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VII CIRCUITOS MAGNÉTICOS
VII.1 Introdução
Nos capÌtulos anteriores foram apresentados os mÈtodos para a resoluÁ„o de circuitos DC e posteriormente AC em regime permanente. Foram apresentados tambÈm os conceitos de potÍncia e energia. A energia gerada È transportada atÈ nÛs sofrendo v·rias transformaÁıes no nÌvel de tens„o. Para que isto seja possÌvel, s„o utilizados geradores e transformadores que alÈm de um circuito elÈtrico, possuem um circuito magnÈtico respons·vel pela geraÁ„o e transferÍncia da energia. Do mesmo modo, as m·quinas elÈtricas usadas nas ind˙strias e nos aparelhos eletrodomÈsticos das residÍncias utilizam tambÈm material magnÈtico para formar campos magnÈticos que agem como meio para a transferÍncia e convers„o de energia. O material magnÈtico utilizado determina o tamanho do equipamento, sua capacidade e as limitaÁıes de seu comportamento.
Neste capÌtulo ser„o vistos os conceitos ligados aos campos magnÈticos, aos materiais magnÈticos e a curva da saturaÁ„o B x H, o equacionamento de circuitos magnÈticos (sÈrie e paralelo), entreferros e curvas de saturaÁ„o, circuitos magnÈticos com excitaÁ„o CA, perdas e circuitos equivalentes.
VII.2 Conceitos Básicos
VII.2.1 Densidade de Fluxo Magnético e Fluxo Magnético
Por Circuito Magnético neste texto deve-se entender um caminho para o fluxo magnÈtico, analogamente ao caminho estabelecido por um circuito elÈtrico para a corrente elÈtrica. Para se chegar ‡ definiÁ„o da densidade de fluxo magnÈtico iremos adotar a seguinte situaÁ„o:
ì Considerar um condutor de comprimento l colocado entre os pólos de um imã, sendo percorrido por uma corrente I
r e fazendo um ângulo reto com as linhas de fluxo magnético como mostrado na figura 1.a. Observa-se experimentalmente que o condutor sofre a ação de uma força F
r , cujo sentido está mostrado também na figura 1.a sendo sua magnitude dada por:” F = B. I. l
( a ) ( b )
Figura 1 – Força F
r na presença de linhas de fluxo magnético
Nesta express„o, B È a magnitude da Densidade de Fluxo Magnético B
r , cuja direÁ„o È a das linhas de fluxo (cf. figura 1.b), sendo sua unidade no SI o tesla (T).
A equaÁ„o apresentada anteriormente È uma proposiÁ„o da lei de AmpËre para o caso especÌfico de um condutor fazendo um ‚ngulo reto com as linhas de fluxo. Uma proposiÁ„o mais
geral, dada para qualquer orientaÁ„o do condutor em relaÁ„o ‡s linhas de fluxo È a seguinte ( I
r È o vetor de magnitude l na direÁ„o da corrente):
F I B
r l
v r =. × Conforme se pode observar na figura 1.b, a forÁa faz um ‚ngulo reto com o condutor e o campo. A lei de AmpËre (definida pelas duas equaÁıes anteriores) que estabelece o desenvolvimento de uma forÁa na presenÁa de um de um fluxo magnÈtico, È a raz„o fundamental para o funcionamento dos motores elÈtricos.
O Fluxo Magnético φ atravÈs de um superfÌcie aberta ou fechada È definido como sendo
o fluxo de B
r atravÈs desta superfÌcie, ou seja:
=∫ = ∫ S S
B. d S B. n. dS
r r rr φ
sendo n r o vetor unit·rio para fora da ·rea elementar dS da superfÌcie conforme apresentado na figura 2.
Figura 2 – Área Elementar dS.
Um caso particular de grande interesse È dado pelas seguintes caracterÌsticas: B
r È
constante em magnitude e em qualquer lugar e B
r È tambÈm perpendicular ‡ superfÌcie da ·rea dada por A. Neste caso tem-se que:
A
BA B
φ φ =. ⇒ =
Como no SI a unidade do fluxo magnÈtico φ È o Weber (Wb), pode-se dizer que a
unidade da densidade de fluxo magnÈtico no SI È tambÈm dada por Wb m^2 , ou seja:
(^1 1) m 2 Wb T =
VII.2.2 Intensidade de Campo Magnético e Força Magnetomotriz
A relaÁ„o entre um campo magnÈtico e uma corrente elÈtrica È dada pela Lei Circuital de Ampère. Uma das formas desta lei È:
∫ H^ d l=^ I
r r .
onde H
r È definido como Intensidade de Campo Magnético (unidade A/m) devido a corrente I. A an·lise desta equaÁ„o nos permite dizer que a integral da componente tangencial de
H
r ao longo de um caminho fechado È igual ‡ corrente envolvida pelo caminho.
Figura 4 – Núcleo e suas dimensões
a-) Núcleo não magnético: Neste caso a permeabilidade È a mesma do ar_._
R
NI
Bd I B R NI B π
μ μ π μ 2
∫.^ l=^0.^ ⇒.^2 =^0.. ⇒ =^0
r r
R
r NI r R
NI
B S
2 0 (^0) π^2 φ μ π
μ φ = = ⇒ =
4 x10. ( 1 x 10 ). 1000
- 6 x 10 x 2 x
..
2 - 2 μ 0 π
φ − = = r N
R
I
I = 190,98 A
b-) Núcleo magnético com μ r = 2000
μ =μ r. μ 0
95 , 49 mA 2000
2 0
2 0
= 2 = = r N = =
R
r N
R
r N
R
I
r r^ μ
φ μ μ μ
φ μ
φ
Deve-se observar que para um n˙cleo magnÈtico a corrente requerida para obter o fluxo desejado È bem menor.
VII.2.4 Curva de Magnetização
A Curva de MagnetizaÁ„o È dada pela variaÁ„o de B x H em um material ferromagnÈtico, decorrente do fato da permeabilidade n„o ser constante, mas uma funÁ„o de H.
Nos materiais ferromagnÈticos existem movimentos de rotaÁ„o de elÈtrons n„o balanceados e tambÈm uma tendÍncia a que os ·tomos vizinhos se alinhem de modo a que seus efeitos magnÈticos se somem.
Seja uma amostra de material ferromagnÈtico n„o magnetizado. A fim de explicar a curva de magnetizaÁ„o, usaremos o conceito de domÌnios (regiıes da ordem de 1 milÈsimo de polegada de extens„o com uma orientaÁ„o prÈ-definida). Neste caso a amostra n„o exibe campo magnÈtico externo resultante.
Figura 5 – Domínio em uma amostra não magnetizada e curva de magnetização
Se um campo magnÈtico externo for aplicado ‡ amostra, haver· uma tendÍncia para os min˙sculos Ìm„s alinharem-se com o campo magnÈtico aplicado ou polarizarem-se exatamente como uma agulha magnÈtica tende a alinhar-se com o campo da terra.
Para valores baixos de H ( região 1 ) os domÌnios aproximadamente alinhados com o campo aplicado crescem em detrimento dos domÌnios adjacentes e menos favoravelmente alinhados em uma transformaÁ„o el·stica reversÌvel. Isto resulta em um aumento na densidade de fluxo B.
A partir daÌ ( região 2 ), quando H È aumentado, a direÁ„o de magnetizaÁ„o dos domÌnios desalinhados desvia-se em uma transformaÁ„o irreversÌvel, contribuindo para um r·pido aumento de B. Em valores mais altos de H ( região 3 ), as direÁıes de magnetizaÁ„o giram atÈ que as contribuiÁıes de todos os domÌnios estejam alinhados com o campo aplicado.
A partir de um certo valor, pode-se aumentar H sem que ocorra efeito algum dentro do material ferromagnÈtico, sendo que neste caso o material È dito estar saturado ( região 4 ). AÁos magnÈticos comerciais (usualmente denominados como ìferroî) tendem a saturar em densidade de fluxo de 1 a 2 teslas.
A densidade de fluxo em um material ferromagnÈtico È a soma dos efeitos devidos ‡ intensidade do campo H aplicada e a polarizaÁ„o magnÈtica M produzida dentro do material. Esta relaÁ„o pode ser expressa por:
B = μ 0. ( H + M )ou ainda, H H H
H
M
B (^) μ 0. (^1) . =μ 0 .μ r. = μ.
Observando-se a curva de magnetizaÁ„o, È evidente que M/H n„o È constante pois caso fosse terÌamos uma reta. A permeabilidade relativa, μr, n„o È portanto constante. Em exercÌcios pr·ticos È costume utilizar valores para μr considerando-se a regi„o linear.
VII.2.5 Curva de Histerese
Como a permeabilidade dos materiais magnÈticos (alto μ) n„o È constante e sim uma funÁ„o de H, a express„o B = μ H, n„o pode ser calculada. Deve ser obtida experimentalmente, atravÈs de curvas levantadas para cada material.
Todo material ferromagnÈtico apÛs ter sido submetido ‡ magnetizaÁ„o, quando n„o est· mais sujeito ao campo externo, n„o retorna ao seu estado original. Se uma amostra for saturada (ponto 1 da figura 6) e depois o for campo removido, se tem o caminho 1 a 2 representando o que ir· ocorrer com B x H. A ordenada no ponto 2 È denominada de magnetismo residual (Mr). Se um H positivo crescente for aplicado novamente, tem-se a trajetÛria 2-3-1. Uma forÁa magnetizante negativa (forÁa coercitiva - Fc ) È necess·ria para trazer a densidade de fluxo atÈ zero (ponto 4). Um grande H negativo produz saturaÁ„o na direÁ„o oposta (ponto 5). Invertendo- se a forÁa magnetizante tem-se a trajetÛria 5-1.
1
2
4
5
7
6
3
FC H 6 H 1
Mr
Figura 6 – Laço de Histerese
Figura 8 – (a) Circuito Elétrico / (b) Circuito Magnético
Tabela 1 - Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos
ELÉTRICO MAGNÉTICO
Densidade de corrente : J (A/m 2 ) Densidade de fluxo magnético : B (Wb/m 2 ) Corrente : I (A) (^) Fluxo magnético : ∅ (Wb)
Intensidade de campo Elétrico : ε (V/m) Intensidade de campo Magnético : H (A/m) Tensão ou fem : E (V) (^) Força magnetomotriz : ℑ (A. e)
Condutividade : σ (A/Vm) Permeabilidade : μ (Wb/Am) Resistência : R (Ω) Relutância : ℜ (A.e/Wb)
Resistividade : σ
ρ
= Relutividade =
μ
Condutância : G (S) Permeância : P (Wb/Ae) E = R. I ℑ = N. I =ℜ. φ
R =
σ
S
l S
(^1) .l m μ
V I R
J
. l= .l= =. σ
ε. =. =ℑ= φ.ℜ m μ m
B
H l l
ℜ È a relut‚ncia magnÈtica do n˙cleo e l (^) m È o caminho mÈdio atravÈs do n˙cleo. As
linhas de fluxo est„o no sentido de H e sofrem uma oposiÁ„o que depende do material. Esta oposiÁ„o È chamada de Relutância do Circuito. De modo semelhante ‡ resistÍncia elÈtrica a relut‚ncia se relaciona com o fluxo e a forÁa magnetomotriz.
VII.3.1 Cálculo do circuito magnético
No c·lculo de circuitos magnÈticos as seguintes aproximaÁıes ser„o utilizadas:
- campo magnÈtico confinado ‡ trajetÛria.
- densidade de fluxo uniforme dentro de cada componente da trajetÛria.
Exemplo 2 : Seja um n˙cleo de ferro com μr = 2000 e com a = 1 cm, b = 8 cm, c = 2 cm, d = 6 cm, N = 1000 espiras conforme esquema. Qual o circuito elÈtrico associado? Qual a corrente requerida para estabelecer o fluxo de 0,2 mWb no n˙cleo de Fe?
Figura 9 – Circuito magnético série e circuito elétrico associado
l m = 2. ( b − a ) + 2 .( d − a )
7 4
2
0 4 10.^2000.^210
−
× ×
μ μ μ π
x ac
b d a S (^) r
l m
ℜ= 4 , 77 × 105 Ae/Wb
3
5 3
10
× ×^ −
ℑ = NI =ℜ φ⇒ I =
I = 95 , 4 mA
VII.3.2 Deformação do fluxo no entreferro e fluxo de dispersão
A deformaÁ„o, frangeamento ou espraiamento de fluxo deve-se as linhas de fluxo que aparecem ao longo dos lados e das quinas das partes magnÈticas separadas pelo ar, provocando um aumento da ·rea percorrida pelas linhas de fluxo, conforme mostra a figura 11.a.
J· o fluxo de dispers„o, conforme apresentado na mesma figura (11.b), diz respeito ‡s linhas de fluxo produzidas por uma bobina que retornam atravÈs de uma curta trajetÛria no ar, sem passar pelo n˙cleo.
Figura 10 – Espraiamento do Fluxo no Entreferro e Fluxo de Dispersão
Para levar em consideraÁ„o a deformaÁ„o das linhas de campo devido ao entreferro (espraiamento) na resoluÁ„o de problemas, deve-se aumentar cada dimens„o pelo comprimento do entreferro.
Desta maneira, se tivermos uma seÁ„o retangular, a ·rea do n˙cleo (Sn ), ser· dada por: S (^) n = a × b
Sendo a ·rea do entreferro ( S (^) e ) dada por:
Se = ( a +l e ) ×( b +l e ) onde l e È o comprimento do entreferro. Para uma seÁ„o
circular tem-se:
S r^2
n =^ π e^ (^ )
2 Se =π r +l e
VII.3.3 Circuito série com^ φ^ dado
Exemplo 3 : Dado o circuito magnÈtico abaixo com as bobinas N 1 e N 2 (N 1 = N 2 = 500 esp.) enroladas em cada perna do n˙cleo, pede-se determinar a corrente necess·ria para estabelecer um fluxo de 4 mWb atravÈs dos entreferros de 0,1 cm. Considerar o espraiamento (Material A: Chapa de aÁo silÌcio, Material B: AÁo fundido).
R 1 = 15 cm
R 2 = 10 cm
a = 20 cm b = 30 cm
c = 5 cm d = 8 cm
l (^) e = 0,1 cm
R 1 R 2
c
d
b
a
y
x
Figura 13 – Circuito Magnético
DeterminaÁ„o dos caminhos mÈdios e das seÁıes retas do n˙cleo:
a
Rm A xy 2 2.
π l l
0 , 125 m 2
R = R^1 + R^2 =
m
0 , 793 m
A
A l
l π
( ) 0 , 3 m
1 2 0 ,^30 (^0 ,^150 ,^10 )^0 ,^05
= − − + = − − + B
B b R R c l
l
S A = ( R 1 − R 2 ). d = 0 , 05. 0 , 08 = 0 , 005 m^2
Se = ( 0 , 05 + 0 , 001 )(. 0 , 08 + 0 , 001 ) = 0 , 00413 m^2
EquaÁ„o magnÈtica para o n˙cleo:
ℑ= H (^) A .l (^) A + HB .l B + 2. He .l e
Para o material A, chapa de aço silício:
1 T curva H 200 Ae/m 4 10
3 A
3 = → → = ×
×
−
A
A S
B
φ
Para o material B, aço fundido:
= = = 1 T →curva→HB = 670 Ae/m B A
BB S S
φ φ
Para o entreferro:
e
Be He Be S
φ = μ 0. − =
- 726 Ae/m
- 4 , 1 10
3
0
× ×
×
−
μ π
φ e
He (^) S
Finalizando:
1 , 90 A
1.^2.^200.^0 ,^793670.^0 ,^32.^770726.^0 ,^001
I
I
N I N I
VII.3.4 Circuitos em série com fmm dada:
Quando se conhece a fmm, esta deve ser dividida entre as relut‚ncias que possuem valores de B dependentes do fluxo n„o conhecido e n„o lineares, o que resulta em um problema que por sua complexidade n„o ser· abordado neste curso.
VII.3.5 Circuitos em paralelo com^ φ^ dado
Exemplo 4 - Determinar a corrente necess·ria para produzir o fluxo de 1,2 x 10-4^ Wb na perna central do n˙cleo abaixo, com N = 300 espiras. Considerar o espraiamento.
a a
d
c
b
a
c
x
y
m
z
t
esp iras
Figura 14 – Circuito magnético paralelo
0 , 05 cm
3 cm
2 cm
e =
l
b
a d 9 cm
4 cm
c =
Material aço fundido: Circuito elÈtrico an·logo
φ
ℑ
ℜ 2
ℜ 1
ℜ e
φ A
φ B
Figura 15 – Circuito elétrico associado
Pela simetria do circuito tem-se que: ℜ 1 =ℜ 2
O fluxo total vale:
B S B T curva H Ae m
A B Wb
1 680 / 4 10
4 1
4 1 1 1
4 4 4
×
×
= + = × + × = ×
−
−
− − −
φ
φ φ φ
Utilizando a equaÁ„o (3) temos:
- I = 680. 0 , 2 + 210. 0 , 0695 + 152789. 0 , 0005 obtendo-se I = 0 , 756 A
VII.4 Circuitos Magnéticos – Excitação CA
Os circuitos magnÈticos dos transformadores, das m·quinas CA e de muitos outros dispositivos eletromagnÈticos s„o excitados por fontes CA e n„o CC. Com excitação CC , a corrente em regime permanente È determinada pela tens„o aplicada e a resistÍncia do circuito, com a indut‚ncia sÛ entrando no processo transitÛrio. O fluxo do circuito magnÈtico se ajusta ent„o de acordo com este valor de corrente de modo a que a relaÁ„o imposta pela curva de magnetizaÁ„o seja satisfeita. Com excitação CA , entretanto, a indut‚ncia influi no comportamento do regime permanente.
Para an·lises exatas n„o se pode considerar a indut‚ncia constante, pois a operaÁ„o normal no circuito magnÈtico est· alÈm da porÁ„o linear de curva de magnetizaÁ„o. Logo, o fluxo n„o È diretamente proporcional ‡ corrente. Em muitas situaÁıes pr·ticas entretanto, a linearidade pode ser admitida com erro desprezÌvel.
VII.4.1 Tensão Induzida e Indutância
Seja o n˙cleo abaixo sujeito ao fluxo φ devido a corrente i em uma bobina com
N espiras. Determinemos o valor e o sentido da tens„o induzida na bobina, bem como o valor da indut‚ncia, presente no circuito devido ‡ bobina excitada por uma corrente alternada.
Figura 16 – Circuito magnético excitado por tensões AC e DC
Consideremos o fluxo na referÍncia, ou seja, φ = φ m sen ϖ t , a tens„o induzida na bobina com N espiras È dada pela seguinte equaÁ„o:
Nw wt dt
d e N φ m cos φ = =
Considerando Em = Nw φ m tem-se: e = Em cos ϖ t = Em sen( ϖ t − 90 ) sendo que o valor
eficaz È dado por: 2
m m f
E N f E π φ = = , ou ainda:
N f
E
E (^) ef N f m m ef 4 , 44..
= 4 , 44.. .φ ⇒ φ =
Para uma excitaÁ„o CA, o fluxo depender· da freq¸Íncia e da tens„o aplicada. Se a queda na resistÍncia da bobina for desprezada, a corrente que flui ser· a requerida para estabelecer o fluxo especificado acima.
Pela definiÁ„o de indut‚ncia, a tens„o em seus terminais È dada por L dt
di que
combinando com a Lei de Faraday fornece:
dt
d N dt
di e=L φ = , resultando em: di
d L=N ϕ
Para um circuito magnÈtico linear, φ È proporcional a i, obtendo-se: I
L=N
φ .
VII.4.2 Perdas no Núcleo
Em equipamentos eletromagnÈticos excitados por corrente alternada temos presente a perda por histerese e por correntes parasitas.
VII.4.2.1 Perda por Histerese
Quando um material ferromagnÈtico fica sujeito a uma forÁa magnetomotriz vari·vel, e esta forÁa È aumentada atÈ um valor m·ximo (produzindo uma densidade m·xima de campo magnÈtico Bm), quando esta fmm È reduzida, nem toda energia do campo magnÈtico È devolvida ao circuito. Parte dela È dissipada no n˙cleo.
Figura 17 – Perda por histerese
Fórmula empírica para analisar a perda por histerese:
A histerese pode ser avaliada pela fÛrmula empÌrica de Steinmetz em Watts. Quando uma amostra È submetida a uma tens„o alternada tem-se:
Pn = 10 −^7. μ. Bmn. f [W]
Onde, μ: coeficiente de Steinmetz = 0,003 para n˙cleo de Fe com pouco silÌcio 0,001 para n˙cleo de chapas de aÁo silÌcio Bm: valor m·ximo de induÁ„o em Gauss n: 1,6 para Bm < 10 4 Gauss e 2 para Bm > 104 Gauss f: freq¸Íncia da rede (Hz) V: volume do n˙cleo (cm 3 ) Um detalhe interessante È que assim como uma tira met·lica se aquece quando È repetidamente flexionada, o material magnÈtico se aquece quando È ciclicamente magnetizado.
Figura 19 – Curvas típicas de magnetização
Figura 20 – Curva de indução de permaloy
