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TRABALHO E POTENCIAL
ELETROSTÁTICO
Nos capítulos anteriores nós investigamos o campo elétrico devido a diversas configurações de
cargas (pontuais, distribuição linear, superfície de cargas e distribuição volumétrica de cargas), a
partir da Lei de Coulomb , da Lei de Gauss e seu conseqüente Teorema da Divergência. No
primeiro caso, as expressões para o vetor intensidade de campo elétrico eram obtidas à custa de
integrações que, conforme a complexidade do problema, poderiam se tornar bastante complicadas.
Já a Lei de Gauss, mais simples de ser utilizada, requer o conhecimento da simetria do problema.
Nos casos em que isso não acontecia, a solução pela Lei de Coulomb ainda seria a mais
recomendável. Ainda quando a simetria não podia ser atendida, o Teorema da Divergência era
aplicado pontualmente, numa extensão da Lei de Gauss aplicada a todo um volume envolto por uma
superfície fechada.
Vamos agora procurar outra maneira de se resolver problemas de eletrostática, dessa vez a partir de
uma função escalar, conhecida como potencial eletrostático, ou campo potencial.
4.1 - TRABALHO ENVOLVIDO NO MOVIMENTO DE UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO
ELÉTRICO
Imagine um campo elétrico devido à presença de uma configuração de cargas qualquer (cargas
pontuais, linhas superfícies ou volumes carregados) onde uma carga pontual de prova Q é colocada.
Sobre essa carga pontual estará agindo uma força de origem eletrostática, dada por:
F QE(N )
e
r r
Se esta carga for deixada em um ponto desta região de campo elétrico ela será acelerada e se
deslocará até uma distância infinita, onde a ação da força agente sobre ela não se faça mais sentir.
Se quisermos mover essa carga contra a ação do campo elétrico, temos de exercer uma força
mínima de intensidade igual àquela exercida pelo campo elétrico, mas com direção oposta, isto é, na
direção do movimento. Isso exige o dispêndio de energia, ou seja, a realização de um trabalho
(resistente) pela força externa aplicada na carga. Se o movimento desta carga se dá no sentido do
campo elétrico, o dispêndio de energia é negativo, ou seja, a fonte externa não realiza trabalho; este
é realizado pelo campo elétrico.
Vamos supor agora o movimento da carga Q de uma distância elementar dL
r
no campo elétrico
r
uniforme, conforme pode ser mostrado pela figura 4.1. O gasto desta energia incremental dW será
expresso pelo produto escalar da força aplicada
E
e
F F
r r
= − pela distância: Assim,
dW QE d L
r r
F
e
F
Q
E
Figura. 4.1 Carga Q em um campo elétrico E.
Como uma conseqüência e pela equação acima, podemos perceber facilmente que se desejarmos
mover a carga perpendicularmente ao campo elétrico, o trabalho realizado será nulo.
Considerando uma trajetória finita, o trabalho realizado pela força externa para mover uma carga
pontual Q imersa num campo elétrico E
r
é dado pela integral:
W Q E.dL(J )
final
inic.
r r
(4.3)
Exemplo 4.
Dado o campo elétrico
x y z
2
E = 3 x .aˆ + 2 z.aˆ + 2 y.aˆ
r
(N/C), determine o trabalho realizado para se mover
uma carga de 20 μC ao longo de um percurso incremental 10
m de comprimento, na direção de
localizado no ponto (2, –2, –5) m.
x y z
a
a 0 , 64.
a 0 , 48.
Solução:
No ponto (2, –2, –5)
E 12 .aˆ 10 .aˆ 4 .aˆ (N/C )
a
ˆ a 2 .( 2 ).
ˆ a 2 .( 5 ).
ˆ E 3 .( 2 ).
x y z
x y z
2
= − −
= + − + −
r
r
Para dW qEdL
r v
= − ⋅ vem:
Como a 1
a 0 , 64.
a 0 , 48.
x y z
10 ( 0 , 6 .aˆ 0. 48 .aˆ 0 , 64 .aˆ )
a )
a 4.
a 10.
dW 20. 10 .( 12.
x y z
4
x y z
6
−
−
dW 2 x 10 .( 7 , 2 4 , 8 2 , 56 ) 18 , 88 nJ
9
−
4.2 - INTEGRAL DE LINHA
Na análise vetorial, uma integral de linha é definida como sendo a integral do produto escalar de um
campo vetorial por um vetor deslocamento diferencial dL
r
ao longo de um caminho determinado,
como é o caso da equação 4.3 expresso na seção anterior.
Para entender melhor esse conceito, imagine que queiramos calcular o trabalho para mover uma
carga Q em um campo elétrico E
v
‚ partindo do ponto B e se dirigindo ao ponto A, percorrendo uma
trajetória determinada na figura 4.2.
A
∆L
4
E
L
∆L E
3
E
L
∆L
2
E
E
L
∆L
1
E
E
L
E
B
Figura 4.2 Carga pontual Q movendo-se de B até A por um caminho estabelecido.
O caminho é então segmentado por inúmeros comprimentos elementares retilíneos L
r
∆. A
componente do campo elétrico ao longo de cada segmento incremental é multiplicada pelo tamanho
deste segmento, e os resultados para todos os segmentos são somados. Obviamente isso é um
somatório. A integral é obtida quando o comprimento de cada segmento tender a zero.
) 6 x 10 (J )
z
W 10 ( 2 z)dz 10 ( 2 z
5
2
5
2
0
5
2
0
− − −
Para o trajeto 2: W = W 1
a ) Qydy 10 ydy
a .dy
dW Q( y
5
1 y y
−
2 x 10 (J )
y
W 10 ydy 10
5
2
5
0
2
5
1
2
0
− − −
dW Q( 2 z.aˆ.dz.aˆ) Q 2 zdz 10 2 zdz
5
2 z z
−
− − −
2
0
5
2
5 5
2
4 x 10
z
W 10 2 zdz 2 x 10
2
0
W W W 6 x 10 (J )
5
1 2
−
Exemplo 4.
Calcular o trabalho realizado para mover uma carga pontual positiva Q C, imersa no campo elétrico
de uma linha de carga de densidade ρ
l
C/m do ponto r
1
m ao ponto r
2
m, conforme a figura abaixo.
Solução:
Figura 4.4 Carga imersa no campo de uma linha de cargas.
ρ
l
Sabemos que o campo elétrico devido a uma
linha de cargas possui apenas a componente
na direção radial. Em coordenadas cilíndricas:
.aˆ (N/C )
2 r
E E.aˆ
r
0
l
r r
πε
ρ
r
O comprimento diferencial do caminho em
coordenadas cilíndricas é dado genericamente
por:
r z
a
a dz.
a rd.
dL = dr. + φ +
φ
r
O trabalho diferencial será então:
. dr
2 r
dW Q.E dL Q.
0
l
πε
ρ
r r
Logo:
∫
πε
ρ
2
1
r
r
0
l
r
dr
W Q
(J )
r
r
ln
W Q
1
2
0
l
πε
ρ
Como r
2
é maior que r
1
, ln (r
2
/r
1
) é positivo e
o trabalho realizado é negativo. Ou seja, a
fonte externa que move a carga recebe
energia.
4.3 - DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Se tomarmos a equação para o trabalho realizado para se mover uma carga Q em um campo
elétrico, e a dividirmos pelo valor da carga Q, Teremos uma nova grandeza que denominaremos de
diferença de potencial. Matematicamente:
∫
final
inic.
E dL
Q
W
Diferença dePotencial
r r
(4.9)
Em outras palavras, a diferença de potencial (ddp) pode ser definida como sendo o trabalho realizado
para se mover uma carga unitária de um ponto a outro em um campo elétrico. Fisicamente indica a
diferença entre dois níveis de energia passíveis de uma realização de trabalho numa região de
campo elétrico, sobre uma carga quando aí colocada.
dL = dr a r
r 2
r
1
A sua unidade é Joule por Coulomb, ou Volt (V). Se A é o ponto final e B o ponto inicial, a diferença
de potencial V
AB
é dada por:
V V V E dL( V
A(final)
B(inicial)
AB A B ∫
r r
(4.10)
No exemplo da linha de carga da última seção, o trabalho para se deslocar a carga de r
2
para r
1
é:
(J )
r
r
ln
W Q
1
2
0
l
πε
ρ
(4.11)
O campo elétrico desta linha de carga cria uma diferença de potencial entre r
1
e r
2
dada por:
(V )
r
r
ln
Q 2
W
V
1
2
0
l
12
πε
ρ
(4.12)
Exemplo 4.
Calcular a diferença de potencial entre os pontos r
1
e r
2
, r
2
r
1
, devido a uma carga pontual de Q
Coulombs positivos. Mostrar que ela independe das posições θ e φ.
Solução:
V E dL(V )
1
2
r
r
12 ∫
r r
Em coordenadas esféricas
θ φ
= + θ + θφa
a rsen d
a rd
dL dr
r
r
r r
2
0
a
a ;dL dr.
r
Q
E =
πε
r r
2
0
r
dr
Q
E dL
πε
r r
∫
πε
1
2
r
r
2
0
12
r
dr
Q
V
1
r
2
r
1
2 r
Q
r
dr
Q
V
0
r
r
2
0
12
πε
πε
∫
(V )
r
r
Q
V
0 1 2
12 ⎟
πε
O potencial absoluto pode ser definido tomando um potencial de referência especificado que é
considerado como tendo potencial zero. Usualmente esse potencial é tomado na superfície da terra
ou no infinito. No exemplo anterior, se um dos pontos (ponto r 2
, por exemplo) estiver no infinito, o
potencial (absoluto) no ponto r 1
será:
(V )
r
Q
4 πε
V
0 1
1
(4.13)
Se o potencial absoluto de A é V
A
, e o potencial absoluto de B é V
B
, a diferença de potencial V
AB
será então a diferença entre estes potenciais, ou seja:
V V V (V )
AB A B
P
Figura 4.4 Anel de cargas.
Exemplo 4.
Resolver o exemplo anterior, considerando uma coroa circular de raio interno a m, raio externo b m e
densidade superficial ρ
s
C/m
2
.
Solução:
(V )
R
.dS
4
1
V
S
s
0
ρ
πε
=
dS = r d. φ. dr ; R = r z
2 2
V
rd dr
r z
s
=
1
4
0
2 2 πε
ρ. φ.
V d
rdr
r z
s
a
b
=
ρ
πε
φ
π
4
0
2 2 0
2
V
rdr
r z
s
a
b
=
ρ
2 ε
0
2 2
V r z
s
a
b
= +
ρ
2 ε
0
2 2
V b z a z
s
= + − +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
V
ρ
2 ε
0
2 2 2 2
( )
Figura. 4.6 Anel com distribuição superficial de cargas.
s
P
l
z
a
EXERCÍCIOS
- Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual Q = -20 mC no campo
E 2 (x 4 y).aˆ 8 x.aˆ (V/m)da origem ao ponto (6,4,1) m, ao longo do percurso.
x y
r
x 9 y
2
- Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual Q = 5 mC de (5 m, p, 0) a
(3 m, p/2. 3 m), coordenadas cilíndricas, no campo a (V/m)
a 10 z.
E ( 10 r).
z
5
r
5
r
.
- Uma carga pontual de 0,6 nC está localizada no ponto (3,6,6) m. Calcule a diferença V
AB
,
entre os pontos A(3,3,6) m e B(-3,3,6) m.
- Se a referência de potencial nulo está em r = 12 m, e uma carga pontual Q = 0.6 nC ocupa a
origem, encontre os potenciais em r = 8 m e r = 24 m.
- Suponha que em um dia sujeito a instabilidades atmosféricas, a diferença de potencial entre
a superfície da terra e a eletrosfera (digamos 25 km acima da superfície terrestre) seja de
600000 V. Um avião com 12 m de envergadura em suas asas está voando a 2600 m de
altitude, com uma inclinação de 45
°
de suas asas. Calcule a diferença de potencial entre as
extremidades das suas asas.
- Três cargas pontuais de 2 nC ocupam os vértices de um triângulo eqüilátero de 2 m de lado.
Calcule o potencial em um ponto 2 m acima do plano do triângulo e no eixo de seu centro
geométrico.
- Uma distribuição linear de cargas com densidade ρ
l
= 1 nC/m ocupa o perímetro de um
quadrado de 5 m de lado. Calcule o potencial no ponto situado 6 m acima do quadrado, no
eixo de seu centro.
- Desenvolva uma expressão para o potencial num ponto distante radialmente d m do ponto
médio de uma distribuição linear de cargas finita, de comprimento L m e de densidade
uniforme r
l
(C/m). Comprove a dedução da expressão, pelo desenvolvimento empregado no
exercício anterior.
- Um disco 0 ≤ r ≤ a m, z = 0, 0 ≤ φ ≤ 2 π·, possui uma densidade superficial de cargas
r a (C/m )
2 2 2
s 0
ρ =ρ. Encontre V(0,0,z m) no espaço livre.
- Uma película plana uniformemente carregada com ρ
s
= (1/5π) nC/m
2
está localizada em x =
0, e uma segunda película plana, com ρ s
= (-1/5π) nC/m
2
está localizada em x = 10 m.
Calcule V
AB
, V
BC
, V
AC
para A(12, 0, 0) m, B(4, 0, 0) m e C(-2, 0, 0) m
- Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual e positiva de 5 μC entre a
origem de um sistema de coordenadas esféricas e o ponto (2 m; π/4; π/2), onde o campo
elétrico é dado por a (V/m)
rsen
a
E 5 e
r
r 4
φ
−
θ
r
.
- Três cargas pontuais de 4 μC cada uma, localizam-se nos vértices de um triângulo eqüilátero
de lado 0,5 mm situado no vácuo. Que trabalho deve ser realizado para deslocar uma das
cargas até o ponto médio do segmento determinado pelas outras duas?
