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III TEOREMAS DE CIRCUITOS
III.1 Teorema da Superposição
Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão de um elemento do circuito é igual a soma algébrica das correntes ou tensões dos componentes produzidas por cada fonte independente operando isoladamente. Este teorema só se aplica no cálculo de correntes ou tensões e não pode ser utilizado no cálculo da potência.
Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O procedimento que deve ser adotado nesta eliminação, das fontes de tensão e fontes de corrente, é apresentado seguir.
A
B
B
A
B
A
E = 0
B
I = 0
A
Curto-Circuito EAB = 0 R (^) AB = 0
Circuito-Aberto I = 0 R (^) AB = ∞
Exemplo 1 : Determinar para o circuito abaixo os valores E 1 , I1, P (^) 2, E 2 , I 2 e I3.
1
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I 1 I 2 I 3
140 V E 2 18 A
Passo 1 : Devido à fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se:
´
´
´ ´
´ 1
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I 1 I 2 I 3
140 V E 2
E 1 ’^ = 20 I 1 ’
E 2 ’^ = 6 I 2 ’= 5 I 3 ’
LTK! 140 = E 1 ’^ + E 2 ’
LCK! I 1 ’^ = I 2 ’^ + I 3 ’
Fazendo as substituições tem-se:
E
E
E
1
' 2
' 2
' = +
3E 1 ' = 10E 2 ' +12E 2 '
3E 1 ' = 22 E 2 '! 1 ´. 2 ´
E = E
LKT! 1. ´ 2
140 E
Tem-se então:
E 2 ’^ = 16,8V
E 1 ’^ = 123,2V
I 1 ’^ = 6,16A
I 2 ’^ = 2,8A
I 3 ’^ = 3,36A
Passo 2 : Devido à fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tensão tem-se:
´´
´´
´´
´´ ´´
1
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I 1^ I 2 I 3 E 2 18 A
E 1 ”^ = 20 I 1 ”
E 2 ”^ = 6 I 2 ”^ = 5 I 3 ”
LTK! -E 1 ”^ - E 2 ”^ = 0
LCK! I 1 ”^ + 18 = I 2 ”^ + I 3 ”
Fazendo as substituições tem-se:
E
E
E
1
" 2
" 2
"
3E 1 ”^ + 1080 = - 10E 1 ”^ - 12E 1 ”
E 1 ”^ = - 43,2V
E 2 ”^ = 43,2V
I 1 ”^ = − = −
2,16A
I 2 ”^ =
=7,20A
I 3 ”^ = 8,64A
Passo 3 : Devido à superposição tem-se:
E 1 = E 1 ’^ + E 1 ”^ = 112,2 - 43,2 = 80V
E 2 = E 2 ’^ + E 2 ’’^ = 60V
I 1 = I 1 ’^ + I 1 ”^ = 4,0A
I 2 = 10A
I 3 = 12A
P 2 = 6 (2,8)^2 + 6 (7,2)^2 = 358W
Levando em consideração este valor de P 2 , pode-se observar que o Teorema da Superposição não é válido em relação a potência. Para tanto se deve calcular a potência dissipada utilizando as fórmulas usuais. Tem-se então:
O conceito de Equivalência de Fontes , apresentado abaixo pode ser utilizado na resolução de circuitos utilizando-se os teoremas de Thévenin e Norton.
R A
E
B
A
0 E^ ≡≡≡≡ I^0 G E
I
circuito a circuito b
I
B
A seguir se apresenta os cálculos que revelam as relações que devem existir para que as fontes acima sejam equivalentes.
Se E (^) AB = 0 (curto-circuito) Circuito a:
I
E
R
=^0
Circuito b: I = I 0 ⇒ E 0 = R. I 0
Se I = 0 (circuito aberto) Circuito a: E = E 0
Circuito b:
E
I
G
= 0 ⇒ E I
0 G
=^0
Então : R
G
= e I
E
R
=^0
Exemplo 2 : Calcular a fonte equivalente à fonte de tensão apresentada.
10 ΩΩΩΩ A
B (^) B
30 V ≡≡ ≡≡ 3 A 0,1 S
A
Como o circuito de Norton e o de Thévenin são representações para a mesma fonte física, para que suas características terminais sejam as mesmas, deve-se ter:
E (^) Th = R (^) Th. IN R 1 Th GN
Exemplo 3 : Determinar a corrente I no circuito abaixo usando o Teorema de Thévenin.
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
140 V (^) I 18 A
Para este exemplo considera-se a resistência de 6 Ω como sendo o circuito Y. Para calcular o circuito equivalente de Thévenin segundo a metodologia apresentada deve-se retirar o circuito Y (a resistência de 6Ω).
140 V
X
5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
18 A (^) (^6) ΩΩΩΩ
A
B B
A
Y
Cálculo do Equivalente de Thévenin:
R Th
Th
B
A
E
Por superposição calcula-se ETh :
ETh = E’^ + E”
E
' = .140 =28V
I 1 ”^ =
= A
E”^ =
.20 =72V
ETh = 100 V
Solução alternativa por Kirchoff :
LTK! 140 - 20I 1 - 5I 2 = 0 LCK! I 1 - I 2 + 18 = 0
ETh = 140 - 20I 1 140 - 20 I 1 - 5 (I 1 + 18) = 0 140 - 25 I 1 - 90 = 0 I 1 = 2A ETh = 140 - 40 = 100 V Calculando agora RTh :
R (^) Th = 20//5! = 4 Ω 25
20x
Após ter-se calculado VTh e RTh pode-se finalmente calcular a corrente no resistor de 6 Ω :
B
A
E (^) Th= 100V 6 ΩΩΩΩ
R (^) Th= 4 ΩΩΩΩ
I
= −! I = −10A
III.3 Análise por Correntes de Malha
Este tipo de análise resulta da aplicação das leis de Kirchhoff a circuitos com várias malhas. As leis de Kirchhoff são aplicadas às correntes das diversas malhas respeitando sentidos arbitrados (preferencialmente o sentido horário).
Exemplo 4 : Determinar as correntes de malha para o circuito abaixo:
1 Ω
I (^) 1 I 2
56 V 8 V
10 Ω
2 Ω
I (^) 3
2 Ω (^4) Ω
5 Ω
Utilizando-se as regras apresentadas acima, se obtém a seguinte equação matricial:
56 8 0
I
I
I
1 2 3
Calculando o determinante tem-se: ∆ = det
Para o cálculo de I 1 , deve-se substituir a primeira coluna da matriz ∆ pelo vetor das tensões (analogamente para o cálculo de I 2 e I 3 ). Desta maneira tem-se:
∆ 1 = det 7760 0 1 13
Considerando calculadas ∆ 1 e ∆ 2 , pode-se calcular as correntes utilizando a Regra de Cramer:
I 1 =^1
I 2 =^2
I 3 =^3
I 1 = 10A I 2 = 6A I 3 = 2A
Casos Particulares :
- Existência de fontes de corrente em paralelo com uma condutância (resistência)! efetuar a conversão de fontes -
1 Ω
5 Ω 4 Ω 2 A
1 Ω
5 Ω
4 Ω
≡≡≡≡ 8 V
- Corrente arbitradas em qualquer sentido! aplica-se as mesmas regras só que na montagem de R , os elementos fora da diagonal principal terão sinais positivos se as correntes nestes elementos estiverem no mesmo sentido.
3 Ω
I (^) 1 I 2
4 Ω
2 Ω
+^2 Ω
1 Ω 2 Ω
-^ +
I (^) 3
R
- Fontes de corrente sem possibilidade de conversão : considera-se que existe uma tensão a ser determinada nas extremidades das fontes.
I 3
I (^1) I 2
4 Ω^ 10 V
2 Ω 3 Ω
4 Ω^2 Ω
20 V^3 Ω
E (^) 2 A
2 I
I
E
- Fontes controladas! monta-se as equações diretamente:
2
I 1
E
3 Ω
4 Ω (^) I 10 Ω
2.I (^1)
30 V
E
I
-2I
1 − 1
=^
30 = 7I 1 + 8I 1! I 1 = 2A
logo! I 2 = -4A -E = -4I 1 - 28I 1! E = 64V
III.4 Análise pelas Tensões nos Nós (Nodal)
Este método permite que se determine a tensão em 2 ou mais nós, em relação a um nó de referência. Para tanto, as equações decorrentes da LCK são escritas implicitamente, de tal modo que somente as equações LTK precisem ser resolvidas.
O circuito da figura abaixo é utilizado para demonstrar a análise de um circuito utilizando-se o método das tensões nos nós.
Tem-se que: I = G.E, e desta maneira:
B
A E
E
Resolvendo a equação matricial tem-se: EA = 11,2 V e E (^) B = 4V.
Casos Particulares :
- Existência de fontes de tensão em série com uma resistência : efetuar a conversão de fontes. Exemplo: calcular as correntes IA e IB da figura a seguir.
1/2 S
EA
0
4 ΩΩΩΩ I (^) A
A B I (^) B 2 A
8 V (^4) ΩΩΩΩ (^4) ΩΩΩΩ
2 ΩΩΩΩ
A B
2 A (^4) ΩΩΩΩ (^4) ΩΩΩΩ 2 A
Nó de referência
Nó de referência
I (^) A 1/4 S
I (^) B
4 ΩΩΩΩ
2 A (^) 1/2 S 2 A
E
E (^) B
2 ΩΩΩΩ
Matrizes I = G.E :
=^
E
E
A B
Resolvendo para as tensões tem-se: 2 = EA – 1/2 EB -2 = -1/2 EA +0,75 EB
EA = 1V EB = -2V Calculando agora as correntes tem-se:
IA =
x 1 =
A
IB = − 2
x = -
A
- Fontes de tensão sem possibilidade de conversão : considera-se que existe uma corrente a ser determinada para cada fonte. -
2 A I
EA EB
4 Ω
E (^0)
10 V^5 Ω^2 Ω 4 A
A B
Matrizes I = G.E :
E B
I 2
Resolvendo para o segundo elemento da matriz I tem-se: 2 = -0,25. 10 + 0,75 E (^) B 0,75 EB = 2 + 2,
E (^) B = = V
EA = 10V (dado) Para o primeiro elemento tem-se: I + 2 = 0,45. 10 - 0,25 E (^) B I = 4,5 - 1,5 - 2! I = 1A
III.5 Teorema de Millman
O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. A seguir, a partir de um exemplo este método é apresentado.
B
A
B
A
E (^1)
E 2 E (^3)
R (^1) R 2 R (^3)
E (^) M
RM
O primeiro passo é transformar os ramos “fonte de tensão/resistência em série” em “fontes de corrente/condutâncias em paralelo”. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira:
i i i
i
i
I EG
R
G
A
B
I (^1) G 1 I (^2) G 2 I (^3) G 3
A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma única condutância. Para tanto os seguintes cálculos devem ser realizados:
I = I 1 + I 2 - I 3
G = G 1 + G 2 + G 3
A seguir apresenta-se este circuito assim como o equivalente de Millman.
A
B
A
E (^) M
R (^) M
I (^) G
B
A transformação do circuito fonte de corrente/condutância em fonte de tensão/resistência deve ser realizada da seguinte maneira:
E E
I
G
I I I
M AB G G G
1 2 3 1 2 3
1 2 3
M G G G
G
R = =
A tensão entre os pontos AB pode também ser dada da seguinte maneira:
E
E G E G E G
AB G G G
1 1 2 2 3 3 1 2 3
RTh
E (^) Th
B
A
R (^) L I
I
E
R R
Th Th L
A potência absorvida pela carga será:
P R I
R E
R R
E
4 R
R R
L L R R
2 L Th
2
Th L
2
Th
2
Th
Th L Th L
A potência transferida P (^) L será máxima quando R (^) L = R (^) Th , ou seja, quando a carga for igual ao valor da resistência equivalente de Thévenin do circuito. Neste caso a potência em RTh será
Th
2 Th 4 R
E
e assim pode-se afirmar que quando a potência transferida é a máxima, a eficiência do
circuito é de 50%.
