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Medidas 36 IMPORTANTE! A descrição de resultados de testes e provas, através de distribuição de freqüência e seus gráficos, geralmente não é suficiente, para tal existem na Estatística, medidas descritivas que resumem as informações necessárias para o estudo de distribuição. Tais medidas são de mais fácil manejo e compreensão do que os dados originais. Para uma descrição, do conjunto, bem informativa, são necessárias 4 medidas diferentes: 1 - uma medida de Tendência Central, que informa o nível geral médio do grupo; 2 - uma medida de Variabilidade ou Dispersão, que indica o grau de dispersão dos dados em torno do valor central; 3 - uma medida de Assimetria, que dá uma visão de inclinação da distribuição dos valores para a direita ou esquerda; 4 - uma medida de Curtose, que mostra o achatamento da curva, obtido com a distribuição de freqüência. Para a análise final numérica de um levantamento estatístico, devemos sempre destacar essas 4 medidas, pois, descrevem a distribuição toda. 8 - Medidas (ou Elementos Representativos da Série ou Medidas de Posição) 8.1. Medidas para dados NÃO AGRUPADOS em Distribuição de Freqüência 8.1.1. Medidas de Tendência Central Introdução As Medidas de Tendência Central são números que indicam o valor resumo de uma série de dados; tendem a localizar-se em torno de um valor central dentro de um conjunto de dados. Principais Medidas de Tendência Central
- Média (M ou X ) o medida de uniformização;
- Mediana (Me) o medida de posição (meio);
- Moda (Mo) o medida de concentração. 1) MÉDIA ARITMÉTICA (M ou X ): é o elemento representativo da série mais usado; indica o “centro de gravidade” da série, procurando “uniformizar” os dados em torno de um valor médio. Obs: * não esquecer a “unidade” junto ao valor da M.
- média da população o P
- média da amostra o M ou X o Cálculo da Média : “quociente entre a soma de todos os valores e o n o total de dados”. a 1 ) sem freqüência o M = 6 X n SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 37 Exemplo: X (reais) 1.600, 1.750, 1.800, 1.200, 1.950, M = 1600 + 1750 + 1800 + 1200 + 1950 = 8300 = R$1.660, 5 5 a 2 ) com freqüência o M = 6 6 ( f) f X. Exemplo: X (Notas) f X. f 4 4 4. 4 = 16 5 8 5. 8 = 40 7 6 7. 6 = 42 8 3 8. 3 = 24 9 1 9. 1 = 9 6 22 131 M = 4.4 + 5.8 + 7.6 + 8.3 + 9.1 = 131 = 5,95 nota 22 22 2) MEDIANA (Me): é o elemento de tendência central. Divide a série em 2 partes iguais, 50% abaixo e 50% acima dela. Obs.: para o cálculo da mediana é necessário que os dados estejam em ordem crescente ou decrescente. Obs.: Não esquecer a “unidade” junto ao valor da Me. o Cálculo da Mediana Me = Xn/2 + ½ Obs.: o valor obtido através da fórmula não é o valor mediano, mas a posição do valor mediano. Exemplos: a) N o ímpar de dados o (3, 6, 5, 7, 3, 2, 8) anos Ordem Crescente dos dados o (2, 3, 3, 5, 6, 7, 8) anos Me = X7/2 + ½ = X8/ Me = X 4 o a mediana é o valor que está na 4a^ posição dos dados, ou seja, (2, 3, 3, 5 , 6, 7, 8) Me = 5 anos SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 39 D 2 : 2o^ Decil o D 2 = X2n/10 + ½ o posição em que se encontra o 2o^ Decil D 3 : 3o^ Decil o D 3 = X3n/10 + ½ o posição em que se encontra o 3o^ Decil D 9 : 9 o Decil o D 9 = X9n/10 + ½ o posição em que se encontra o 9 o Decil D 9 , por exemplo, é o ponto na escala, abaixo do qual estão 9/10 dos casos.
3. Percentis ou Centis Dividem a série em 100 partes iguais, portanto temos 99 centis, ou seja, C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , ..., C 78 , C 79 , C 80 , ..., C 99. C 1 : 1o^ Centil o C 1 = Xn/100 + ½ o posição em que se encontra o 1o^ Centil C 2 : 2o^ Centil o C 2 = X2n/100 + ½ o posição em que se encontra o 2o^ Centil C 3 : 3o^ Centil o C 3 = X3n/100 + ½ o posição em que se encontra o 3o^ Centil C 99 : 99 o Centil o C 99 = X99n/100 + ½ o posição em que se encontra o 99 o Centil 8.1.3. Medidas de Dispersão Representamos geralmente uma série pela M, Me ou Mo, entretanto, elas não descrevem a flutuação dos demais valores em torno delas. Por isso, usamos medidas de dispersão, de variabilidade, que indicam o grau de variabilidade, de flutuação dos valores em torno do valor pré-determinado. As principais medidas de dispersão quanto a MÉDIA são: a) AMPLITUDE TOTAL ou campo de variação: A = X> - X< Esta medida é muito instável; se ocorrer valor excepcional, terá pouca utilidade. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 40 b) VARIÂNCIA: é a média dos quadrados dos desvios. A variância de uma amostra é representada por s^2 e constitui uma estimativa da variância da população V^2 (sigma ao quadrado).
1. População V^2 d n
ou V^2 = d 2 .f f
Obs.: para valores pequenos de n (n<25) devemos tomar o denominador de s^2 como n-1 em lugar de n. O divisor n-1 é denominado graus de liberdade. 1.1. Amostra s^2 d n - 1
ou s f f 2 1 =
¦ d^2.
c) DESVIO PADRÃO ou afastamento médio quadrático: consiste em achar a média quadrática entre os desvios em relação à Média. É a medida mais usada, quer no trabalho experimental ou de pesquisa. Representado por s (quando estamos trabalhando com uma amostra) e V (quando estivermos trabalhando com a população).
1. População V 6 d^2 n ou V = d f f 6 2 6 1.1. Amostra s n 6 d^2 1 ou s = d f f - 1 6 2 6 d) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: é o índice de variabilidade - é o desvio padrão expresso como percentagem da Média. Usado para comparar grandezas de unidades iguais ou diferentes. CV = 100. V quando trabalhamos com a população P CV = 100. s quando trabalhamos com a amostra x SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 42 **8.2. Medidas para dados AGRUPADOS em Distribuição de Freqüência 8.2.1. Medidas de Tendência Central
- MÉDIA ARITMÉTICA (M ou** X ): é o elemento representativo da série mais usado; indica o “centro de gravidade” da série, procurando “uniformizar” os dados em torno de um valor médio. M = 6 6 (Xi.f) f Exemplo: Tempo(anos) de dedicação dos funcionários à Empresa Y. 2008 X (Anos) f Xi Xi f 10 ├─ 12 85 11 11.85 =^935 12 ├─ 14 165 13 13.165 = 2145 14 ├─ 16 35 15 15.35 =^525 16 ├─ 18 15 17 17.15 =^255 18 ├─ 20 10 19 19.10 =^190 Σ 310 4050 Fonte: Dados Fictícios M = 11.85 +13.165 + 15.35 + 17.15 + 19.10 = 4050 = 13,06 anos 310 310 2) MEDIANA (Me): é o elemento de tendência central. Divide a série em 2 partes iguais, 50% abaixo e 50% acima dela. Em dados agrupados em classes, para determinar a mediana, precisamos seguir algumas etapas, ou seja:
- determinar a classe que contém o valor mediano;
- a classe que contém o valor mediano é a 1 a classe cuja freqüência absoluta acumulada “abaixo de” é igual ou excede a metade do no^ total de observações;
- uma vez determinada a classe, a mediana é dada pela fórmula: Me = X 1 + 6 f 2
- f f A A i p § © ¨ ¨ ¨ · ¹ ¸ ¸ ¸ onde, X 1 : limite inferior da classe mediana; 6 f: freqüência absoluta total da distribuição; fA p : freqüência absoluta acumulada “abaixo de” da classe anterior à classe mediana; f: freqüência absoluta da classe mediana; Ai = amplitude do intervalo da classe mediana. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 43 Exemplo: Tempo(anos) de dedicação dos funcionários à Empresa Y. 2008 Classes X (Anos) f (^) fAp 1 10 ├─ 12 85 85 (^2 12) ├─ 14 165 250 3 14 ├─ 16 35 285 4 16 ├─ 18 15 300 (^5 18) ├─ 20 10 310 6 -^310 -
- Determinar a classe que contém o valor mediano, ou seja, determinar a classe cuja freqüência absoluta acumulada “abaixo de” é igual ou excede a metade do no^ total de observações. No^ total de observações = 310 o metade = 310/2 = 155 Classe que contém o valor mediano = 12 ├─ 14 Me = X 1 + 6 f 2
- f f A A 1 p § © ¨ ¨ ¨ ¨ · ¹ ¸ ¸ ¸ ¸ X 1 = 12 6 f = 310 fAp = 85 f = 165 A 3 = 2 logo, Me = 12 + 310 2
- 85 165 2 § © ¨ ¨ ¨ · ¹ ¸ ¸ ¸ (^) = 12 + 0,42. 2 = 12,84 anos 3) MODA (Mo): é o elemento representativo da série que indica a concentração. É o valor que ocorre com maior freqüência, é o que mais aparece na série. Para o cálculo da Moda em dados agrupados, precisamos primeiramente determinar a classe modal, ou seja, a classe de maior freqüência, para então aplicarmos a fórmula: Mo = X 1 + d d + d (^1) A 1 2 i § © ¨¨ · ¹ ¸¸ onde, X 1 : limite inferior da classe modal; d 1 : diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a freqüência absoluta da classe anterior; d 2 : diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a freqüência absoluta da classe posterior; Ai: amplitude da classe modal. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 45 f
2. Decis Dividem a série em 10 partes iguais, portanto temos 9 decis, ou seja, D 1 , D 2 , D 3 , ..., D 9. D 1 : 1 o Decil o D 1 = Xn/10 + ½ o classe em que se encontra o 1 o Decil P = 6 f/ D 1 = X 1 + h. (P - fA.p) f D 9 : 9o^ Decil oD 9 = X9n/10 + ½ o classe em que se encontra o 9o^ Decil P = 9 6 f/ D 9 = X 1 + h. (P - fA.p) f 3. Percentis ou Centis Dividem a série em 100 partes iguais, portanto temos 99 centis, ou seja, C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , ..., C 78 , C 79 , C 80 , ..., C 99. C 1 : 1 o Centil o C 1 = Xn/100 + ½ o classe em que se encontra o 1 o Centil P = 6 f/ C 1 = X 1 + h. (P - fA.p) f C 99 : 99 o Centil o C 99 = X99n/100 + ½ o classe em que se encontra o 99 o Centil P = 99 6 f/ C 99 = X 1 + h. (P - fA.p) f SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 46 8.2.3. Medidas de Dispersão Representamos geralmente uma série pela M, Me ou Mo, entretanto, elas não descrevem a flutuação dos demais valores em torno delas. Por isso, usamos medidas de dispersão, de variabilidade, que indicam o grau de variabilidade, de flutuação dos valores em torno do valor pré-determinado. As principais medidas de dispersão quanto a MÉDIA são: a) AMPLITUDE TOTAL ou campo de variação: A = X> - X< Esta medida é muito instável; se ocorrer valor excepcional, terá pouca utilidade. b) VARIÂNCIA: é a média dos quadrados dos desvios. A variância de uma amostra é representada por s^2 e constitui uma estimativa da variância da população V^2 (sigma ao quadrado).
1. População V^2 2 = Xi^2. . f X f f f i
2. Amostra s f X f f f i 2 2 1 = Xi^2. .
c) DESVIO PADRÃO ou afastamento médio quadrático: consiste em achar a média quadrática entre os desvios em relação à Média. É a medida mais usada, quer no trabalho experimental ou de pesquisa. Representado por s (quando estamos trabalhando com uma amostra) e V (quando estivermos trabalhando com a população).
1. População V = - Xi 6 6 X f f f f i 2 2
(Xi: ponto médio) SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 48 Exercícios!
- A seguinte tabela, contém o tempo de serviço(em anos) de 121 sujeitos do sexo masculino, na empresa “X”. Determinar: a) Média, mediana e moda para dados não agrupados em classes; b) Média, mediana e moda para dados agrupados em classes. c) Construir um histograma da distribuição dos dados. 4,7 8,4 9,6 10,7 11,4 12,6 13,9 15,3 16,8 18,7 22 4,9 8,6 9,6 10,7 11,4 12,7 13,9 15,5 16,8 18,8 22, 5,9 8,6 9,6 10,7 11,5 12,9 14,3 15,7 17,3 18,9 22, 6,9 9 9,8 10,8 11,5 13,2 14,3 15,7 17 ,4 19,1 23, 7,6 9,1 9,9 10,9 11,7 13,2 14,6 15,8 17,6 19,8 23, 7,7 9,1 9,9 11,1 11,8 13,2 14,6 16 17,7 20 23, 7,9 9,3 10,1 11,1 11,9 13,3 14,8 16 17,8 20,1 25, 7,9 9,4 10,2 11,3 12,1 13,5 14,8 16,2 18,2 20,4 25, 7,9 9,5 10,4 11,3 12,4 13,6 14,9 1 6,2 18,4 20,5 25, 8,1 9,5 10,4 11,4 12,5 13,6 15,1 16,3 18,4 20,6 27, 8,3 9,6 10,7 11,4 12,6 13,6 15,1 16,6 18,5 21,3 30,
- Com os dados abaixo, calcule o valor de Q 1 (25%), Q 3 (75%), C 10 (10%) e C 90 (90%). Abertura de Conta Corrente em determinado Banco. Cidade “X”. Período “Y”. Ordem X (Contas) f(dias) 1 10 ├─ 12 85 2 12 ├─ 14 165 3 14 ├─ 16 35 4 16 ├─ 18 15 5 18 ├─ 20 10 6 -^310 Fonte: Dados Fictícios
- Calcular média, moda e mediana para dados agrupados em classes. Relação de tempos em segundos gastos por máquinas para determinar uma dada tarefa. Indústria A. 2008 Ordem f Xi 40 ├─ 45 3 42, 45 ├─ 50 8 47, 50 ├─ 55 16 52, 55 ├─ 60 12 57, 60 ├─ 65 7 62, 65 ├─ 70 3 67, 70 ├─ 75 1 72, 6 50 Fonte: Indústria A SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
Medidas 49
- Com os dados abaixo, calcule todas as medidas de dispersão: Abertura de Conta Corrente em determinado Banco. Cidade “X”. Período “Y”. Ordem X (Contas) f(dias) (^1 10) ├─ 12 85 (^2 12) ├─ 14 165 (^3 14) ├─ 16 35 (^4 16) ├─ 18 15 (^5 18) ├─ 20 10 6 -^310 Fonte: Dados Fictícios
- Considerem o tempo de serviço de 34 funcionários em determinada empresa: 3,8 5,0 5,6 7,0 9,5 10,0 10, 4,0 5,0 5,8 7,0 9,8 10,0 10, 4,0 5,0 5,9 7,5 9,9 10,0 10, 4,5 5,0 6,5 7,8 9,9 10,0 10, 4,8 5,3 7,0 9,2 9,9 10, 5.1) O Setor pessoal buscando fazer uma análise do tempo de serviço dos seus funcionários, resolveu trabalhar com três medidas de tendência central. Quais foram os resultados calculados para a média, moda, mediana e desvio padrão? 5.2) Que tipo de análise pode ser feita sobre esses valores, ou seja, o que cada um representa? 5.3) No caso até agora trabalhado, existe uma medida de tendência central, que reflete com maior exatidão o tempo de serviço dos funcionários? Por quê?
- Calcule as Medidas de Tendência Central, Separatrizes, e Dispersão para dados agrupados e não agrupados: Distribuição da Idade de 45 Turistas, no Hotel “X”, Cidade “Y” 89 61 52 44 34 83 61 51 44 31 77 60 51 42 30 74 58 51 41 28 68 57 51 40 27 67 55 50 40 24 65 55 50 37 23 65 53 49 36 20 65 53 47 35 17 SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA ESTATÍSTICA PROF.: GRAÇA SABADIN, LEONARDO MORAIS
