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Lista de Exerc´ıcios - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica
- Sorteando um n´umero de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou m´ultiplo de 5?
- Lan¸cando-se simultaneamente dois dados n˜ao viciados, qual a proba- bilidade de que suas faces superiores exibam a soma igual a 7 ou 9?
- Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma comunidade, verificou-se que 200 lˆeem o jornal A, 300 lˆeem o jornal B e 150 lˆeem os jornais A e B. Qual a probabilidade de, sorteando-se uma pessoa, ela ser leitora do jornal A ou do jornal B?
- Extrai-se aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual ´e a probabilidade de a carta extra´ıda ser valete ou carta de paus? Obs: um baralho possui 4 valetes e 13 cartas de paus. S´o existe 1 valete de paus.
- Numa urna h´a 40 bolas brancas, 25 bolas pretas e 15 vermelhas. Retirando- se uma bola ao acaso, determine a probabilidade de que ela seja preta ou vermelha.
- Considere um experimento aleat´orio e os eventos X e Y associados, tais que P(X)=1/2, P(Y)1/3 e P(X ∩ Y )=1/4. Calcule P(X ∪ Y ).
- Quatro universidades–1,2,3 e 4– est˜ao participando de um torneio de basquete. Na primeira etapa, 1 jogar´a com 2 e 3 com 4. Os dois vence- dores disputar˜ao o campeonato e os dois perdedores tamb´em jogar˜ao. Um resultado poss´ıvel pode ser representado por 1324 (1 ganha de 2 e 3 ganha de 4 nos jogos da primeira etapa e 1 ganha de 3 e 2 ganha de 4).
(a) Relacione todos os resultados de s (b) Represente por A o evento em que 1 ganha o torneio. Relacione os resultados de A. (c) Represente por B o evento em que 2 seja um dos finalistas do campeonato. Relacione os resultados de B. (d) Quais s˜ao os resultados de A ∪ B e de A ∩ B? Quais s˜ao os resultados de A′?
- Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada universi- dade e represente por A o evento de ele possuir um cart˜ao de cr´edito Visa e por B o evento an´alogo para um MasterCard. Suponha que P (A) = 0. 5 , P (B) = 0.4 e P (A ∩ B) = 0. 25
(a) Calcule a probabilidade de que o indiv´ıduo selecionado tenha pelo menos um dos dois tipos de cart˜ao (ou seja, a probabilidade do evento A ∪ B). (b) Qual ´e a probabilidade de o indiv´ıduo selecionado n˜ao ter nenhum dos tipos de cart˜ao? (c) Descreva, em termos de A e B, o evento em que o estudante sele- cionado possui um cart˜ao Visa, mas n˜ao um MasterCard. Calcule a probabilidade deste evento.
- A rota usada por um motorista que vai ao trabalho cont´em dois cruza- mentos com sem´aforos. A probabilidade de que ele tenha de parar no primeiro sem´aforo ´e 0.4, a probabilidade an´aloga para o segundo sem´aforo ´e 0.5 e a probabilidade de que ele tenha de parar em pelo menos um dos dois sem´aforos ´e 0.6. Qual a probabilidade de ele ter de parar:
(a) Nos dois sem´aforos? (b) No primeiro sem´aforo mas n˜ao no segundo? (c) Em exatamente um sem´aforo?
- O conselho de estudantes de engenharia de certa faculdade possui um aluno representante de cada uma das ´areas de engenharia (civil, el´etrica, produ¸cao de mat´eriais e mecˆanica). De quantas formas ´e poss´ıvel:
(a) Selecionar um presidente e um vice-presidente? (b) Selecionar um presidente, um vice-presidente e um secret´ario?
- Trˆes mol´eculas do tipo A, trˆes do tipo B, trˆes do tipo C e trˆes do tipo D ser˜ao vinculadas uma `a outra para formar uma cadeia molecular. Uma mol´ecula deste tipo ´e ABCDABCDABCD e outra ´e BCDDAAABDBCC.
(a) Quantas mol´eculas deste tipo podem ser formadas? (Sugest˜ao: se as trˆes mol´eculas A forem diferentes uma da outra –A 1 , A 2 , A 3 – assim como as B, C e D, quantas mol´eculas haver´a? Como esse n´umero ser´a reduzido se nao houver distin¸c˜ao entre as mol´eculas A?) (b) Supornha que uma mol´ecula composta do tipo descrito seja sele- cionada aleatoriamente. Qual ´e a probabilidade de que todas as mol´eculas de cada tipo estejam juntas (como em BBBAAADDD- CCC)?
- Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente definida pela f´ormula de b(n, p):
(a) b(8, 0 .6) P (X = 3) (b) b(8, 0 .6) P (X = 5) (c) P (X ≥ 1) quando n = 12 e p = 0.1.
- Suponha que 90% de todas as pilhas de certo fabricante tenham volt- agens aceit´aveis. Um determinado tipo de lanterna necessita de duas pilhas tipo D, e ela s´o funciona se as duas pilhas tiverem voltagem aceit´avel. Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual ´e a probabilidade de pelo menos nove funcionarem?
- Um instrutor que lecionou estat´ıstica para engenheiros para duas tur- mas no semestre passado, a primeira com 20 alunos e a segunda com 30, decidiu pedir aos alunos um projeto semestral. Ap´os a entrega de todos os projetos, o instrutor os organizou aleatoriamente antes de corrigi-los. Considere os primeiros 15 projetos a serem corrigidos.
(a) Qual ´e a probabilidade de exatamente 10 projetos serem da se- gunda turma? (b) Qual ´e a probabilidade de pelo menos 10 projetos serem da se- gunda turma? (c) Qual ´e a probabilidade de ao menos 10 projetos serem da mesma turma?
- Um professor apresenta para seus alunos 10 problemas, afirmando que a prova final consistir´a de uma sele¸c˜ao aleat´oria de 5 delas. Se um estudante sabe resolver 7 dos problemas, qual ´e a probabilidade que responda
(a) Todos os 5 problemas (b) pelo menos 4 dos problemas.
- Para encontrar informa¸c˜ao atrav´es da internet um usu´ario escolhe trˆes buscadores. (−)10% das vezes escolhe o buscador A, neste caso de cada 5 vezes n˜ao encontra a informa¸c˜ao. (−)30% das vezes o usu´ario escolhe o buscador B, nesse caso a probabilidade de que ache a informa¸c˜ao ´e de 0.75.(−)60% das vezes escolhe o buscador C e a chance de encontrar a informa¸c˜ao desejada ´e de 0. 95
(a) Qual a probabilidade de que o usu´ario encontre a informa¸c˜ao? (b) Se o usu´ario encontrou a informa¸c˜ao, com qual destes trˆes bus- cadores ´e mais prov´avel que tenha conseguido?
- A propor¸c˜ao de componentes eletrˆonicos defeituosos em certos lotes, ´e uma vari´avel aleat´oria discreta X cuja distribui¸c˜ao acumulada tenha a seguinte forma: F (0.01) − F (0. 01 (−)) = 0. 5 , F (0.1) − F (0. 1 (−)) = 0.25, e F (0.15) − F (0. 15 (−)) = 0.25. Tem-se uma grande quantidade de lotes deste tipo.
(a) Determine a fun¸c˜ao de probabilidade de X (b) Qual ´e a m´edia(valor esperado) do n´umero de componentes de- feituosos por lote? (c) Construa o gr´afico da FDA.
- Num estudo de desempenho de uma central de computa¸c˜ao, o acesso `a CPU ´e descrito por uma vari´avel Poisson com m´edia de 4 requisi¸c˜oes por segundo. Essas requisi¸c˜oes podem ser de v´arias naturezas, tais como: imprimir um arquivo, efetuar um c´alculo, enviar uma mensagem, entre outras.
(a) Escolhendo-se ao acaso um intervalo de 1 segundo, qual ´e a prob- abilidade de haver dois ou mais acessos `a CPU? (b) Considerando-se agora o intervalo de 10 segundos, tamb´em escol- hido ao acaso, qual a probabilidade de haver 50 acessos?
- Um robˆo ´e programado para operar mediante microprocessadores, e pode falhar em um determinado per´ıodo (turno de 8 horas) indepen- dente dos outros turnos com probrabilidade de 0.2. Quando um robˆo falha pela segunda vez, ele ´e mandado para a manuten¸c˜ao geral. De- terminar
(a) a probrabilidade de que o robˆo seja enviado para manuten¸c˜ao no m´aximo no quinto turno. (b) o n´umero esperado de turnos at´e ser enviado `a manuten¸c˜ao.
- Suponha que A e B s˜ao eventos mutuamente exclusivos, com P (A) = 0 .3 e P (B) = 0.5. Qual a probabilidade de
(a) Ambos A ou B ocorram. (b) A ocorra mas B n˜ao ocorra.
(d) Calcule E[X]
- Numa central telefonica, o n´umero de liga¸c˜oes recebidas por minuto ´e descrita por uma vari´avel Poisson com m´edia de 4 liga¸c˜oes por minuto.
(a) Escolhendo-se ao acaso o intervalo de 1 minuto, qual a probabili- dade de haver duas ou mais liga¸c˜oes? (b) Considerando agora o intervalo de 10 minutos, tamb´em escolhido ao acaso, qual a probabilidade de haver 50 liga¸c˜oes?
- Se E[X] = 1 e V ar(X) = 5, encontre:
- E[(2 + X)^2 ]
- V ar(4 + 3X)
- Em uma prova de m´ultipla escolha, h´a trˆes respostas poss´ıveis para cada uma das 5 quest˜oes.
(a) Qual ´e a probabilidade de que um estudante responda 4 ou mais questoes “adivinhando”? (b) Qual ´e o n´umero esperado de respostas corretas?
- A dura¸c˜ao (em anos) de um componente eletrˆonico pode ser consider- ada como uma vari´avel aleat´oria X com fun¸c˜ao de densidade f (x) = 0 .1 exp−^0.^1 x, x > 0.
(a) Se a garantia for de um ano para qualquer componente, que por- centagem dos componentes ser˜ao trocadas? (b) Calcule a m´edia de dura¸c˜ao dos componentes. (c) Calcule a Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao acumulada da vari´avel aleat´oria X. (d) Considere a seguinte fun¸c˜ao de utilidade para os componentes:
g(x) =
− 100 , se X ≤ 1, 200 , se X > 1;
qual seria a utilidade esperada do fabricante? (e) Mostre que P (X > t + h/X > t) = P (X > h), ∀h > 0 , ∀t > 0 (falta de mem´oria)
- A voltagem suministrada por uma fonte geradora no instante t ´e dado por Xt = a cos(wt+Θ), com a e w constantes e Θ uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [−π, π]. Calcule o valor esper- ado desta voltagem.
- A distribui¸c˜ao da resistˆencia de resistores de um tipo espec´ıfico ´e nor- mal, 10% dos equipamentos apresentam resistˆencia maior que 10. ohms e 5% menor que 9.671 ohms. Quais s˜ao os valores da m´edia e do desvio padr˜ao das resistˆencias?
- Seja a popula¸c˜ao formada por { 2 , 4 , 4 , 6 }. Considere todas as amostras (com reposi¸c˜ao) de tamanho 2.
(a) Encontre a distribui¸c˜ao de ¯x. (b) Verifique se ¯x ´e ou n˜ao um estimador viesado de μ. (c) Verifique que S^2 =
i=
(xi−x¯)^2 n− 1 ´e um estimador n˜ao viesado de σ^2.
- Um sistema em s´erie est´a integrado por dois componentes: o tempo de vida (em anos) do primeiro ´e X e do segundo ´e Y. A fun¸c˜ao de densidade conjunta de X e Y ´e
f (x, y) =
2 exp−^2 y, 0 < x < 2 y, 0 , c.c
(a) Calcule a confiabilidade do sistema para o per´ıodo de um ano. (b) Encontre a densidade marginal de X. (c) Encontre a densidade condicional de Y dado X.
- Um canal de comunica¸c˜ao para qual o sinal (transmitido-recebido) pode tomar quatro valores, 0,1,2 ou 3. No entanto, devido ao ru´ıdo, um sinal transmitido pode se receber com outro valor. Suponha que para um canal deste tipo, a distribui¸c˜ao da probabilidade conjunta de X (valor do sinal transmitido) e Y (valor do sinal recebido), est´a dada por:
x y 0 1 2 3 0 0.28 0.04 0.04 0. 1 0.03 0.21 0.03 0. 2 0.02 0.04 0.12 0. 3 0.03 0.02 0.01 0.
- O tempo de resposta (em segundos) de um procedimento (tempo que temora para o procedimento realizar um pedido) ´e uma vari´avel aleat´oria X com uma fun¸c˜ao de densidade dada por:
f (x) =
57 40 −^
51(x − 1)^2 10
; 0. 5 < x < 1. 5 0 , caso contr´ario
(a) Determine a probabilidade de que o tempo de resposta esteja entre 0.8s e 1s. (b) Encontre a m´edia e o desvio padr˜ao do tempo de resposta do processo. (c) Determine P (|X − μX | < 2 σX ).
- A ocorrˆencia de certo evento catastr´ofico para a economia ocorre de acordo a um processo Poisson com uma taxa de um a cada 5 anos.
(a) Determine a probabilidade de que num per´ıodo de 10 anos n˜ao ocorra mais de duas vezes este evento catastr´ofico. (b) Encontre a probabilidade de que num per´ıodo de 5 anos, ocorra mais de duas vezes este evento catastr´ofico. (c) Um projeto deve executar durante um per´ıodo de dez anos. Se este evento n˜ao se apresenta durante o per´ıodo de execu¸c˜ao do projeto, o custo ´e de 200 unidades monet´arias (u.m); Em outro caso este custo incrementa-se em 100 u.m. por cada unidade de tempo faltante at´e terminar a execu¸c˜ao do projeto. Determine o valor esperado do custo de execu¸c˜ao do projeto. (d) Qual ´e a probabilidade de que passem mais de 20 anos at´e que ocorra trˆes vezes o dito evento?
- Para a vari´avel X com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro λ mostre que P (X > t + h/X > t) = P (X > h), ∀h > 0 , ∀t > 0 (falta de mem´oria).
- Se o comprimento da rosca de um parafuso tem distribui¸c˜ao normal com media 5cm e a empresa considera como aceit´aveis os parafusos que cuja medida n˜ao est˜ao mais do que 45% ao redor da media. Quais s˜ao ent˜ao os limites para os tamanhos aceit´aveis?
- Sejam P.Q e R probabilidades tais que para cada evento A de Ω : Q(A) = P (A/B) e R(A) = Q(A/C). Demonstre que para cada evento A : R(A) = P (A/B ∩ C).
- Para converter dois sinais digitais em anal´ogicos, para sua transmiss˜ao, usa-se um de trˆes modems dispon´ıveis: m 1 , m 2 e m 3. Por experiˆencia, sabe-se que a probabilidade de usar m 1 ´e de 0.2 e de 0.45 a de usar m 2. Tamb´em sabe-se as seguintes probabilidades: 0.01, a de usar m 1 e de efetuar mal a convers˜ao, 0.1 a de usar m 2 e realizar bem a convers˜ao e 0.3 a de usar m 3 e efetuar mal a convers˜ao. Qual a probabilidade de efetuar mal a convers˜ao?
- Admite-se que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de ve´ıculo deve ter press˜ao de 26psi. Suponha que a press˜ao real seja uma vari´avel aleat´oria X para o pneu direito e Y para o pneu esquerdo, com fun¸c˜ao densidade conjunta:
f (x, y) =
K(x^2 + y^2 ), 20 ≤ x ≤ 30 , 20 ≤ y ≤ 30 , 0 , c.c.
(a) Qual ´e o valor de K? (b) Qual ´e a probabilidade de dois pneus estarem com valores inferior a ideal? (c) Determine a distribui¸c˜ao marginal da press˜ao de ar do pneu dire- ito. (d) S˜ao X e Y independentes?
- Suponha que o tempo de espera de um ˆonibus no per´ıodo da manh˜a ´e uniformemente distribu´ıdo entre [0, 5], o tempo de espera deste ˆonibus `a tarde ´e uniformemente distribu´ıdo [0, 10] e independente do per´ıodo da manh˜a.
(a) Se vocˆe pegar o ˆonibus cada manh˜a e tarde durante uma sem- ana, qual o tempo total de espera? [defina as vari´aveis aleat´orias X 1 , ..., X 5 para manh˜as e X 6 , ..., X 10 para tardes] (b) Qual a variˆancia do tempo total de espera?
- A corpora¸c˜ao MNM tomar´a aos seus empregados um teste de aptid˜ao. Os scores do teste s˜ao normalmente distribu´ıdos com m´edia 75 e desvio padr˜ao 15. Uma amostra de 25 indiv´ıduos ´e tomada de uma popula¸cao de 500.
(a) Qual ´e o valor esperado e o desvio padr˜ao de ¯x? (b) Qual a probabilidade de que o score m´edio do teste aplicado na amostra esteja entre 70.14 e 82.14?
(a) Determine o tempo m´edio de espera (o tempo que um indiv´ıduo espera pelo outro em m´edia ou valor esperado). [dica: h(X, Y ) = |x − y|, considere isto tamb´em para o dom´ınio da varia¸c˜ao.]
