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O Q U E A P R E N D E R E M O S 8 1.1 Eletromagnetismo 8 1.2 Carga elétrica 9 Carga elementar 11 Exemplo 1.1 Carga líquida 12 1.3 Isolantes, condutores, semicondutores e supercondutores 12 Semicondutores 13 Supercondutores 13 1.4 Eletrização eletrostática 14 1.5 Força eletrostática – lei de Coulomb 16 Princípio da superposição 17 Exemplo 1.2 Força eletrostática no interior de um átomo 17 Exemplo 1.3 Posição de equilíbrio 18 Problema resolvido 1.1 Bolas carregadas 19 O precipitador eletrostático 21 Impressoras a laser 22 1.6 A lei de Coulomb e a lei de Newton da gravitação 23 Exemplo 1.4 Forças entre elétrons 23 O Q U E J Á A P R E N D E M O S / G U I A D E E S T U D O PA R A E X E R C Í C I O S 23 Guia de resolução de problemas 24 Problema resolvido 1.2 Conta em um fio 24 Problema resolvido 1.3 Quatro objetos carregados 26 Questões de múltipla escolha 28 Questões 29 Problemas 30
Eletrostática 1
(a)
(b) (c)
Figura 1.1 (a) Devido à eletricidade estática, ao pressionar o botão de um eleva- dor, ocorre uma faísca entre a mão de uma pessoa e uma superfície metálica. (b) e (c) Faíscas semelhantes são geradas quando uma pessoa segura um objeto de metal, como uma chave de carro ou uma moeda, mas não causam dor porque as faíscas se formam entre uma superfície metálica e um objeto de metal.
8 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
Muitas pessoas concebem a eletricidade estática como o desagradável choque que se leva quan-
do tocamos um objeto metálico como a maçaneta de uma porta depois de ter caminhado sobre
um piso acarpetado (Figura 1.1). Realmente, é comum os fabricantes de sistemas eletrônicos
colocarem pequenas placas metálicas sobre o equipamento, de modo que qualquer faísca pro-
duzida pelo uso seja descarregada sobre a placa, sem danificar as partes mais sensíveis do equi-
pamento. Entretanto, a eletricidade estática é mais do que apenas um aborrecimento ocasional;
ela é também o ponto de partida para qualquer estudo da eletricidade e do magnetismo, forças
que alteraram a sociedade humana de forma mais radical do que qualquer outra coisa desde a
descoberta do fogo e da roda.
Neste capítulo, abordaremos as propriedades da carga elétrica. Toda carga elétrica em mo-
vimento dá origem a outro fenômeno separado, chamado de magnetismo, que será abordado
em capítulos posteriores. Aqui, consideraremos objetos eletrizados que não estejam em movi-
mento – daí o termo eletrostática. Todos os objetos possuem carga, uma vez que os átomos e as
moléculas são formados por partículas carregadas. Mas dificilmente notamos os efeitos da carga
elétrica porque a maioria dos objetos é eletricamente neutra. As forças que mantêm os átomos
juntos, e os objetos separados mesmo quando em contato, são todas de natureza elétrica.
1.1 Eletromagnetismo
Talvez mistério algum tenha intrigado tanto as civilizações antigas quanto a eletricidade, pri-
mariamente na forma de relâmpagos (Figura 1.2). A força destrutiva inerente aos relâmpagos,
que podiam atear fogo em objetos e matar pessoas e animais, parece divina. Os gregos, por
exemplo, acreditavam que Zeus, o pai dos deuses, tinha a habilidade de atirar relâmpagos. As
tribos germânicas atribuíam tal poder a Thor, e os romanos, ao deus Júpiter. De forma caracte-
rística, a habilidade de produzir relâmpago pertencia ao deus mais importante (ou próximo
disso) em hierarquia.
Os gregos sabiam que, se você esfregar um pedaço de âmbar com um pedaço de pano,
conseguiria atrair objetos pequenos e leves por meio do âmbar. Hoje sabemos que o âmbar,
ao ser esfregado pelo pano, recebe do pano partículas negativamente carregadas denominadas
elétrons. (As palavras elétron e eletricidade derivam da palavra grega para âmbar.) O relâmpago
também consiste em um fluxo de elétrons. Os gregos e outros povos antigos também conhe-
ciam objetos magnéticos naturais chamados de ímãs naturais, encontrados em afloramentos
de magnetita, um mineral formado por óxido de ferro. Já por volta de 300 d.C., esses objetos
foram usados para construir bússolas.
A relação entre a eletricidade e o magnetismo só foi bem compreendida por volta da meta-
de do século XIX. Os capítulos seguintes revelarão como a eletricidade e o magnetismo podem
ser unificados em uma estrutura comum chamada de eletromagnetismo. A unificação de forças,
todavia, não parou por aí. Durante a metade inicial do século XX, duas forças fundamentais
foram descobertas: a interação fraca, que opera no decaimento beta (em que um elétron e
um neutrino são emitidos espontaneamente por certos tipos de núcleos), e a interação forte,
Figura 1.2 Relâmpagos caem sobre a cidade de Seattle, EUA.
■ Juntos, a eletricidade e o magnetismo formam o eletromag- netismo, uma das quatro forças fundamentais da natureza.
■ Existem dois tipos de carga elétrica, positiva e negativa. Car- gas de mesmo sinal se repelem, e cargas opostas se atraem. ■ A carga elétrica está quantizada, ou seja, ela ocorre somente como múltiplos inteiros de uma quantidade mínima de carga elementar. A carga elétrica também é conservada.
■ A maioria dos materiais que nos cercam são eletricamente neutros.
■ O elétron é uma partícula elementar, e sua carga é a menor quantidade de carga elétrica já observada.
■ Os isolantes conduzem fracamente a eletricidade ou não a conduzem. Os condutores conduzem bem eletricidade, mas não de forma perfeita – alguma perda de energia ocorre.
■ Os semicondutores podem ser transformados de um estado condutor para um estado não condutor. ■ Os supercondutores conduzem perfeitamente a eletricidade.
■ Objetos podem ser carregados diretamente, por contato, ou indiretamente, por indução.
■ A força que duas cargas elétricas estacionárias exercem entre si é proporcional ao produto das cargas e varia com o inver- so do quadrado da distância entre as duas cargas.
O Q U E A P R E N D E R E M O S
10 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
Se você esfregar uma haste de vidro com um pano, o vidro se tornará carregado e o pano
adquirirá uma carga de sinal oposto. Se esfregar uma haste de plástico com pelo de animal, a
haste e a pele também se tornarão eletrizadas contrariamente. Se você aproximar duas hastes
de vidro eletrizadas, elas se repelirão. E se aproximar duas hastes de plástico, elas também se
repelirão. Entretanto, uma haste de vidro eletrizada atrairá uma haste de plástico carregada.
Essa diferença surge do fato de que a haste de vidro e a de plástico adquirem cargas opostas.
Essa observação nos leva a concluir:
Lei das cargas elétricas
Cargas de mesmo sinal se repelem, e cargas opostas se atraem.
A unidade de carga elétrica é o coulomb (C), assim denominada em homenagem a
Charles-Augustine de Coulomb (1736-1806). O coulomb é definido em termos da unidade
de corrente do SI, o ampère (A), que constitui uma homenagem a outro cientista francês,
André-Marie Ampère (1775-1836). Nem o ampère, nem o coulomb, podem ser derivados de
outras unidades do SI: metro, quilograma e segundo. Em vez disso, o ampère constitui outra
unidade fundamental do SI. Por isso, o sistema SI de unidades às vezes é chamado de sistema
MKSA (metro-quilograma-segundo-ampère). A unidade de carga é definida como
1 C = 1 A s. (1.1)
A definição do ampère terá de esperar para o momento em que abordarmos a corrente elétrica,
em capítulos posteriores. Todavia, podemos definir o valor do coulomb simplesmente especi-
ficando a carga de um único elétron:
qe = –e (1.2)
onde qe é a carga, e e tem o valor (atualmente melhor aceito e experimentalmente medido)
e = 1,602176487 (40) ⋅ 10 –19^ C. (1.3)
(Normalmente é necessário reter somente os dois primeiros algarismos significativos dessa
mantissa. Usaremos o valor de 1,602 neste capítulo, mas você deveria ter em mente que a equa-
ção 1.3 expressa a precisão total com a qual tal carga foi medida.)
A carga do elétron é uma propriedade intrínseca do elétron, da mesma forma como sua
massa. A carga do próton , outra partícula básica constituinte dos átomos, é exatamente de
mesmo valor absoluto que a do elétron, mas de sinal contrário:
qp = +e. (1.4)
A escolha de qual carga é positiva e qual é negativa é arbitrária. A escolha convencional de
qe < 0 e qp > 0 se deve ao estadista, cientista e inventor norte-americano Benjamin Franklin
(1706-1790), um dos pioneiros no estudo da eletricidade.
O coulomb é uma unidade de carga extremamente grande. Veremos mais tarde, neste ca-
pítulo, quão grande ela é quando examinarmos a intensidade das forças exercidas entre cargas.
Por isso subunidades tais como C (microcoulomb, 10 –6^ C), nC (nanocoulomb, 10 –9^ C) e pC
(picocoulomb, 10 –12^ C) são usadas.
Benjamin Franklin também propôs que a carga é conservada. Por exemplo, quando você
esfrega uma haste de plástico com pele de animal, elétrons são transferidos para a haste plás-
tica, deixando uma carga positiva líquida sobre a pele. (Prótons não são transferidos porque
geralmente eles estão situados no interior de núcleos atômicos.) A carga não é criada ou des-
truída, e sim simplesmente movida de um objeto para outro.
Princípio de conservação da carga
A carga elétrica total de um sistema isolado é conservada.
Este princípio é a quarta lei de conservação com que nos deparamos até aqui, as três primeiras
sendo as da conservação da energia total, do momento total e do momento angular total. As
leis de conservação constituem os princípios comuns que percorrem toda a física e, portanto,
todo este livro também.
Quantos elétrons são necessários para alcançar 1,00 C de carga? a) 1,60 ⋅ 1019 d) 6,24 ⋅ 1018 b) 6,60 ⋅ 1019 e) 6,66 ⋅ 10 17 c) 3,20 ⋅ 1016
1.1 Exercícios
de sala de aula
Capítulo 1 Eletrostática 11
É importante notar que existe um princípio de conservação para a carga, mas não para a
massa. Veremos mais adiante neste livro que a massa e a energia não são independentes uma da
outra. Aquilo que às vezes é descrito, em química básica, como conservação da massa não cons-
titui um princípio de conservação exato, mas somente uma aproximação usada para contabilizar
o número de átomos participantes de reações químicas. (O que é uma boa aproximação para um
grande número de situações, mas não uma lei exata, como a da conservação da carga.) A conser-
vação da carga se aplica a todos os sistemas, desde sistemas macroscópicos tais como uma haste
de plástico ou a pele de um animal, até sistemas de partículas subatômicas.
Carga elementar
A carga elétrica ocorre apenas em múltiplos inteiros de uma quantidade mínima.
Isso é expresso dizendo-se que a carga é quantizada. A menor unidade de carga
elétrica já observada é a carga do elétron, no valor de –1,602 ⋅ 10 –19^ C (como defi-
nido pela equação 1.3).
O fato de que a carga elétrica seja quantizada foi comprovado por meio de um
engenhoso experimento realizado, em 1910, pelo físico norte-americano Robert
A. Millikan (1868-1953), conhecido como o experimento de Millikan com gotas de
óleo (Figura 1.4). Neste experimento, gotas de óleo são borrifadas dentro de uma
câmera, onde elétrons são expulsos das gotas por algum tipo de radiação, geral-
mente raios X. As gotas resultantes, positivamente carregadas, ficam livres entre
duas placas contrariamente eletrizadas. Ajustando-se a carga das placas, detém-se
a queda das gotas, permitindo que suas cargas sejam medidas. O que Millikan ob-
servou foi que essas cargas eram discretas, e não contínuas. (No Capítulo 3 sobre
potencial elétrico, apresentaremos uma análise quantitativa desse experimento.)
Ou seja, o experimento e seus subsequentes aperfeiçoamentos revelaram que a
carga surge sempre apenas como múltiplos inteiros da carga de um elétron. Nas
experiências cotidianas com eletricidade não notamos a quantização da carga
porque a maioria dos fenômenos elétricos envolve enormes números de elétrons.
Sabemos que a matéria é composta por átomos, e que um átomo consiste em
um núcleo contendo prótons e nêutrons. O desenho esquemático de um átomo de
carbono é mostrado na Figura 1.5. Cada átomo de carbono contém seis prótons e
(geralmente) seis nêutrons em seu núcleo. Este núcleo está rodeado por seis elétrons.
Note que o desenho não está em escala. Em um átomo real, a distância entre os elé-
trons e o núcleo é muito maior (por um fator da ordem de 10.000) do que o tamanho
do núcleo. Além disso, os elétrons são mostrados movendo-se em órbitas circulares,
o que também não está completamente correto. Veremos que as posições dos elé-
trons em um átomo só podem ser caracterizadas por distribuições de probabilidade.
Como já foi mencionado, cada próton possui uma carga positiva de valor abso-
luto exatamente igual ao da carga negativa de um elétron. Em um átomo neutro, o
número de elétrons negativamente carregados é igual ao número de prótons positi-
vamente carregados. A massa de um elétron é muito menor do que a de um próton
ou de um nêutron. Portanto, a maior parte da massa de um átomo reside em seu
núcleo. Os elétrons podem ser removidos dos átomos com relativa facilidade. Por
essa razão, geralmente os elétrons são os portadores da eletricidade, mais do que
prótons ou núcleos atômicos.
O elétron é uma partícula fundamental e não possui uma subestrutura: é con-
siderado uma partícula puntiforme de raio nulo (pelo menos de acordo com a
compreensão atual que temos dele). Todavia, sondas de alta energia são usadas
para investigar o interior dos prótons. Um próton é composto por partículas car-
regadas denominadas quarks, mantidos juntos por partículas desprovidas de carga
elétrica chamadas de glúons. Os quarks possuem uma carga de ± ou ± vezes a
carga de um elétron. Essas partículas de carga elétrica fracionária não podem exis-
tir independentemente, e jamais foram observadas diretamente, a despeito das pesquisas mais
dispendiosas realizadas. Da mesma forma como a carga de um elétron, as cargas dos quarks são
propriedades intrínsecas dessas partículas elementares.
Um próton é constituído por dois quarks up (cada qual com carga de + e) e por um qua-
rk down (com carga igual a – e), dando ao próton uma carga qp = (2)(+ e) +(1)(– e) = +e,
como ilustrado na Figura 1.6a. O nêutron eletricamente neutro (daí seu nome!) é composto
Raio X
Gotas de óleo
Gotas de óleo ionizadas
Atomizador
Microscópio
Fonte de luz
V
Figura 1.4 Desenho esquemático do experimento de Millikan com gotas de óleo.
Nêutron Próton Elétron
Figura 1.5 Em um átomo de carbono, o núcleo con- tém seis nêutrons e seis prótons. O núcleo é cir- cundado por seis elétrons. Note que o desenho é apenas um esquema, e não está em escala.
Capítulo 1 Eletrostática 13
A estrutura eletrônica de um material se refere à maneira como seus elétrons são liga-
dos aos núcleos, o que discutiremos em capítulos posteriores. Por ora, estamos interessados
na capacidade relativa dos átomos a cederem ou a adquirirem elétrons. No caso de isolantes,
não ocorre qualquer movimento livre dos elétrons porque o material não dispõe de elétrons
fracamente ligados, capazes de escapar de seus átomos e, assim, mover-se livremente através
do material. Mesmo quando uma carga externa é depositada sobre o isolante, ela não pode se
mover apreciavelmente. Isolantes típicos são vidros, plásticos e tecidos.
Por outro lado, materiais que são condutores possuem uma estrutura eletrônica que permi-
te a alguns elétrons se moverem livremente. As cargas positivas dos átomos de um condutor não
se movem, pois elas ocorrem em núcleos relativamente pesados. Condutores sólidos típicos são
os metais. O cobre, por exemplo, é um condutor muito bom usado em fiações elétricas.
Fluidos e tecidos orgânicos também atuam como condutores. A água destilada pura não é
um condutor muito bom. Entretanto, dissolvendo-se sal comum de cozinha (NaCl) nela, por
exemplo, aumenta muito a sua condutividade, pois os íons de sódio carregados positivamente
(Na+) e os íons negativamente carregados de sódio (Cl –^ ) podem se movimentar no interior
da água, conduzindo eletricidade. Nos líquidos, diferentemente dos sólidos, tanto partículas
portadoras de carga positiva quanto de carga negativa se movem. O tecido orgânico não é um
condutor muito bom, porém conduz eletricidade suficientemente bem para que as correntes
produzidas sejam perigosas para nós. (Aprenderemos mais sobre correntes elétricas no Capítu-
lo 6, onde tais termos, que são de uso cotidiano, serão definidos precisamente.)
Semicondutores
Uma classe de materiais denominados semicondutores pode deixar de ser um isolante e passar
a ser um condutor e voltar a isolante. Os semicondutores foram descobertos somente há pouco
mais de 50 anos, mas constituem a espinha dorsal das indústrias de computadores e de apare-
lhos eletrônicos. O primeiro uso generalizado dos semicondutores foi nos transístores (Figura
1.7a); os chips dos computadores modernos (Figura 1.7b) realizam as tarefas de milhões de
transístores. Computadores e basicamente todos os produtos e dispositivos eletrônicos moder-
nos (televisores, câmeras, jogos de vídeo game, telefones celulares, etc.) não existiriam sem os
semicondutores. Gordon Moore, cofundador da Intel, mostrou que, devido aos avanços tecno-
lógicos, o poder de processamento das CPUs (do inglês, Central Processing Unit) de computa-
dores comuns dobra a cada 18 meses, que tem sido a média empírica ao longo das últimas
cinco décadas. Esse fenômeno de duplicação é conhecido como lei de Moore. Os físicos foram
e continuam sendo a força propulsora por trás desse processo de descobertas científicas, inven-
ção e aperfeiçoamento.
Os semicondutores são de dois tipos: intrínsecos e extrínsicos. Exemplos de semicondu-
tores intrínsecos são os cristais quimicamente puros de arseneto de gálio, de germânio e, es-
pecialmente, de silício. Os engenheiros produzem semicondutores extrínsecos por dopagem, a
adição de diminutas quantidades (normalmente de 1 parte em 10^6 ) de outros materiais capazes
de atuar como doadores ou receptores de elétrons. Semicondutores dopados com impurezas
doadoras de elétrons são denominados do tipo n (n para “portador de carga negativa”). Se a
substância dopante atua como um receptor de elétrons, o “buraco” deixado atrás por um elé-
tron que se liga ao receptor pode se movimentar pelo semicondutor, comportando-se como se
fosse, efetivamente, um portador de carga positiva. Consequentemente, tais semicondutores
são denominados do tipo p (p para “portador de carga positiva”). Assim, diferentemente dos
condutores sólidos normais em que apenas cargas negativas se movem, nos semicondutores
ocorre movimento de cargas negativas e de positivas também (que são, de fato, buracos deixa-
dos por elétrons, ou seja, elétrons faltantes).
Supercondutores
Supercondutores são materiais que apresentam resistência nula à condução da eletricidade,
em oposição aos condutores comuns, que o fazem bem, mas com alguma perda. Os materiais
são supercondutores somente a temperaturas extremamente baixas. Um típico supercondutor é
uma liga de nióbio-titânio que deve ser mantida à temperatura do hélio líquido (4,2 K) a fim de
reter suas propriedades supercondutoras. Nos últimos 20 anos, tem-se desenvolvido novos ma-
teriais chamados de supercondutores de alta temperatura Tc (Tc significa “temperatura crítica”, a
máxima temperatura que permite a supercondutividade). Eles são supercondutores à tempera-
tura do nitrogênio líquido (77,3 K). Materiais que se mantêm supercondutores à temperatura
(a)
(b) Figura 1.7 (a) Réplica do primeiro transístor, inventado em 1947 por John Bardeen, Walter H. Brattain e William B. Shockley. (b) Os chips dos computadores modernos são feitos como uma bolacha waffle de silício, contendo dezenas de milhões de transístores.
14 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
ambiente (300 K) não foram ainda encontrados, mas seriam de extrema utilidade. Pesquisas
direcionadas para o desenvolvimento desses materiais e teorias dos fenômenos físicos que cau-
sam a supercondutividade de alta temperatura Tc estão em andamento.
Os tópicos sobre condutividade, supercondutividade e semicondutores serão abordados
de um ponto de vista mais quantitativo nos capítulos seguintes.
1.4 Eletrização eletrostática
Fornecer uma carga elétrica a um objeto é um processo conhecido como eletrização eletrostá-
tica ou carregamento eletrostático. O carregamento eletrostático pode ser entendido por
meio de uma série de experimentos simples. Uma fonte de potência elétrica serve como fonte
das cargas positivas e negativas. A bateria de seu carro é uma fonte de energia parecida, que faz
uso de reações químicas para criar uma separação entre cargas positivas e negativas. Diversas
placas isoladas podem ser carregadas com cargas positivas e negativas da fonte de potência.
Além disso, é feita uma ligação condutora com a Terra. O planeta constitui um reservatório de
carga praticamente infinito, capaz de descarregar efetivamente qualquer objeto eletricamente
carregado em contato com ele. Este modo de escoar a carga é chamado de aterramento , e toda
ligação elétrica com o solo é chamada de “ terra ”.
Um eletroscópio é um instrumento que apresenta uma resposta observável ao ser eletriza-
do. Você pode construir um eletroscópio relativamente simples usando duas tiras de papel me-
tálico fino, fixadas uma à outra por uma das extremidades e suspensas juntas em um suporte
isolante de modo a ficar posicionadas verticalmente uma ao lado da outra. Papel-alumínio de
cozinha não é adequado, por ser fino demais, mas lojas especializadas vendem folhas metálicas
com a espessura adequada. Como suporte isolante, pode-se usar um copo de isopor para tomar
café virado de lado, por exemplo.
Um eletroscópio didático de qualidade mostrado na Figura 1.8 possui dois condutores que, na
posição neutra, se tocam na posição vertical. Um deles é móvel, preso ao outro por uma pequena
dobradiça em seu ponto médio, de modo que ele pode se afastar do outro condutor se uma carga
aparecer no eletroscópio. Os dois condutores se mantêm em contato com uma esfera condutora no
topo do instrumento, permitindo que a carga seja adquirida ou removida rapidamente.
Um eletroscópio descarregado é mostrado na Figura 1.9a. A fonte de potência é usada para
suprir de carga negativa uma das pás isolada. Quando uma placa carregada é aproximada da
esfera do eletroscópio, como ilustrado na Figura 1.9b, os elétrons da esfera condutora são re-
pelidos, o que produz um acúmulo de carga negativa sobre os condutores do eletroscópio. Essa
carga negativa faz o condutor móvel girar, pois o condutor fixo também está carregado com
carga de mesmo sinal e o repele. Se a placa não tocou a esfera, a carga do condutor móvel foi
induzida. Se a placa carregada por afastada, como ilustra a Figura 1.9c, a carga induzida será
reduzida a zero, e o condutor móvel do eletroscópio retornará à sua posição original, uma vez
que a carga total do eletroscópio não foi alterada no processo.
Se o mesmo processo for efetuado com uma placa positivamente carregada, os elétrons
dos condutores do eletroscópio serão atraídos pela placa e fluirão para a esfera condutora. Isso
deixará uma carga líquida positiva nos condutores, causando novamente a rotação do braço
condutor móvel. Note que a carga líquida do eletroscópio é nula em ambos os casos, e que o
Figura 1.8 Um eletroscópio comum usado em demonstrações didáticas.
A folha condutora presa por uma dobradiça do eletroscópio move-se do condutor fixo quan- do o eletroscópio absorve uma carga porque a) cargas de mesmo sinal se repelem.
b) cargas de mesmo sinal se atraem. c) cargas de sinais opostos se atraem. d) cargas de sinais opostos se repelem.
1.2 Exercícios
de sala de aula
Figura 1.9 Indução de carga: (a) Um eletroscópio descarregado. (b) Uma placa negativamente carregada aproxima-se do eletroscópio. (c) A placa negativamente é afastada do instrumento. (a)^ (b)^ (c)
^
16 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
ilustra a Figura 1.11b. Na Figura 1.11c, o eletroscópio é ligado ao solo. Então, enquanto a placa
carregada é mantida próxima à esfera do eletroscópio, mas sem tocá-la, a ligação com o solo
é removida na Figura 1.11d. Agora, quando a placa carregada for afastada do eletroscópio, na
Figura 1.11e, ele ainda estará positivamente carregado (mas com uma deflexão menor do que a
mostrada na Figura 1.11b). O mesmo processo também funciona com uma placa positivamen-
te carregada. Este processo é denominado eletrização ou carregamento por indução , e dá a
um eletroscópio uma carga de sinal oposto ao da carga da placa.
1.5 Força eletrostática – lei de Coulomb
A lei das cargas elétricas é evidente através da força entre quais-
quer duas cargas em repouso. Os experimentos mostram que a
força eletrostática exercida por uma carga q 2 sobre outra carga
q 1 , , apontará para q 2 se as cargas tiverem sinais opostos, e
em sentido oposto se seus sinais forem iguais (Figura 1.12). Essa
força sobre uma carga devido a outra tem sempre a direção da
linha que passa pelas duas cargas. A lei de Coulomb fornece o
módulo dessa força como
onde q 1 e q 2 são cargas elétricas, é a distância entre elas, e
é a constante eletrostática de Coulomb. Agora você pode verificar que um coulomb é uma carga
muito grande. Se duas cargas de 1 C estivessem cada uma a 1 m da outra, a intensidade da força
que cada uma exerceria sobre a outra seria de 8,99 bilhões de newtons. Para efeitos de compara-
ção, uma força dessa intensidade equivale ao peso de 450 ônibus espaciais completamente cheios!
A relação entre a constante eletrostática e outra constante chamada permissividade elé-
trica do vácuo , 0 , é
Consequentemente, o valor de 0 é
Uma maneira alternativa de escrever a equação 1.6 é, então,
Como você verá nos próximos capítulos, algumas equações da eletrostática são mais conve-
nientes de escrever com k, enquanto outras são escritas mais facilmente em termos de 1/(4 0 ).
Note que as cargas das equações 1.6 e 1.10 podem ser positivas ou negativas, de modo que
o produto das cargas também pode resultar positivo ou negativo. Como cargas de sinais opos-
tos se atraem, enquanto cargas de mesmos sinais se repelem, um valor negativo do produto q 1 q 2
significa atração, enquanto um valor positivo do mesmo significa repulsão.
Finalmente, a lei de Coulomb para a força sobre q 1 devido a q 2 pode ser escrita em forma
vetorial:
Nesta equação, é um vetor unitário que aponta de q 2 para q 1 (seja a Figura 1.13). O sinal
negativo indica que a força será repulsiva se ambas as cargas forem positivas ou ambas negati-
vas. Neste caso, apontará para fora da carga 2, como ilustrado na Figura 1.13a. Por outro
q 2 q 1
q 2 q 1
F 2 → 1
Sinal igual
(a)
F 2 → 1
Sinal oposto
(b)
Figura 1.12 A força exercida pela carga 2 na carga 1: (a) duas cargas com sinais iguais; (b) duas cargas com sinais opostos.
Você coloca duas cargas a uma distância r uma da outra. Depois você dobra o valor de cada carga e também a distância entre elas. De que maneira muda a força entre as duas cargas? a) A nova força será duas vezes maior. b) A nova força será duas vezes menor. c) A nova força será quatro ve- zes maior. d) A nova força será quatro ve- zes menor.
e) A nova força será igual à original.
1.3 Exercícios
de sala de aula
Capítulo 1 Eletrostática 17
lado, se uma das cargas for positiva e a outra negativa, então apontará para a carga 2, como
mostra a Figura 1.13b.
Se a carga 2 exerce uma força sobre a carga 1, então a força que a carga 1 exerce
sobre a carga 2 é obtida simplesmente da terceira lei de Newton:.
Princípio da superposição
Até aqui trabalhamos apenas com duas cargas. Agora vamos considerar três cargas puntifor-
mes, q 1 , q 2 e q 3 , nas posições x 1 , x 2 e x 3 , respectivamente, como mostrado na Figura 1.14. A força
exercida pela carga 1 sobre a carga 3, , é dada por
A força exercida pela carga 2 sobre a carga 3 é
A força que a carga 1 exerce sobre a carga 3 não é afetada pela presença da carga 2. E a força que
a carga 2 exerce sobre a carga 3 não é afetada pela presença da carga 1. Além disso, as forças
exercidas pela carga 1 e a carga 2 sobre a carga 3 se somam vetorialmente produzindo uma
força resultante sobre a carga 3:
Esta superposição de forças é completamente análoga àquela apresentada para forças como a
gravidade e o atrito.
Figura 1.13 Forças eletrostáticas vetoriais, que duas cargas exercem uma sobre a outra: (a) duas cargas de mesmo sinal; (b) duas cargas de sinais opostos.
(a) (b)
F 2 → 1
r 2 r 1
r 1
r 2
F 1 → 2
q 1
q 2 F 2 → 1
r 2 r 1
r 1
r 2
F 1 → 2
r ˆ 21 r ˆ 21 q 1
q 2
O que indicam as forças exerci- das sobre a carga q 3 da Figura 1.14 a respeito dos sinais das três cargas?
a) Todas devem ser positivas. b) Todas devem ser negativas. c) A carga q 3 deve ser nula. d) As cargas q 1 e q 2 devem ser de sinais opostos. e) As cargas q 1 e q 2 devem ser de mesmo sinal, e q 3 deve ter sinal oposto ao delas.
1.4 Exercícios de sala de aula
y
x
q 1
x 1
q 2
x 2
q 3
x 3
F 1 → 3
F 2 → 3
Figura 1.14 Forças exercidas pelas cargas 1 e 2 sobre a carga 3.
Considerando que os compri- mentos dos vetores da Figura 1.13 sejam proporcionais aos módulos das forças que eles representam, o que indicam eles acerca dos valores absolutos das cargas q 1 e q 2? ( Dica : a distância entre x 1 e x 2 é igual à distância entre x 2 e x 3 .) a) | q 1 | < | q 2 |. b) | q 1 | = | q 2 |.
c) | q 1 | > | q 2 |. d) A resposta não pode ser en- contrada a partir da informação fornecida na figura.
1.5 Exercícios de sala de aula
EXEMPLO 1.2 Força eletrostática no interior de um átomo
PROBLEMA 1 Qual é a intensidade da força eletrostática que dois prótons exercem um sobre o outro no interior do núcleo de um átomo de hélio? Continua →
Capítulo 1 Eletrostática 19
dele. Portanto, o ponto de equilíbrio (onde a soma das forças é nula) somente pode estar sobre o eixo x. Este eixo pode ser dividido em três segmentos diferentes: x ≤ x 1 = 0, x 1 < x < x 2 e x 2 ≤ x. Para x ≤ x 1 = 0, os vetores das forças exercidas por q 1 e q 2 sobre q 3 terão sentidos positivos se a carga for negativa, e sentido negativo se a carga for positiva. Uma vez que se trata de um ponto onde as duas forças se cancelam, o segmento x ≤ x 1 = 0 pode ser excluído. Um argumento semelhante exclui também o segmento x ≥ x 2. No segmento restante do eixo, x 1 < x < x 2 , as forças exercidas por q 1 e por q 2 sobre q 3 possuem sentidos opostos. Procuramos por uma posição, x 3 , onde os módulos de ambas as forças sejam iguais e a soma das forças, portanto, seja nula. Expressamos a igualdade dos módulos das forças como
que também podemos reescrever na forma
Agora vemos que o módulo e o sinal da terceira carga não têm importância, pois a carga é cance- lada no cálculo, da mesma forma que a constante k, resultando em
ou
(i)
Elevando ao quadrado os dois membros dessa equação e isolando x 3 , obtemos
ou
Podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação (i) porque x 1 < x 3 < x 2 e, assim, ambas as raízes, x 2 – x 3 e x 3 – x 1 , são consideradas positivas. Substituindo os valores numéricos fornecidos no enunciado do problema, obtemos
Este resultado faz sentido, pois esperamos que a posição de equilíbrio esteja mais próxima da carga menor.
d
y T
x
F g
F g
F e
F e
^
(^) T
Figura 1.16 (a) Duas bolas carregadas suspensas pelo teto, em suas posições de equilíbrio. (b) Diagra- ma de corpo livre para a bola carregada da esquerda.
PROBLEMA RESOLVIDO 1.1 Bolas carregadas
PROBLEMA Duas bolas carregadas idênticas estão suspensas pelo teto por cordas isolantes de mesmo comprimento, = 1,50 m (Figura 1.16). Uma carga q = 25,0 C é cedida a cada bola. Depois as duas são suspensas em repouso, com a corda de cada uma formando um ângulo de 25,0° com respeito à vertical (Figura 1.16a). Quanto vale a massa de cada bola?
SOLUÇÃO
P E N S E Existem três forças exercidas sobre cada bola carregada: a força da gravidade, a força eletrostática repulsiva e a tensão na corda de sustentação. Usando a primeira condi-
Continua →
20 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
ção para equilíbrio estático, sabemos que a soma de todas as forças sobre cada bola deve ser nula. Podemos então isolar as componentes das três forças e igualar sua soma a zero, o que nos permite obter a massa das bolas eletrizadas.
D E S E N H E O diagrama de corpo livre da bola esquerda é mostrado na Figura 1.16b.
P E S Q U I S E A condição de equilíbrio estático significa que a soma das componentes x das três forças exercidas sobre a bola devem somar-se resultando zero, o mesmo ocorrendo com a soma de suas compo- nentes y. A soma das componentes x das forças é
T sen – Fe = 0, (i) onde T representa o módulo da tensão da corda, é o ângulo formado pela corda em relação à vertical e Fe é o módulo da força eletrostática. A soma das componentes y das forças é
T cos – Fg = 0. (ii) A força da gravidade, Fg, é exatamente o peso da bola carregada:
Fg = mg, (iii) onde m é a massa da bola carregada. A força eletrostática que cada bola exerce sobre a outra é dada por
(iv)
onde d é a distância entre as duas bolas. Podemos expressar essa distância em função do compri- mento da corda, , examinando a Figura 1.16a. Verificamos que
Podemos então expressar a força eletrostática em termos do ângulo em relação à vertical, , e do comprimento da corda:
(v)
S I M P L I F I Q U E Dividindo a equação (i) pela equação (ii), obtemos:
Eliminando a tensão (desconhecida) da corda, chegamos a
Usando as equações (iii) e (v) para a força da gravidade e a força eletrostática, obtemos
Isolando a massa da bola, chegamos ao resultado
22 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
Impressoras a laser
Outro exemplo de aparelho que emprega forças eletrostáticas é a impressora a laser. Sua ope-
ração é ilustrada na Figura 1.19. O papel segue o caminho indicado pelas setas azuis. Ele é re-
tirado de uma cesta ou colocado manualmente em um mecanismo que o puxa alternadamente
para dentro da impressora. Ele passa sobre um tambor cilíndrico, onde a tinta é colocada sobre
a superfície do papel, e depois entre dois rolos aquecidos que derretem a tinta e a fixam perma-
nentemente no papel.
O tambor é um cilindro metálico recoberto com um material
especial foto-sensível; originalmente era usado o selênio amorfo,
que depois foi substituído por um material orgânico. A superfície
foto-sensível é um isolante que retém carga na ausência de luz, mas
que se descarrega facilmente se a luz incide em sua superfície. O tam-
bor gira de modo que a velocidade de sua superfície seja a mesma
do papel em movimento. O princípio básico de funcionamento do
tambor está ilustrado na Figura 1.20.
O tambor é negativamente carregado com elétrons por meio de
um fio mantido em alta voltagem. Então a luz do laser é direcionada
para sua superfície. Seja onde for que ela incida na superfície do tam-
bor, a superfície naquele ponto será descarregada. Um feixe de laser
é usado por ser estreito e manter-se focado. A imagem de uma linha
sendo impressa é escrita pixel a pixel (ponto ou elemento de imagem,
do inglês, Picture Element) usando-se um laser direcionado por um
espelho móvel e uma lente. Uma típica impressora a laser imprime
300 pixels por polegada, mas muitas delas são capazes de imprimir até
600 ou 1.200 pixels por polegada. A superfície do tambor passa então
por um rolo que lhe aplica tinta retirada de um cartucho de toner. O
toner consiste em pequenas partículas pretas e isolantes compostas
de um material parecido com plástico. O rolo de toner está carregado
sob a mesma voltagem negativa do tambor. Assim, seja onde for o
ponto da superfície do tambor que foi descarregado, forças eletrostá-
ticas depositarão toner sobre a superfície do tambor. Qualquer parte
dessa superfície que foi exposta ao laser não receberá toner.
Quando o tambor gira, inicia-se o contato com o papel. O toner, então, é transferido da
superfície do tambor para o papel. Algumas impressoras carregam o papel positivamente para
atrair o toner carregado negativamente. Quando o tambor gira, em preparação para a impres-
são da próxima imagem, qualquer toner restante é retirado e a superfície é neutralizada por
uma luz de apagamento ou por um tambor girante apagador. O papel então continua em di-
reção ao fundidor, que derrete o toner, produzindo uma imagem permanente sobre o papel.
Finalmente, o papel é expulso da impressora.
Laser
Espelho
Lente
Fio corona
Luz que apaga tinta
Tambor
Fundidor Bandeja de papéis
Entrada alternativa de papéis
Saída do papel
Saída alternativa de papel
Cartucho de tinta
Figura 1.19 Funcionamento de uma impressora a laser comum.
(a) (b)
Figura 1.20 (a) O tambor completamente carregado de uma im- pressora a laser. Este tambor produzirá uma folha em branco. (b) Um tambor sobre o qual uma linha de informação está sendo gra- vada por um laser. Sempre que o feixe incide no tambor carregado, a carga negativa é neutralizada, e a área descarregada atrairá a tinta, que produzirá uma imagem sobre o papel.
Capítulo 1 Eletrostática 23
1.6 A lei de Coulomb e a lei de Newton da gravitação
A lei de Coulomb, que descreve a força eletrostática entre duas cargas elétricas, Fe , tem uma
forma semelhante à lei de Newton que descreve a força gravitacional entre duas massas, Fg:
onde m 1 e m 2 são as duas massas, q 1 e q 2 são as duas cargas elétricas e r é a distância de separa-
ção. Ambas as forças variam com o inverso do quadrado da distância. A força elétrica pode ser
atrativa ou repulsiva porque as cargas podem ter sinais positivos ou negativos. (Veja as Figuras
1.13a e b). A força gravitacional é sempre atrativa porque existe apenas um tipo de massa. (Em
se tratando da força gravitacional, somente o caso ilustrado na Figura 1.13b é possível.) As in-
tensidades relativas da força são dadas pelas constantes de proporcionalidade k e G.
EXEMPLO 1.4 Forças entre elétrons
Vamos obter a intensidade relativa das duas interações calculando a razão entre as forças eletros- tática e gravitacional que dois elétrons exercem um sobre o outro. Essa razão é dada por
Uma vez que a dependência com a distância é igual para as duas forças, não existirá dependência com a distância na razão entre as duas – elas se cancelam. A massa de um elétron é me = 9, ⋅ 10 –31^ kg, e sua carga é qe = –1,602 ⋅ 10 –19^ C. Usando o valor da constante eletrostática dado na equação 1.7, k = 8,99 ⋅ 109 N m^2 /C^2 , e o valor da constante da gravitação universal, G = 6,67 ⋅ 10 – N m 2 /kg^2 , encontramos o valor
Portanto, a força eletrostática entre elétrons é mais intensa do que a força gravitacional entre eles por mais de 42 ordens de grandeza.
A despeito da pouca intensidade relativa da força gravitacional, a gravidade é a única força
que importa. A razão desta dominância é que todas as estrelas, planetas e outros objetos de
relevância astronômica não possuem carga elétrica líquida. Dessa maneira, não existe interação
eletrostática entre eles, e a gravidade domina.
A lei de Coulomb da eletrostática se aplica tanto a sistemas macroscópicos quanto ao áto-
mo, embora os efeitos sutis em sistemas atômicos e subatômicos requeiram o emprego de uma
abordagem mais sofisticada chamada de eletrodinâmica quântica. A lei de Newton da gravi-
tação é falha em sistemas subatômicos e também precisa ser modificada no caso de sistemas
astronômicos, como no caso do movimento de precessão da órbita de Mercúrio ao redor do
Sol. Esses detalhes finos da interação gravitacional são governados pela teoria de Einstein da
relatividade geral.
As semelhanças entre as interações gravitacionais e eletrostáticas serão discutidas mais nos
próximos dois capítulos, referentes a campos elétricos e ao potencial elétrico.
■ Existem dois tipos de carga elétrica, positivo e negativo. Car- gas de mesmo tipo se repelem, e cargas de tipos diferentes se atraem.
■ O quantum (quantidade elementar) de carga elétrica é e = 1,602 ⋅ 10 –19^ C.
■ O elétron tem carga qe = –e, e o próton, carga qp = +e. O nêu- tron não possui carga.
■ A carga líquida de um objeto é dada pelo produto de e pela diferença entre o número de prótons, Np, e o de elétrons, Ne , que o constituem: q = e · (Np – Ne).
O Q U E J Á A P R E N D E M O S | G U I A D E E S T U D O PA R A E X E R C Í C I O S
Capítulo 1 Eletrostática 25
q 1 m 1
q 2 m 2
m 2 F g sen
F e
m 2 g
d
y
x
(a)
(b)
Figura 1.21 (a) Duas contas eletri- zadas em um fio. (b) Diagrama de corpo livre das forças exercidas sobre a segunda conta.
SOLUÇÃO
P E N S E A força da gravidade que puxa a conta de massa m 2 para baixo ao longo do fio é compensada pela força eletrostática atrativa entre a carga positiva da primeira conta e a carga negativa da segunda conta. E esta se comporta como se deslizasse sobre um plano inclinado.
D E S E N H E Figura 1.21b mostra o diagrama de corpo livre das forças exercidas sobre a segunda conta. Defini- mos o sistema de coordenadas com o eixo x apontando fio abaixo. A força que o fio exerce sobre m 2 pode ser omitida porque ela possui apenas a componente y não nula, e podemos resolver o problema analisando apenas as componentes x das forças.
P E S Q U I S E A força eletrostática atrativa entre as duas contas equilibra a componente da força da gravidade que puxa a segunda conta fio abaixo. A força eletrostática atua segundo o sentido negativo do eixo x e seu módulo é dado por
(i)
A componente x da força da gravidade exercida sobre a segunda conta corresponde à componente do peso da segunda conta que é paralela ao fio. A Figura 1.21b indica que a componente do peso da segunda conta paralela ao fio é dada por
Fg = m 2 g sen . (ii)
S I M P L I F I Q U E Para haver equilíbrio, a força eletrostática e a força gravitacional devem ser de mesmo valor: Fe = Fg. Substituindo as expressões para essas forças, equações (i) e (ii), obtém-se
Isolando a massa da segunda conta, chega-se a
C A L C U L E Substituindo os valores numéricos fornecidos, obtemos
A R R E D O N D E Apresentamos nosso resultado com três algarismos significativos:
m 2 = 0,0611 kg = 61,1 g.
S O L U Ç Ã O A LT E R N AT I VA Como outra alternativa, vamos calcular a massa da segunda conta considerando que o fio seja vertical, logo, = 90°. Neste caso, podemos igualar o peso da segunda conta à força eletrostática entre as duas contas:
Continua →
26 Física para Universitários: Eletricidade e Magnetismo
Isolando a massa da segunda conta, obtemos
Quando o ângulo do fio com a horizontal diminui, a massa calculada da segunda conta diminui. Nosso resultado de 0,0611 kg é um pouco maior do que a massa que pode ser sustentada por um fio vertical, o que é plausível.
Três cargas são dispostas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura. Qual é a orien- tação da força eletrostática exercida sobre a carga do vérti- ce inferior direito? q
q q a) b) c) d) e) nenhuma força
1.9 Exercícios
de sala de aula
Quatro cargas são dispostas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura. Qual é a orientação da força eletrostática exercida sobre a carga do vérti- ce inferior direito? 2 q q
q q a) b) c) d) e) nenhuma força
1.10 Exercícios
de sala de aula
PROBLEMA RESOLVIDO 1.3 Quatro objetos carregados
Considere quatro cargas localizadas nos vértices de um quadrado de lado igual a 1,25 m, como mostrado na Figura 1.22a.
PROBLEMA Qual é o módulo e a orientação da força eletrostática sobre q 4 resultante das outras três cargas?
y
x
q 1 1,50 C q 4 4,50 C 1,25 m
1,25 m
q 2 2,50 C q 3 3,50 C q^2 q^3
q 1 q 4
F 2 → 4
F 1 → 4
F 3 → 4
(a) (b) Figura 1.22 (a) Quatro cargas localizadas nos vértices de um quadrado. (b) As forças exercidas sobre q 4 pelas outras três cargas.
SOLUÇÃO P E N S E A força eletrostática sobre q 4 é o vetor soma das forças decorrentes de sua interação com as outras três cargas. Assim, é importante que se evite simplificar somando as intensidades individuais das forças algebricamente. Em vez disso, devemos determinar as componentes das forças individuais em cada direção espacial e somá-los a fim de encontrar as componentes do vetor força resultante.
D E S E N H E A Figura 1.22b mostra as quatro cargas em um sistema de coordenadas xy com origem na posição de q 2.
P E S Q U I S E A força resultante sobre q 4 é a soma vetorial das forças , e. As componentes x de soma das forças é
(i)
onde d é o comprimento do lado do quadrado e, como indica a Figura 1.22b, a componente x de é nulo. A componente y da soma das forças é
(ii)
