Eletromagnetismo II, Notas de aula de Física

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Prof. Beatriz Bronislava Lipinski

Eletromagnetismo II - Notas de Aula

Curitiba, Pr 2008

Tel: (41) 8419 5313 e-mail: [email protected]

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná

Capítulo 1

O Campo Magnético Estacionário

Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. Atualmente, identificamos essas pequenas correntes com o movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais. Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético a sua volta. Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo magnético criado (efeito). O campo magnético H~ pode ser originado de duas maneiras:

a. Por corrente elétrica;

b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos mag- néticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias, estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cada dipolo magnético se somam, formando um imã natural.

Lei de Biot Savart

Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo de campo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir. Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo mag- nético H~ é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Figura 1.2:

Na forma integral, a lei de Biot-Savart é dada por:

H^ ~ =

∮ (^) IdL~ × ˆaR 4 πR^2

∮ (^) Id~L × R~ 4 πR^3

nesta, deve-se levar em conta que a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula; esta corrente fluindo em torno de um caminho fechado é a fonte de campo magnético que deve ser considerada. Relembrando: este resultado é consequência direta da equação da continuidade: ∇ · J~ = −∂ρ ∂tv = 0, significando que a densidade de corrente é estacionária numa superfície fechada (não varia no tempo). Esta lei é ferramenta básica para cálculo de campo magnético criado num ponto, devido a uma distribuição de corrente. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidade magnética). A intensidade do campo magnético H~ tem, no SI, unidades de ampères por metro (A/m) e, no sistema cgs, unidades de Oersted (Oe): 1 Oe = (^10004) π A/m = 79, 58 A/m.

Exemplo 1: Campo magnético devido a um condutor longo retilíneo. Determine o campo mag- nético H~ num ponto P distante r metros de um condutor infinitamente longo, percorrido por uma corrente de I ampères. A seguir, calcule o campo a uma distância de 10 cm do condutor quando ele for percorrido por uma corrente de 0 , 1 A.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Dois condutores paralelos

Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercem forças sobre cargas em movimento. Então dois condutores paralelos, com corrente experimentam uma dada for¸ca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes. Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre os condutores, e se soma fora dos condutores. Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão dire- ita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre os condutores, e se subtrai fora dos condutores. Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente.

Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos por correntes I 1 = 100 A e I 2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo.

Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I. Obter a equação do campo magnético no centro da mesma.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Lei circuital de Ampère

A lei de Ampère, que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo, é a conhecida regra da mão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentido de H~. A intensidade é dada pela distribuição de campo e fluxo magnético no sistema. Assim, a circulação do vetor H~, em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela¸ dadas pelo percurso:

∮ H^ ~ · dL~ = I ⇒

∫ ∫ (1.3) J^ ~ · dS~ = I.

Com esta expressão matemática, a relação campo H~ e corrente é dada por uma integral de linha, que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana. A corrente I é a corrente líquida englobada pela curva e onde dL~ é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio. Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de deter- minar o campo H~ em função de J~. Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podem determinar H~ em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os problemas existentes.

Exemplo 6: Campo magnético de um solenóide. Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, e consideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre os fios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Exemplo 7: Campo de um toróide. No interior do toróide da figura abaixo, aplique a lei de Ampère, resolva a integral na linha amperiana circular de raio r e Calcule H.

Exemplo 8: Campo magnético dentro de um fio. Consideremos o fio condutor como um cilindro infinito, de raio R, transportando uma corrente I 0 , com densidade uniforme. Calcule o campo no interior do fio.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Ao longo da aresta 2 − 3 :

( H~ · ∆~L)^2 −^3 = H x^2 − 3 (−∆x) = −

( H x^0 +^12 ∂H ∂yx ∆y

) ∆x.

Para a aresta 3 − 4 :

( H~ · ∆~L)^3 −^4 = H y^3 −^4 (−∆y) = −

( H y^0 +

∂Hy ∂x (−∆x)

) ∆y.

Para a última aresta:

( H~ · ∆~L)^4 −^1 = H x^4 − 1 (∆x) =

( H^0 x +^1 2

∂Hx ∂y (−∆y)

) ∆x. Então:

∮ H^ ~ · ∆~L =

( ∂Hy ∂x −^

∂Hx ∂y

) ∆x∆y.

Assumindo uma densidade de corrente genérica J~, a corrente envolvida é ∆I = Jz ∆x∆y:

∮ H^ ~ · ∆L~ =

( ∂Hy ∂x −^

∂Hx ∂y

) ∆x∆y = Jz ∆x∆y, ou:

∮ (^) H~ · ∆~L ∆x∆y = ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y = Jz.

A maior aproximação possível para esta expressão está no limite ∆x, ∆y → 0 :

∆x,^ lim∆y→ 0

∮ H~ · ∆L~

∆x∆y =^

∂Hy ∂x −^

∂Hx ∂y =^ Jz^.

Se escolhermos um caminho fechado de forma que a corrente esteja na direção ˆax, temos:

∆y,^ lim∆z→ 0

H · ∆L~

∆y∆z =^

∂Hz ∂y −^

∂Hy ∂z =^ Jx,

e para um camnho fechado de forma que a corrente esteja na direção ay:

∆z,^ lim∆x→ 0

∮ H~ · ∆L~

∆z∆x =^

∂Hx ∂z −^

∂Hz ∂x =^ Jy.

Como J~ = Jxˆax + Jy ˆay + Jz ˆaz , temos a forma pontual da lei circuital de Ampère:

J^ ~ =

( ∂Hz ∂y −^

∂Hy ∂z

) ˆax +

( ∂Hx ∂z −^

∂Hz ∂x

) a ˆy +

( ∂Hy ∂x −^

∂Hx ∂y

) a ˆz = rot H~ = ∇ ×~ H.~

Acima está a terceira Equação de Maxwell: ∇ ×~ H~ = J~, aplicada acondições não variantes no tempo.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Em coordenadas cilíndricas:

∇ ×^ ~ H~ =

( 1 ρ

∂Hz ∂φ −^

∂Hφ ∂z

) ˆaρ +

( ∂Hρ ∂z −^

∂Hz ∂ρ

) ˆaφ +

( 1 ρ

∂(ρHφ) ∂ρ −^

ρ

∂Hρ ∂φ

) ˆaz.

Em coordenadas esféricas:

∇×^ ~ H~ = 1 r sin θ

( ∂(Hφ sin θ) ∂θ −^

∂Hθ ∂φ

) ˆar+

r

( 1 sin θ

∂Hr ∂φ −^

∂(rHφ) ∂r

) ˆaθ+

r

( ∂(rHθ) ∂r −^

∂Hr ∂θ

) ˆaφ.

O significado físico da integral

H · d~L = I é muito importante e justifica o fato desta dar origem a um rotacional. Esta integral é calculada sobre uma linha fechada, definindo uma circulação de “alguma coisa”, que vem a ser a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada. O rotacional gerado nos fornece os domínios de direções e sentidos do campo magnético gerado por esta corrente. Em analogia com o campo eletrostático, a integral de linha

E · dL~ é nula (como visto no semestre passado!), significando que não há circulação de campo elétrico em torno co caminho fechado de integração. Em outras palavras, nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma carga elétrica de um ponto a outro sobre este caminho fechado. Para o campo magnetostático, há trabalho realizado pois a circulação de campo magnético não é nula. Esta circulação dá origem a um fluxo de cargas, caracterizando uma corrente elétrica.

Exemplo 9: Na região z > 0 do espaço há um campo magnético dado por H~ = 0, 2 z^2 ˆax, sendo nulo, como na figura. Calcule a integral

H · d~L ao longo do quadrado fechado de lado d, centrado em 0 , 0 , z 1 no plano y = 0, onde z 1 > 2 d.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Fluxo magnético e Densidade de fluxo magnético

O campo magnético H~ pode ser produzido por uma corrente elétrica ou por uma magnetização resultante, M~ do momento de dipolo molecular. A magnetização é uma característica intrínseca de cada material, e está relacionada com a estrutura atômica e molecular.

Magnetização:

Toda matéria exibe propriedades magnéticas. Até mesmo substâncias como cobre e alumínio, que normalmente são livres de propriedades magnéticas, são afetadas pela presença de um campo magnético produzido por qualquer polo de um imã de barra. Dependendo se há uma atração ou repulsão pelo polo de um ímã, a matéria é classificada como sendo paramagnética ou diamagnética, respectivamente. Alguns materiais, notavelmente o ferro, mostram uma atração muito grande para o polo de uma barra permanente de ímã; materiais deste tipo são chamados ferromagnéticos. Os átomos têm momentos de dipolo magnético em virtude do movimento orbital dos respectivos elétrons. Além disso, cada elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco associado ao seu spin. O momento magnético de um átomo depende da disposição dos elétrons no seu interior. Esta magnetização pode ser puramente devido à interação do campo aplicado com a matéria, conforme ocorre com os materiais diamagnéticos e paramagnéticos ou pode já existir mesmo na ausência do campo externo, conforme ocorre com os materiais ferromagnéticos. O diamagnetismo ocorre em todos os materiais, pois todas as moléculas exibem um momento de dipolo magnético induzido e antiparalelo ao campo magnético aplicado em virtude da deformação da distribuição da corrente eletrônica. A sua magnetização tende a enfraquecer o campo externo. Geralmente o efeito diamagnético nos materiais é mascarado pelo comportamento paramagnético e ferromagnético. O paramagnetismo resulta da tendência dos momentos magnéticos moleculares alinharem-se com o campo magnético aplicado, reforçando o campo aplicado. Esses materiais dia- magnéticos e paramagnéticos têm uma susceptibilidade, em módulo, muito menor que um (χ << 1 ). Quando colocarmos um material qualquer num campo magnético uniforme, geralmente no ar, pode ocorrer três fenômenos distintos:

1. Afastamento - o fluxo passará preferencialmente pelo ar, que é um meio mais permeável. Isso faz com que apareça uma força que tenderá a repelir o corpo do polo Norte da fonte geradora de campo. Chama-se diamagnético ao material que apresenta esta propriedade.
2. Estático - as linhas de fluxo não se alteram, e continuarão a passar pelo materiam como se nada tivesse acontecido. Consequentemente, não existe força atuando sobre o material, que é denominado paramagnético.
3. Aproximação - as linhas se concentram no material, como aconteceu com o campo elétrico. Com isto surge uma força que tende atrair fortemente o material do polo Norte. Chamam-se ferromagnéticos a estes materiais.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Baseando-se neste princípio, dividiram-se os materiais em: paramagnético, diamagnético e ferro- magnético. Como não temos por objetivo, realizar o estudo microscópico destes materiais, veremos apenas os princípios que norteiam a magnetização e a permeabilidade magnética.

Paramagnetismo

O paramagnetismo ocorre nas substâncias cujos átomos têm momentos magnéticos permanentes e interagem uns com os outros apenas de modo fraco. Quando não há campo magnético externo, estes momentos magnéticos estão orientados ao acaso. Na presença de um campo magnético externo, os momentos tendem a alinhar-se com o campo, mas esta tendência é contrariada pelo fato dos mo- mentos ficarem orientados ao acaso em virtude da agitação térmica. A fração dos momentos que se orienta paralelamente ao campo depende da intensidade do campo e da temperatura. Em temperaturas muito baixas e em campos externos elevados, quase todos os momentos estão paralelos ao campo. A energia potencial do momento magnético num campo magnético externo é mínima quando o mo- mento é paralelo ao campo e máxima quando está antiparalela ao campo.

Diamagnetismo

Foi descoberto por Faraday, quando verificou que um pedaço de bismuto era repelido pelos polos de um imã, o que indicava que o campo externo do imã provocava um dipolo magnético no bismuto em direção oposta à do campo. O efeito diamagnético não depende da temperatura. O alinhamento dos momentos permanentes diminui com o aumento da temperatura para as substâncias paramag- néticas e ferromagnéticas. Todos os materiais são diamagnéticos em temperaturas suficientemente elevadas.

Ferromagnetismo

Ocorre no ferro, no cobalto e no níquel, puros e em ligas destes metais uns com os outros e com alguns outros elementos, e em algumas poucas substâncias mais. Nestas substâncias um pequeno campo magnético externo pode provocar um grande grau de ordenação dos momentos de dipolo magnético dos átomos, o que em certos casos, pode persistir mesmo na ausência de campo externo magnetizador. Isto ocorre em virtude de os momentos de dipolo magnético dos ´atomos destas sub- stâncias exercerem fortes forças sobre seus vizinhos, de modo que numa pequena região do espaço os momentos estão alinhados entre si, mesmo sem campo externo. Em temperaturas acima da temperatura crítica, denominada temperatura Curie, estas forças de- saparecem, e os materiais ferromagnéticos tornam-se paramagnéticos. A região do espaço sobre a qual os momentos de dipolos magnéticos estão alinhados é denominado um domínio magnético. A dimensão do domínio é, usualmente microscópica. Dentro de um domínio todos os momentos mag- néticos estão alinhados, mas a direção do alinhamento varia de domínio para domínio, de modo que o momento magnético líquido de uma amostra macroscópica do material é nulo no estado normal.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

taneamente, se mantém no mesmo alinhamento para formar um domínio ferromagnético, constituindo também um dipolo magnético. As agulhas de bússolas magnéticas e imãs de barra são exemplos de dipolos magnéticos macroscópicos. Quando um dipolo magnético é considerado como uma corrente arredondada, a magnitude do momento de dipolo é proporcional a corrente, multiplicado pelo tamanho da área inclusa. A direção do momento de dipolo, que pode ser representado matematicamente como um vetor, é perpendic- ularmente afastada do lado da superfície que gira fluxo de carga positiva no sentido anti-horário. Considerando a volta da corrente como um imã minúsculo, este vetor corresponde à direção do polo sul ao polo norte. Quando estão livres para girar, os dipolos se alinham de forma que seus momentos apontem, predominantemente, na direção do campo magnético externo. Os momentos magnéticos do núcleo e do elétron são quantizados, o que significa que eles podem somente ser orientados no espaço em certos ângulos discretos em respeito à direção do campo externo. Momentos de dipolo magnéticos têm dimensões de corrente vezes a área ou energia dividido por densidade de fluxo magnético. No sistema metro-quilograma-segundo-ampère e SI, a unidade especí- fica para momento de dipolo é ampère vezes metro quadrado.

Vetor magnetização

Para os trabalhos práticos, lida-se com o vetor magnetização M~ que é um vetor representativo de todos os vetores m~ sobre um volume V. Cada corrente atômica é um pequeno circuito fechado de dimensões atômicas, e pode ser descrito como um dipolo magnético. Seja m~i o momento magnético do átomo de índice i. Definiremos agora uma quantidade vetorial macroscópica, a magnetização M~ (momento de dipolo magnético por unidade de volume). Somaremos, vetorialmente sobre todos os momentos de dipolo num pequeno elemento de volume ∆V e dividiremos o resultado por ∆V :

M^ ~ = lim ∆V → 0

∆V

∑ i

(1.7) m ~i.

A unidade de M~ é A/m, a mesma unidade do campo magnético. Podemos admitir que a magne- tização seja uma função das coordenadas, como por exemplo M~ (x, y, z) no sistema cartesiano.

Exemplo 11: A magnetização de saturação do ferro é 1 , 7. 106 A/m, e sua densidade é 7970 kg/m^3. Sabendo que o número de Avogadro vale 6 , 025. 1026 kg − atomo, e a massa atômica relativa do ferro é 56 , calcular o momento magnético de cada átomo de ferro, em Am^2.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Indução e permeabilidade magnética

Coloquemos uma barra de ferro desmagnetizada dentro de um campo magnético uniforme. Observa- se o surgimento de polos, imantando a barra de ferro. Esta imantação gera uma magnetização, que se soma ao campo magnético externo aplicado. O novo campo magnético resultante se denom- ina indução magnética, ou densidade de fluxo, ou simplesmente indução e se denota pelo símbolo B^ ~. Sua unidade no sistema internacional é o Tesla (T ). Para que ocorra a conservação da en- ergia, precisaremos de uma constante, que será denominada permeabilidade magnética no vácuo μ 0 = 4π × 10 −^7 T m/A. A indução magnética B~ é dada por:

(1.8) B^ ~ = μo( H~ + M~ ).

No caso do ferro e de outros materiais ferromagnéticos, a magnetização M~ é, frequentemente, muito maior que a intensidade magnética H~ por um fator de vários milhares ou até mais.

A grandeza μo significa a medida do quanto o meio é deformável quando imerso em um campo magnético e é necessário na equação anterior para tornar as unidades compatíveis com o SI. A unidade no SI para B~ é o weber por metro quadrado, W b/m^2 ( 1 W b = 1V s), ou o tesla (T ), e a unidade do SI para H~ e M~ é o ampère por metro (A/m). A unidade cgs para B~ é o gauss (G) e 1 T = 10^4 G. No vácuo, temos que B~ = μ 0 H~, definido como a permeabilidade magnética do vácuo. Para qualquer outro material, podemos definir μ = (^) HB , como sendo a permeabilidade magnética deste material. Ainda podemos definir a permeabilidade magnética relativa: μ = (^) μμ 0. utilizando a grandeza susceptibilidade magnética, podemos ainda escrever μ = μ 0 (1 + χ), e B~ = μ 0 (1 + χ H~).

Em analogia com a lei de Gauss, Ψ =

E ·dS~ = (^) εQ 0 , a integral para o cmapo magnético também é válida. Porém, até os dias de hoje, não há qualquer comprovação da exixtência de uma fonte genérica de campo magnético, que seja análoga à carga elétrica. Esta “carga magnética” não existe de fato, pois as fontes de campo magnético são descritas pela presença de materiaia magnéticos ou magnetizados, que possuem características particulares e extensíveis. Então, ∮^ B~ · dS~ = 0. Aplicando o terorema da divergência, encontramos:

(1.9) ∇ ·^ ~ B~ = 0.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Potencial Vetor Magnético

A lei de Gauss para o campo magnético, ∇ ·~ B~ = 0, estabelece que o fluxo magnético através de uma superfície fechada é nulo. Isso significa que não existe monopolo magnético. Quando o divergente de um cmpo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como sendo o rotacional de outro campo vetorial:

∇ ·^ ~ ∇ ×~ A~ = 0 ⇒ B~ = ∇ ×~ A.~

O campo vetorial A~ é dito potencial vetor magnético, do qual pode-se extrair o campo magnético através do operador diferencial rotacional. Aplicando a lei de Biot-Savart a esta expressão, obtemos como resultado a expressão:

A^ ~ =

∮ (^) μ 0 Id~L (1.18) 4 πR.

Exemplo 12: Mostre que o campo magnético diferencial gerado por um elemento diferencial de um fio muito longo, percorrido por uma corrente I, orientada no sentido positivo do eixo z é dado por d H~ = (^4) π^ √Idzρ(ρ (^2) +z (^2) ) 3 aˆφ.

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Potencial Escalar Magnético

Pela lei de Ampère, temos ∇×~ B~ = μ 0 J~. Se a densidade de corrente J~ é nula, temos: ∇×~ B~ = 0. Esta última pode ser escrita como ∇ ×~ (∇ ·~ φ) = 0, na qual Φ é um campo escalar. Em outras palavras,podemos dizer sem perda de informação, que quando o rotacional de um campo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar. Assim, o campo magnético numa região em que J~ = 0 pode ser escreito como:

(1.19) B^ ~ = −μ 0 ∇ϕ,

na qual ϕ é dito potencial escalar magnético. Da lei de Gauss para o magnetismo, temos ∇ ·~ B~ = 0, temos:

(1.20) ∇ ·^ ~ (−μ 0 ∇ϕ) = 0 ⇒ ∇^2 ϕ = 0.

Exemplo 13: Sabendo que o campo magnético produzido por um dipolo magnético vale B^ ~(~r) = μ 4 π^0 [^ 3(^ m~r 5 ·~r )~r− (^) rm~ 3 ] , mostre que ϕ = 4 m~πr·~r 3 representa o potencial escalar magnético para o dipolo magnético.

Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seções 8. e 8.7. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E8.8 e E8.9, da página 153.