Definic˜ao 2.1.2. Dizemos que um espac¸o m´etrico X e´ desconexo se existe um subconjunto pr´oprio A de X que ´e aberto e fechado ao mesmo tempo.

Definic˜ao 2.1.3. Dizemos que os dois sub-conjuntos A e B dum conjunto X s˜ao comple- mentares (em X), ou que eles formam uma partic¸ ˜ao bin´aria de X, se A e B s˜ao desjuntos,

A ∩ B = ∅

e cobrem X: A ∪ B = X.

Proposic¸ ˜ao 2.1.4. Seja X um espac¸o m´etrico. As condic¸ ˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

(1) X e desconexo, isso ´´ e, existe uma partic¸ ˜ao de X em duas partes abertas n˜ao vazias e disjuntas: X = U ∪ V_. (2) existe uma partic¸ ˜ao de_ X em duas partes fechadas n˜ao vazias e disjuntas: X = F ∪ G_. (3) existe uma parte pr´opria_ U de X (isso ´e, U 6 = X , U 6 = ∅ ) tal que U ´e ao mesmo tempo aberto e fechado.

Demonstrac¸ ˜ao. (1) ⇒ (2): se U e V s˜ao como em (1), definiremos F = Uc^ e G = V c. As partes F e G s˜ao fechadas, disjuntas e cobrem X:

F ∪ G = Uc^ ∪ V c^ = (U ∩ V )c^ = ∅c^ = X.

(2) ⇒ (3): se F e G s˜ao como em (2), ent˜ao o conjunto (dizemos) F ´e, ao mesmo tempo, aberto e fechado, n˜ao vazio e evidemente F 6 = X por que F c^ = G 6 = ∅.

(3) ⇒ (1): suponhamos que U ⊆ X e pr´´ oprio, aberto e fechado. Ent˜ao V = Uc^ ´e n˜ao vazio, aberto, disjunto de U, e X = U ∪ Uc.

Exemplo 2.1.5. O espac¸o X = R \ { 0 } ´e desconexo: sejam

U = (−∞, 0), V = (0, +∞).

As duas partes s˜ao abertas em X, n˜ao vazias e certamente complementares. 1

Exemplo 2.1.6. O conjunto Z, como um sub-espac¸o m´etrico da reta R munida da sua distˆancia usual, ´e desconexo. Por exemplo, cada ponto n ∈ Z ´e isolado (B 1 (n) = {n}), logo os conjuntos U = { 0 }, V = Z \ { 0 }, formam uma partic¸˜ao de Z em duas partes abertas e n˜ao vazias.

Exemplo 2.1.7. De forma mais geral, se um espac¸o m´etrico X qualquer de cardinalidade ≥ 2 cont´em um ponto isolado, x, ent˜ao X e desconexo. A partic´ ¸˜ao correspondente de X e´ dada por U = {x}, V = X \ {x}. Particularmente, o espac¸o m´etrico αN e disconexo, qual´ fato ´e testemunhado pela partic¸˜ao seguinte:

U = { 1 }, V = αN \ { 1 }.

Exemplo 2.1.8. De forma ainda mais geral, cada espac¸o ultram´etrico X com pelo menos dois elementos ´e desconexo. Sejam x, y ∈ X, x 6 = y. Escolha ǫ = d(x, y). A bola aberta Bǫ(x) e um conjunto aberto e fechado (Proposic´ ¸˜ao 1.3.5), n˜ao vazio (x ∈ Bǫ(x)) e pr´oprio (y /∈ Bǫ(x)).

Exemplo 2.1.9. O espac¸o Q dos n´umeros racionais ´e desconexo:

Q = {x ∈ Q : x <

2 } ∪ {x ∈ Q : x >

Exerc´ıcio 2.1.10. Mostrar diretamente, sem usar Exemplo 2.1.8, que o espac¸o de Baire Zℵ^0 e desconexo. ´

2.2. Espac¸os conexos.

Definic˜ao 2.2.1. Um espac¸o m´etrico X e dito´ conexo se X n˜ao ´e desconexo. Em outras palavras, X ´e conexo se e somente se cada vez que X = U ∪V , onde U, V s˜ao dois conjuntos abertos e disjuntos, um deles ´e vazio.

Definic˜ao 2.2.2. Um subconjunto A dum espac¸o m´etrico qualquer X ´e dito conexo se A e´ conexo como um espac¸o m´etrico munido da distˆancia induzida de X.

O resultado seguinte d´a o exemplo o mais importante dum espac¸o m´etrico conexo. (Es- sencialmente, ´e o unico´ exemplo conhecido...)

Teorema 2.2.3. Cada intervalo fechado da reta, [a, b] , a ≤ b , munido da distˆancia usual, ´e conexo.

Demonstrac¸ ˜ao. Suponhamos que a = 0 e b = 1, para tornar a demonstrac¸˜ao menos carre- gada pelas letras. (A prova geral ´e identica). Sejam U, V dois abertos do intervalo I = [0, 1] tais que U ∩ V = ∅ e U ∩ V = I. Suponhamos sem perda de generalidade que 0 ∈ U. O truque n˜ao evidente da demonstrac¸˜ao e definir o conjunto´ A = {a ∈ I : [0, a] ⊆ U}.

Notem o que A n˜ao ´e vazio por que 0 ∈ A:

[0, 0] = { 0 } ⊆ U.

Por exemplo, suponhamos que um intervalo J seja majorado, cont´em o seu supremo, b = sup I, e n˜ao seja minorado. Agora podemos concluir que I = (−∞, b]. A inclus˜ao J ⊆ (−∞, b] e ´´obvia. Seja x um elemento qualquer de (−∞, b]. Como J n˜ao ´e minorado, existe y ∈ J tal que y ≤ x. Temos logo: y ≤ x ≤ b, onde y, b ∈ I, e por conseguinte x ∈ J.

Teorema 2.2.6. Seja F uma fam´ılia dos sub-conjuntos dum espac¸o m´etrico X qualquer. Suponhamos que todos A ∈ F s˜ao conexos e possuem um ponto comum:

∩A∈F A 6 = ∅.

Ent˜ao a uni˜ao ∪F = ∪A∈F A ´e conexa.

Demonstrac¸ ˜ao. Escolhamos um ponto comum, x 0 , de todos os A ∈ F :

x 0 ∈ ∩F.

Sejam U e V dois sub-conjuntos abertos de ∪F tais que

U ∪ V = ∪F e U ∩ V = ∅.

Podemos suponhar sem perda de generalidade que x 0 ∈ U. Seja y ∈ ∪F um ponto qualquer. De acordo com a definic¸ ˜ao da uni˜ao duma fam´ılia dos conjuntos, existe V ∈ F tal que

y ∈ A.

As partes U′^ = U ∩ A e V ′^ = V ∩ A de A s˜ao abertas em A, disjuntas e cobrem A:

U′^ ∪ V ′^ = A.

De mais, x 0 ∈ U′, e por conseguinte U′^ n˜ao ´e vazio. Como A e conexo de acordo com a´ hip´otese, conclu´ımos: V ′^ = ∅ e U′^ = A. Isso significa que y ∈ U′^ ⊆ U. De que observamos ∀y ∈ ∪F , y ∈ U.

Logo, V = ∪F.

Corol´ario 2.2.7. Um sub-conjunto n˜ao vazio J de R (munido da distˆancia usual) ´e conexo se e somente se J e um intervalo.´

Demonstrac¸ ˜ao. ⇒: por contraposic¸˜ao. Suponhamos que um conjunto I ⊆ R n˜ao seja um intervalo. Isso ´e, existem x, y ∈ I e z ∈ R tais que x ≤ z ≤ y mas z /∈ I. Consideremos os sub-conjuntos U = {w ∈ I : w < z}, V = {w ∈ I : w > z}.

Eles s˜ao abertos em I, como os trac¸os dos sub-conjuntos abertos de R:

U = (−∞, z) ∩ I, V = (z, +∞) ∩ I.

Os conjuntos U e V n˜ao s˜ao vazios (por que x ∈ U e y ∈ V ), e evidentamente eles s˜ao disjuntos. Podemos concluir: I e desconexo. Por isto, se´ I e conexo, ent˜´ ao I e um intervalo.´

⇐: nesta direc¸˜ao a demonstrac¸˜ao ´e direta. Suponhamos que I seja um intervalo. Seja x 0 ∈ I um ponto qualquer. ´E f´acil de verificar que

I =

y∈I

[min{x 0 , y}, max{x 0 , y}].

Os intervalos fechados de R s˜ao todos conexos de acordo com o teorema 2.2.3, e o ponto x 0 e comum a eles. Pelo teorema 2.2.6, conclu´ ´ ımos que I e conexo.´

2.3. V´arios exerc´ıcios e soluc¸ ˜oes.

Exemplo 2.3.1. Cada bola fechada B¯ǫ(x) num espac¸o ultram´etrico ´e um aberto. A demonstrac¸˜ao e semelhante `´ a Proposic¸˜ao 1.3.5.

Definic˜ao 2.3.2. Duas m´etricas d e d′^ sobre um conjunto X s˜ao equivalentes se elas geram a mesma topologia: um subconjunto A de X ´e aberto no espac¸o m´etrico (X, d) se ´e somente se ele ´e aberto no espac¸o (X, d′).

Exemplo 2.3.3. A m´etrica zero-um sobre R n˜ao ´e equivalente a m´etrica usual, por que o conjunto unit´ario { 0 } e aberto no espac´ ¸o (R, d 0 − 1 ), mas n˜ao ´e aberto no espac¸o R relativoa m´etrica usual. (O complementar de {x} e´ R \ {x}, que n˜ao ´e fechado por que x ´e um ponto aderente de R \ {x}, portanto x /∈ R \ {x}).

Exemplo 2.3.4. A m´etrica usual sobre R n˜ao ´e equivalente `a m´etrica dada pela regra se- guinte:

d(x, y) =

0 , se x = y, x + y, se n˜ao.

Por exemplo, temos B 1 (1) = { 1 },

logo o conjunto unit´ario { 1 } e aberto em´ R munido da m´etrica acima, enquanto { 1 } n˜ao ´e aberto em R.

Exerc´ıcio 2.3.5. A m´etrica usual (induzida do R) sobre o espac¸o αN n˜ao ´e uma ultram´etrica:

d(0, 1) = 1 >

= max{d(0, 1 /2), d(1/ 2 , 1)}.

Dar o exemplo duma ultram´etrica sobre o espac¸o αN que ´e equivalente `a m´etrica usual (induzida do R).

Exerc´ıcio 2.3.6. Mostrar que a aderˆerencia (= o fecho), A¯, dum subconjunto conexo, A, dum espac¸o m´etrico X e conexo.´ De maneira equivalente, seja X um espac¸o m´etrico que cont´em um sub-espac¸o denso e conexo, A. Ent˜ao X ´e conexo ele mesmo.

Exerc´ıcio 2.3.7. O interior dum subconjunto conexo, A, dum espac¸o m´etrico X e sempre´ conexo, sim ou n˜ao?