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2.1 - A LEI DE GAUSS
FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
Esta lei é regida por princípios muito simples e de fácil entendimento. O conceito geral de fluxo como sendo o escoamento de um campo vetorial que atravessa uma secção qualquer, pode ser estendido para explicar o campo elétrico.
Conceito O fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga total envolvida por essa superfície (Lei de Gauss)
O trabalho de Gauss consistiu na formulação matemática do enunciado acima, que já era conhecido e entendido como óbvio. Em outras palavras, o fluxo total de qualquer escoamento é emanado por uma fonte envolvida por uma superfície fechada, não importando sua forma geométrica. Gostaríamos apenas de frisar aqui que a superfície tem que ser fechada para que possa envolver toda a fonte e se deixe atravessar pelo fluxo total resultante.
Eletricamente, imagine uma distribuição de cargas envolvida por uma superfície fechada S (figura 2.1).
y
∆S
θ
D Q Figura 2.1 Distribuição de cargas no interior de uma superfície gaussiana.
x
Vamos agora tomar um incremento vetorial de superfície ∆
r S admitido como plana. Este vetor terá uma orientação no espaço, perpendicular ao plano que tangencia a superfície S neste ponto (centro
de ∆
r S ) apontando para fora da superfície fechada. A densidade de fluxo que atravessará a superfície
elementar ∆
r S é dada pelo vetor
r D (^) s genericamente formando um ângulo θ com ∆
r S em cada ponto
da superfície fechada em questão.
O fluxo elementar que atravessa ∆
r S será então:
∆φ = ∆ = ∆
r r D (^) s. S D (^) s S cosθ ( C) (2.1)
∆φ é uma grandeza (escalar), resultante do produto escalar entre os vetores
r D (^) s e ∆
r S.
Nestas condições, o fluxo total que atravessa a superfície fechada S será então:
φ = ∫ dφ =∫D sdS C
s
r r
. ( ) (2.2)
A integral resultante é realizada sobre uma superfície fechada (daí o símbolo ∫S ), fruto de uma
integral dupla. Esta superfície é freqüentemente chamada de superfície gaussiana.
Assim, a Lei de Gauss é então matematicamente formulada como:
r r D (^) sdS Q C s
∫.^ =^ ( )^ (2.3)
A carga envolvida pode ser de qualquer tipo: cargas pontuais discretas, linhas de cargas, distribuição superficial de cargas ou uma distribuição volumétrica de cargas. Desta forma, a Lei de Gauss pode ser generalizada em termos de cargas em distribuições uniformes respectivamente volumétricas, superficiais ou lineares, conforme abaixo:
D.dS dv(C )
D.dS dv(C)
D.dS dv(C)
s s L L
s s S S
s s v v
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
r r
r r
r r
A integral realizada sobre o lado esquerdo da equação pode ter um domínio diferente daquela realizada sobre o lado direito. Daí ressaltarmos na expressão intermediária o domínio S da superfície
fechada daquele S contendo a carga superficial.
Exemplo 2. Calcular o fluxo que atravessa a superfície de uma esfera de raio a metros, produzido por uma carga elétrica Q coulombs, concentrada no centro dessa esfera.
Solução:
Sabemos que na superfície de uma esfera de raio a , a densidade de fluxo elétrico é:
r D
Q
a s =^ a^ r C^ m 4 2
2 π
O elemento diferencial de área, conforme Fig. 2.2., em coordenadas esféricas é:
dS =r^2 senθdφdθ=a^2 senθdφd θ
Figura 2.2 Elemento diferencial de área
O produto escalar D s S
r r
⋅ ∆ é então dado por:
( ) θ φθ
sendd
Q
.aˆ a sendd.aˆ
4 a
Q
r
2 2 r
Os limites de integração foram escolhidos de modo que a integração seja realizada sobre a superfície uma única vez.
A integral de superfície será:
π π θθφ (^0) π
2 0
sen dd 4
Q
Integrando primeiro em relação a φ e em seguida em relação a θ
( cos ) Q(C ) 2
Q
sen d 2
Q
0 0
θθ= − θ =
π
π
Ficando pois comprovado que:
r r D (^) sdS Q C s
∫.^ =^ ( )
Exemplo 2. Calcular o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície esférica, de centro na origem, possuindo raio r = 10 m, sendo que a distribuição de carga é composta por uma linha de cargas ao longo do eixo z, definida por ρl = 2e2|z|^ C/m na região – 2 ≤ z ≤ 2 m e ρl = 0 no restante.
Solução:
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 13
Exemplo 2. Encontrar a expressão para o campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de cargas.
Solução:
Da discussão do capítulo anterior, o campo elétrico produzido por uma distribuição superficial e plana de cargas terá a direção da normal à superfície, no ponto onde se deseja calcular o campo elétrico. A superfície gaussiana utilizada será um pequeno cilindro, de altura h e área de base ∆S. Uma das metades da superfície cilíndrica
(curva) estará acima da superfície carregada e a outra metade abaixo dela. Aplicando então a Lei de Gauss:
Q D dS dS D dS D dS lado topo base
r r
. 0
ρs ∆S = D ∆S +D ∆S
D = s ρ 2
n
S aˆ
D =
r
; (^) n 0
S aˆ
E =
r
Por este exemplo chegamos à conclusão (em princípio absurda) de que o campo elétrico em um ponto, provocado por uma distribuição superficial de cargas, não depende da distância entre o ponto e a superfície. Não se esqueça de que este raciocínio foi feito para uma distribuição infinita de cargas, que não existe na prática. Uma distribuição superficial finita de cargas pode ser considerada como infinita se a distância do ponto de interesse à distribuição superficial de cargas for muito pequena, comparada com as dimensões da mesma. Para pontos mais distantes, a distribuição não exibe simetria especular e não pode ser considerada infinita, o que invalida a expressão acima.
Exemplo 2. Dois condutores cilíndricos coaxiais, para efeitos práticos são considerados como sendo infinitos. O interno é maciço, de raio a. O cilindro externo, oco, possui raio interno b e raio externo c. Uma carga de densidade superficial ρs (C/m^2 ) é colocada na superfície do condutor interno. Avaliar o campo
elétrico em todo o espaço, a partir do centro dos cilindros (r = 0) até o exterior onde r > c.
Solução:
Quatro superfícies gaussianas cilíndricas concêntricas de comprimento L são traçadas e as fronteiras entre elas serão por enquanto ignoradas. A primeira delas S1 possui um raio r < a. Portanto:
Q DdS 0
S 1
= (^) ∫ ⋅ =
r r
Como a carga está distribuída na superfície
onde r = a, E
r
= 0 no interior do cilindro interno.
S 2
S 3
S
a
c
b
E
Figura 2.5 Superfícies gaussianas em um cabo coaxial
r S
r D
r S
r D
Figura 2.4 Superfície gaussiana para uma distribuição superficial de cargas.
S
A segunda superfície gaussiana S2 possui um raio a < r < b.
∫ ⋅ = ∫ρ S(a )
S(a) S 2
D dS dS
r r
A primeira integral é calculada sobre a superfície gaussiana de raio r e a segunda sobre a superfície do condutor interno com raio a. Seguindo os exemplos anteriores, observamos que a densidade de fluxo possui o seu módulo constante em função da distância radial r. Portanto para ρS(a) = ρS vem:
D rd dz (^) s ad dz
L L φ ρ φ
π π 0
2 0
2
D 2 πrL =ρs 2 πaL
A carga total envolvida por S2 e a densidade de fluxo nesta superfície fechada são respectivamente:
Q = 2 πaLρ S
D
a r
= ρs (C / m^2 )
Se a carga for expressa por unidade de comprimento, sua densidade linear ficará:
l L^2 a s
Q
A correspondente densidade de fluxo será
(C/m )
r 2 r
a
2 a
D l l^2
E o campo elétrico será expresso por
r r E
D
r
= = l^ a (^) r N C ε
ρ 0 2 πε^0
. $^ ( / )
semelhante à expressão obtida para uma linha infinita eletricamente carregada.
A terceira superfície gaussiana S3 é um cilindro com raio r, tal que b < r < c. A carga interna ρs induz uma carga oposta de igual
magnitude na superfície interna do condutor externo de raio b, e a carga total envolvida por esta superfície gaussiana é nula.
Portanto:
D dS 0
S 3
∫ ⋅^ =
r r
O campo elétrico no interior do cilindro externo também é nulo.
A quarta superfície gaussiana S4 é um cilindro maior de raio r > c. A carga induzida na superfície interna do condutor externo por sua vez induz uma carga oposta a ela de mesma magnitude na superfície externa do condutor externo, com raio c. Portanto:
D dS Q
S 4
∫ ⋅^ =
r r
∫ ⋅ = ∫ρ S(c )
S(c) S 4
D dS dS
r r
D 2 πrL=ρS( c) 2 π cL
(C/m )
r
c
D =ρS(c)^2
Como as cargas induzidas são iguais:
ρS( a) 2 πaL=ρS(b) 2 π bL
ρS( c) 2 πcL=ρS(b) 2 π bL
onde
ρS( c)c =ρS(b)b=ρS(a) a
Embora as cargas sejam iguais em intensidade, as densidades superficiais não o são.
Desta forma
(C/m )
r 2 r
a
D ext S(a) l^2
Aplicando a relação constitutiva teremos o campo elétrico externo dado por
r
r E
D
r ext =^ ext^ = l^ a^ r N^ C ε
ρ 0 2 πε^0
Esta é a mesma expressão para o campo produzido pelo condutor interno.
O condutor externo não exerce influência sobre o campo elétrico produzido pela distribuição de cargas do condutor interno.
EXERCÍCIOS
Determine o fluxo através de uma superfície S envolvendo as cargas pontuais Q1 = 30 nC, Q2 = 140 nC e Q3 = ─ 70 nC.
Uma superfície gaussiana qualquer envolve duas cargas iguais em módulo e polaridades opostas. Há fluxo atravessando-a? Determine este fluxo em caso afirmativo.
O eixo x contém uma distribuição linear uniforme de carga ρL = 50 nC/m. Qual o fluxo elétrico por unidade de comprimento que passa através de uma fita definida pelo plano z = 3 m limitado por y = ± 2 m?
Generalize para o problema anterior o caso de uma fita plana, paralela à linha carregada, mas que não possui simetria em relação a ela.
Dado o vetor densidade de fluxo ou deslocamento elétrico D = 2 xaˆx + 3 aˆy
r (C/m^2 ), calcule o fluxo total que atravessa um cubo de arestas com 2 m, centrado na origem de um sistema cartesiano tri-ortogonal e com as arestas paralelas aos eixos das coordenadas.
- O eixo z de um sistema coordenado contém uma distribuição uniforme de cargas, com
densidade ρ l = 50 nC/m. Calcule o campo Elétrico
r E em (10,10,25) m, expressando-o em coordenadas cartesianas e cilíndricas.
7) Existem duas configurações lineares de carga, com densidades iguais, ρ l = 6 nC/m, paralelas
ao eixo z , localizadas em x = 0 m , y = ±6 m. Determine o campo elétrico
r Eem (–4,0,z) m.
Uma superfície fechada S envolve uma distribuição linear finita de cargas definida pelo intervalo 0 ≤ L ≤ π m, com densidade de cargas ρl = – ρ 0 sen (L/2) C/m. Qual é o fluxo total que atravessa a superfície S?
Na origem de um sistema de coordenadas esféricas existe uma carga pontual Q C. Sobre uma casca esférica de raio a uma carga (Q'- Q) C está uniformemente distribuída. Qual é o fluxo elétrico que atravessa a superfície esférica de raio k m, para k < a e k > a?
Uma área de 40,2 m^2 sobre a superfície de uma carga esférica de raio 4 m é atravessada por um fluxo de 15 μC de dentro para fora. Quanto vale a carga pontual localizada na origem do sistema relacionado a tal configuração esférica?
Uma carga pontual Q = 6 nC está localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Quanto vale o fluxo Ψ que atravessa a porção do plano z = 6 m limitada pelo intervalo –6 ≤ y ≤ 6 m; –6 ≤ x ≤ 6 m?
Dado que
r D e a z b
a C m
r b = (^) r − z
− 30 2 ( / 2 ) em coordenadas cilíndricas, calcule o fluxo total que
sai da superfície de um cilindro circular reto descrito por r = 2b m, z = 0, z = 5b m.
- Na origem de um sistema de coordenadas esféricas existe uma carga pontual Q = 1500 pC. Uma distribuição esférica concêntrica de cargas elétricas de raio r = 2 m tem uma densidade ρs = 50π pC/m^2. Qual a densidade de cargas de outra superfície esférica, com r = 3 m, concêntrica com o sistema, para resultar D = 0 em r > 3 m?
Um capacitor de placas paralelas, tendo o ar como dielétrico e permissividade ε 0 , contém uma distribuição superficial de carga ρS C/m^2 na armadura positiva. Por indução, existe uma carga de mesma distribuição e polaridade oposta na armadura negativa. Desprezando o efeito de borda (espraiamento do campo elétrico), use a lei de Gauss para calcular o campo E para a região entre as placas e fora delas.
Uma película infinita com densidade uniforme ρ s = (10-9/6π) C/m^2 está localizada no plano
definido por z = – 5 m. Outra película com densidade ρ s = (–10-9/6π) C/m^2 está localizada
em outro plano z = 5 m. Calcule a densidade linear uniforme, ρ l , necessária para produzir o
mesmo valor de
r
E em (5,3,3) m, supondo que esta última se localize em z = 0, y = 3?
- Certa configuração engloba as seguintes duas distribuições uniformes. Uma película
carregada com ρ s = -60 nC/m^2 , uniforme, em y = 3 m, e uma reta uniformemente carregada
com ρ l = 0,5 μC/m, situada em z = –3 m, y = 2 m. Aonde o campo
r
E será nulo?
- Tem-se a seguinte distribuição volumétrica de cargas: – 2 μC/m^3 onde –2 < y < –1 m, 2 μC/m^3 para 1 < y < 2 m e ρ = 0 para todo o restante. Use a lei de Gauss para determinar D em todo o espaço. Esboce o gráfico Dy vs. y.
