Estatística aplicada, Exercícios de Matemática

Baixe Estatística aplicada e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] ESTATISTICA DESCRITIVA SUMÁRIO 1. A ANÁLISE ESTATÍSTICA 1.1. Introdução 1.2. Estatística e métodos estatísticos 1.3. Estatística no comércio 1.4. População ou universo estatístico 1.4.1. Amostra 1.4.2. Variáveis 1.5. Cálculo de porcentagem 2. AMOSTRAGENS/TÉCNICAS 2.1. Amostragem casual ou aleatória simples 2.1.1. Tabelas de números aleatórios 2.2. Amostragem proporcional estratificada 3. SÉRIES ESTATÍSTICAS 3.1 Séries estatísticas 3.1.1 Séries temporais, cronológicas, históricas, evolutivas (ou marchas) 4. DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS 4.1. Porcentagem dos dados 5. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 5.1 Diagramas 5.1.1 Gráfico em linha ou em curva 6. MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL 6.1. Os centros dos dados 6.2. Médias 6.2.1. Média aritmética simples Página 1 2 3 7 8 8 11 13 19 20 21 24 26 27 27 29 30 32 33 34 35 36 39 2 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 1 - A ANÁLISE ESTATÍSTICA 1.1 - INTRODUÇÃO O cidadão comum pensa que a estatística se resume apenas a apresentar tabelas de números em colunas esportivas e/ou econômicas de jornais e revistas, ilustradas com gráficos, pilhas de moedas, etc., ou quando muito associam a estatística à previsão de resultados eleitorais. A estatística não se limita somente a compilar tabelas de dados e os ilustrar graficamente. Sir Ronald Fisher (1890-1962), em seus trabalhos, iniciou a estatística como método científico. Desta forma, o trabalho do estatístico passou a ser o de ajudar a planejar a obtenção de dados, interpretar e analisar os dados obtidos e apresentar os resultados de maneira a facilitar a tomada de decisões razoáveis. Didaticamente, podemos dividir a estatística em duas partes: a estatística descritiva (foco do estudo) e a inferência estatística. A estatística descritiva preocupa-se com a forma pela qual podemos apresentar um conjunto de dados em tabelas e gráficos, e também resumir as informações contidas nestes dados mediante a utilização de medidas estatísticas. Já a inferência estatística baseia-se na teoria das probabilidades para estabelecer conclusões sobre todo um grupo (chamado população), quando se observou apenas uma parte (amostra) representativa desta população. Uma grande quantidade de informações importantes que auxiliam na tomada de decisões está no site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Todo o cálculo das estatísticas pode ser feito por meio de calculadoras científicas e também softwares estatísticos. As planilhas eletrônicas permitem o cálculo de diversas estatísticas e confecção de gráficos de forma mais rápida e eficiente. É necessário ter em mente que a estatística é uma ferramenta para o gestor ou executivo, nas respostas dos “porquês” de seus problemas que podem ser explicados por uma análise de dados. Para ela ser bem usada, é necessário conhecer os seus fundamentos e princípios, e acima de tudo que o gestor ou executivo desenvolva um espírito crítico e jamais deixe de pensar. Pois é fácil mentir usando a estatística, o difícil é falar a verdade sem usar a estatística. Atualmente, as empresas vêm procurando profissionais possuidores de um alto nível de conhecimento de estatística, pois este conhecimento tem feito à diferença, nos seus processos decisórios frente a grande competitividade do mercado. 5 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Nessa fase a coleta deve ser seguida com cuidado, pois dados mal coletados resultam em estatísticas inadequadas ou que não refletem a situação que você deseja estudar. Essa fase é operacional e se dá com o registro sistemático de dados para um determinado objetivo. Os dados podem ser coletados, por exemplo, por meio de: questionário; observação; experimentação e pesquisa bibliográfica. A coleta de dados que você vai fazer pode ser realizada de forma direta com base nos elementos de registros ou pelo próprio pesquisador através de questionários ou relatórios. Tal coleta pode ser dividida em: Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. Exemplo: Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca. A coleta direta pode ser:  Contínua: quando feita continuamente, tal como registros de nascimento, óbitos, casamentos, etc.;  Periódica: quando feita em intervalos constantes de tempo, como recenseamento demográfico, censo industrial, etc.;  Ocasional: Quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros, registro de casos de dengue, ou qualquer estudo que se tenha interesse. Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização. 4º - APURAÇÃO DOS DADOS: Agora que temos os dados precisamos organizá-los, pois somente coletar os dados não é suficiente. Essa organização consiste em “resumir” os dados através da sua contagem e agrupamento. Desse modo, obtemos um conjunto de informações que irá conduzir ao estudo do atributo estatístico (é toda medida estatística, por exemplo, média). Geralmente, essa organização é feita em tabelas/planilhas eletrônicas (tipo Excel) para posterior tratamento estatístico (implica analisar os dados utilizando técnicas estatísticas). Enfim, nesta etapa será feita a condensação e tabulação de dados. 6 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Agora que temos os dados organizados, precisamos apresentá-los e, para tanto, existem duas formas de apresentação que você poderá utilizar que não se excluem mutuamente, a saber:  Apresentação por tabelas ou tabular: é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística.  Apresentação gráfica dos dados numéricos: constitui uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno. Essas formas de expor as informações coletadas permitem sintetizar uma grande quantidade de dados (números), tornando mais fácil a compreensão do atributo em estudo e permitindo uma futura análise mais rápida e precisa. 6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada diretamente a essência do cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Nessa fase, você irá calcular novos números com médias embasadas nos dados coletados. Esses novos números permitem fazer uma descrição do fenômeno em estudo, evidenciando algumas das suas características particulares. Nessa fase, ainda é possível, por vezes, “arriscar” alguma generalização a qual envolverá sempre algum grau de incerteza. Na fase de análise e de interpretação dos dados, precisamos, ainda, estar muito atentos ao significado das medidas estudadas, por exemplo, média (são os resultados obtidos por meio da soma de todos os valores, divididos pela quantidade de números que você somou) e moda (valor que mais se repete em um conjunto de observações) e ao porquê de as utilizarmos. Para verificar as relações entre essas medidas, você deve estar de mente aberta. E, para tanto, é necessário que você conheça a estrutura e o cálculo dessas medidas. Imagine que você esteja envolvido em um estabelecimento de conjecturas e na comunicação da informação de uma forma convincente através da elaboração de relatórios, de textos e de artigos que incluam, por exemplo, gráficos e tabelas. As pessoas que se utilizam da estatística como ferramenta devem ser sensibilizadas para a influência que poderá ter o modo de apresentação da 7 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] informação na comunicação de resultados, a utilização de diferentes gráficos e/ou de diferentes escalas. Por fim, é importante destacarmos que para a realização dessa fase de análise faz-se necessário que você tenha o domínio da utilização de planilhas tipo Excel e de softwares estatísticos para efetuar as conclusões sobre o trabalho realizado. Apresentação dos dados t 1.3. ESTATÍSTICA NO COMÉRCIO “Parece não haver atividade humana cujo valor não possa ser melhorado injetando-se ideias estatísticas no planejamento e usando-se métodos estatísticos para análise eficiente de dados e acesso dos resultados para realimentação e controle.” No mundo atual, a empresa é uma das vigas-mestra da economia dos povos. A direção de uma empresa é de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e o uso da Estatística facilitaram seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. A análise estatística funcionará como uma importante ferramenta para se diagnosticar problemas de gerenciamento em diferentes setores de uma empresa e para propor políticas de investimento mais eficientes dentro da própria empresa. Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podem conhecer a realidade social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou longo prazo. A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização da estratégia a ser a dotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação e avaliação da qualidade e da quantidade do produto e mesmo das possíveis lucros e/ou perdas(. Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado para evitar esquecimento, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. O esquema do planejamento é o plane, que pode ser resumido, com o auxilio da Estatística, em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos matemáticos- estatísticos que lhes deram origem, desta forma desenvolverão estratégias de investimentos que maximizem os lucros e a produção e implantação de técnicas administrativas eficientes que garantam e que consolidem a empresa no mercado. 10 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] ANÁLISE ESTATÍSTICA. POPULAÇÃO AMOSTRA Exemplo: Uma pesquisa de opinião para saber o resultado das eleições para o governo do estado de Pará em 2014, a população considerada foram todos os eleitores do estado e para constituir a amostra o IBOPE coletou a opinião de cerca de 1600 eleitores. População = Todos os eleitores do estado do Pará Amostra = 1600 eleitores As medidas estatísticas obtidas com base na população são denominadas parâmetros. As medidas obtidas com base em amostras são denominadas estimativas. Tanto parâmetros quanto estimativas são numéricos a única diferença é o fato de os parâmetros serem obtidos com base na população e as estimativas com base nas amostras. Os parâmetros são em geral desconhecidos porque, na prática, não é possível observar toda a população. Mas, como já disse alguém, não é preciso beber todo o vinho para saber que gosto ele tem. Então o pesquisador obtém uma amostra para “ter uma ideia” do valor do parâmetro. Embora nenhum plano de amostragem possa garantir que a amostra seja exatamente semelhante à população da qual foi extraída, se a amostra for suficientemente grande e obtida com a técnica correta, na maioria das vezes, poderemos estimar o valor do erro possível, isto é dizer “quão próxima” esta a amostra da população, em termos de representatividade. Mas ainda, amostras sucessivas da mesma população tendem a fornecer estimativas similares entre si e com valores em torno do verdadeiro, ou seja, o valor do parâmetro. Estatística descritiva • Consistências dos dados • Interpretações iniciais 11 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Exemplo: Imagine que a prefeitura de uma metrópole quer tomar uma medida administrativa que afeta os lojistas: Metade (0,5) deles é a favor e metade (0,5) é contra, mas ninguém conhece essas proporções. Você toma então uma amostra de dois lojistas para afirmar a proporção de lojistas favoráveis. Na sua amostra, podem ser favoráveis à medida: a) Nenhum dos dois b) Somente um deles c) Os dois Resposta: As estimativas da proporção de lojistas favoráveis à medida seriam: a) 0 b) 0,5 c) 1 Assim, vimos que, amostras diferentes dão estimativas diferentes do parâmetro. É o que os estatísticos chamam de flutuação amostral. Das estimativas possíveis desse parâmetro, com base em uma amostra de tamanho 2, que é muitíssimo pequena, apenas um caso coincide com o valor verdadeiro do parâmetro e as outras são muito ruins. Se a amostra fosse de tamanho 1000, uma proporção muito maior de estimativas estaria em torno do valor verdadeiro do parâmetro. 1.4.2. VARIÁVEIS As variáveis são um conjunto de resultados possíveis de determinado fenômeno, ou seja, são as características que vão ser observadas, medidas ou contadas nos elementos da população ou da amostra podendo variar e assumir um valor diferente de elemento para elemento. Existem diversos tipos de variáveis que serão utilizadas em um estudo estatístico. É importante compreender o conceito matemático de variável. Variável é uma abstração que se refere a um determinado aspecto do fenômeno que está sendo estudado. Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja é uma variável. Representemos essa variável pela letra X. Essa variável pode assumir diversos valores específicos, dependendo dos anos de safra, por exemplo: X2010 – referente ao ano de 2010 X2011 – referente ao ano de 2011 X2012 – referente ao ano de 2012 12 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Esses valores que a variável assume em determinados anos não são a própria variável, mas valores assumidos por ela para determinados objetos ou pessoas da amostra ou da população. Se uma amostra tiver 50 indivíduos podemos referimo-nos a X como sendo a variável nota de estatística e a X30 como a nota de um indivíduo particular, no caso o trigésimo. É frequente também na literatura utilizar-se letras maiúsculas para a notação de variáveis e as correspondentes letras minúsculas para referência aos valores particulares assumidos por essa variável, mas nesse estudo procuraremos evitar essa forma de notação. Não basta identificar a variável a ser trabalhada, é necessário fazer a distinção entre os tipos de variáveis:  VARIÁVEL QUALITATIVA (NÃO NUMÉRICA): é uma variável que assume como possíveis valores, atributos ou qualidades. Também são denominadas variáveis categóricas. Divide-se em duas: Variável qualitativa nominal: é uma variável que assume como possíveis valores, atributos ou qualidades e estes não apresentam uma ordem natural de ocorrência, ou seja, quando não é possível estabelecer uma ordem natural ou hierarquia entre seus valores assumidos e definimos apenas uma categoria. Exemplo:  São variáveis qualitativas nominais: Turma (A ou B), sexo (F ou M), cor dos olhos, campo de estudo, etc.  Os alunos da disciplina de estatística do curso de técnico em administração.  O local de nascimento, cor do cabelo... Variável qualitativa ordinal: é uma variável que assume como possíveis valores atributos ou qualidades e estes apresentam uma ordem natural de ocorrência. Se tais variáveis têm uma ordenação natural elas estão indicando uma intensidade crescente de sua realização. Exemplo:  O estado civil dos alunos da disciplina de estatística: solteiro, casado, separado.  Tamanho (pequeno, médio ou grande), Classe social (baixa, média ou alta).  A classificação de um estudante no curso de estatística, as posições das 100 empresas mais lucrativas, etc.  VARIÁVEL QUANTITATIVA (NUMÉRICA): é uma variável que assume como possíveis valores e números; ou seja, os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica. Divide-se em: 15 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] a) 100 75 4 3  = 75% b) 100 26 5 3,1  = 26% c) 100 8,0 25 2,0  = 0,8% d) 4 = 100 400 = 400% e) 7 3 = 0,428571...  0,43 = 100 43 = 43% EXERCÍCIOS 1 – Escrever sob a forma de números decimais as porcentagens: a) 22% b) 3% c) 250% d) 1,85% e) 0,18% 2 – Escrever sob a forma de fração irredutível as porcentagens: a) 30% b) 8% c) 124% d) 0,4% e) 5.000% f) 12,65% 16 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 3 – Escrever sob a forma de porcentagem: a) (10%)² = b) %49 = c) (12%).(5%) = d) %160 %40 = APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM Exemplo 1: Qual é a quantidade que representa 24% de 350 unidades? Resposta: 0,24 . 350 = 84 ou 100 24 . 350 = 84 Calcule então: a) 25% de 120 = b) 325% de 800 = c) 2% de 400 = d) 13% de 21 = e) 0,2% de 5 = f) 4% de 3,5 = Você sabia que: 52‰ = 1000 52 = 0,052 ? 17 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] NOÇAÕ DE REGRA DE TRÊS A regra de três é método de resolução para problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais, ela pode ser: Simples quando envolvem duas grandezas. Composta quando envolvem mais de duas grandezas. Para resolver uma regra de três, devemos proceder da seguinte maneira: 1º) Reunir numa mesma coluna as grandezas de mesma espécie e de mesma unidades; 2º) Verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais; 3º) Montar a proporção correspondente e resolve-la. Exemplo 2: Se 10 litros de gasolina custa R$ 25,00, qual o valor de 26 litros? Resolução: Litros Valor 10 25 10 = 25 26 x 26 x 10 . x = 25 . 26 10 . x = 650 X = 65 Resposta: O valor de 26 litros é R$ 65,00 Exemplo 3: Se 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha: 337.799 70% X 30% X= 337799 . 30 = > 144.771 de hab. 70 337.799 está para 70% Assim como (O que se pede)X está para 30% REGRA DE TRÊS Propriedade fundamental de proporção (igualdade de duas frações ou razões) a = c b d a.d = b.c → produtos dos extremos é igual ao produto dos meios 20 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] amostra e a população de onde ela – a amostra – foi extraída e a forma como ocorreu essa extração. Uma vez que você tenha decidido realizar a pesquisa selecionando uma amostra da população, é preciso elaborar o plano de amostragem (plano de como será feita a retirada da amostra da população). O plano de amostragem consiste em definir as unidades amostrais (correspondem às unidades selecionadas), maneira pela qual a amostra será retirada (o tipo de amostragem), e o próprio tamanho da amostra. Essas unidades amostrais podem corresponder aos próprios elementos da população, quando há acesso direto a eles, ou qualquer outra unidade que possibilite chegar até eles. Você pode considerar como população os domicílios de uma cidade da qual se deseja avaliar o perfil socioeconômico. A unidade amostral será cada um dos domicílios, que corresponderá aos elementos da população. Caso a unidade amostral seja definida como os quarteirões, a unidade amostral não corresponderá aos elementos populacionais. 2.1. AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATÓRIA SIMPLES Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. A Amostragem Aleatória Simples é constituída de elementos retirados ao acaso da população. Então todo elemento da população tem probabilidade fixa de ser amostrado. Por isso é que a esse tipo de amostragem tende a produzir amostras representativas. Exemplo: Geralmente são considerados aleatórios os seguintes processos: • A chegada de carros a um posto de pedágio • As chamadas telefônicas numa grande mesa de operação • A chegada de clientes aos caixas de um supermercado • A produção de qualquer processo mecânico • Sucessivos lances de moeda ou de dado • Tempo de serviço em estações de pedágio É de máxima importância dar cuidadosa atenção à maneira como se escolhem os itens, bem como se eles são igualmente prováveis. Exemplo: Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma amostra aleatória de 2% dos cadastros. O que você faria? 21 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Como queremos uma amostra de 2% dos cadastros, precisamos sortear 10 deles. Faremos isso seguindo os seguintes passos: 1 – Numeramos os cadastros de 001 a 500. 2 - Para o sorteio exibiremos duas opções: a) Escreva os números de 001 a 500, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agite sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retire, um a um, dez números que formarão a amostra. b) Coloque em uma urna, bolas numeradas de zero a nove, inclusive, misture bem e retire uma. Anote o número dessa bola que será o primeiro dígito do número do cadastro que será amostrado. Volte a bola retirada à urna, misture bem e retire outra. O número dessa segunda bola será o segundo dígito do número do cadastro que será amostrado. O procedimento deverá ser repetido até completar os três dígitos da numeração utilizada. Como a população é constituída por 500 cadastros, devem ser desprezados os números maiores do que 500, bem como os números que já foram sorteados e o número 000. O sorteio deverá ser repetido até se conseguir a amostra de 10 cadastros. O processo de seleção exige que se atribuam números consecutivos aos itens listados escolhendo-se depois, aleatoriamente, os números dos itens que comporão a amostra. Conceitualmente, podemos usar cartas, dados, fichas numeradas ou bolas numeradas para gerar números aleatórios para gerar números aleatórios correspondentes aos números de nossa listagem. Na prática, tais dispositivos são empregados raramente, por várias razões. Uma dela é que cada dispositivo deixa algo a desejar; os métodos não são perfeitamente aleatórios. As cartas, por exemplo, podem aderir umas às outras, impedindo um embaralhamento perfeito. As arestas de um dado podem estar desgastadas. E sempre há o perigo de as bolas de uma urna não terem sido convenientemente misturadas. Em vista disso, e porque a amostragem aleatória é vital para a inferência estatística, existem tabelas especialmente elaboradas, chamadas Tabelas de Números Aleatórios, construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. 2.1.1. TABELAS DE NÚMEROS ALEATÓRIOS Na tabela de números aleatórios os dez algarismos 0,1,2,...,7,8,9, podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer ordem, como por colunas, num sentido ou noutro, por linhas, diagonalmente etc., e podem ser considerados aleatórios. A opção de leitura, porém, deve ser feita, antes de iniciado o processo. Para usar uma tabela de números aleatórios devemos: 22 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 1 – Fazer uma lista dos números da população 2 – Numerar consecutivamente os itens na lista, a começar do zero, 3 – Ler os números na tabela de números aleatórios de modo que o número de algarismos em cada um seja igual ao número de algarismos do último número da sua listagem. 4 – Desprezar quaisquer números que não correspondam a números da lista ou que sejam repetições de números lidos anteriormente. Continue o processo até ter o número desejado de observações. 5 – Usar os números assim escolhidos para identificar os itens da lista a serem incluídos na amostra. EXEMPLO DE UMA TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730 0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280 6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9202 0772 2160 8236 0812 4195 5589 0830 8261 9232 5692 9870 3583 8997 1533 6566 8830 7271 3809 2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729 1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501 7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882 8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244 5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642 0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092 0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921 2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 83838 7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4662 5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525 6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444 8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137 4094 1957 0163 9717 4118 4276 9465 8820 4127 25 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Temos aqui dois estratos, sexo masculino e sexo feminino. a) O primeiro passo é determinar o tamanho da amostra em cada estrato: b) Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90 meninas. c) Obtemos uma amostra aleatória ou sistemática de cada sexo e reunimos as informações numa só amostra, denominada amostra estratificada. EXERCÍCIOS: 1) Um curso do IEPAM abriga 124 alunos escritos. Obtenha uma amostra representativa correspondente a 15% da população, utilizando a partir do início da 5ª linha da Tabela de números aleatórios. 2) Tenho 80 lâmpadas numeradas numa caixa. Como obtemos uma amostra de 12 lâmpadas? 3) Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, N1= 40, N2= 100 e N3= 60. Sabendo que, ao realizar uma amostragem estratificada proporcional, 9 elementos da amostra foram retirados do 3º estrato, determine o número de elementos da amostra. SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA M 54 10X54 = 5,4 100 5 F 36 10X36 = 3,6 100 6 TOTAL 90 10X90 = 9 100 9 26 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 3. SÉRIES ESTATÍSTICAS As séries estatísticas consistem na apresentação das informações (variáveis estatísticas) em formas de tabelas, objetivando sintetizar os dados estatísticos observados e tornando-os mais compreensivos. Uma tabela e mesmo um gráfico deve apresentar o cabeçalho como um título, o corpo e o rodapé. O título deve conter o suficiente para compreender os seguintes elementos fundamentais:  Fato – fenômeno observado.  Espaço Geográfico – local ou região onde o fato ocorreu.  Época – refere-se à data ou ao tempo em que o fato foi observado. O corpo é reservado para o registro dos dados. O rodapé é reservado para a identificação da fonte de dados. Exemplo: Titulo Valor em dólares dos principais produtos que o Brasil vende à Argentina Cabeçalho Coluna Indicadora Corpo da tabela TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar:  Um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero;  Três pontos ( ... ) quando não temos os dados;  Zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;  Produção Valor em dólares (em bilhões) Automóveis Veículos de carga Autopeças Motores Minério Tratores 606 541 531 264 248 130 27 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected]  Um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. 3.1 SÉRIES ESTATÍSTICAS Denominamos Séries Estatísticas toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do tempo ou da espécie. Logo, podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elementos ou fatores:  Tempo  Espaço  Espécie Basicamente existem três tipos de séries estatísticas: Temporais ou Cronológicas, Geográficas e Categóricas. TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas - São constituídas por dados produzidos e monitorados ao longo do tempo. É a série estatística em que os dados são observados segundo a época de ocorrência. O tempo é variável e o fato e o local são fixos. Série geográfica ou de localização – É a série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de ocorrência. O local varia e o tempo e o fato são fixos. Série Específica – Os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. Fato variável, tempo e local fixos. 3.1.1 SÉRIES TEMPORAIS, CRONOLÓGICAS, HISTÓRICAS, EVOLUTIVAS (OU MARCHAS) São constituídas por dados produzidos e monitorados ao longo do tempo. Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica, evolutiva ou cronológica. 30 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 1º Situação Se 31% dos turistas que entraram no Brasil em 2014 vieram da Argentina. E a cada 100 turistas que entram no Brasil, 31 são argentinos. Considerem que entram 1200 turistas no Brasil. Quanto se espera de argentinos? 100% 1200 31% X X = 31 × 1200 = 372 argentinos 100 Ou ainda X = 31% de 1200 31 . 1200 = 372 argentinos 100 Resposta: Dos 1200 turistas, espera-se que 372 sejam argentinos. 4.1. PORCENTAGEM DOS DADOS Usamos a porcentagem quando queremos destacar a participação da parte no todo e o estudo de dados em estatística sempre irá recorrer a essa ferramenta. Formalmente, PORCENTAGEM é uma RAZÃO cujo DENOMINADOR é 100. Se p = porcentagem, P é o valor da Parte e B é o valor do total (ou Base), então pela definição: Ou ainda, podemos fazer o cálculo da porcentagem que é a parte do total igual a 100%, através de razões e uma regra de três simples para estabelecer com as parcelas que compõem o total. B P 100 p  31 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] TOTAL – 100 % Parcela – X % Porcentagem = Parcela . 100 (%) Total Exemplo: Uma cidade A tem 123.820 habitantes. Desse total, 36.850 são menores de idade. A cidade B tem 306.470 habitantes. Desse total, 84.980 são menores de idade. Qual cidade tem, relativamente, maior quantidade pessoas com menos de 18 anos?  Os dados absolutos são os seguintes: Distribuição da população por cidade. Cidade População Menores de 18 A 123.820 36.850 B 306.470 84.980  Os dados relativos são os seguintes: Distribuição relativa da população por cidade. Cidade População Menores de 18 % A 123.820 36.850 29,8 B 306.470 84.980 27,7 A cidade A tem relativamente mais pessoas com menos de 18 anos. Mas, como foi o cálculo da coluna das porcentagens: Cidade A = PA Porcentagem = Parcela . 100 (%) PA = 36.850 . 100 = 29,76 Total 123.820 Cidade B = PB 32 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Porcentagem = Parcela . 100 (%) PA = 84.980 . 100 = 27,72 Total 306.470 RESUMO: REGRAS DE ARREDONDAMENTO  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação. Exemplo: 1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,3.  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. Exemplo: 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7. 4,850 5 arredondado à primeira decimal tornar-se-ão: 4,9. 5. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS A organização dos dados em tabelas de frequência proporciona um meio eficaz de estudo do comportamento de características de interesse sobre determinado estudo. Muitas vezes, a informação contida nas tabelas pode ser mais facilmente visualizada através de gráficos. Meios de comunicação apresentam diariamente, gráficos das mais variadas formas para auxiliar na apresentação das informações. Órgãos públicos e empresas se municiam de gráficos e tabelas em documentos internos e relatórios de atividades e desempenho. Graças à proliferação de recursos gráficos, cuja construção tem sido cada vez mais simplificada em programas computacionais, existe hoje uma infinidade de tipos de gráficos que podem ser utilizados. Deve ser notado, entretanto, que a utilização de recursos visuais na criação de gráficos deve ser feita cuidadosamente; um gráfico desproporcional em suas medidas pode dar falsa impressão de desempenho e conduzir a conclusões equivocadas. Obviamente, questões de manipulação 35 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] OBS 1: São frequentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico. EXEMPLO 2: OBS 2: Quando representamos em um mesmo sistema de eixos a variação de dois ou mais fenômenos, a título de comparação, teremos um gráfico em linhas comparativo ou poligonal comparativo e a parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso. 6. MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL Se estivermos numa parada de ônibus urbano e nos pedirem alguma informação sobre a demora em passar um determinado ônibus, que diremos? Ninguém imagina que poderíamos dar como resposta uma tabela de frequências que pacientemente coletamos no último mês, ou ano! Quem pergunta deseja uma resposta breve e rápida que sintetiza a informação que dispomos e não uma completa descrição dos dados coletados. Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, os estatísticos definem medidas que descreve, através de um só número, características dos dados. 36 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] Algumas dessas medidas descrevem a tendência centra ou posição central, isto é, a tendência que os dados têm de se agrupar em torno de certos valores. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:  A Moda  A Mediana  A Média Aritmética 6.1. OS CENTROS DOS DADOS A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumarizar um conjunto de dados. Diferencia-se da estatística inferencial, ou estatística indutiva, pelo objetivo: organizar, sumarizar dados ao invés de usar os dados em aprendizado sobre a população. Esse princípio faz da estatística descritiva independente. Algumas medidas que são normalmente usadas para descrever um conjunto de dados são medidas de tendência central e medidas de variabilidade ou dispersão. O nosso estudo é baseado somente em medidas de tendência ou posição central que incluem: média, mediana e moda. MODA É o valor que ocorre com maior frequência (frequência - quantas vezes se repete determinado dado estatístico) em uma série de valores. “Mo” é o símbolo da moda. Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.  .A Moda quando os dados não estão agrupados.  A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.  Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. 37 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected]  .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.  .A Moda quando os dados estão agrupados. a) Sem intervalos de classe Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência. Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo: Temperaturas Frequências 0º C 3 1º C 9 2º C 12 3º C 6 Resposta: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior frequência. b) Com intervalos de classe A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Mo = ( l* + L* ) / 2 Onde l* = limite inferior da classe modal e L* = limite superior da classe modal. Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo. 40 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected]  A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Emprego da Mediana  Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais.  Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.  Quando a variável em estudo é salário. 6.2. MÉDIAS 6.2.1. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. Exemplo 1: Calcule a média dos dados: 0, 2, 4, 6, 8. Basta somar todos os valores e dividir o resultado pelo número de parcelas que é 5. Assim temos: Média = 0+ 2+ 4+ 6+ 8 = 20 = 4 5 5 Ou seja, a média aritmética, nesse caso, é 4. Quando alguém fala sobre um conjunto de dados, tanto pode estar se referindo a uma amostra como a uma população. Utilizamos o símbolo μ para a média de uma população e o símbolo x para representar a média de uma amostra. A média da população também é obtida dividindo a soma dos dados pelo número de elementos da população. Não calculamos μ porque, em geral, temos apenas uma amostra da população. Mas a média da amostra é uma estimativa da média da população. Às vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série de dados que ela representa, por isso costumamos dizer que a média aritmética não tem existência concreta. Exemplo 2: Calculando a média dos dados: 2, 4, 6, 8 temos: Média = 2+ 4 +6+ 8 = 20 = 5 41 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] 4 4 Isto é, a média aritmética, nesse caso, é 5. Esse será o número representativo dessa série de valores, embora não esteja representado nos dados originais. Exemplo 3: Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio aritmético deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores do conjunto: Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente: { 1000, 1200, 1400, 1600 } Observe que se fossemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de números ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor médio. Observe ainda estas propriedades das médias, que se o valor médio for inserido ao conjunto de números originais, a média ainda continuará a mesma: Exemplo 4: Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal? Vejamos: Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e aliviado por ter conseguido alcançá-la. Exercício 1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos: a) 15 ; 48 ; 36 42 End.: Av. Cônego Jerônimo Pimentel, Quadra380- Lote 16, Vila dos Cabanos, Barcarena - Pará. Contatos: (91) / 3754-1876 (91) Email: [email protected] b) 80 ; 71 ; 95 ; 100 c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10 d) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 e) 18 ; 25 ; 32 f) 91 ; 37 ; 84 ; 62 ; 50