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ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
Estatística AplicadaEstatística Aplicada II
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Tucuruí – CTUC
Curso de Engenharia Mecânica
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
Capítulo ICapítulo I
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Estatística DescritivaEstatística Descritiva
Campus de Tucuruí – CTUC
Curso de Engenharia Mecânica
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
Introdução
Conceitos e definições
Classificação dos dados
Caracterização e apresentação dos dados
Estatísticas amostrais
Outras apresentações gráficas de dados
Regressão linear
I - Estatística Descritiva
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
I - Estatística Descritiva
Introdução
Conceitos e definições
Classificação dos dados
Caracterização e apresentação dos dados
Estatísticas amostrais
Outras apresentações gráficas de dados
Regressão linear
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
ESTATÍSTICA : É a disciplina que objetiva estudar os
métodos científicos para a coleta, organização, resumo,
apresentação e análise de dados, bem como obter
conclusões válidas e tomar decisões razoáveis baseadas
em tais análises.
Técnicas Estatísticas : São as várias técnicas por meio
das quais é possível estudar conjuntos de dados e, a
partir de uma amostra (se necessária), tirar conclusões
válidas para conjuntos maiores (população).
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
De uma maneira geral, as técnicas estatísticas são
utilizadas em três etapas principais do trabalho de
pesquisa:
1. A coleta de dados , incluindo o planejamento do
trabalho e da pesquisa;
2. A apresentação dos dados coletados ; e
3. A análise dos dados coletados , com a formulação
de conclusões e generalizações.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
- Essa primeira etapa corresponde ao estabelecimento
do método de coleta de dados (questionário ou teste
ou ensaio de material) e elaboração dos
questionamentos; determinação das variáveis que
serão estudadas, de acordo com o interesse do
pesquisador; e o cálculo do tamanho da amostra, de
acordo com a natureza da pesquisa, do tempo e do
orçamento disponíveis.
Coleta de dados
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
- A segunda etapa requer técnicas específicas para a
transformação dos dados numéricos em tabelas ou
gráficos (é a partir da organização dos dados
coletados que se poderá elaborar a interpretação).
Apresentação dos dados coletados
Análise dos dados coletados
- Essa etapa é simultânea à anterior, pois durante a
própria organização dos dados já é possível ir
percebendo a tendência geral da pesquisa.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
- No sentido de melhor esclarecer o significado da
análise e interpretação dos dados, deve-se estabelecer
uma distinção entre
Estatística Descritiva
e
Inferência Estatística.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
- Como o próprio nome sugere, constitui-se num conjunto
de técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar
os dados numéricos de uma população ou amostra.
Estatística Descritiva: Objetiva sintetizar e representar de
uma forma compreensível a informação contida num
conjunto de dados.
- Materializa-se na construção de tabelas e/ou gráficos ou
no cálculo de medidas que representem convenientemente
a informação contida nos dados.
- Adquire importância quando o volume de dados for
significativo.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
- Objetivo mais ambicioso que o da estatística descritiva.
Inferência Estatística: Baseada na análise de um conjunto
limitado de dados (uma amostra), objetiva caracterizar o
todo a partir do qual tais dados foram obtidos (a população).
- Os métodos e técnicas utilizados são mais sofisticados.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.1 Introdução
Figura 1.1- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006).
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
I - Estatística Descritiva
Introdução
Conceitos e definições
Classificação dos dados
Caracterização e apresentação dos dados
Estatísticas amostrais
Outras apresentações gráficas de dados
Regressão linear ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Iniciando o estudo :
- Isso é necessário, pois podem ocorrer registros que não
se encaixam no padrão geral observado e, dessa forma,
a sua veracidade deve ser averiguada, pois podem tratar-
se de erros de observação, bem como do próprio registro
ou provenientes de alterações do fenômeno em estudo.
- Não existe uma estratégia única para iniciar o estudo
descritivo, embora uma primeira recomendação seja
começar por uma exploração visual dos dados
levantados.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Iniciando o estudo :
- Embora estas análises já se encontrem disponíveis em
vários softwares e calculadoras programáveis, para uma
melhor interpretação das mesmas é conveniente
conhecer as técnicas utilizadas.
- Para se ter uma idéia mais concreta sobre os dados
levantados, deve-se recorrer às tabelas e/ou gráficos que
podem representar, de maneira sintética, as informações
sobre o comportamento de variáveis numéricas
levantadas.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Iniciando o estudo :
- Portanto, para se proceder um estudo descritivo, é importante:
- Ordenação dos dados – fase onde se começa a ter uma idéia a respeito de algumas medidas de posição (média, mediana, quartis etc.);
- Estatísticas amostrais – a partir de algumas medidas promove-se um resumo dos dados levantados, relativamente à posição, dispersão e forma;
- Agrupamento dos dados e representação gráfica – revela a forma possível para a população em estudo e permite escolher a classe de modelos que deve ser explorada nas análises mais sofisticadas.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Dados brutos: Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-
se dados brutos , ou seja, um conjunto de números ainda sem organização alguma.
Rol: Os dados brutos são então ordenados de forma crescente ou
decrescente, com a indicação da freqüência de cada um, dando origem ao chamado rol.
Tabulação dos dados: Depois de elaborar o rol é preciso
determinar quantas faixas terá a tabela de freqüência. A fórmula de Sturges é utilizada para estabelecer o número aproximado de classes
onde: n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra) k = número de classes que a tabela de classes deverá contar.
k ≅≅≅≅ 1 ++++ 3 , 22 ⋅⋅⋅⋅ log n
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
- Observações: - k deverá ser no mínimo 3 e no máximo 20;
- Como a variável k é um número inteiro, ela deverá ser aproximada para o maior inteiro (por exemplo, se k ≈ 6,4 , usa-se k = 7 ).
Freqüência de classes: O passo seguinte é subdividir os dados
pelas classes ou categorias e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma, resultando nas freqüências de classes.
Apresentação final dos dados (tabela completa): Com
base em todos os cálculos feitos anteriormente, pode-se fazer uma nova tabela com todas as freqüências, as quais serão estudadas a posteriori.
Gráficos: A partir da tabela de freqüências, faz-se o desenho
gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Os dados que constituem uma amostra podem ser de
quatro tipos, assim distribuídos :
- Qualitativos
- Quantitativos
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
a) Dados nominais : Quando cada um deles for identificado
pela atribuição de um nome que designa uma classe.
a) Exaustivas - qualquer dado pertence a uma das classes; b) Mutuamente exclusivas - cada dado pertence somente a uma classe; c) Não ordenáveis - não existe nenhum critério relevante que permita estabelecer preferência por qualquer classe em relação às restantes.
Neste caso, as classes devem ser:
- Exemplo: Classificação das pessoas pela cor do cabelo
(preto, castanho, louro etc.).
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
- Exemplo: Classificação de conceitos de avaliação na
disciplina em insuficiente, regular, bom e excelente.
b) Dados ordinais: São semelhantes aos dados nominais;
contudo, nessa escala existe a possibilidade de se
estabelecer uma ordenação dos dados nas classes,
segundo algum critério relevante.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
- Observação: Neste caso, pode-se atribuir um significado
à diferença entre esses números, mas não à razão entre
eles.
Por exemplo, o registro de temperaturas em ºC, em determinadas horas de dias sucessivos. Se em três dias consecutivos a temperatura atingir 5ºC, 10°C e 20ºC, não faz sentido dizer que o terceiro dia esteve duas vezes mais quente que o segundo, pois se a temperatura fosse expressa em outra escala, a razão entre os valores registrados naqueles dias seria diferente.
c) Dados intervalares: No caso da escala intervalar, os
dados são diferenciados e ordenados por números
expressos em uma ordem cuja origem é arbitrária.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
d) Dados absolutos: Contrariamente ao que sucede com a
escala intervalar, a escala absoluta tem origem fixa (nesta
escala, o valor zero tem significado).
- Escala intervalar: temperatura de 0ºC não significa que não haja temperatura.
- Escala absoluta: peso de 0 kg significa que não existe peso.
- Em conseqüência ao fato da origem ser fixa, a razão entre os dados expressos numa escala absoluta passa a ter significado; uma pessoa com 60 kg tem o dobro do peso de uma com 30 kg.
- Exemplo: Pesos de pessoas expressos em kg.
- Observações:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
- Observação: Quando se trabalha com dados quantitativos,
é necessário que se faça a distinção entre os dados discretos
e os contínuos.
Os dados denominam-se discretos quando são valores de uma variável aleatória discreta, que é a aquela que assume valores em pontos da reta real (por exemplo, número de páginas em um livro: 1, 2, 3, 4, 5...).
Os dados são contínuos quando são valores de uma variável aleatória contínua, que é aquela que pode assumir qualquer valor em certo intervalo da reta real (por exemplo, o peso de funcionários de uma fábrica: 60,5 kg; 60,52 kg; ...)
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Algarismos significativos:
- Valores medidos ou calculados: o número de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação da incerteza, ou seja, quanto mais algarismos significativos, menor a incerteza no valor.
Exemplo: O valor de uma grandeza medida com 3 algarismos significativos, indica que o valor do 3º algarismo tem uma incerteza menor ± 0,5ºC. Caso seja apresentada uma temperatura como 32ºC (2 significativos), está indicado que a temperatura está entre 31,5 e 32,5ºC. Caso ela seja apresentada como 32,5ºC (3 significativos), está indicado que a temperatura está entre 32,45 e 32,55ºC.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
Algarismos significativos:
- Números inteiros que são resultados experimentais, seguem as regras anteriores. Exemplo: a pressão em uma caldeira é 6 atm, possui 1 algarismo significativo.
- Números inteiros que descrevem o número de objetos discretos possuem precisão mínima. Exemplo: 5 dias = 5,0000000... dias.
- Números inteiros que são parte de uma expressão física possuem precisão infinita. Exemplo: o 2 na equação do perímetro do círculo 2πR, possui uma precisão infinita uma vez que por definição o diâmetro é 2 vezes o raio.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
- Na adição e na subtração faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando os critérios de arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. Exemplos: 12441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20 = 12620,1001 = 12620 12441 ,2 − 7856,32 = 4584,88 = 4584,
- Na multiplicação e na divisão o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. Exemplos: 12,46 x 39,83 = 496,2818 = 496, 803,407 / 13,1 = 61,328 = 61,
- Observações:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.3 Classificação dos Dados
- Nas operações de potenciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação). Exemplos: (1,52 x 10^3 )^2 = 2,31 x 10^6 (0,75 x 10^4 )1/2^ = 0,87 x 10^2
- Observações:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
I - Estatística Descritiva
Introdução
Conceitos e definições
Classificação dos dados
Caracterização e apresentação dos dados
Estatísticas amostrais
Outras apresentações gráficas de dados
Regressão linear ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Tabela de freqüências :
- Devido à necessidade das categorias estarem
ordenadas, somente se pode falar de freqüências
acumuladas quando os dados estão em escalas ordinais,
intervalar ou absoluta.
- A representação tabular com todos os tipos de
freqüências é mostrada a seguir:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Tabela de freqüências :
a) Freqüência absoluta ( ni) : O número de dados contidos
numa classe ou categoria qualquer i ( i = 1,..., k ) de
um conjunto de dados designa-se por freqüência
absoluta da classe ou categoria i.
∑∑∑∑
k
11
n ni
- Denotando-se por ni tal freqüência e admitindo que
as categorias especificadas contêm todos os dados,
o número total de dados ( n ) é calculado por :
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Tabela de freqüências:
b) Freqüência relativa ( fi) : O número total de dados que
pertencem a uma classe ou categoria qualquer i ,
quando expressos como uma proporção do número
total de dados, designa-se por freqüência relativa da
classe ou categoria i e é dada por
n
n
f i ==== i
- As freqüências relativas são muitas vezes definidas
em termos percentuais.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Tabela de freqüências :
c) Freqüência absoluta acumulada ( Ni ): Representa para
cada classe ou categoria i , a freqüência absoluta de
dados que pertencem à classe ou às classes anteriores.
d) Freqüência relativa acumulada ( Fi ): Representa para
cada classe categoria i , a freqüência relativa de dados
que pertencem à classe ou às classes anteriores.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Tabela de freqüências :
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Gráficos estatísticos
- Uma vez elaborada a tabela de freqüências, segue-se o
desenho do gráfico, um recurso de visualização dos
dados constantes na tabela.
- Os tipos de gráficos mais comuns são: histograma;
polígono de freqüência, setograma e ogiva de Galton.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Gráficos estatísticos
- Histograma: Este tipo de gráfico é utilizado para
representar as freqüências absolutas ( ni ) em relação à
sua classe, e é assim construído:
- No eixo das abscissas marcam-se, em escala, as classes dos dados;
- No eixo das ordenadas, marcam-se as freqüências das classes;
- Faz-se a correspondência entre cada intervalo no eixo das classes com um valor no eixo das freqüências, formando um desenho de colunas paralelas.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Gráficos estatísticos
- Gráfico linear: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de uma linha poligonal. Os pontos da polígono são obtidos pelas informações contidas em cada linha da tabela, e marcados no plano utilizando o sistema cartesiano. São utilizados para representar séries cronológicas. ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Gráficos estatísticos
- Gráfico de colunas: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de retângulos (colunas) dispostas em posições vertical. Todos os retângulos possuem a mesma base e a altura proporcional aos dados. Podem ser utilizados para representar qualquer série estatística.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Gráficos estatísticos
- Gráfico de colunas: Este tipo de gráfico é semelhante ao de colunas, onde os retângulos (barras) estão dispostos horizontalmente. É utilizado para legendas longas, em todas as séries.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Dados Qualitativos:
- Exemplo: Em uma amostra constituída de 120 peças, constatou- se que 100 não tinham qualquer defeito, 15 tinham defeitos recuperáveis e 5 apresentavam defeitos irrecuperáveis. Representar em uma tabela, e também graficamente, as freqüências (absolutas e relativas) dos dados que constituem essa amostra:
Categoria de peças Freqüência absoluta ( ni )
Freqüência relativa ( fi ) Sem defeitos Recuperáveis irrecuperáveis
TOTAL 120 100%
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Dados Qualitativos :
Gráfico em Setores
83,3%
12,5%
4,2%
Sem defeitos Recuperáveis irrecuperáveis
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Dados Quantitativos :
- Exemplo: Em um estudo realizado com o objetivo de
caracterizar o comportamento dos clientes de um
supermercado, analisou-se o número de ocupantes por
veículo para 1000 veículos que entraram no
estacionamento do referido supermercado, em um
sábado. Os resultados encontram-se resumidos na
tabela seguinte:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Dados Quantitativos:
Nº de ocupantes por veículo ( xi)
Freqüência absoluta ( ni )
Freqüência relativa ( fi )
Freqüência absoluta acumulada ( Ni )
Freqüência relativa acumulada ( Fi ) 1 2 3 4 5 6 7 103 147 248 197 152 100 53
TOTAL 1000 100%
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Dados Quantitativos:
0
50
100
150
200
250
300
n (^) i
1 2 3 4 5 6 7 Nº ocupantes / veículo
Gráfico em colunas
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
- Distribuições agrupadas : Essas distribuições são úteis
quando existe um grande número de dados relativos a
uma variável contínua, cujos valores observados são
muito próximos uns dos outros.
- A freqüência de cada classe é o número de observações que ela contém.
- No exemplo anterior, os dados observados correspondem a uma variável discreta; para o caso de dados relativos uma variável contínua existem algumas diferenças.
Dados Quantitativos:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
- Exemplo: O conjunto de dados baixo representa o
peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100
garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma
linha de enchimento automático:
Dados Quantitativos:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
- No conjunto de dados mostrado não existe praticamente
repetição de valores; logo, não é vantagem se utilizar os
dados agrupados numa tabela de freqüências, pois a
mesma teria tantas linhas quanto o número de dados.
- No entanto, a tabela de freqüências pode ser construída
se os dados forem agrupados por classes:
Dados Quantitativos:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
Classes
Freqüência absoluta ( ni )
Freqüência relativa (%) ( fi )
Freqüência absoluta acumulada ( Ni )
Freqüência relativa acumulada (%) ( Fi ) [297,00 ; 298,00[ [298,00 ; 299,00[ [299,00 ; 300,00[ [300,00 ; 301,00[ [301,00 ; 302,00[ [302,00 ; 303,00[ [303,00 ; 304,00[ [304,00 ; 305,00[ [305,00 ; 306,00[
TOTAL 100 100%
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
x 2 , 87
x
n
x x
n i 1 i
∑∑∑∑
- Exemplo: Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) dos dados mostrados abaixo:
a) Medidas de posição:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
a) Medidas de posição:
- Quando os dados estiverem agrupados numa
distribuição de freqüência usa-se a média aritmética
dos valores xi ponderadas pelas respectivas
freqüências absolutas ni, assim:
n
nx x
n i 1
∑∑∑∑ ii
==== ==== (dados agrupados)
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
a) Medidas de posição:
- Exemplo (dados agrupados): Determinar a média
aritmética simples (média aritmética amostral) da
distribuição dada abaixo:
xi 1 2 3 4 5 7 ni 4 3 4 1 2 1
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
x 2 , 87
n
xn x
n
i 1
ii
∑∑ ∑∑
a) Medidas de posição:
- Exemplo (dados agrupados): xi ni xini 1 2 3 4 5 7 4 3 4 1 2 1 4 6 12 4 10 7 Σ 15 43
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
a) Medidas de posição
- No caso da variável ser contínua, visto que se
perdeu os valores concretos do conjunto (ficaram
afetos a uma determinada classe) não se pode
calcular a média amostral diretamente dos valores
dos dados.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
a) Medidas de posição:
- Deste modo, à cada classe vai ser atribuído um representante ( xi ), e a média amostral será calculada por meio desses representantes:
n
nx x
k
i 1
∑∑∑∑ ii ==== ==== (dados agrupados em classes)
onde k é o número de classes do agrupamento, ni é a freqüência absoluta da classe i e x i é o ponto médio da classe i , o qual é considerado como elemento representativo da classe.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
a) Medidas de posição:
- Exemplo (dados agrupados em classes):
Determinar a média da distribuição a seguir, a
qual representa o peso, em gramas, do conteúdo
de uma série de 100 garrafas que, no decurso de
um teste, saíram de uma linha de enchimento
automático (exemplo anterior):
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética:
a) Medidas de posição:
- Exemplo (dados agrupados em classes):
Classes ni xi xini [297,00 ; 298,00[ [298,00 ; 299,00[ [299,00 ; 300,00[ [300,00 ; 301,00[ [301,00 ; 302,00[ [302,00 ; 303,00[ [303,00 ; 304,00[ [304,00 ; 305,00[ [305,00 ; 306,00[
8 21 28 15 11 10 5 1 1
297, 298, 299,
301, 302, 303, 304, 305,
2380, 6268, 8386, 4507, 3316, 3025, 1517, 304, 305, Σ 100 30011,
x 300 , 11
x
n
nx x
9 i 1 ii
====
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética (Ponderada)
a) Medidas de posição:
- Às vezes, associam-se os números x 1 , x 2 , ..., xk a certos fatores de ponderação ou pesos w 1 , w 2 , ... , wk que dependem do significado ou importância atribuída aos mesmos. Nesse caso
1 2 k
11 22 kk i
k i 1 ii w w ... w
wx wx ...wx w
wx x ++++ ++++ ++++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
é denominada de média aritmética ponderada.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.1) Média aritmética (Ponderada)
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Em um curso, a avaliação final tem peso 3 e as parciais peso 1; a nota média de um estudante que obtenha nota 8,5 na avaliação final e 7,0 e 9,0 nas provas parciais, será:
w
wx x (^3)
i 1 i
3 i 1 ii ==== == == ++++++++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.2) Média geométrica: A média geométrica G (ou ) de
um conjunto de n números x 1 , x 2 , ..., xn é a raiz de
ordem n do produto desses números:
a) Medidas de posição:
n
G ==== x 1 ⋅⋅⋅⋅ x 2 ⋅⋅⋅⋅ ...xn
G ====^3 2 ⋅⋅⋅⋅ 4 ⋅⋅⋅⋅ 8 ====^364 ==== 4
- Exemplo: A média geométrica dos números 2, 4 e 8:
x G
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.2) Média geométrica (dados agrupados): Se os elementos
x 1 , x 2 , ..., xn ocorrem com as freqüências n 1 , n 2 ,..., nk ,
sendo n 1 +n 2 +...+nk = n a freqüência total, a média
geométrica G desses elementos será deduzida como:
a) Medidas de posição:
n n k
n 2
n n 1 nvezes
k kk nvezes
2 2 2 nvezes
1 1 1 1 2 k 1 2 k
G ==== xx...x xx...x xxx ==== x ⋅⋅⋅⋅ x ... x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.4) Mediana (variável discreta, tabela de distribuição de
freqüência):
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana:
xi ni Ni 82 85 87 89 90
21º e 22º
n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1 , ou seja, 21º e 22º elementos. Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela Ni , ou seja, 87 e 87, assim: 87 2
~x (^8787) =
= ++++
~ x
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.4) Mediana (variável contínua, tabela de distribuição de
freqüência):
a) Medidas de posição:
- Para variáveis contínuas, identifica-se a classe que contém a mediana ( n/2 ), denominada classe Md (como a variável é contínua, não interessa se n é par ou ímpar); o valor aproximado para a mediana será calculado pela equação:
Md Md
Md 1 Md Md
Md 1 Md Md (^) f a
0 , 5 F l n
N a 2
n x~^ l −−−−
−−−− (^) −−−− ==== ++++
^ − −−− ==== ++++
onde: NMd-1 é a freqüência absoluta acumulada da classe antes da classe mediana, n a dimensão da amostra e lMd , aMd e nMd são, respectivamente, o limite inferior, a amplitude e a freqüência absoluta da classe mediana.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.4) Mediana (variável contínua, tabela de distribuição de
freqüência):
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: Classes ni Ni 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
classe Md
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.4) Mediana (variável contínua, tabela de distribuição de
freqüência):
a) Medidas de posição:
1º Passo: Calcula-se n/2 ; como n=58 , então 58/2=29º. 2º Passo: Identifica-se a classe Md pela Ni (classe Md=3ª ). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso li = 55, n = 58, Ni-1 = 17, ai = 10, ni = 18 ; logo:
n
N a 2
n x~ l i
i 1 i i ====
−−−−
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
- Como já visto anteriormente, a mediana é a
medida de posição que divide um conjunto de
dados em duas partes iguais;
- Os quartis dividem um conjunto de dados em
quatro partes iguais, assim:
Q 1 Q 2 Q 3
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
Q 1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos; Q 2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos; Q 3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos.
Q 1 Q 2 Q 3
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1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
- A determinação de Qk ( k = 1, 2 e 3 ) para variáveis discretas segue a fórmula:
n 1
Qk k
- Exemplo: Determine o 1º e o 3º quartis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612. E da série 1 85, 196, 207, 305, 574, 597? 2 ºelemento 196 4
Q 171
=^ +
1 , 75 ºelemento 193 , 3 4
Q 161
=^ +
6 ºelemento 597 4
Q 371 = →
=^ +
5 , 25 ºelemento 579 , 8 4
Q 3 = →
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
- A determinação de Qk ( k = 1, 2 e 3 ), para o caso
de variáveis contínuas, segue os passos:
k k
k k Q Q
Q 1 k Q n a
N
kn Q l ⋅⋅⋅⋅
−−−−
- 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/4 ;
- 2º Passo: Identifica-se a classe Qk pela freqüência acumulada N ;
- Aplica-se a fórmula:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição
- Exemplo: Dada a distribuição amostral, determinar Q 1 e Q 3 : Classes ni Ni 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
classe Q 1
classe Q 3
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Para Q 1. 1º Passo: Calcula-se n/4 ; como n=58 , então 58/4=14,5º. 2º Passo: Identifica-se a classe Q 1 pela Ni ( classe Q 1 =2ª ). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso lQ1 = 45, n = 58, NQ1-1 = 5, aQ1 = 10, nQ1 = 12 ; logo:
a 45 14 ,^55 n
N
1 n Q l 1 1
1 (^1) Q Q
Q 1 1 Q ⋅⋅⋅⋅ ====
−−−−
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Para Q 3. 1º Passo: Calcula-se 3n/4 ; como n = 58 , então 58/4 = 43,5º. 2º Passo: Identifica-se a classe Q 3 pela NQ3 ( classe Q 3 = 4ª ). 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso lQ3 = 65, n = 58, NQ1-1 = 35, aQ1 = 10, nQ1 = 14 ; logo:
a 65 n
N
3 n Q l 3 3
3 3 Q Q
Q 1 3 Q ⋅⋅⋅⋅ ====
−−−−
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.5) Quartis:
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem-se:
ou seja: O valor de 52,92 deixa 25% dos elementos; O valor de 61,67 deixa 50% dos elementos; O valor de 71,07 deixa 75% dos elementos.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.7) Percentis:
a) Medidas de posição:
- A determinação de Pk ( k = 1, 2, ..., 99 ), para o
caso de variáveis contínuas, segue os passos:
k k
k k P P
P 1 k P n a
N
kn P l ⋅⋅⋅⋅
−− −−
- 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/100 ;
- 2º Passo: Identifica-se a classe Pk pela freqüência acumulada N ;
- Aplica-se a fórmula:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.7) Percentis:
a) Medidas de posição:
- A determinação de Pk ( k = 1, 2, ..., 99 ), para variáveis discretas segue a fórmula:
= ^ +
n 1
Pk k
- Exemplo: Determine o 50º e o 60º percentis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612.
4 ºelemento 305 100
P 5071
= ^ +
48 ,ºelemento 520 , 2 100
D 6071
= ^ +
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º
percentil da seguinte distribuição:
a) Medidas de posição:
Classes ni Ni 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
classe D 4
classe P 72
Cálculo de D 4
1055 , 34 18
(^4105817) D 55
a 10 ;n 18
l 55 ;N 17 ;n 58 ;
23 , 2 10
458 10
kn
4
D D
D D 1
o
4 4
4 4
⋅⋅⋅⋅ ====
^ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== ++++
==== ====
==== ==== ====
====⋅⋅⋅⋅ ====
−−−−
1º Passo:
2º Passo:
3º Passo:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º
percentil da seguinte distribuição:
a) Medidas de posição:
Classes ni Ni 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
classe D 4 classe P 72
Cálculo de P 72
14 1069 ,^82
35 100
7258 P 65
a 10 ;n 14
l 65 ;N 35 ;n 58 ;
41 , 8 100
7258 100
kn
72
P P
P P 1
o
72 72
72 72
⋅⋅⋅⋅ ====
^ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== ++++
==== ====
==== ==== ====
==== ⋅⋅⋅⋅ ====
−−−−
1º Passo:
2º Passo:
3º Passo:
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.7) Exemplo (decil e percentil).
a) Medidas de posição:
- Portanto, na distribuição analisada, tem-se que:
- O valor 55,34 indica que 40% dos elementos da
distribuição estão abaixo dele e os outros 60%
acima.
- O valor 69,82 indica que 72% dos elementos da
distribuição estão abaixo dele e os outros 28%
acima.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda
a) Medidas de posição:
- Moda ( Mo ) é a medida que indica o valor ou a gama
de valores nos quais a concentração dos dados
amostrais é máxima.
- Para variáveis discretas, a moda é o valor dos dados
que ocorre com maior freqüência;
- Para variáveis contínuas, a classe modal é o intervalo
de classe com maior freqüência.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda
a) Medidas de posição:
- Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se
imediatamente o valor que representa a moda ou a
classe modal.
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda
a) Medidas de posição:
- Esta medida é especialmente útil para reduzir a
informação de um conjunto de dados qualitativos,
apresentados sob a forma de nomes ou categorias,
para os quais não se pode calcular a média e por
vezes a mediana (se não forem susceptíveis de
ordenação).
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1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda (distribuições simples)
a) Medidas de posição:
- Para distribuições simples (sem agrupamento em
classes), a identificação da moda é facilitada pela
simples observação do elemento que apresenta maior
freqüência.
- Exemplo: Para a distribuição abaixo Mo = 248.
xi 243 245 248 251 307 ni 7 17 23 20 8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda (dados agrupados)
a) Medidas de posição:
- Para dados agrupados em classe, existem diversas
fórmulas para o cálculo da moda:
- Fórmula de Czuber: Após a identificação da classe modal, aplica-se a fórmula abaixo, onde
i 1 2
1 Mo ==== li ++++∆∆∆∆++++ ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅ a
l = limite inferior da classe modal; ∆ 1 = diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a imediatamente anterior; ∆ 2 = diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a imediatamente posterior; ai = amplitude da classe modal.
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1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda (dados agrupados)
a) Medidas de posição:
- Exemplo: Determinar a moda para a distribuição:
Classes ni 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95
- A classe com maior frequência absoluta é [55, 65[; logo, ela é a classe modal.
- Aplicando a fórmula de Czuber, tem-se:
M 61
10 ( 1812 )( 18 14 ) M 55 18 12
M l a
o
o
i 1 2
1 o i
====
⋅⋅⋅⋅ −−−− ++++ −−−− ==== ++++ −−−−
⋅⋅⋅⋅ ++++ ==== ++++ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆
ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
1.5 Estatísticas Amostrais
a.8) Moda (dados agrupados)
a) Medidas de posição:
- Densidades de classes: Quando as amplitudes das
classes são diferentes, deve-se calcular as densidades
de classes para identificar a classe modal, as quais são
obtidas por meio da relação ni/ai.
