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IV ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CA
IV.1 Elementos de Circuitos
IV.1.1 Indutores e Indutância
O Indutor é um elemento de circuito cuja tensão é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente que o percorre. Esta tensão é calculada por:
e L
di dt
i
L e
A constante de proporcionalidade L é a auto-indutância ou simplesmente, a indutância do elemento. A unidade da indutância é Henry (volt-segundo/ampere) e o símbolo é H.
Se a tensão é conhecida e deseja-se determinar a corrente, tem-se:
i =
L
∫e dt
Esta equação mostra que a corrente na indutância não depende do valor instantâneo da tensão, mas do seu passado, isto é, da integral ou soma dos produtos tensão-tempo para todos os instantes anteriores ao de interesse. Para muitas aplicações, quando se quer a corrente na indutância após um processo de chaveamento (usualmente ocorre em um instante arbitrário chamado de t = 0) a equação anterior pode ser escrita como:
i =
L
∫ e dt^ +i (0)
onde i(o) =
L
e dt −∞
∫
o é a medida da história da indutância anterior ao processo de
chaveamento.
Como conseqüência:
L
i(t)
I 0 = L I 0
i(t)
No instante t = 0.
Um indutor magnetizado corresponde a um indutor desmagnetizado em paralelo com uma fonte de corrente no instante t = 0.
Voltando à equação de definição de L, e (^) L = L. didt pode-se verificar que se a corrente i
for constante tem-se di dt = 0 o que implica em eL = 0.
Logo um indutor é um curto-circuito em relação à corrente contínua. Deve-se ressaltar entretanto que somente após a corrente em um indutor se tornar constante é que ele irá se comportar como curto-circuito.
Uma aproximação de e L
di L (^) dt = pode ser dada por t
i L L ∆
e ≅. Da análise destas duas
fórmulas pode-se verificar que a corrente em um indutor não pode variar instantaneamente (dar saltos), ou seja uma indutância evita variações instantâneas da corrente da mesma forma que a massa de um automóvel o impede de parar ou arrancar instantaneamente.
i (^) L
NÃO t
O terceiro exemplo de variação de corrente na figura ao lado implica que ∆t = 0 o que conduz a e = ∞ que é impossível pois não existe fonte de tensão infinita.
t
e L
Para a tensão não há nenhuma restrição.
IV.1.1.1 Associação de Indutores
Indutores em série:
e 1
e 2
L 1
L (^) 2
i
e e e L di dt
L
di dt
T =^1 +^2 =^1 + 2
e (L L )
di T (^1 2) dt
LT = L 1 + L 2
Logo, uma associação em série de indutores tem o mesmo comportamento que uma associação de resistores em série.
Indutores em paralelo:
i
i (^) 1
2
i L 1 L
2 (^0) e
dt
di dt
di L dt
di i e L
i i i
dt
di e L
T T
T
1 2 1 2
0 1 2
0
A tensão sobre um capacitor pode ser calculada por: e
C
= (^) ∫i dt
Considerando o problema de chaveamento tem-se: = ∫ +
t
o
idt e(0) C
e! (^) ∫ ∞
o idt C
e (0)
E (^) 0
C = +E
0
C Um^ capacitor^ carregado^ corresponde^ a^ um^ capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão no instante t = 0.
Conforme apresentado anteriormente, i (^) C = C. dedt de onde pode-se verificar que se a
tensão e for constante tem-se que de dt = 0 o que implica que i = 0. Logo um capacitor se
comporta como um circuito aberto em relação à tensão contínua.
Analisando as equações e (^) L = Ldi dt e i (^) C = C. dedt assim como os circuitos
apresentados acima, pode-se verificar as dualidades corrente! tensão, indutância! capacitância, curto-circuito! circuito aberto, paralelo! série. Estes fatos permitem dizer que o capacitor é o dual do indutor.
De maneira análoga a analise feita para o indutor, pode-se afirmar que a tensão em um capacitor não pode variar instantaneamente (dar saltos).
IV.1.2.1 Associações de Capacitores
Circuito série: :
C
C
C
T 1 2 Cn
Circuito Paralelo: C (^) T = C 1 + C 2 + ......+ C (^) n
Logo, uma associação em série de capacitores tem o mesmo comportamento que uma associação de resistores em paralelo e uma associação em paralelo de capacitores tem o mesmo comportamento que uma associação de resistores em série.
IV.1.2.2 Análogo Mecânico: Constante de Mola
A energia é armazenada no capacitor de modo semelhante ao que se tem em uma mola comprimida ou distendida.
IV.1.2.3 Potência e Energia
A seguir são apresentadas as fórmulas para o cálculo da potência consumida por um capacitor e também a energia armazenada.
Potência : p C e
de dt
= (watts) Energia : W
o^ =^ C e^2 (joules)
IV.1.2.4 Aplicação
Capacitores têm também diversas utilizações. Entre estas pode-se citar sua utilização em circuito temporizadores, ou em circuitos utilizados na correção do fator de potência em sistema de potência.
Exemplo 1 : Traçar as curvas (formas de onda) da tensão, potência instantânea e energia armazenada em função do tempo para cada um dos circuitos abaixo.
i(t) (^) e L = 10 H i(t) (^) e C = 0,1 F
1 2 3 4 t^ 0,5 0,7 t
t (^) t
i(A) (^) i(A)
e(V) (^) e(V)
2
(^20 )
t t
40
p(W) p(W) 20
w(J) (^) w(J)
t (^) t
(^20 )
a-) b-)
Em a-):
..^2
w L i
P ei
dt
di e (^) L L
Em b-):
..^2
w C e
P ei
idt C
eC
= (^) ∫
IV.2 Tensão e Corrente Senoidais
No Capítulo III foram apresentados diversos métodos para solucionar circuitos excitados por uma fonte constante de tensão ou corrente. A seguir são introduzidas as características da excitação senoidal bem como uma maneira para trabalhar com circuitos excitados em AC sem necessitar operar com as funções trigonométricas.
IV.2.1 Tensão e Corrente Senoidal
Uma tensão ou corrente alternada senoidal, varia com o tempo como mostrado na figura abaixo.
0.00 2.00 4.00 X 6.00 8.
-1.
-0.
Y
T
T: período (s) f: freqüência (1/s) SI: f = HERTZ (Hz)
-2 (^0 2 4 6) t [ms] 8 10 12 14 16 18
0
5
10
15
20
e2 [V]
30°: ângulo de defasagem t = 0! e 2 = 20 sen 30° = 10V
30°! π 6
rad = 0,5236 rad!
1,39ms 377
t =− =−
Logo e 2 está adiantado de 30° em relação a e 1 (exemplo 3). A diferença de fase entre e 1 e e 2 é de 30° e portanto e 1 e e 2 estão defasadas de 30°.
Exemplo 4 : Forma de onde e período para a tensão e 3 = 20 sen (377t - 30°)
-2 (^0 2 4 6) t [ms] 8 10 12 14 16 18
0
5
10
15
20
e2 [V]
-30°: ângulo de defasagem
t = 0 ⇒ e 2 = 20 sen (- 0,5)! e 2 = - 10V
377t -
π 6
= π! t = 9,72 ms
Logo e 3 está atrasado de 30° em relação a e 1 (exemplo 3) ou de 60° em relação a e 2 (exemplo 4).
IV.2.2 Valores Característicos de Tensão e Corrente de uma Onda Alternada.
Em uma onda alternada, os seguintes valores característicos podem ser ressaltados:
- Valor Instantâneo : valor em um instante qualquer do tempo;
- Valor de Pico (valor máximo): mais alto valor instantâneo de tensão ou corrente em cada ciclo. Pode ser definido para a parte positiva ou negativa da onda.
- Valor de Pico a Pico : como o próprio nome diz é o valor entre os picos máximos e mínimos de uma onda. Para uma onda simétrica V (^) pp = 2 Vp e para uma onda não simétrica: Vpp = E (^) p + +Ep−
- Valor Médio : uma função periódica v(t), com um período T, tem um valor médio Vmédio dado por:
Vmédio = v(t)dt T
T
o
∫
- Valor Eficaz (Vef ) ou Valor Médio Quadrático (VRMS -Root Mean Square): uma função periódica v(t), com um período T, tem um valor eficaz Vef dado por:
v (t)dt T
V
T
0
2 ef ≅ ∫
No caso de uma senoide v(t) = A sen(wt)! V
A
ef =
Exemplo 5 : Valores instantâneos e de pico.
0 2 4 6 8 t
-1.
-0.
-0.
-0.
-0.
e
Ep-
Ep+
E
t
E
t
E 1 e E 2 valores instantâneos. Ep+ : valor de pico positivo Ep- : valor de pico negativo
Exemplo 6 : Valor médio.
^ =
= (^) ∫ ∫
π π
π (^) o π
2 senwtdwt+ 0 dwt 2
E média
π π
π π
π
π
( cos +cos0)= 2
( coswt) + 0 = 2
o
= − ∫
média
média
média
E
E
E
Exemplo 7 : Determinar o valor de pico de uma tensão alternada que deve alimentar uma resistência R para que a potência dissipada seja a mesma caso ela fosse alimentada por uma fonte de tensão contínua de 100V.
e = Ep sen( wt )
sen( wt ) R
E
i = p
p = e. i! sen 2 ( )
2 wt R
E
p = p
Em corrente contínua tem-se: P (^) cc = 100
x R R
= W
Em corrente alternada tem-se:
sen wt.dwt R
E
P 2
2
o
2 p CA = ∫
π
π
= (^) ∫
π
π
2
o
2
2 p (^) sen wt.dwt R
E
logo 2
sen2wt wt- dwt= 2
1 - cos2wt ∫sen^2 wtdwt= ∫
IV.3.2 Forma Polar
A forma polar utiliza um módulo e um ângulo na representação de um número complexo. O ângulo é sempre medido a partir do eixo real positivo no sentido anti-horário (um sentido horário indica um ângulo negativo). A figura ao lado mostra a representação em forma polar de Z = r∠θ.
r
Z θ
Im
ℜ
IV.3.3 Conversão entre as Duas Formas
As seguintes equações são utilizadas para se passar de uma forma a outra:
- Retangular! Polar : r = X^2 + Y^2 e X
Y
θ = tg −^1.
- Polar! Retangular : X = r .cos θ e Y = r .sen θ.
Duas outras formas podem ainda ser utilizadas na representação de números complexos:
- Forma exponencial: Z = r.ejθ
- Forma trigonométrica: Z = r (cos θ + j sen θ)
Exemplo 9 : Representar o número complexo Z = 4 +j3 nas formas polar, exponencial e trigonométrica. Polar : Z = 5∠36,87°
Exponencial : Z = 5. ej^36 ,^87 º Trigonométrica : 5.(cos 36,87° + j sen 36,87°)
IV.3.4 Operações com Números Complexos
Considerando dois números complexos, Z 1 = X 1 + jY 1 cuja representação polar é r 1 ∠ θ 1 e
Z 2 = X 2 + jY 2 com representação polar r 2 ∠ θ 2 apresenta-se abaixo as fórmulas utilizadas para a
realização das diversas operações (considerando que j = − 1 ):
- Complexo Conjugado de Z 1 : X 1 –jY 1 ou r 1 ∠− θ 1 ;
- Inverso ou Recíproco de Z 1 : X + jY
ou 1 ∠^ θ
r
- Adição Z 1 + Z 2 : ( X (^) 1 + X 2 ) + j ( Y 1 + Y 2 );
- Subtração Z 1 - Z 2 : [ X 1 (^) − X 2 ] + j [ Y 1 − Y 2 ];
- Multiplicação Z (^) 1 × Z 2 =( X 1 × X 2 − Y 1 × Y 2 ) + j ( Y 1 × X 2 − X 1 × Y 2 )ou
Z 1 × Z 2 = r 1 × r 2 ∠ (θ 1 + θ 2 )°
- Divisão Z 1 / Z 2 : (^2) 2
2 2
2 1 1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 A B
AB AB
j A B
AA BB
(^1) θ θ r
r
IV.4 Fasores:
Por definição um fasor é um número complexo associado a uma onda senoidal ou cosenoidal de tal forma que se o fasor estiver na forma polar, seu módulo será o valor de pico da tensão ou corrente e seu ângulo será o ângulo de fase da onda defasada.
Exemplo 10 : A tensão e = 20 sen(377t + 30°) V é representada pelo seguinte fasor, E &^ = 20 ∠ 30 º.
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t [ ms ]
0
5
10
15
e [ V ]^20
E & 30º
ℜℜℜℜ
Im
0 5 10 15
0
2
4
6
8
10
12
14
Obs : O fasor pode ser definido para a função seno ou coseno, mas uma vez definido em um problema, deve-se trabalhar com uma só função trigonométrica.
Exemplo 11 : Obter aos fasores correspondentes a um circuito série RLC com L = 1,6 mH, C = 20 μF e R = 3Ω. Neste circuito tem-se os seguintes valores de corrente e tensão:
i = 3. cos (5000t - 60°) A I &= 3 ∠ − 60 ºA
eR = 9 cos (5000t - 60°) V E &^ R = 9 ∠− 60 ºV eR = R. i
eL = -24 sen (5000t - 60°) V eL = L di dt
eC = 30 sen (5000t + -60°) V eC =
C
∫idt
Como a corrente e a tensão no resistor são expressas como cossenoide e as tensões no indutor e capacitor são expressas como senoide, tem-se que transformá-las para ter-se uma
só representação. Sabendo que sen( x ) = [cos( x )− 90 º]tem-se então:
eL = -24 cos (5000t - 60° - 90°) = -24 cos(5000t - 150°) e
E & L =− 24 ∠− 150 = 24 ∠(− 150 + 180 )= 24 ∠ 30 °V
eC = 30 cos (5000t - 60° - 90° ) = 30 cos (5000t - 150°) e
E & C = 30 ∠− 150 = 30 ∠ 210 °V
30 cos ( 150 ) 30 sen( 150 )
E ER EL EC 9 cos( 60 ) j 9 sen( 60 ) 24 cos30 j 24 sen − ° + −
E &=4,50 - j7,79+20,78+j12,0-25,98-j 15,
E & = 0,70-j10,79=10,81∠− 93 , 71 ° V
eT = 10,81 cos (5000t - 93,71°) V O diagrama abaixo apresenta os fasores da tensão no resistor, indutor e capacitor e também o fasor resultante da soma das três tensões.
IV.5.2 Indutor
i
L e
i = Im sen( wt + φ )
Tem-se que: e L di dt
= e portanto:
e = wLIm cos( wt + φ)
Passando para seno tem-se:
e = wLIm sen( wt +φ+ 90 )
Os fasores correspondentes são:
I &= Im ∠φ °
E &= wLIm ∠ φ+ 90 °
wL I
wLI I
E
m
m φ
φ &
Passando para a forma retangular tem-se:
jwL I
E
ou jXL I
E
onde X (^) L = wL
XL = Reatância Indutiva (Ω)
IV.5.3 Capacitor
i
C e
e = Em sen( wt + φ )
Tem-se que: i c de dt
= e portanto:
i = wCEm cos( wt + φ)
Passando para seno tem-se:
i = wCEm sen( wt +φ+ 90 )
Os fasores correspondentes são:
E &= Em ∠φ °
I &= wCEm ∠ φ+ 90 °
wCE 90 wC
E
I
E
m
m φ
φ &
Passando para a forma retangular tem-se:
wC
j I jwC
E
ou jXC I
E
onde
wC
X C
XC = Reatância Capacitiva (Ω)
Exemplo 13 : Calcular as corrente i I &^ para o circuito abaixo, representado no domínio do
tempo e no domínio da freqüência.
2 H
e
6 Ω
i
1/16 F
Domínio do Tempo
e = 40 sen (4t + 20°) V
e Ri L
di dt
C
= + + (^) ∫idt
40 sen (4t + 20°) = 6 i + 2
di dt
160 cos (4t + 20°) = 6
di dt
d i dt
16i
2
Solução em regime permanente : i = 5,55 sen (4t - 13,69°) A
E I
6 Ω j8 Ω
-j4 Ω
Domínio da Freqüência
E& = 40 ∠ 20 ° V
XL = wL = 4 x 2 = 8Ω
= = = 4 Ω 4
wC
X C
E^ &^ = 6I&^ + j8 I&^ −j4I&
E = (6 + j4)I^ &^ &
6 j 8 j 4
E
I
I &= 5 , 55 ∠− 13 , 69 °
IV.5.4 Impedância
Para agilizar a aplicação do método de solução no domínio da freqüência, o conceito de impedância será introduzido. A impedância representa o quanto um elemento “impede” a passagem da corrente no circuito.
I &
Z &
E &
Z : impedância^ & Unidade: Ω Módulo: Z
Reescrevendo a Lei de Ohm tem-se: E&^ = Z. I&^ &(forma complexa). Portanto a impedância é
definida como: &^
Z &
E
I
Na forma retangular uma impedância é definida como sendo composta de uma parte real representada por um resistor e de uma parte imaginária representada por uma reatância (um
indutor ou um capacitor). Tem-se então: Z& = R + jX, onde R é a parte real e X a parte
imaginária.
Esta impedância pode também ser representada na forma polar. Para tanto se deve determinar seu módulo e seu ângulo de fase.
- Módulo : Z = R 2 +X^2
- Ângulo de Fase : θ = arc tg
X
R
Z &= Z ∠θ °
Foi visto anteriormente que a Reatância Indutiva é dada por jX (^) L ou X (^) L ∠ 90 °. Neste
caso tem-se uma indutância pura. Já a Reatância Capacitiva pura é dada por − jXC ou
X (^) C ∠ − 90 °. Fazendo uma analogia com θ pode-se dizer que quando este for positivo se tem um
circuito que é indutivo e quando θ for negativo se tem um circuito que é capacitivo.
Em um circuito CA após a determinação do módulo da impedância este valor pode ser utilizado na determinação da corrente do circuito, da mesma maneira que seu ângulo de fase será utilizado na determinação da fase da corrente.
IV.5.5 Admitância
A condutância já foi definida para circuitos CC como sendo equivalente a 1/R. Para
circuitos AC define-se a Admitância Y &^ da seguinte maneira: Y &^ = 1 Z &. A admitância tem como unidade o Siemens (S). Analogamente à impedância, a admitância é uma medida de quanto um circuito “admite” a passagem de uma corrente.
Ao se tomar a impedância Z = R + jX (onde R é uma resistência e X uma& reatância), a
admitância equivalente será dada por Y = G + jB, onde G é denominado& Condutância e B
Suscetância.
Exemplo 15 : Calcular a admitância equivalente à seguinte impedância: Z = 3 + j 4Ω.
A impedância Z na forma polar é dada por Z &^ = 5 ∠ 53 , 13 °. Tem-se então:
S
Z
Y 0 , 20 53 , 13
ou na forma retangular: Y = 0,12 –j0,16, o que indica uma condutância de 0,12 S e uma suscetância de –0,16 S. Logo, a suscetância corresponde a uma reatância indutiva é negativa.
2 2
2 2
R X
X
B=-0,16s B=-
R X
R
G=0,12s G= Y&=0,12-j0,16s
Exemplo 16 : Calcular a admitância equivalente do circuito abaixo com w = 200 rad/s.
.
Y (^) 20 Ω 0,15 H (^100) μF
50 Ω
Para transformar o circuito deve-se primeiramente calcular XC e XL. Tem-se então:
XL = 200x0,15 = 30 Ω
XC = = 50 Ω
x
O circuito transformado é apresentado a seguir.
.
20 Ω
50 Ω
Y &^ j30^ Ω^ -j50 Ω
Passando para condutâncias tem-se: .
Y &^20 S
(^1) j S 30 − 1 70 ,^7 ∠^ −^45 ° S =
1
0 , 01 + j 0 , 01 S
Pode-se então calcular Y &^ equivalente:
j 20
Y&
Y &^ = 0,05 - j 0,033 + 0,01 + j 0,
Y &^ = 0,06 - j 0,023 S
Y &^ = 0 , 064 ∠ − 20 , 97 °
A impedância equivalente é dada por:
Z & = 1 Y &= 15 , 56 ∠ 20 , 97 ° Ω
IV.6 Solução de Circuitos em CA
Nesta seção os teoremas e leis apresentados nos capítulos anteriores para os circuitos CC serão revistos de maneira a aplicá-los aos circuitos CA.
A lei de Ohm anunciada no primeiro capítulo como sendo V = R. I , neste capítulo será
enunciada em termos da impedância da seguinte maneira: V &^ = Z &. I &.
A Lei das Tensões de Kirchhoff – LTK enunciada no capítulo dois como: “A soma (os sinais das correntes e quedas de tensão são incluídas na adição) de todas as tensões tomadas num sentido determinado (horário ou anti-horário), em torno de um circuito fechado é nula” é válida quando se trabalha com circuitos em CA, da mesma maneira que a Lei das Correntes de Kirchhoff – LCK “A soma algébrica (soma das correntes com os sinais) de todas as correntes que entram num nó é nula. As correntes que entram em um nó são consideradas como sendo positivas e as que saem são consideradas como sendo negativas”.
IV.6.1 Associação em Série de Impedâncias
A fórmula para o cálculo da impedância eqüivalente de uma associação em série de N impedâncias é similar àquela apresentada para os resistores, ou seja:
Z &^ eq = Z & 1 + Z & 2 + Z & 3 +K+ Z & N
Exemplo 17 : Para o circuito abaixo calcular a corrente I &^ e as tensões sobre cada um dos
elementos que o compõem sabendo que E &^ = 50 ∠ 0 °e que R = 3 Ω, XC = 3 Ω e XL = 7 Ω. C
.
E
R X^ XL
. I
O primeiro passo é determinar Zeq. Tem-se então:
Z j j j
Z R X X
eq
eq C L &
Pode-se agora determinar a corrente:
10 53 , 13 A
Z eq
E
I &
Pode-se agora calcular a tensão sobre cada um dos elementos utilizando a lei de ohm:
30 53 , 13 V
= = ∠− × ∠ °=
R
R V
V I R
30 143 , 13 V
= − = ∠− × ∠− °=
C
C C V
V I jX &
70 36 , 87 V
= = ∠− × ∠ °=
L
L L V
V I jX &
Pode-se agora determinar a tensão:
E & = Z & eq × I &= 5 , 12 ∠ 50 , 19 × 12 ∠ 0 °= 61 , 44 ∠ 50 , 19 °V
Pode-se agora calcular a corrente sobre cada um dos elementos utilizando a lei de ohm:
7 , 68 50 , 19 A
R
E
I R
15 , 36 39 , 81 A
L
L X
E
I
6 , 14 140 , 19 A
C
C X
E
I
IV.6.3 Equivalência de fontes
O mesmo conceito de Equivalência de Fontes , apresentado no capítulo 3 é válido quando se trabalha no domínio do tempo. Desta maneira tem-se que:
A
E&^ &I
B
A
B
Y&
Z&
onde Y = &^ &
Z
e &^
I = &
E
Z
Exemplo 19 : Calcular a fonte equivalente à fonte da direita da figura abaixo.
Z&
E&
A
B^ B
A
5 ∠ 10 ° A 0,3 -j0,4 S^ ≡≡≡≡
Z =
0,3 - j 0,
Z = 2^ & ∠53,13 ° Ω
E^ &^ = Z. I = 2&^ & ∠53,13 °. 5 ∠ 10 °
E = 10^ & ∠63,13 ° V
IV.6.4 Método da Superposição
Se em um circuito com diversas fontes estas operarem na mesma freqüência, o teorema da superposição para o circuito no domínio da freqüência será o mesmo que para um circuito de corrente contínua. Este método é geralmente mais trabalhoso em relação aos outros métodos, sendo entretanto essencial se existirem no circuito fontes operando com freqüências diferentes.
Nesta situação, indutores ou capacitores tem indutâncias diferentes em relação a cada uma das fontes o que torna obrigatório para a solução do circuito a existência de um circuito no domínio da freqüência diferente para cada fonte.
Deve-se realizar então primeiro a solução para cada uma das fontes no domínio da freqüência para depois transformar cada fasor, para o domínio do tempo (uma senóide), com a freqüência correspondente à fonte em questão. Para finalizar, deve-se somar cada um destes valores senoidais.
Exemplo 20 : Determinar a corrente i no tempo t=2 ms sendo que w=1000 rad/s.
4 Ω
2mH
i
4 sen(1000t) A 10 cos(1000t -25°) V
Para que se possa trabalhar, é necessário que a tensão e a corrente sejam apresentadas ou em função do seno ou em função do cosseno. Sabendo que cos α = sen (α + 90°) pode-se transformar a tensão em 10 sen(1000t +65°). Ainda, como w= 1000 rad/s, tem-se: jwL = j 1000. 2 x 10 -3^ = j 2Ω. Transformando então o circuito acima para o domínio da freqüência tem-se:
4 Ω
I + & 4 ∠ 0 °^10 ∠^65 °
j2Ω
Pode-se então realizar o cálculo para cada uma das fontes. Devido à fonte de corrente tem-se:
4 Ω
I&^ ' 4 ∠ 0 °
j2Ω
4 j 2
I& '
I& '^ = 3 , 58 ∠− 26 , 57 °= 3 , 2 −j1,6 A
Devido à fonte de tensão tem-se:
4 Ω
I&'^ ' 10 ∠ 65 °
j2Ω
4 j 2
&I ''
&I ''^ =−2,24∠ 38 , 44 =-1,75-j1,39 A
Adicionando as correntes devidas a cada uma das fontes, tem-se: &I = I&'^ +I&''= 3 , 2 −j1,6−1,75−j1,3 9
&I = 1,45 - j2,99 = 3,32 (^) ∠ − 64 13, ° A
Voltando ao domínio do tempo tem-se: i = 3,32 sen (1000t - 64,13°) A. Foi solicitado o valor da corrente no instante t=2 ms. Tem-se então que: i =3,32sen(2.10-3.1000^ - 64,13°).
