempo, sabe-se que raios gamma espalhados são bem
mais macios que os raios gamma incidentes (sobre a matéria). Recentemente, experimentos
revelaram que este fato também ocorre com espalhamento de raios-x. Por meio de uma
análise espectroscópica de raios-x espalhados por uma folha de grafite, eu fui capaz de
demonstrar que somente uma pequena porção da radiação espalhada tem o mesmo
comprimento de onda da radiação incidente. ... Esta mudança no comprimento de onda
espalhado é algo diretamente contrário à teoria do espalhamento de Thomson, segundo a
qual os elétrons emitem radiação em decorrência de vibrações forçadas estabelecidas
quando são atingidos pela radiação primária. Este processo deve originar radiação espalhada
exatamente da mesma freqüência da radiação incidente sobre os mesmos. ... Esta
inconsistência faz parecer improvável que uma explicação satisfatória sobre o espalhamento
de raios-x possa ser alcançada tendo por base as leis do eletromagnetismo clássico .”
4
Este trecho mostra que a diminuição da freqüência (aumento da maciez) dos raios gamma
espalhados pela matéria era um resultado bem conhecido no início do século XX. A observação que
este mesmo efeito também ocorria para raios-x duros (de alta freqüência) constitui o cerne da
descoberta de Compton, e daquilo que hoje se denomina de efeito Compton.
1 Raios-x de baixa energia, e comprimento de onda não tão curto. Termo que vem de “soft x-rays”.
2 Físico norte-americano nascido em Wooster, Ohio, em 1892. Estudou na escola da Universidade de Princeton,
onde mais tarde realizou seu doutoramento em Física em 1916. Em 1920, já dirigia o departamento de Física da
Universidade de Washington (em Sr. Louis), onde iniciou suas pesquisas com espalhamento de raios-x por
materiais sólidos. Em 1923, publicou dois artigos importantes no Physical Review, nos quais divulga os resultados
de suas pesquisas com espalhamento de raio-x, o que ficou conhecido como efeito Compton. Em 1927, foi
agraciado com o prêmio Nobel de Física pela descoberta deste efeito, juntamente com Charles T.R. Wilson, pela
invenção da câmera de nuvens.
3 A. H. Compton, Physical Review 21, 483 (1923); A. H. Compton, Physical Review 22, 409 (1923).
4 Trecho do artigo da ref. [4].
Em sua abordagem inovadora, Compton explicou o espalhamento dos raios-x considerando que
a radiação incidente era dotada de energia e momento bem definidos, e sofria uma colisão pontual
(espacialmente localizada) com os elétrons da matéria. Dada a grande energia dos raios-x, esta
interação foi tratada como uma colisão relativística entre duas partículas elementares.
Os experimentos de Compton, em suas exaustivas repetições, entraram em confronto com as
previsões da teoria de Thomson, ao demonstrar que a energia da radiação espalhada dependia do
comprimento de onda da radiação incidente e do ângulo de espalhamento, e que ocorria uma
contundente redução na seção de choque para retro-espalhamento
5
. O sucesso da abordagem de
Compton na descrição dos dados experimentais, permitiram concluir que a luz de curtíssimo
comprimento de onda (raio-x “duro”) realmente se comporta como sendo composta por partículas de
energia h (fótons), confirmando a hipótese do quantum de radiação, proposta por Einstein em 1905
na explicação do efeito fotoelétrico. A descoberta do efeito Compton adveio como uma derradeira
evidência sobre o caráter corpuscular e quantizado da luz. Com isto, após 1923, não havia mais físico
de calibre que duvidasse da natureza corpuscular e quantizada da luz. O conceito de fóton (pacote de
luz de tamanho limitado, energia e momento bem definidos) era assim definitivamente incorporado no
panorama físico do início do século XX.
Mais especificamente, o efeito Compton consiste no espalhamento de raio-X “duro”
6 por
átomos de uma fina folha de grafite (ou metal), ou seja, um feixe de raio-x de comprimento de onda bem
definido era lançado sobre uma folha de grafite, atravessando-a. Durante a travessia, o feixe original era
espalhado em diversas direções do espaço, sendo observado que a radiação espalhada (em cada
direção) apresentava dois picos de intensidade em sua distribuição espectral, um centrado em
0
, outro centrado em 1 0
. Os dados experimentais pareciam sugerir uma dependência do
comprimento de onda da radiação espalhada com o ângulo de espalhamento. A Fig. 1 ilustra bem esta
observação experimental.
Figura 1 : Curvas da intensidade espectral espalhada por folhas de grafite (obtidas por Compton em seus
trabalhos de 1923).
5 Esta forte assimetria da radiação espalhada, que se concentrava preponderantemente na região frontal
( 0 / 2), só foi teoricamente explicada em 1929, quando Oscar Klein e Yoshio Nishina obtiveram a
fórmula para a seção de choque do espalhamento de raio-x, usando a recém formulada teoria de Dirac para o
elétron, dentro do contexto da segunda quantização (criação e destruição de partículas no espaço de Fock) de uma
teoria quântico-relativística. Eles obtiveram a famosa fórmula de Klein-Nishina, hoje presente em livros-texto de
QED (“Eletrodinâmica Quântica”).
6 A denominação raio-x “duro” (“hard x-ray”) era empregada no início do século XX para designar radiação de
curtíssimo comprimento de onda,
o
0
1 A, de grande poder de penetração na matéria.
OBSERVAÇÕES DE COMPTON E SUAS ALGUMAS CONCLUSÕES
- Havia sempre dois picos de intensidade para cada ângulo de espalhamento, exceto para
0 , onde se via apenas um pico centrado em
0
- A distância entre os dois picos aumentava com ângulo de espalhamento (quanto maior era ,
maior era a distância entre os dois picos, 1 0
, onde 1
é o comprimento de onda
em que está centrado o segundo pico de intensidade. A existência destes 2 picos indica que
radiação espalhada é composta principalmente por luz de dois comprimentos de onda: 0
e
1
, sendo 1 0
, havendo maior intensidade de luz espalhada de comprimento 1
- O padrão de espalhamento é assimétrico: a radiação espalhada concentra-se majoritariamente
na região frontal do plano de interação – plano vertical onde ocorre a colisão. Existe radiação
espalhada em todas as direções, mas a distribuição no plano frontal é mais intensa que no
plano de retroespalhamento.
- Compton percebeu que o padrão de espalhamento observado não dependia do material
(composição química) da folha, uma vez que a posição do segundo pico não variava com a
mudança do tipo do metal da folha. Chegou a esta conclusão repetindo o experimento com
vários metais diferentes, submetidos ao mesmo tipo de radiação.
ESTE FENÔMENO PODE SER EXPLICADO PELA FÍSICA CLÁSSICA?
NÃO! Dentro da física clássica, não há como explicar a presença do segundo pico de radiação
centrado em 1
, uma vez que os elétrons oscilantes sob ação de radiação incidente, de
freqüência 0 0
c / , deveriam emitir apenas radiação com a mesma freqüência do seu
movimento oscilatório, ou seja, 0 0
c /. Classicamente, não há também como explicar a
assimetria no padrão de espalhamento da radiação, como veremos a seguir.
TEORIA CLÁSSICA DE THOMSON PARA ESPALHAMENTO DE RAIO-X
No início do século XX, J.J.Thomson formulou uma teoria para descrever o espalhamento de raios-x
pela matéria, na qual as partículas interagentes com a radiação incidentes e emissoras de radiação
eram dipolos oscilantes: os elétrons da matéria que entram em oscilação sob ação de um campo
eletromagnético externo. Da teoria de Maxwell é conhecido que a intensidade de radiação
eletromagnética emitida por um dipolo oscilante (por elemento de ângulo sólido) é dada por:
2
2
3
sin ,
dP d
d c
(T1)
onde é o ângulo está medido a partir do eixo de oscilação do dipolo (vertical), d er , com a
direção da radiação medida, enquanto
2
d é a derivada temporal segunda do momento de dipolo elétrico.
Esta fórmula é calculada dentro da aproximação dipolar, válida quando a dimensão do sistema radiante
é pequena perante as distâncias onde está se medindo a radiação.
No regime de velocidades não relativísticas, quando uma onda eletromagnética polarizada
linearmente, com campo elétrico 0 0
E t ( )^^ E^ sin(^ t )ˆ, incide sobre um elétron, exerce sobre o mesmo
uma força excitadora do tipo:
0 0
F eE sin( t )ˆ , (T2)
onde ˆdefine a direção de polarização linear. Tal elétron irá oscilar satisfazendo a equação:
0 0
mr eE sin( t )ˆ , (T3)
de tal modo que a derivada segunda do momento d dipolo elétrico é dada por:
2
0
0
sin( )ˆ
e E
d er t
m
, (T4)
sendo compatível com momento de dipolo (oscilante) do tipo,
2
0
2 0
0
sin( )^ ˆ
e E
d t
m
, (T5)
cuja amplitude é
2
0
(^0 )
0
e E
d
m
. (T6)
Inserindo na Eq. (T1) a Eq. (T4), temos:
4 2
2 2 0
3 2 0
sin ( )sin
dP e E
t
d c m
. (T7)
Realizando a média temporal sobre o
2
0
sin ( t ), obtemos um fator ½, ou seja,
4 2
0 2
3 2
sin
dP^ e E
d c m
. (T8)
Sendo a seção de choque diferencial a razão entre a radiação espalhada no ângulo sólido d , dada
pela Eq. (T8), e o fluxo de radiação incidente, dado pelo vetor de Poyting médio,
2
0
c
S E
escrevemos:
d dP
d S d
(T 9 )
o que implica em:
4
2
4 2
sin ,
d e
d c m
(T 10 )
sendo esta a seção de choque diferencial do espalhamento Thomson (para radiação polarizada) ,
que fornece a intensidade de radiação no elemento de ângulo sólido que subtende o ângulo com a
direção do eixo que contém o dipolo oscilante.
Figura 3 : lustração da direção da radiação espalhada em relação ao eixo do dipolo oscilante.
A seção de choque total de Thomson é encontrada integrando-se a seção de choque diferencial:
4 2 4 2
0 2 0 2
3 2 3 2
(1 sin ) (1 cos )
dP^ e E^ e E
d c m c m
onde usamos sin cos. Lançando mão agora da relação (T9), encontramos a seção de choque
do espalhamento de Thomson para luz não polarizada:
4
2
4 2
(1 cos )
npol
d e
d c m
É interessante notar que, como esse resultado depende de
2
cos , a distribuição de radiação
espalhada não é isotrópica (pois assume uma intensidade distinta para cada ângulo. A despeito de
ser anisotrópica no espaço, essa distribuição apresentará uma simetria de espelho em relação ao plano
vertical onde ocorre a interação, indicando o mesmo padrão de espalhamento na região frontal do plano
e na região de retro-espalhamento. Note que os vetores n e n formam o mesmo ângulo com o
eixo vertical, enquanto n e n subtendem os ângulos e ( )com o eixo horizontal. Uma vez que
2 2
cos cos ( ) , concluímos que a teoria de Thomson estabelece a mesma seção de choque
diferencial para os ângulos e ( ), ou seja, para as direções dos vetores n e n. Essa simetria
de espelho não era observada nos experimentos de espalhamento de raios-x duros realizados por
Compton no início dos anos 20, o que motivou o uso de preceitos da teoria da relatividade restrita para
explicar a descrição destes espalhamentos e quebra desta simetria.
Figura 5 : Ilustração de direções simétricas, representadas pelos vetores n e n , em relação ao plano
vertical.
DEDUÇÃO TEÓRICA DO ESPALHAMENTO COMPTON: Descrição do espalhamento de um fóton
( quantum de luz) de raio-X com 1 elétron da folha metálica.
Como já era conhecido que o padrão de observação não dependia do material da folha
espalhadora, Compton concluiu que a radiação de comprimento de onda 1
advinha da interação
entre a radiação de raio-X e os elétrons livres da folha metálica, que são os mesmos em qualquer
metal. Desta forma, Compton foi capaz de reduzir a interação átomo/ raio-x (complicada, devido à
estrutura interna do átomo) a uma interação elétron/ raio-x, muito mais simples de ser tratada, uma
vez que o elétron é uma partícula elementar (não tem estrutura interna). Com isto, o processo-
chave do efeito Compton passa a ser entendido como um espalhamento elementar elétron-fóton,
cuja representação esquemática é a seguinte: e^ e , onde representa o fóton.
Figura 6 : Ilustração do espalhamento e dos momentos do fóton e do elétron antes e após o choque.
Neste processo, o elétron envolvido na colisão é suposto livre, ou seja, um elétron fracamente
ligado ao material. Esta suposição aplica-se muito bem aos elétrons livres de um metal
7 , valendo
também para um elétron ainda ligado a um átomo, desde que pertença a suas camadas mais externas
8 .
A energia cinética ( e
K ) de todos estes elétrons “livres” é tomada como sendo igual a zero, uma vez
que a energia do fóton de raio-X é relativamente muito grande, ou seja, muito maior que e
K.
DINÂMICA RELATIVÍSTICA:
Dado que o processo elementar do efeito Compton é uma colisão relativística (por envolver altas
energias) entre um fóton e um elétron, torna-se imperativo repassar algum conhecimento básico sobre
dinâmica relativística. Começamos apresentando a massa relativística de uma partícula que se desloca
com uma velocidade u:
0
m u ( ) m ( ) u , (1)
onde
2 2
( ) u 1 1 u c é o chamado fator de Lorentz (sempre maior que 1) e
0
m é a chamada
massa de repouso (massa da partícula no referencial de repouso). Elevando ao quadrado a eq. (1),
podemos obter uma das equações mais úteis da dinâmica relativística. De fato:
2 2 2 2 2 2
0 2 0
u
m u m m m
c
multiplicando agora tudo por
4
c :
2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2
(^2 0 )
m u
c m m m c m c m u
c
Fazendo a identificação,
2 2
0 0
E mc , E m c , p mu , (4)
resulta:
2 2 2
0
E E p c , (5)
sendo esta uma expressão muito útil e conhecida na dinâmica relativística. Observe que
2
E mc é a
energia relativística total,
2
0 0
E m c é a energia relativística de repouso, e p mu o momento
relativístico, também lido na forma 0
p m u.
7 São os elétrons das camadas de valência que se desprendem dos átomos, ficando vagando pela rede cristalina,
sendo responsável pela condutividade térmica e condutividade elétrica dos metais.
8 Em se tratando de um elétron pertencente às camadas mais internas, a energia de ligação com o átomo torna-se
grande a ponto de não poder ser simplesmente negligenciada quando comparada com a energia cinética do raio-x
incidente.
equação esta que pode ser simplificada a seguinte forma:
0 0 0
(cos 1) ( ),
e
p p m c p p (12)
Dividindo-a por 0
p p , conduz a:
0
0
(1 cos )
e
m c
p p
Lembrando-se que 0
0
h
p ,
h
p , temos finalmente:
0
0
(1 cos ) ( )
e
m c
h
0
0
(1 cos )
e
h
m c
2
2 sin / 2
c
onde foi usado 0
, e
2
(1^ cos^ )^ 2 sin^ / 2. Aqui,
0
c
e
h
m c
é a chamada
constante Compton, e é o desvio Compton, que indica a mudança no comprimento de onda do
fóton espalhado no ângulo em relação ao comprimento de onda da radiação incidente. As eqs. (15),
(16) fornecem o comprimento de onda do fóton espalhado, apenas em termos da direção de
espalhamento e da constante c
, ou seja:
0
1 cos
c
A constante Compton tem um valor numérico bem determinado
9 , valendo:
12
c
m , ou
2
c
A.
A fórmula do desvio Compton prevê um valor diferente para o comprimento de onda da radiação
espalhado para cada ângulo de espalhamento:
Para =0, temos: =
c
Para 45 , temos:
0
c c
Para 90 , temos:
c 0 c
Para 135 , temos:
0
c c
Para 180 , temos:
0
c c
Estes são os comprimentos de onda em que está centrado o segundo pico de radiação, para cada
ângulo de espalhamento. Estes valores, previstos teoricamente tratando a interação elétron-fóton
como uma colisão relativística, concordam com ótima precisão com os valores medidos
experimentalmente, o que forneceu grande suporte para a abordagem proposta por Compton para
explicar o espalhamento elétron-raio-x pela matéria. Estes cálculos mostram que o desvio Compton
máximo vale 2
c
, correspondente ao espalhamento em.
O resultado das fórmulas (15-17) permite facilmente entender a razão pela qual o efeito
Compton é importante e facilmente detectado para radiação de curtíssimo comprimento de onda (raios-x
9
O valor numérico das constantes aqui usadas são:
34
h 6.62 10 Js ,
31
0
m 9.11 10 Kg ,
8
3 10
m c s
duros e raios ) e praticamente imperceptível para radiação de maior comprimento de onda
( 10 A ). Isto decorre diretamente da pequena magnitude da constante Compton, 0, 024
c
A , e
do fato do desvio Compton não depender do comprimento de onda ou freqüência da radiação. Este
desvio depende apenas do ângulo de espalhamento e da constante c
. Para uma radiação de
10 A , temos um desvio Compton máximo de 2 0, 048
c
A , o que implica numa radiação
espalhada de comprimento de onda 10, 048 A. Isto representa uma alteração percentual de
comprimento de apenas 0, 48%. No caso em que o comprimento de onda incidente é 0,1 A , o
desvio Compton máximo permanece o mesmo 2 0, 048
c
A. Mas neste caso a alteração
percentual de comprimento equivale a 48% do valor original. Obviamente, o efeito torna-se tão mais
significativo quanto menor é o comprimento de onda da radiação primária.
É possível obter uma expressão entre o ângulo de espalhamento do elétron, , e o ângulo de
espalhamento do fóton,. Para tanto, convém escrever a equação da conservação de momento linear
em termos das suas componentes x e y:
0
cos cos
e
p p p , (1 8 )
sin sin
e
p p. (1 9 )
Combinando tais equações, escrevemos:
0
sin
tan
cos
p
p p
ou
0
sin
tan
p / p cos
Da eq. (13), temos:
0
0
1 (1 cos )
p
p
p
com 0
1/^ m c. Esta expressão, ao ser substituída na eq. ( 20 ), conduz a:
0
1 sin
tan
(1 p ) (1 cos )
que por sua vez equivale a:
2
0 0
1 2sin( /2)cos( /2) 1
tan cot
(1 p ) 2 sin ( /2) (1 p ) 2
onde 0 0
c
p. Esta equação pode também ser escrita como:
0
cot (1 )tan
p. (23B)
Embora Compton tenha constatado uma forte assimetria na distribuição da radiação espalhada,
havendo uma concentração dos fótons na região de espalhamento frontal, é necessário admitir que os
fótons são espalhados em todas as direções possíveis, ou seja, em todos os ângulos entre 0 e :
0 , 0 , de modo que 0 / 2 / 2, / 2 / 2 0. Isto porque há
fótons espalhados em todas as direções, embora com distribuição anisotrópica. Substituindo os valores
extremais 0 e da variável na eq. (23), obtemos que os elétrons são espalhados em ângulos
limitados ao valor máximo de / 2, ou melhor, na seguinte janela
angular: 0 / 2, / 2 0. Portanto, enquanto os fótons são espalhados em todas as
direções, mas os elétrons são espalhados apenas na direção frontal do plano de interação. Isto significa
que não é observado retro-espalhamento de elétrons.
Por fim, pode também ser calculado o momento, frequência e energia do fóton espalhado,
obtidos diretamente da eq. (2 1 ):
CONCLUSÃO
O efeito Compton, tal como descrito por seu descobridor, teve um papel
importantíssimo na aceitação da natureza corpuscular da radiação eletromagnética,
principalmente aquela de pequeno comprimento de onda (raios-x duros, raios gamma). Com
isto, a hipótese do quantum de luz, proposta por Einstein em 1 90 5, e que fora tão criticada
durante 18 anos, passava a ser aceito como uma verdade da natureza.
A partir da publicação dos resultados de Compton, o caráter dual (corpuscular e
ondulatório) da radiação eletromagnética foi estabelecido no cenário da Física do século XX de
maneira definitiva, encerrando a histórica controvérsia acerca do caráter ondulatório e
corpuscular da luz. A partir de então, estava demonstrado que a luz era onda e partícula, ora
comportando-se como onda, ora comportando-se como partícula. A manifestação do caráter
ondulatório ou corpuscular da radiação eletromagnética é uma decorrência das condições
gerais em que o experimento de observação é realizado. O experimento de Compton salta aos
olhos como um efeito significativo apenas quando é realizado com radiação de curtíssimo
comprimento de onda. Isto indica que o comportamento corpuscular da radiação torna-se mais
forte e evidente com a diminuição do comprimento de onda, com o aumento da freqüência e
da energia do quantum.
Referências:
[1] R. Eisberg & R. Resnick, “ Física Quântica – Átomos, moléculas, sólidos núcleos e
partículas ”, Editora Campus, Rio de Janeiro. ISBN: 85- 7001 - 309 - 4
[2] M. H. Shamos, “ Great Experiments in Physics – Firsthand accounts from Galileo to Einstein ”,
Dover Publication, Inc., New York (1987).
[3] Francisco Caruso e Vitor Oguri, “ Física Moderna: Origens Clássicas e Fundamentos
Quânticos ”, Editora Campus, Elsevier Editora Ltda, Rio de Janeiro (2006).
[4] A. H. Compton, “ A quantum theory for the scattering of x-rays by light elements ”, Physical
Review 21, 483 (1923).
[5] A. H. Compton, “ The spectrum of scattered x-rays ”, Physical Review 22, 409 (1923).
[6] G. B. Rybicki and A.P. Lightman, “ Radiative Processes in Astrophysics ”, Wiley-VCH Verlag
