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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 2, Junho, 2000 285
Efeito Pelicular
(On the Skin E ect)
Ren^e Rob ert Departamento de Eletricidade, Universidade Federal do Parana Caixa Postal 19047, Curitiba Pr, 81531-
Recebido em 2 de setembro, 1999
Usando as equac~oes de Maxwell, apresenta-se o efeito p elicular para condutores com uma geometria simples, onde as equac~oes s~ao facilmente resol uveis. Apresentam-se as principais caractersticas deste efeito para o regime senoidal p ermanente e para o regime transiente.
Using the Maxwell's equations, the skin e ect is shown for a simple geometry where the mathe- matical solutions are easy. The main characteristics of this e ect, are shown in the sinusoidal and transient state.
I Intro duc~ao
Quando uma corrente eletrica constante ui em um o condutor homog^eneo, de sec~ao transversal n~ao negli- genciavel, ela se distribui uniformemente nesta sec~ao. O mesmo n~ao se p o de dizer quando a corrente e al- ternada, esta n~ao se distribui uniformemente e a dis- tribuic~ao dep ende da freq u^encia, do camp o eletrico, da condutividade eletrica, das dimens~oes e da forma geometrica do condutor. No caso de um condutor de sec~ao transversal circular a densidade de corrente varia ao longo do raio, sendo maxima na sup erfcie e mnima sobre o eixo. A concentrac~ao de corrente proxima a sup erfcie do condutor chama-se efeito p elic- ular ou efeito Kelvin em homenagem a Lord Kelvin, p or sua contribuic~ao ao estudo deste efeito em condu- tores cilndricos (1889)[1]. O efeito p elicular apresenta interesse tecnico e tambem acad^emico, principalmente p elas suas sutilezas. Neste trabalho nosso interesse se restringe ao camp o acad^emico p ois e rara nos livros- textos[2,3] a exp osic~ao deste topico. Existem ap enas dois casos cuja soluc~ao analtica e simples: condutores com sec~ao circular e condutores em forma de ta, am- b os de comprimento in nito. Nos demais casos a unica soluc~ao p ossvel e obtida atraves de calculo numerico. Em corrente alternada o efeito p elicular imp~oe algumas desvantagens: A resist^encia eletrica efetiva do condutor aumenta em relac~ao a resist^encia medida em corrente constante. Consequentemente havera maior p erda sob forma de calor, p or unidade de comprimento de condu- tor, que se o mesmo fosse p ercorrido p or uma corrente eletrica constante. A reat^ancia indutiva interna do con-
dutor e igualmente mo di cada. Em geral na pratica contorna-se este problema usando-se condutores o cos e cab os entrelacados. Em outros casos o efeito p elicular e util, como o corre em freq u^encias de micro onda, tor- nando p ossvel o transp orte e armazenagem de energia eletromagnetica em guias de onda e cavidades resso- nantes sem p erda p or radiac~ao. O efeito p elicular de- p ende do camp o eletrico E~ , da sua freq u^encia angular! e da condutividade do condutor[4]. E comum medir o efeito p elicular p or uma grandeza metrica chamada de esp essura p elicular (skin depth) a qual diminui com o aumento da freq u^encia e da condutividade. Em teorias simples a condutividade do condutor e prop orcional ao livre caminho medio dos eletrons de conduc~ao. Quando <, a densidade de corrente em um dado p onto n~ao sera determinada simplesmente p ela inten- sidade de camp o lo cal e p ela condutividade estatica. Nestas condic~oes a teoria classica do efeito p elicular n~ao mais se aplica, e esta situac~ao e chamada de efeito p elic- ular an^omalo. Com o aumento de freq u^encia outros efeitos tornam-se signi cativos, p or exemplo, o efeito de relaxac~ao. Os eletrons s~ao submetidos a muitos ciclos do camp o eletrico alternado entre duas colis~oes durante o intervalo de temp o medio que p ermanece na \skin layer". A grosso mo do, o camp o v^e uma camada de eletrons livres. Aumentando-se ainda mais a freq u^encia atinge-se a freq u^encia de plasma do condutor na qual o metal e transparente. Neste trabalho discutiremos somente o efeito p elicu- lar classico, usando-se as equac~oes de Maxwell. O prob- lema sera analiticamente tratavel, desde que facamos alguma simpli cac~oes. Estas simpli cac~oes s~ao con-
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seguidas com as seguintes hipoteses: (a)- Os meios s~ao sup ostos metalicos, n~ao magneticos, cuja p ermeabili- dade relativa e a p ermissividade relativa s~ao da or- dem da unidade; (b)- Sobre um grande intervalo de freq u^encias o termo da densidade de corrente de deslo- camento @ D~ =@ t e p equeno quando comparado com a densidade de corrente J~ , p o dendo ser ignorado; (c)- A lei de Ohm, J~ = E~ e valida; (d)- as freq u^encias s~ao su cientemente baixas de mo do a escaparmos da regi~ao de efeito p elicular an^omalo; (e)- a densidade de carga no condutor e nula, isto e, = 0. E p ossvel dar uma explicac~ao qualitativa de como o corre o efeito p elicular. Considere a Fig. 1 onde mostra-se um condutor p ercorrido p or uma corrente I tal que dI dt > 0. Esta corrente gera um camp o de induc~ao B~ , cujas linhas de camp o s~ao circunfer^encias e ao qual esta asso ciado um camp o eletrico E~ , que ob e- dece a relac~ao r~ E~ = @ @^ B~ t. O camp o eletrico assim gerado tende a reforcar a corrente proximo a sup erfcie e enfraquec^e-la no centro.
Figura 1. J indica a corrente no condutor, B o camp o magnetico e E o camp o eletrico.
A deduc~ao da equac~ao que explica o efeito p elicu- lar p o de ser obtida facilmente a partir das equac~oes de Maxwell[5,6] sob forma diferencial:
r^ ~ D~ = (1)
r^ ~ B~ = 0 (2)
r^ ~ E~ = @^
B~
@ t (3)
r^ ~ H~ = J~ + @^
D~
@ t (4)
e das relac~oes constitutivas
D^ ~ = E~ ; (5)
B^ ~ = H~ ; (6)
J^ ~ = E~ ; (7)
Usando as equac~oes (1) a (7) e as hipoteses (a) a (e) chega-se facilmente as seguintes relac~oes:
r^ ~ 2 E~ = @^
E~
@ t
~r 2 H~ = @^
H~
@ t
r^ ~ 2 J~ = @^
J~
@ t ;^ (10) com as quais e p ossvel resolver o problema do efeito p elicular. As equac~oes (8), (9) e (10) s~ao equac~oes diferenciais a derivadas parciais de segunda ordem do tip o parabolico[7] (equac~ao de difus~ao) cujas tecnicas de soluc~ao s~ao conhecidas. Nosso interesse sera fo cal- izado sobre o efeito p elicular em uma ta metalica de largura 2 a, altura b e comprimento L, com a condic~ao de que L >> b >> 2 a:. Deste mo do despreza-se os efeitos de extremidade e admite-se que a densidade de corrente seja uniforme ao longo de oy p orem variando com a ab cissa x, como mostra a Fig. 2. Este mo d- elo sera aplicado tanto em regime senoidal p ermanente como transiente.
Figura 2. Geometria da ta metalica.
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Figura 5. Resist^encia efetiva em func~ao do par^ametro m.
I I I Efeito p elicular em regime
transiente
O problema consiste em resolver a Eq.(11) para o regime transiente. Usa-se a tecnica de separac~ao de variaveis com constante de separac~ao complexa e com as seguintes condic~oes de contorno:
Figura 6. Variac~ao da reat^ancia indutiva efetiva em func~ao do par^ametro m.
(1) Jz (a; 0) = 0 ; (2) Jz (x; t) = Jz ( x; t); (3) Jz (x; 1 ) = Jc : Nesta condic~oes obt^em-se a soluc~ao
c
Jz (x; t) = Jc 4 Jc
X^1
n=
( 1)n 2 n + 1
cos
h
(2n + 1) ^ x 2 a
i
exp( n t); (18)
d
sendo n = 1
h
(2n + 1) 2 a
i 2
onde n e um n umero inteiro. A corrente total p o de ser calculada com auxlio da equac~ao i(t) = b
R a
a Jz^ (x;^ t)dx^ obtendo-se
i(t) = Ic
X^1
n=
exp ( n t) (2n + 1)^2
sendo Ic = 2 abJc : A partir da Eq.(18) calcula-se a re- sist^encia efetiva que sera fornecida p ela equac~ao:
Re = R^0 1 (^) ^8
P 1
n=
exp ( n t) (2n+1)^2
Nas Figs. 7, 8 e 9 mostra-se resp ectivamente a variac~ao temp oral da densidade de corrente, da corrente e da resist^encia efetiva.
IV Discuss~ao e conclus~oes
Algumas conclus~oes interessantes p o dem ser tiradas da teoria exp osta. Em regime senoidal p ermanente conclui-se que: (1) - a densidade de corrente acumula- se proximo a sup erfcie do condutor a medida que o par^ametro m aumenta, ou seja, com o aumento da
freq u^encia, da condutividade ou da p ermeabilidade; (2)
- A diferenca de fase entre a densidade de corrente na ab cissa x com relac~ao a densidade na sup erfcie varia com o par^ametro m, p o dendo mesmo o correr que a densidade de corrente instant^anea mude de sentido em p ontos da sec~ao transversal; (3) - A resist^encia efetiva cresce com o par^ametro m e tem como conseq u^encia o aumento da p ot^encia dissipada p or efeito Joule, a qual e mnima[9] quando a corrente se distribui homogenea- mente sobre a sec~ao transversal; (4) - a medida que o par^ametro m aumenta a auto- indut^ancia do circuito aumenta.
Em regime transiente alguns fatos interessantes o correm: (1) No incio, a corrente comeca a se estab ele- cer p ela sup erfcie do condutor e a medida que o temp o ui, esta se distribui paulatinamente da sup erfcie para o centro, ate que a distribuic~ao de corrente seja uni- forme. Obviamente este fen^omeno o corre de forma mais rapida ou lenta dep endendo das caractersticas eletricas do condutor; (2) O condutor apresenta inicialmente uma resist^encia muito grande ate atingir no limite da resist^encia para corrente constante.
Este mesmo racio cnio matematico p o de ser esten- dido a uma sec~ao transversal retangular ou circular, emb ora os calculos sejam mais elab orados.
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Figura 7. Densidade de corrente na sec~ao transversal para t=1s, 1ms, 1 .
Figura 8. Variac~ao da corrente como func~ao do temp o (a=0,02m e = 5 ; 71 107 : S/m).
Figura 9. Variac~ao da resist^encia efetiva como func~ao do temp o (a=0,02m e = 7 ; 71 107 : S/m).
References
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