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DIVERGÊNCIA DO FLUXO
ELÉTRICO E TEOREMA DA
3 DIVERGÊNCIA
3.1 - A LEI DE GAUSS APLICADA A UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUME
Vimos que a Lei de Gauss permite estudar o comportamento do campo elétrico devido a certas
distribuições especiais de carga. Entretanto, para ser utilizada, a Lei de Gauss exige que a
simetria do problema seja conhecida, de forma a resultar que a componente normal do vetor
densidade de fluxo elétrico em qualquer ponto da superfície gaussiana seja ou constante ou nula.
Neste capítulo pretendemos considerar a aplicação da Lei de Gauss a problemas que não possuem
simetria. Suponhamos um volume incremental ∆v extremamente pequeno, porém finito e envolto por
uma superfície fechada S. Se assumirmos uma densidade de carga uniforme neste incremento de
volume, a carga ∆Q será o produto da densidade volumétrica de carga ρ pelo volume ∆v. Pela Lei de
Gauss, podemos escrever:
D dS v
S
⋅ =ρ ∆
r r (3.1)
Dx + (∂Dx/∂x)∆x
∆y
∆x
∆z
Dx
Dz
Dy Dy + (∂Dy/∂y)∆y
Dz + (∂Dz/∂z)∆z
P
x
y
z
Fig. 3.1 - Volume incremental em torno do ponto P.
Vamos agora desenvolver a integral de superfície da equação acima, sobre uma superfície gaussiana
elementar que engloba o volume ∆v. Este volume está representado na figura 3.1, e é formado pelas
superfícies incrementais ∆x.∆y, ∆y.∆z, e ∆z.∆x.
Considere um ponto P(x, y, z) envolvido pela superfície gaussiana formada pelas superfícies
incrementais. A expressão para a densidade de fluxo elétrico
r D no ponto P‚ em coordenadas
cartesianas será dada por:
D =Dx 0 .aˆx+Dy 0 .aˆy+Dz 0 .aˆ z
r (3.2)
A integral sobre a superfície fechada é dividida em seis integrais, uma sobre cada lado do volume ∆v.
frente atrás esq. dir. topo base S
D dS
r r (3.3)
Para a primeira delas, na parte da frente, temos:
D (^) frente Sfrente Dfrente. y. zaˆx Dx. y. z frente
r r r (3.4)
(Dx é a componente de
r D normal ao plano yz).
Aproximando o resultado Dx.∆y.∆z pelos dois primeiros termos da expansão em série de Taylor em
torno de Dx0 no ponto P vem:
(D y z ) 2 x
x D (^) x y z Dx 0 y z x∆∆ ∂
Neste caso, como ∆y e ∆z são independentes em relação a x :
.y. z ∂x
∂ D
x D
x frente x^0 ⎟∆ ∆ ⎠
Consideremos agora a integral na superfície da parte de trás, ∫ :
atrás
( ) ⎥ ⎦
(D y z) 2 x
x D (^) atrás Satrás Datrás y z aˆx Dx 0 y z x
atrás
r r r (3.7)
Nesta face o vetor unitário âx em ∆s tem direção negativa. Da mesma forma, considerando a
independência de ∆y e ∆z em relação a x , temos:
y. z x
D
x D
x x 0 atrás
∫
(3.8)
Combinando as duas integrais ao longo do eixo x :
. x. y. z ∂x
∂ D (^) x
frente atrás
∫ +^ ∫ ≅ ∆ ∆ ∆ (3.9)
Utilizando o mesmo raciocínio para as outras faces, as integrais restantes ficam:
. x. y. z ∂y
∂ D (^) y
dir. esq.
∫ +^ ∫ ≅ ∆ ∆ ∆ (3.10)
. x. y. z ∂z
∂ D (^) z
∫topo +^ ∫base ≅ ∆ ∆ ∆ (3.11)
Assim a equação (3.3) fica:
v z
D
y
D
x
D
D dS
x y z
S
r r (3.12)
A expressão acima diz que o fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada muito pequena é
igual ao produto entre o volume compreendido por essa superfície e a soma das derivadas parciais
das componentes do vetor Dem relação às suas próprias direções.
r
Igualando-se as equações 3.1 e 3.12, e em seguida dividindo todos os termos por ∆v , tem-se:
∂ z
∂ D
∂ y
∂ D
∂ x
∂ D
D
x y z ∇ ⋅ = + +
r (3.19)
ou ainda por (3.16):
∇ ⋅D= ρ
r (3.20)
opera
O operador ∇ não é utilizado somente em operações de divergência, mas também em outras
ções vetoriais. Ele é definido somente em coordenadas cartesianas. A princípio, a expressão
D
r ∇ ⋅ serviria apenas para se calcular as derivadas parciais do divergent e do vetor
r D em
coordenadas cartesianas. Entretanto, num abuso de linguagem, a expressão D
r ∇ ⋅ como sendo a
divergência do vetor densidade de fluxo elétrico é consagrada e pode ser utilizada mesmo quando o
etor é definido em outros sistemas de referência (ou coordenadas).
m coordenadas cilíndricas:
v
E
( )
z
D D
r
r
rD
r
D
r z
∂
∂φ
φ
r (3.21)
Em coordenadas esféricas:
( ) ( ) θ φ
θ + θ θ
φ θ ∂
∂ D
rsen
Dsen ∂
rsen
rD ∂r
r
D (^) r
2 2
r (3.22)
r, porém, que ∇ não possui uma forma especifica para estes tipos de
istemas de coordenadas.
s associar a divergência à Lei de Gauss, para obter o teorema da divergência.
embrando que:
Entretanto, deve-se lembra
s
Finalmente, vamo
L
⋅ = ρ S vol
D dS .dv
r r
e
∇ ⋅D= ρ
r
podemos escrever:
( )
S vol
D dS Ddv
r r r (3.23)
l à integral da divergência deste campo através do volume envolvido por
ssa superfície fechada.
será igual à soma do fluxo liquido sobre a superfície
chada que envolve o volume em questão.
A equação 3.23 é o Teorema da Divergência ou teorema de Gauss (para diferenciar da Lei de
Gauss). Estabelece que a integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma
superfície fechada é igua
e
Uma maneira simples de se entender fisicamente o teorema da divergência é através da figura 3.2.
Um volume v, delimitado por uma superfície fechada S é subdividido em pequenos volumes
incrementais, ou células. O fluxo que diverge de cada célula converge para as células vizinhas, a não
ser que a célula possua um de seus lados sobre a superfície fechada S. Então a soma da divergência
da densidade de fluxo de todas as células
fe
Fig. 3.2 - Volume v subdividido em
volumes incrementais
Exemplo 3.
Calcular os dois lados do teorema da divergência, para uma densidade de fluxo elétrico
y
2 x
2 D =xy .aˆ +yx .aˆ
r , em um cubo de arestas igual a 2 unidades.
Solução:
Vamos colocar a origem do sistema de
coordenadas cartesianas em um dos vértices.
O vetor possui componentes nas direções x e
y. Portanto, a princípio, a integral de superfície
deve ser calculada sobre 4 lados do cubo:
D
r
∫ D.^ dS=^ ∫frente +∫atrás +∫esq. +∫dir
r r
∫ = ∫ ∫^ =
2 0
2 0 x x
2 frente 3
2 .y .a dy.dz.a
∫ = ∫ ∫^ − =
2 0
2 0 x x
2 atrás
0 .y.a .dy.dz.( a ) 0
∫ = ∫ ∫^ − =
2 0
2 0 y y
2 esq.
0 .x.a .dx.dz.( a ) 0
∫ = ∫ ∫^ =
2 0
2 0 y y
2 dir. 3
2 .x.a.dx.dz.a
∫ D.^ dS=
r r
Para o outro lado, a divergência do campo fica:
z
D
y
D
x
D
D
x y z
∂
r
2 2 ∇. D =x +y
r
O outro lado da equação, numa integração de
volume passa a ser escrito:
( ) ( )
2
0
2
0
2
0
2 2
vol
Ddv x y dx.dy.dz
r
( ) ( )
2
0
2
0
2 2
vol
Ddv 2 x y dy.dx
r
( ) (^) ⎟ ⎠
2
0
2
0
2 2
vol
Ddv 4 xdx ydy
r
( )
vol (^3)
Ddv
r
Este capítulo apresenta uma generalização da lei de Gauss, aplicada pontualmente a volumes
elementares com o recurso de um operador vetorial sobre a densidade de fluxo originado pelo campo
elétrico proveniente de uma distribuição volumétrica de cargas.
A equação (3.16),ou a (3.20) escrita de outra forma, nos mostra um fluxo divergente do vetor
densidade de fluxo elétrico originado de uma carga elementar, de natureza positiva, indicada pela sua
densidade volumétrica.
Genericamente, se o divergente de um campo vetorial for positivo, este indica a presença de uma
fonte de fluxos divergentes do ponto dado. O divergente negativo, por sua vez, indica a presença de
um sorvedouro ou de uma fonte de fluxos convergentes ao ponto. Não havendo fonte geradora de
fluxos o divergente do campo no ponto correspondente será nulo.
- Dipolo Elétrico, ou simplesmente dipolo, é o nome dado ao conjunto de duas cargas pontuais
de igual magnitude e sinais opostos, separadas por uma distância pequena comparada com
a distância ao ponto P onde se deseja conhecer o campo elétrico. O ponto P descrito em
coordenadas esféricas (figura abaixo), por r, θ e φ = 90 graus é visto em simetria azimutal. As
cargas positivas e negativas estão separadas por d, e localizadas em (0,0,d/2) m e (0,0,-d/2).
Se o campo no ponto P é (^2 cosθ.aˆ senθ.aˆ ) 4 πεr
Qd E (^) r θ 3 0
r , mostre que a divergência deste
campo é nula.
y
x
P
r
R 1
R 2
Q
θ
d
Figura para o problema 13
