estatistica, Exercícios de Engenharia Civil

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ESCOLA POLITÉCNICA

Universidade de São Paulo

Departamento de Engenharia de Produção

PRO2201 ESTATÍSTICA

Notas de Aula

Prof. Dr. Marco Aurélio de Mesquita

São Paulo, 2003

PRO2201 ESTATÍSTICA

SUMÁRIO

1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

2 CÁLCULO DE PROBABILIDADES

3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

4 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

5 INTERVALOS DE CONFIANÇA

6 TESTES DE HIPÓTESES

7 ANÁLISE DE VARIÂNCIA

8 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR

x ¯ '

x 1 % x 2 %ÿ% x (^) n

n

'

j

n

i ' 1

x (^) i

n

'

T

n

MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUALITATIVAS

FREQÜÊNCIAS RELATIVAS : p ˆ^ '^

x

n

MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS

MEDIDAS DE TENDÊNCIA

MÉDIA AMOSTRAL

MÉDIA POPULACIONAL : μ

MEDIANA AMOSTRAL x ˜

VALOR INTERMEDIÁRIO DA AMOSTRA EM ORDEM CRESCENTE

MEDIANA POPULACIONAL : μ˜

EXEMPLO : 40 50 60 80 120

x ¯ ' 70 x ˜ ' 60

QUARTIS DIVIDEM A AMOSTRA EM QUATRO GRUPOS

1º QUARTIL : 25% MENORES

2º QUARTIL = MEDIANA

3º QUARTIL : 25% MAIORES

s^2 ' (40&50)^

' 62,5 s ' s^2 ' 7,

MEDIDAS DE DISPERSÃO

AMPLITUDE AMOSTRAL : R ' x (^) max & x (^) min

VARIÂNCIA AMOSTRAL : s^2 '

j

n

i ' 1

( x (^) i & x ¯ ) 2

n & 1

VARIÂNCIA POPULACIONAL : σ 2

DESVIO PADRÃO AMOSTRAL s ' s^2

EXEMPLO 1 : 40 55 50 55 60 Y x ¯ ' 50

EXEMPLO 2 : 10 30 50 70 90 Y x ¯ ' 50 s ' 31,

FÓRMULA DE CÁLCULO PARA VARIÂNCIA :

s^2 '

Q &

T^2

n

n & 1

, onde T ' (^) j

n

i ' 1

x (^) i e Q ' (^) j

n

i ' 1

x

2 i

PROPRIEDADE :

SEJA x 1 , x 2 , ÿ , x (^) n UMA AMOSTRA ALETÓRIA E y ' a @ x % b , ENTÃO

1. (^) y ¯ ' a @ x ¯ % b 2) s

2 y '^ a^

(^2) @ s^2 x

0

50

100

150

200

M D R T A Q O

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Figura 1.1 Gráfico de Pareto por tipo de defeito.

EXERCÍCIOS

1. A inspeção de 200 itens defeituosos resultou na seguinte distribuição de defeitos: Mancha, 104; Trinca, 10; Deformação, 42; Quebrado, 4; Risco, 20; Aspereza, 6 e 14 outros defeitos. Construa um gráfico de Pareto e analise os resultados.

Tabela 1.1 Distribuição de freqüências dos defeitos no processo de inspeção.

Tipo de Defeito Freqüência Freqüência Acumulada

Freqüência Relativa

Freq. Relativa Acumulada

Mancha Deformação Risco Trinca Aspereza Quebrado Outros Total

Mancha 52%

Deformação 21%

Outros 7%

Trinca 5%

Quebrado 2% Aspereza 3%

Risco 10%

Figura 1.2 Diagrama Circular por tipo de defeito.

0 20 40 60 80 100 120

Mancha

Deformação

Risco

Trinca

Aspereza

Quebrado

Outros

Figura 1.3 Diagrama de Barras por tipo de defeito.

3. Elabore um diagrama de ramos e folhas a partir dos dados abaixo. Determine uma distribuição de freqüências e construa o histograma correspondente.

0

5

10

15

20

25

30

35

73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Figura 1.5 Distribuição de freqüências ...

x ¯ ' 81,95 s ' 2,

Tabela 1.3 Distribuição de freqüências ...

Classe Freqüência

Freqüência Acumulada

74,0 | 76, 76,0 | 78, 78,0 | 80, 80,0 | 82, 82,0 | 84, 84,0 | 86, 86,0 | 88, 88,0 | 90, 90,0 | 92,

Total

70

80

90

100

110

120

Figura 1.8 Diagrama comparativo do desempenho.

5. Calcule a média, a mediana, os quartis, a amplitude e o desvio padrão da amostra de valores abaixo. A seguir, represente os dados graficamente.

110 115 120 125

6. Os dados abaixo representam o desempenho de três grupos de 10 alunos em um teste. Construa um box plot para cada amostra e compare os resultados.

Tabela 1.5 Resultados dos testes de cada grupo.

Grupo Desempenhos

1 90 94 96 100 104 106 106 110 113 115 2 73 76 80 82 86 88 91 97 104 110 3 80 82 84 86 86 86 87 93 98 100

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

Figura 1.9 Diagrama de dispersão para as notas em matemática e física.

7. Os dados abaixo representam as notas finais de doze alunos nas disciplinas de Matemática e Física. Construa um diagrama de dispersão e verifique se há correlação linear entre as notas. :

Matemática Física

51 68 72 97 55 73 95 74 20 91 74 80

n ' 12 j x i ' 850 j x

2

i '^ 65.

j y^ i '^927 j y^

2

i '^ 74.883^ j x^ i y^ i '^ 69.

S xy ' 69.453 &

S xx ' 65.230 &

' 5.026,7 S yy ' 74.883 &

r '

S xy

S xx @ S yy

' 0,935 r^2 ' 0,

CORRELAÇÃO FORTE

Subgroup 0 10 20

39

40

41

Sample Mean

Mean=39,

UCL=40,

LCL=39,

0,

0,

1,

Sample StDev

S=0,

UCL=1,

LCL=

Xbar/S Chart for ...

Subgroup 0 10 20

39

40

41

Sample Mean

Mean=39,

UCL=40,

LCL=39,

0

1

2

3

Sample Range

R=1,

UCL=2,

LCL=

Xbar/R Chart for ...

0 5 10 15 20 25

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

Sample Number

Proportion

P Chart for Fração Desconforme

P=0,

UCL=0,

LCL=

Figura 1.12 Gráfico para fração desconforme (n=200).

9. Amostras com 200 dispositivos são selecionadas diariamente, durante 25 dias consecutivos. Cada dispositivo da amostra é examinado e classificado em conforme ou desconforme. As quantidades de itens desconformes foram :

dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

xi 6 4 10 13 8 10 2 8 4 10 6 8 6

dia 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

xi 6 3 9 7 9 9 6 9 7 7 0 7

Construa um gráfico de controle e avalie a estabilidade do processo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Na inspeção de um lote de placas de circuito impresso, foram detectadas as seguintes desconformidades : componente incorreto, 210; soldagem incorreta, 121; faltando componente, 103; falha de componente, 68; outros, 81. Após a implementação de ações de melhoria, a incidência de defeitos em um lote com o mesmo número de placas resultou em : componente incorreto, 63; soldagem incorreta, 100; faltando componente, 24; falha de componente, 72; outros, 58. Represente graficamente os dados e compare as situações "antes" e "depois".

2. Para investigar a distribuição das dimensões de eixos produzidos por um processo de usinagem, foi retirada uma amostra de 80 peças. Os valores abaixo representam os diâmetros, em milímetros, das peças contidas nesta amostra. Construa um histograma e calcule a média e o desvio padrão dos diâmetros. Estime a fração de eixos com diâmetro fora da especificação 25,0 ± 0,.

25,32 25,41 25,11 25,46 25,17 25,20 25,26 25,41 25,29 25, 25,34 25,28 25,28 25,28 25,24 25,33 25,48 25,43 25,39 25, 25,25 25,19 25,17 25,39 25,31 25,35 25,37 25,31 25,25 25, 25,40 25,28 25,31 25,30 25,37 25,27 25,07 25,35 25,19 25, 25,38 25,15 25,47 25,29 25,35 25,26 25,27 25,40 25,33 25, 25,30 25,20 25,25 25,24 25,31 25,32 25,27 25,47 25,33 25, 25,36 25,52 25,29 25,27 25,25 25,24 25,24 25,34 25,18 25, 25,23 25,32 25,16 25,24 25,36 25,32 25,34 25,33 25,26 25,

3. Calcule a média e o desvio padrão a partir da seguinte distribuição de freqüências:

xi f (^) i

75 77 79 81 83 85 87 89 91

4. Um experimento para avaliar a durabilidade de um certo componente forneceu os seguintes resultados (em horas) : 48, 79, 100+, 35, 92, 86, 57, 100+, 17 e 29. Quais medidas de tendência central poderiam ser utilizadas para caracterizar a variável em questão? Como é possível avaliar a dispersão da variável em questão.

5. Gerar 25 amostras aleatórias com 10 valores cada a partir de uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 2. Construa os gráficos de controle da média e desvio padrão amostrais. Idem para amplitude.