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4 HIDROLOGIA ESTATÍSTICA: conceitos e aplicações
4.1 Conceitos básicos de Probabilidades
Um conjunto de dados hidrológicos necessita ser previamente analisado com base em alguns indicadores estatísticos básicos para que se possa, efetivamente, desenvolver a teoria das probabilidades às situações práticas desejadas. Primeiramente, este conjunto de dados hidrológicos é conhecido, no âmbito da hidrologia, como série histórica e consiste, basicamente, de uma amostra extraída de uma população. Com base nesta amostra, podemos calcular alguns indicadores e medidas estatísticas importantes, como média, desvio padrão (variância), assimetria, curtose e distribuição de freqüência dos dados observados na amostra. Estas medidas caracterizam apenas a amostra e nada dizem a respeito da população em si. A distribuição de freqüências demonstra o comportamento da amostra no tocante à sua simetria e é nosso objetivo, na hidrologia estatística, modelar esta distribuição de freqüência com base num modelo matemático, constituído de parâmetros, conhecido como Distribuição de Probabilidades. Primeiramente, é importante que caracterizemos algumas situações relativas à amostra, contextualizada em termos da hidrologia. Podemos modelar uma distribuição de freqüência no contexto de dados discretos, como por exemplo, o lançamento de uma moeda ou no sorteio de números de alguma forma de loteria. No caso da hidrologia, pode-se, eventualmente, considerar dias chuvosos como variáveis hidrológicas discretas, mas na maioria das vezes, a hidrologia considera suas análises dentro do contexto de variáveis contínuas. Em se tratando de variáveis discretas, podemos responder à pergunta: qual a probabilidade de um número qualquer ser sorteado (evento x) dentro de um espaço amostral finito S qualquer, constituído por N números, sendo este um evento aleatório. A resposta pode ser escrita da seguinte forma:
P ( ) x = mxN (1)
Observe que todos os números que constituem o espaço amostral S possuem a mesma possibilidade de ser sorteados numa situação não viciada. É importante, no entanto, diferenciarmos probabilidade de freqüência. Esta última está associada ao número de vezes que um determinado evento ocorreu, enquanto que probabilidade refere-se às possíveis situações de ocorrência, que no caso da equação 1, é considerada como de igual de probabilidade. Assim, se um sorteio de cara e coroa é realizado 10 vezes e “cara” for sorteado 7 vezes, sua freqüência será 0,7. Por lado, como
temos apenas duas possibilidades e estas são iguais (numa situação não viciada), o número de vezes esperado para o sorteio de “cara” é 5 vezes, portanto, a probabilidade seria 0,5. No entanto, na hidrologia, em grande parte das vezes, nos interessa, em termos práticos, avaliar qual a possibilidade de um determinado evento ser maior ou igual (ou menor ou igual) a um dado valor xi e isto remete ao conceito de uma variável contínua, como por exemplo, vazões de um rio. Existem diferenças importantes nos modelos probabilísticos para ambas as situações. No caso de variáveis discretas busca-se estimar qual a P(x) ser igual a um valor; no caso de variáveis contínuas, qual a P(x > xi) ou P(X<xi). Para variáveis discretas, o modelo probabilístico pode ser ajustado com apenas um parâmetro, normalmente vinculado à média, como no caso da Distribuição de Poisson. Em se tratando de variáveis contínuas, o modelo probabilístico necessita de 2 ou 3 parâmetros para seu ajuste, e estes estão vinculados às medidas estatísticas de média, variância e assimetria, ou seja, aos momentos estatísticos de 1ª, 2ª e 3ª ordens.
4.1.1 Probabilidade Condicional A probabilidade de ocorrência de um determinado evento A pode ser influenciado pela ocorrência de outro evento B, uma vez que haverá redução do espaço amostral S para a realização do evento A quando B ocorre. Neste caso, tem-se a seguinte definição:
P ( A|B) = P(^ PA (B ∩)B) (2)
Nesta equação, P( A|B) significa a probabilidade do evento A, associada (ou
condicionada) ao evento B, P ( A∩ B)significa a intersecção dos eventos A e B no plano
amostral S e P(B) é a probabilidade de ocorrência do evento B. Graficamente, teríamos:
Deste esquema, depreende-se também que:
S
B
A (^) P( A∩B)
4.2 Freqüência de Dados Hidrológicos
Os fenômenos hidrológicos podem ser caracterizados como aleatórios, podendo-se associar aos mesmos, um caráter probabilístico envolvendo estes fenômenos. Em termos de seu comportamento há de se ressaltar que, sempre haverá possibilidade de um dado evento hidrológico ser superior ou inferior a um valor histórico já registrado. Isto é essencial para o entendimento das variáveis hidrológicas, uma vez que esta é uma das principais funções da hidrologia, que consiste em observar os eventos e modelar as freqüências de ocorrência, possibilitando que sejam feitas previsões assumindo determinado risco. As variáveis hidrológicas, na maioria das vezes, são consideradas contínuas, ou seja, variáveis que em termos físicos, existem continuamente no tempo. Em termos estatísticos, são aplicadas distribuições que modelam este caráter, trabalhando com cálculos de áreas sob a curva de distribuição de probabilidades abaixo ou acima de determinado valor de interesse prático ou entre valores. Percebe-se que neste caso, não se pergunta qual a probabilidade de um determinado evento ser IGUAL a um valor específico, como no sorteio de um número, e sim, deste evento ser maior ou menor que este valor, ou estar entre 2 valores específicos. Este entendimento também é fundamental para aplicação das distribuições de probabilidades aos fenômenos hidrológicos. O primeiro passo para se modelar a freqüência de dados hidrológicos é fazer um estudo de sua ocorrência, no que se estabelece um percentual com que uma variável hidrológica pode ser maior que um dado valor. Isto é chamado freqüência de excedência e é obtida diretamente de uma série histórica de dados. Contudo, pode-se trabalhar com a freqüência de não excedência, ou seja, aquela em que se estuda o percentual de uma variável ser menor ou igual a um dado valor. A escolha depende dos objetivos, os quais serão discutidos na seqüência. Deve-se ressaltar que uma é o complemento da outra, ou seja:
f (^) exc = 1 −fnão− exc (4)
Existem algumas definições de freqüência considerando variáveis contínuas, destacando-se:
Tabela 4.1 Equações para estimativa da freqüência observada e suas aplicações. Fórmula Autor Observações
N 1 fobs i = (^) + Weibull Aplicação ao estudo de probabilidades não enviesadas (sem tendência) para qualquer modelo de Distribuição.
N 0 , 12 fobs i^0 ,^44
= − Gringorten^ Aplicada para estudos associados às Distribuições Gumbel e GEV.
N 0 , 25 fobs i^0 ,^375
= − Blom^ Aplicada para estudos associados às Distribuições Normal e Log-normal.
N fobs = i−^0 ,^50 Hazen^ Aplicada^ para^ estudos^ associados^ à^ Distribuição Gama 3 parâmetros.
N 0 , 20 fobs i^0 ,^40
= − Cunnane^ Aplicação^ ao^ estudo^ de^ probabilidades^ não enviesadas (sem tendência) para qualquer modelo de Distribuição.
O termo i, no numerador, refere-se à posição que o dado ocupa dentro da série histórica, a qual deve ser ordena em ordem crescente para freqüências de não excedência e ordem decrescente para freqüência de excedência. Por outro lado, N, no denominador, refere-se ao tamanho da série histórica. Ressalta-se que nos exemplos de aplicação aqui desenvolvidos, será considerada apenas a equação proposta por Weibull. Com base no estudo das freqüências de ocorrência, ajusta-se uma distribuição de probabilidades e aquela que obtiver o melhor ajuste (menores diferenças entre as freqüências observadas e estimadas) deve ser a escolhida. Note que o tamanho da série histórica tem grande importância haja vista que ela representará a possibilidade de ocorrência, ou seja, quanto maior esta, maior a representatividade do evento, tendo como referência seu registro histórico. Portanto, o ajuste de uma distribuição de probabilidades busca sua aplicação para estimar as freqüências de eventos que ainda não foram registrados e que normalmente são aplicados a projetos hidráulicos. A freqüência de excedência é bastante usada em hidrologia, especialmente quando os dados a serem trabalhados constituem séries históricas de precipitação. No entanto, para estudos de vazões, esta situação é também é importante, sendo que, neste caso, pode-se gerar um gráfico conhecido como “Curva de Permanência”. Isto significa que pode-se obter a percentagem de tempo (ou permanência) no qual um determinado evento é superado ou igualado. Estudos com esta conotação têm várias importâncias práticas, como por exemplo, na determinação de uma vazão mínima de um curso d’água para abastecimento ou irrigação, ou ainda, a precipitação mínima num determinado período de um mês visando ao balanço hídrico e fornecimento da lâmina de irrigação suplementar, ambas as grandezas
4.3 Conceito de Tempo de Retorno (TR) O tempo de retorno representa o inverso da freqüência com que um evento pode ser igualado ou superado, ou seja, reflete a probabilidade com que uma dada variável hidrológica possa ser igualada ou superada, pelo menos uma vez, num ano qualquer. Ao se ajustar uma distribuição de probabilidades aos dados de freqüência de uma série histórica, utiliza-se a probabilidade de excedência para estimar um tempo de retorno, que é obtido em anos. Por definição, tem-se:
F ( X xi)
TR 1
Ao se assumir uma distribuição de probabilidades com F (X > xi) estimado por P (X > xi), tem-se:
P ( X xi)
TR 1
No entanto, quando o objeto de estudo consiste de uma série histórica de dados hidrológicos mínimos ou dados que apresentem distribuição normal, o tempo de retorno a ser estimado também está associado à probabilidade com que o valor mínimo considerado pode ser inferior ao esperado, ou seja:
( ) P( X xi)
FX xi
TR 1
Esta situação é comum quando se trabalha com dados de vazão mínima visando à gestão dos recursos hídricos e avaliação da disponibilidade de água para irrigação ou abastecimento. Uma vazão específica corresponde ao valor da Q7,10, que significa um valor mínimo de vazão em 7 dias consecutivos, com Tempo de Retorno de 10 anos. Isto significa que há probabilidade de 10% de ocorrer uma vazão mínima com 7 dias consecutivos inferior ao valor estimado, sendo interpretado como um fator de segurança, porém associado à garantia de vazão no curso d’água. Contudo, o cálculo de TR, com base no seu conceito, não é suficiente. Assim, é possível calcular o “risco hidrológico” propriamente dito, o qual está associado à probabilidade de um evento ser igualado ou superado, porém, num intervalo de tempo N menor que TR e cuja definição prática está associada à vida útil da obra. Na realidade, esta probabilidade pode ser calculada pensando-se na probabilidade de que o evento não ocorra. A linha de raciocínio é a seguinte: dados que p é a probabilidade de ocorrência de um evento num ano qualquer; seu complemento é k, ou seja, a probabilidade de não ocorrência. Assim:
k = 1 − p (8)
Considera-se que a probabilidade do evento não ocorrer em qualquer dos anos, num intervalo de N anos, é dada por:
K = k^ N (9)
Da mesma forma, seu complemento, no sentido agora de ocorrência, será:
R = 1 − K (10)
Sendo R o risco de ocorrência do evento num período de N anos. Fazendo-se algumas substituições, chega-se a:
R = 1 − k^ N (11)
R = 1 −( 1 −p )^ N (12)
N TR
R 1 1 1
= −^ − (13)
Na realidade, esta seqüência de equações nada mais é do que a aplicação da Distribuição Binomial, considerando a probabilidade de não ocorrência, ou seja, P(x=0). A Distribuição Binomial apresenta a seguinte estrutura:
P ( X x) Nx⋅px^ ⋅( 1 −p) N−x
Assim, para a situação de não ocorrência, ou seja, P (X=0), teremos:
P ( X 0 ) 0 N⋅p^0 ⋅( 1 −p) N=( 1 −p)N
Para a situação de ocorrência: P( X= x)= 1 −( 1 −p )^ N (16) Sendo P(X=x) o risco hidrológico R definido anteriormente. O desdobramento, em função de TR, é idêntico ao apresentado anteriormente.
probabilidade de excedência maior, estimando-se um valor menor de precipitação provável, devido ao risco de prejuízos mais importantes.
c) Precipitação máxima diária anual: neste caso, toma-se, em determinado ano, a maior precipitação diária registrada, sendo este valor 1 componente da série histórica. É feito desta forma para vários anos, constituindo-se a série histórica. Seu estudo é importante quando se deseja obter valores extremos máximos diários, visando ao estudo da freqüência de ocorrência de precipitações intensas, inclusive para geração das equações de chuvas intensas. Quando a disponibilidade de dados históricos é pequena, pode-se trabalhar com os 2 maiores valores anuais, a fim de melhorar a representatividade da série.
d) Precipitação máxima anual correspondente a um determinado tempo de duração da precipitação: aqui, têm-se os mesmos objetivos anteriores, porém trabalhando-se com pluviogramas, separando-se o valor máximo da precipitação num determinado ano, para vários tempos de duração. Assim, constitui-se uma série histórica para cada tempo de duração. Estas séries geram resultados mais precisos para o ajuste da equação de chuvas intensas, pois trata-se de intensidades reais que ocorreram num determinado local. Valores totais diários não expressam tal característica.
e) Vazões Máximas Diárias Anuais: são séries históricas aplicadas ao estudo de vazões de cheia e de projeto em cursos d´água. São séries com característica assintótica, assim como as de precipitações máximas, ou seja, com acúmulo de dados à esquerda na distribuição de freqüências, gerando-se um caudal à direita.
f) Vazões Mínimas Diárias Anuais: são séries históricas muito aplicadas à hidrologia, fundamentais em estudos ligados à disponibilidade de água em cursos d’água para projetos e gestão de recursos hídricos. De forma semelhante às vazões máximas, são assintóticas, com acúmulo de dados à direita na distribuição de freqüência, gerando-se um caudal à esquerda.
g) Vazões médias anuais: são séries históricas aplicadas ao estudo do comportamento do deflúvio médio anual, obtida pela média aritmética dos dados.
h) Evapotranspiração: séries históricas que permitem estudar o comportamento evapotranspirativo em bacias hidrográficas. Importante nos estudos ligados ao
comportamento climático de regiões, bem como modelagem do balanço hídrico climatológico.
4.5 Histogramas de Freqüência
Histogramas de freqüência dizem respeito à representação gráfica (normalmente em barras) da freqüência de ocorrência de uma dada variável, podendo ser simples ou acumulada (de excedência ou não excedência). A curva de permanência é um tipo de histograma de excedência, com as classes acumulando-se à esquerda. A seguir será apresentada a metodologia clássica para o desenvolvimento de histogramas de freqüência.
1 o) Determinação do número de classes (k)
- até 100 dados = k = n
- acima de 100 dados = k = 5 ⋅log 10 (n )
onde n é o número de observações.
2 o) Amplitude total dos dados (A)
A = M− m, em que M é o valor máximo observado e m, o menor valor.
3 o) Amplitude de classe (Ac)
k 1
Ac A^ x
= +^ ∆ , em que, ∆x é a precisão de leitura (por exemplo: dados com uma casa
decimal, a precisão é de 0,1).
4 o) Limite inferior da 1a^ classe
LI m^ Ac
classe 1 = −
5 o) Limite superior da 1a^ Classe
LS classe 1 =LIclasse 1 + Ac
6 o) As demais classes são computadas somando-se os limites à amplitude, e assim sucessivamente. LSclasse1 = LIclasse LSclasse2 = LIclasse2 + Ac LSclasse2 = LIclasse3, e assim por diante.
(os eventos hidrológicos podem ser superados), a assimetria é positiva. A assimetria pode ser calculada da seguinte forma:
n
x x A
n i 1
3 (^) i
(^) − = =
− (20) Na prática é mais comum a utilização do coeficiente de assimetria, que representa a relação entre a assimetria e o desvio padrão ao cubo. Este coeficiente pode ser do tipo corrigido ou comum. O último pode ser calculado por:
s^3 Ca = A (21)
O coeficiente corrigido é determinado da seguinte forma:
( ) ( ) 3
n i 1
3 i s
x x n 1 n 2 Ca n^ ^
(^) − = (^) − ⋅ − ⋅=
− (22)
Além da análise geral dos dados, a média, o desvio padrão e o coeficiente de assimetria são extremamente importantes, pois constituem-se nos parâmetros que permitem o ajuste das distribuições de probabilidades.
4.6.7 Curtose Quantifica o grau de “achatamento” da distribuição de freqüência de uma determinada amostra. A referência para curtose é a curva normal e pode ser calculada pela seguinte equação:
3 s
1 n
x x Cu (^4)
n i 1
4 i ⋅ −
(^)
(^) − = =
− (23)
Se Cu for próximo a zero, a distribuição é intermediária, sendo conhecido como “Mesocúrtica”; se for maior que zero, os dados estão distribuídos de forma “afilada” (“Leptocúrtica”); se for menor que zero, forma “achatada” (Platicúrtica) (Figura 4.2).
Figura 4.2 Comportamento da distribuição normal em função do achatamento dos dados.
4.6.8 Co-variância amostral Quando se relaciona um conjunto de dados de uma variável com valores de outra variável que possa explicar o comportamento da primeira, aplica-se a co-variância amostral, onde quanto maior este valor, maior a relação entre as variáveis, ou seja, mais uma variável explica a outra. Este coeficiente pode ser calculado pela equação: −⋅ − = cov = (^) n^1 ⋅nx⋅yi−x ⋅y xy (^) i 1 i
A co-variância pode ser negativa ou positiva. No primeiro caso, significa que valores mais baixos de uma variável explicam valores mais altos de outra variável. No segundo, as variáveis possuem o mesmo comportamento em termos de crescimento. Em ambos os casos, quanto maior o valor, em módulo, maior a explicação da variável dependente.
4.6.9 Coeficiente de correlação É um coeficiente que adimensionaliza a co-variância e busca explicar, da mesma forma anterior, a relação entre duas variáveis. Seu valor varia de –1 a 1 e quanto mais próximo dos extremos, maior a explicação da variável. É calculada por:
- Distribuição de Gumbel para mínimos (ou Assintótica de Valores Mínimos Extremos do Tipo I): adequada para valores mínimos extremos (série de valores mínimos de vazão);
- Distribuição Log-Normal a 2 e 3 parâmetros: aplicável tanto a valores originais quanto máximos e estimativa da precipitação provável;
- Distribuição Gama: aplicável para estimativa da precipitação provável e séries históricas de valores extremos;
- Distribuição Weibull: aplicável a série histórica de vazões mínimas;
- Distribuição de Extremos de Fréchet ou Log-Gumbel: aplicação voltada para séries históricas de valores extremos máximos, especialmente vazões máximas;
- Distribuição Generalizada de Valores Extremos (GEV): distribuição que engloba as distribuições de extremos Tipo I (Gumbel), Tipo II (Fréchet) e Tipo III (Weibull).
O ajuste de uma distribuição de probabilidades é conduzido com base em 2 ou 3 parâmetros. A estimativa destes parâmetros é feita com base na Inferência Estatística, sendo o método dos momentos, o qual calcula os parâmetros com base nos momentos estatísticos de 1 a, 2 a^ e 3 a^ ordem, associados, respectivamente, à média, variância e assimetria, o mais simples. As distribuições Normal e de Gumbel possuem apenas os 2 primeiros parâmetros. A Log-Normal pode estar associada aos 2 primeiros, assim como a Normal, ou aos 3 parâmetros. No entanto, este método, apesar de mais aplicado, é menos preciso que outros. Os métodos da Máxima Verossimilhança e Momentos – L são também aplicados para estimativa dos parâmetros e também serão apresentados e discutidos.
4.7.2.1 Distribuição Normal ou de Gauss A distribuição de Gauss ou Normal (DN) é uma distribuição de probabilidades para variável contínua, caracterizada pela média e desvio padrão. Os valores de uma série que segue a DN se distribuem simetricamente em relação à média. Portanto, apresentam o coeficiente de assimetria igual a zero. A relação entre os valores e a probabilidade de ocorrência pode ser visualizada na Figura 4.3, cuja área até determinado ponto (ou valor), no sentido da esquerda para direita, representa a probabilidade de ocorrer valores menores ou iguais àquele valor (probabilidade de não excedência).
Figura 4.3 Representação da distribuição normal com seus principais parâmetros.
A função densidade de probabilidade (FDP) é dada pela seguinte equação:
( )
e 2 FDP fx^1
0 , 5 x σ − ⋅ −μ ⋅ σ ⋅π
Em que σ é o desvio padrão e μ é a esperança ou média, ambos da população, que serão
substituídas pelo desvio padrão e média amostrais, com o 1o^ e 2o^ momentos calculados da seguinte forma:
s
^ σ = e X
^ μ = (28)
A probabilidade propriamente dita é obtida pela integração da função densidade de probabilidade (FDP), gerando a Função Cumulativa de Probabilidades (FCP). A
probabilidade de não-excedência é obtida pela integração da FDP de − ∞ a um
determinado valor X. A probabilidade de excedência é obtida com base na equação 1, já
que a integração da FDP de − ∞ a + ∞ é igual a 1. Desta forma, tem-se para a
probabilidade de não-excedência:
mesmo valor (com os mesmos desvios) têm o mesmo tempo de recorrência, independente de ser menor ou maior que a média. Assim, se 2 valores da variável X (X1 e X2) distam da média, o mesmo desvio, tem-se o mesmo tempo de retorno para ambas. Numa situação, busca-se a possibilidade de um valor menor que a média voltar a se repetir e noutra, um valor maior que a média. Nesta situação, o cálculo de TR é conduzido considerando-se as seguintes situações:
- Para valores menores que a média, objetiva-se conhecer o valor de não- excedência;
- Para valores maiores que a média, objetiva a probabilidade de excedência; Pelas equações abaixo, tem-se, respectivamente, a forma de cálculo de TR para cada situação:
P ( x xi)
TR 1
; se o valor da variável for menor que a média;
P ( x xi)
TR 1
; se o valor da variável for maior que a média;
Exemplo de Aplicação 4. Se a precipitação total anual média é de 1000 mm e o desvio padrão, 200 mm, qual o TR para as precipitações de 1200 mm e 800 mm.
O cálculo de z por meio da equação 30 fornece um valor para a primeira situação, igual a 1 e para a segunda, –1. Ao se consultar a tabela de z (Tabela 4.2), encontra-se uma freqüência de não excedência para z = 1, de 0,84134 e para z = -1, 0,15865. Para o primeiro caso, o cálculo de TR é dado pela segunda equação. Assim, tem-se:
TR = (^0) , 158651 = 6 , 3 anos; o valor da probabilidade de excedência foi obtido por 1 –
0,84134 = 0,15865. Para o segundo caso, tem-se: TR = (^0) , 158651 = 6 , 3 anos; O valor da probabilidade de não excedência, neste caso, é obtido considerando-se o
aspecto de simetria dos dados, ou seja, como P( z ≤ 1 )é igual a 0,84134, seu complemento
[P (^) ( z> 1 )] será 0,15865. Como os valores são simétricos, (^) P( z≤ − 1 ) =P( z≥ 1 )e portanto,
0,15865.
Tabela 4.2 Tabela de z considerando probabilidade de não excedência
⋅ ^ −
⋅π
−∞
z 2 exp z 2 dz 2
F z^1 ).
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0. 0.00 0.5 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0. 0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0. 0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0. 0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0. 0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0. 0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0. 0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0. 0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0. 0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0. 0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0. 1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0. 1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0. 1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0. 1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0. 1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0. 1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0. 1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0. 1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0. 1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0. 1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0. 2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0. 2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0. 2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0. 2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0. 2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0. 2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0. 2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0. 2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0. 2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0. 2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0. 3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0. 3.10 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0. 3.20 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0. 3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0. 3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.
Exemplo de Aplicação 4. Com base na série histórica de alturas pluviométricas anuais de Lavras, MG, no período de 1914-1943, 1946-1949 e 1951-1991, obter: a) Distribuição de freqüência (tabela e gráfico), média, mediana, moda, desvio padrão e coeficiente de assimetria.
