Estatística básica, Notas de estudo de Matemática

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Indice

• Apresentação Capítulos (conteúdos) Página
• O que é Estatística?
• Cap. 1 - Conceitos fundamentais
• Cap. 2 – Arredondamento de dados
• Critério de Arredondamento de dados
• Cap. 3 – Freqüências
• Freqüências absoluta e absoluta acumulada
• Freqüências relativa e relativa acumulada
• Cap. 4 – Saiba um pouco mais
• A Estatística é o melhor calmante
• O que derruba uma aeronave?
• Cap. 5 – Distribuição de freqüência
• Cap. 6 – Representação gráfica
• Gráfico de Colunas e de Barras
• Histograma
• Gráfico de Setores
• Cap. 7 – Medidas de Tendência Central
• Média Aritmética
• Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classes
• Mediana
• Moda
• Cap. 8 – Medidas de Dispersão
• Desvio padrão e variância
• Zona de normalidade
• Bibliografias

ESTATÍSTICA

O que é Estatística?

De origem muito antiga, a Estatística teve durante séculos um caráter meramente descritivo e de registro de ocorrências. As primeiras atividades datam de cerca de 2000 a.C. e refere-se a iniciativas como o recenseamento das populações agrícolas chinesas. No início do século XIX, os estudos estatísticos ganharam a contribuição de grandes matemáticos. Nos trabalhos de dois deles, o francês Simon Laplace e o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), surge a idéia de “distribuição normal de freqüência”. Essa idéia levou a uma teoria muito útil para fazer previsões. A teoria da distribuição normal foi usada pelo astrônomo e matemático belga Adolphe Quételet (1796 – 1874), no estudo estatístico de diversas características das populações humanas: altura, peso, natalidade, mortalidade, renda mensal, etc. Fisher (1890 – 1962) – Ronald Aylmer Fisher, geneticista e estatístico britânico, concentrou seus estudos na genética das populações, campo em que obteve importantes resultados, sendo considerado um dos grandes criadores do neodarwinismo. Na Estatística trabalhou com ajustes de curvas de freqüências, com coeficientes de correlação, os chamados coeficientes de Fisher, na análise de variância e nas técnicas de estimação de um parâmetro. Influenciado pelos trabalhos de Karl Pearson, outro importante geneticista e estatístico britânico, Fisher utilizou os resultados que obteve na Estatística como ferramentas para aplicação nos seus estudos de genética, sendo hoje considerado um dos maiores nomes na Teoria de Estatística e na Estatística aplicada à Biologia. A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de

dados , sua organização em tabelas e gráficos e a análise desses dados.

Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação

atual provém de pesquisas e estudos estatísticos.

Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais

População e Amostra – Em Estatística ao estudarmos um conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrências, podemos considerar todo o conjunto, chamado de população, ou parte deste conjunto, chamado de amostra. Imagine, por exemplo, um campeonato quadrangular entre Flamengo, Botafogo, Atlético Mineiro e Grêmio, sendo realizado em um único dia, no Maracanã. Se quisermos saber qual é a composição da torcida que está no estádio, podemos desenvolver o estudo entrevistando: · o conjunto de todos os torcedores que estão no estádio (população); · ou parte desse conjunto de torcedores (amostra). Portanto: População são grupos, geralmente numerosos de mesmas características

que podem ser estudados estatisticamente. Exemplos: 48 alunos que estudam na 5ª série de uma escola; Clubes campeões paulistas de futebol, etc.

Amostras são partes de grupos de mesmas características, que geralmente

são muito numerosos e que para ser verificado em sua totalidade seria

muito dispendioso. Exemplos: 10 alunos de uma escola com 995 alunos; 2000 brasileiros ouvidos para uma pesquisa de opinião política, etc.

Capítulo 2 – Arredondamento de dados

Se pedirmos a diferentes pessoas que meçam um segmento, certamente obteremos resultados diversos. Alguns poderão dar como resposta 3,4 cm, outros, 3,5 cm. Quem poderá nos garantir que tal medida não seria 3,45 cm ou 3,449 cm? A medida que encontraremos vai depender de quem a efetuou e do instrumento utilizado.

Qualquer medição, por mais bem feita que seja, sempre nos dará um resultado aproximado.

Assim, também cálculos que envolvem divisões nem sempre resultam em números exatos. Observemos o resultado de 146 : 99. O número 1,474747... envolve uma dízima periódica. É, portanto, um número decimal não-exato.

Para calcularmos o valor da expressão 3,578 + 146 : 99, poderíamos pensar em usar apenas três casas decimais, considerando: · Um número menor que o valor real: 3,578 + 1,474 = 5, · Um número maior que o valor real: 3,578 + 1,475 = 5,

Nos dois casos estaríamos cometendo erros: para menos, no primeiro, e para mais no segundo. O erro é a diferença entre o valor real do número e o valor considerado.

A quantidade de algarismos a conservar após a vírgula depende do problema que estamos resolvendo. O erro de 0,5m na medida do comprimento de uma rua é diferente do erro de 0,5m na medida do comprimento de uma sala. Vejamos isso por meio de duas situações práticas:

Exemplo: a) Um funcionário da prefeitura mede uma rua com o objetivo de numerar as casas em relação às medidas obtidas. O portão da casa do Sr. Francisco está a 21,5 m do início da rua, no lado dos números ímpares. O funcionário dá o número 21 à residência em questão. Cometeu, assim, um erro de 0,5 m. b) Um operário mede o comprimento de uma sala, para a colocação de um carpete em seu piso. A medida obtida é 3,5 m. O operário anota 3m, cometendo, portanto, um erro de 0,5m.

Nos dois exemplos, o número que representa os erros é o mesmo, mas o significado dos erros cometidos é diferente, uma vez que as situações são diversas.

Continuemos nosso raciocínio completando o problema do exemplo b: o operário, ao medir a sala, obteve comprimento 3,5 m e largura 2,3 m. Assim, a área do piso da sala é 3,5 m. 2,3 m = 8,05 m^2. O erro de 0,5m cometido pelo operário na anotação da medida levará ao seguinte cálculo de área:

3 m. 2,3 m = 6,9 m^2 O erro na medida da área seria, portanto, de: 8,05 m^2 – 6,9 m^2 = 1,15 m^2

Você já deve ter percebido que devemos ter certo cuidado no arredondamento de dados. Deve ter notado também a importância do arredondamento e da definição de critérios para reduzir o efeito dos erros.

Convém notar que as formas de representação 2; 2,0 e 2,00 não são equivalentes.

A aproximação para o centésimo mais próximo é 72,81 porque está mais próximo do que 72,82 (o erro é menor).

d) Qual é a melhor aproximação do número 72,815 para o centésimo mais próximo?

---------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|--------------- 72,81 72,815 72,

Deparamos agora com um número que tem a mesma distância tanto de 72,81 de 72,82. Na prática, costuma-se aproxima o algarismo que precede o 5 para o número par mais próximo. Assim, a aproximação de 72,815 para o centésimo mais próximo é 72,82. Esta prática é valiosa para reduzir ao mínimo os erros acumulados por arredondamento. Vejamos o exemplo seguinte: e) Adicionar os números: 7,35 + 8,65 + 3,25 + 3,15 + 2,95 + 0,75 e 4,85. Solução: · Adicionamos diretamente (sem arredondamento): total = 30, · Com arredondamentos para décimos considerando o número par no algarismo que precede o 5: 7,4 + 8,6 + 3,2 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,8 = 31, · Com arredondamentos para décimos acrescendo 1 ao algarismo que precede o 5: 7,4 + 8,7 + 3,3 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,9 = 31, O erro no segundo processo é 31,0 – 30,95 = 0,05 e no terceiro processo é 31,3 – 30,95 = 0,35. Logo o segundo nos leva a um erro menor que o terceiro arredondamento, o que torna o segundo processo mais aconselhável.

Exercícios Propostos

1- Faça o arredondamento dos números conforme a precisão indicada: a) 47,8 para a unidade mais próxima; b) 37,257 para o décimo mais próximo; c) 37,257 para o centésimo mais próximo; d) 7,314 para o centésimo mais próximo; e) 2,484 para o décimo mais próximo; f) 136,5 para a unidade mais próxima; g) 0,0435 para o milésimo mais próximo; h) 4,50001 para a unidade mais próxima; i) 5,56500 para o centésimo mais próximo; j) 5,56501 para o centésimo mais próximo.

2- Efetue as operações indicadas e calcule o erro, em cada caso de arredondamento (se possível, use calculadora): a) 3,253 + 1,725 + 1,23001 + 2,471 + 5, b) 3,150 · 2, c) 4,75 ¸ 1, d) 3,112 - 1, e) 45 + 29,12 - 14,3303 + 9, Para cada operação considere: · sem arredondamento; · com arredondamentos para décimos; · com arredondamentos para centésimos;

· com arredondamentos para milésimos; · com arredondamentos para a unidade. Em cada caso indique qual é o arredondamento que traz o menor acúmulo de erros.

Capítulo 3 – Freqüências

Freqüência absoluta e freqüência absoluta acumulada

A primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os dados colhidos sobre uma população estatística. Escolhida uma característica estatística sobre os elementos de uma população estatística, devemos elaborar uma tabela de dados denominada distribuição estatística. Exemplo1 - Considerem primeiramente as idades de 15 pessoas de um grupo de alunos num curso de artesanato: 15 18 19 17 17 19 16 19 17 20 16 18 19 15 20 Nesse caso temos: População estatística: 15 alunos de um curso de artesanato; Amostras: alguns alunos (3 ou 4) desse grupo de 15 alunos; Variável estatística: as idades desses 15 alunos.

A partir desses conhecimentos, vamos elaborar uma tabela: Idades (Xi)

Contagem Número de Alunos (Fi) 15 1+1 2 16 1+1 2 17 1+1+1 3 18 1+1 2 19 1+1+1+1 4 20 1+1 2 Total = 15 Na primeira coluna aparecem os diferentes valores da variável estatística, que representamos por Xi. Na última coluna aparece o número de vezes que cada valor se repete; essa coluna é chamada freqüência absoluta, que representamos por Fi.

Freqüência absoluta (Fi) do valor de Xi é o número de vezes que cada

variável estatística assume o valor de Xi.

A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna, chamada freqüências absolutas acumuladas (F. i. a.), cujos valores são obtidos adicionando a cada freqüência absoluta, os valores das freqüências anteriores. Veja o complemento da tabela anterior:

Idades (Xi)

Número de Alunos (Fi)

Soma dos números de alunos (Fia) 15 2 2 16 2 4 17 3 7 18 2 9 19 4 13 20 2 15 Total = 15 Total = 15

Podemos então, completar o quadro de distribuição de freqüências com mais duas colunas: a coluna das freqüências relativas (f i) e a coluna das freqüências relativas acumuladas (f i a).

Idades (Xi)

Número de Alunos (Fi)

Soma dos números de alunos (Fia)

freqüência relativa f.i. (%)

freq. relat. acumulada f.i.a. (%) 15 2 2 2/15 = 13,33 13, 16 2 4 2/15 = 13,33 26, 17 3 7 3/15 = 20 46, 18 2 9 2/15 = 13,33 59, 19 4 13 4/15 = 26,67 86, 20 2 15 2/15 = 13,33 99, Total = 15 Total = 15 Total = 99,99 Total = 99,

Observando essa tabela, podemos dizer que: · 20% dos alunos possuem 17 anos de idade; · 59,99% possuem idade inferior a 19 anos; · 99,99% – 59,99% = 40% possuem idades superior a 18 anos.

Observação: Quando tratarmos com valores dizimais (f.i. e f.i.a.), podemos fazer o arredondamento utilizando 2 casas decimais, totalizando aproximadamente 100% com margem de erro de 2 décimos, superando-se esse erro o aluno deve rever seus cálculos e melhorar sua aproximação.

Exercícios Propostos

7- Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtido os seguintes pontos: 1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1, 6, 6, 5, 5, 4, 2. Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas. 8- Observando a tabela do exercício cima, responda: a) Quantas vezes o número 2 foi obtido no dado? b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5? c) Qual o índice em % em que o número 6 foi obtido no dado? d) Qual o índice em % em que números maiores que 4 foram obtidos no dado?

9- A tabela abaixo mostra a média dos 25 alunos da 1ª série do curso de ensino médio de um determinado colégio, em Química, no primeiro bimestre de um determinado ano: Disciplina: Química Números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Médias 4 7 5 5 5 4 9 4 5 6 6 7 6 6 5 4 4 8 7 6 6 8 5 5 8 Tomando como extremos a menor e a maior nota: a) Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas. b) Quantos alunos obtiveram média 6? c) Quantos alunos obtiveram média menor que 6? d) Quantos alunos obtiveram média maior que 6? e) Qual o índice em % de reprovação em Química neste bimestre? f) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior que 7? g) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior ou igual a 5 e menor que 7?

Capítulo 4 -Saiba um pouco mais

A ESTATÍSTICA É O MELHOR CALMANTE É inevitável. Depois de um ano sombrio para a aviação comercial, como foi o de 1996, até o passageiro mais viajado sente medo. Diante de tantos desastres aéreos nas manchetes dos jornais, não há quem o convença de que as quedas são raras, de que o normal é tudo dar certo. Mas é exatamente isso que dizem as estatísticas. A chance de alguém bater o carro e morrer a caminho do aeroporto é 500 vezes maior do que a de o avião cair. Segundo a Administração Federal de Aviação, americana, de cada 1000 mortes, 228 acontecem em acidentes rodoviários e 0,45 em aeroviários. Até nadar é mais perigoso. A cada 1000 fatalidades, 26 são por afogamento. “Seria preciso viajar todos os dias, durante 712 anos, para que alguém se envolvesse com certeza em um acidente aéreo”, disse a SUPER Stuart Matthews, da FSF (sigla para a fundação de segurança no vôo, em inglês).O que aconteceu no dia 31 de outubro em São Paulo, quando um fokker 100 despencou sobre várias casas segundos depois de decolar, foi uma tremenda falta de sorte, levando-se em conta as estatísticas. Pesquisas mostram que desde o final da década de 50 o número de desastres caiu bastante, embora eles tenham matado mais de 20.000 pessoas. Há 37 anos, eram sessenta casos para cada milhão de decolagens. Hoje são três. E Brasil segue a tendência. Em 1987, quando o país tinha 7.890 aviões, houve 226 acidentes. Hoje com uma frota quase 20% maior, o número baixou para menos da metade. Mas a matemática nem sempre tranqüiliza. A lei da gravidade parece ser mais cruel na América Latina. Aqui, a cada milhão de pousos e decolagens 32,4 não dão certo. Na América do Norte a freqüência é oito vezes menor. “E o maior problema é a tripulação”, diz Stuart Mattews. Ou seja, em geral a culpa não é da tecnologia. Os números animadores também não valem para aviões pequenos. No Brasil, entre 1982 e 1984, os desastres com jatinhos aumentaram 55%. Alguns viraram notícia. Na noite de 2 de março de 1996, um Learjet chegou ao aeroporto de Guarulhos com velocidade superior à indicada para pouso. O piloto subiu e virou à esquerda. Chocou-se com uma montanha. Morreram nove pessoas. Eram os Mamonas assassinas e a tripulação. Conclusão do inquérito policial: erros do piloto, do co-piloto e da torre.

O que derruba uma aeronave

15,7% Falha mecânica – O atrito com o ar e os processos de compressão e descompressão provocam trincas na fuselagem, que é o corpo do avião. Quando não são percebidas e reparadas a tempo, parte da carcaça se solta em pleno vôo. Informações sobre o vôo chegam ao painel por fios conectados a aparelhos espalhados pelo avião. Interferências eletromagnéticas alteram os dados, confundem os pilotos e podem acionar equipamentos em hora errada. O desgaste na ligação entre as turbinas e a asa pode fazer com que uma delas se solte parcialmente e deixe de funcionar. As turbinas empurram a aeronave, mantendo-a no ar, e ajudam na freagem, com o mecanismo chamado reverso. São partes delicadas do aparelho, que já causaram muitos acidentes. Cadeiras mal fixadas esmagam os passageiros. Além disso, é sob elas que se colocam as bombas. O terrorismo não entra nas estatísticas, mas é um dado importante, tal qual a tragédia de 11 de Setembro de 2001, nos EUA.

3,4% Manutenção – Antes do vôo, todo o aparelho deve ser avaliado. Peças desgastadas que já derrubaram muitos aviões poderiam ter sido trocadas nessa fase.

2 º passo Notamos que a menor estatura é 150cm e a maior é 179cm. Assim, a variação é de 179cm – 150cm = 29cm. Esse valor é chamado de amplitude total (H).

3 º passo Agrupamos os valores em intervalos de classe. Podemos considerar, por exemplo, a classe de 150 ( inclusive ) à 154 ( exclusive). Em símbolos, é denotada por 150 |¾¾¾ 154. Nesse caso, 150 é o limite inferior e 154 é o limite superior da classe. A diferença entre o limite inferior e o limite superior é igual à amplitude da classe (h). Adotando-se a amplitude da classe igual a h = 4, teremos oito classes. Construímos, então, uma tabela de freqüências com classes.

Estatura (cm) Freqüência Absoluta Freqüência Relativa (%)

150 |------ 154 10 0,20 ou 20%

154 |------ 158 11 0,22 ou 22%

158 |------ 162 9 0,18 ou 18%

162 |------ 166 7 0,14 ou 14 %

166 |------ 170 5 0,10 ou 10%

170 |------ 174 3 0,06 ou 6 %

174 |------ 178 2 0,04 ou 4%

178 |------ 182 3 0,06 ou 6%

TOTAL 50 100%

Exercícios Propostos

10- O exame de quarenta pacientes de um hospital constatou o seguinte número de leucócitos (glóbulos brancos) por mm^3.

5800 3900 7100 3500 2800 4500 6900 5700 2000 2400 1500 1400 5900 7200 3100 5800 1300 2100 4100 3400 2000 3100 2900 1600 4000 2500 8300 4200 3200 2400 1900 6800 5900 2600 6100 8900 2900 1900 1900 1100

Com esses dados, construir uma tabela de freqüências absoluta e relativa, considerando a amplitude da classe igual a 2000 (h = 2000 ).

11- Um comerciante de calçados masculinos pretendendo renovar seu estoque fez um levantamento dos pares vendidos no mês anterior e levando em conta apenas o número do sapato, chegou a seguinte ralação: 40 36 38 41 41 40 38 41 39 34 40 36 38 41 41 40 38 41 39 34 42 40 39 39 41 41 39 42 40 34 42 40 39 39 41 41 39 42 40 34 36 40 40 38 40 39 42 39 38 35 36 40 40 38 40 39 42 39 38 35 38 41 39 39 41 38 43 40 36 37 38 41 39 39 41 38 43 40 36 37 36 42 34 40 39 38 37 38 35 36 36 42 34 40 39 38 37 38 35 36

Estabeleça o rol desses dados, em seguida divida em intervalos de 2 em 2 números e construa uma tabela completa de freqüências, analisando em seguida os resultados obtidos.

Capítulo 6 – Representação Gráfica

Dados estatísticos podem ser representados tanto por tabelas e por quadros de distribuição por freqüência quanto por gráficos. O uso gráfico para representar uma situação estatística pode muitas vezes expor melhor visualmente do que uma tabela estatística, porém o seu uso deve ser feito com bastante cautela, utilizando o gráfico adequado em cada situação, veja alguns casos: A) Gráfico de Colunas - é um tipo de gráfico muito utilizado em diversas situações, indica quantidades, porcentagens e de fácil comparação entre suas variáveis.

0

2

4

6

8

10

1o Bim. 2o Bim. 3o Bim. 4o Bim.

João José Maria

O gráfico acima mostra o desempenho de 3 alunos durante o ano num determinado curso, pode-se perfeitamente verificar que João teve o melhor desempenho, seguido de Maria e José teve o pior desempenho.

B) Gráfico de Barras – também é um tipo de gráfico muito utilizado para comparar diversos tipos de dados e é uma outra variante do gráfico de colunas, sendo amplamente utilizado em jornais, revistas, empresas, etc.

0 5 10 15

1o Bim.

2o Bim.

3o Bim.

4o Bim.

Maria José João

O gráfico demonstra a mesma situação do gráfico de colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos.

D) Setores – Dos gráficos de Estatística, mais importante que a contribuição de Descartes foi a do escocês William Playfair, que trabalhava com estatísticas comerciais. Em 1786 ele começou a inventar maneiras de representar dados numéricos por meio de figuras. Uma de suas criações foram os gráficos de barras ou colunas, como aqueles de João, José e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, ele inventou os gráficos de setores, também chamados de “tortas” ou “pizzas”. Vejamos um exemplo:

O gráfico acima mostra a distribuição populacional nas grandes metrópoles brasileiras e permite um comparativo entre as quantidades de habitantes existentes em cada metrópole, sendo que não confunde o leitor e sim permite uma análise mais ampla da situação no momento. Veja tabela a seguir, geratriz desse gráfico:

Foi feita uma enquete a 1200 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado obtido foi o seguinte:

POPULAÇÃO DE REGIÕES METROPOLITANAS - BRASIL/

37%

24%

8%

7%

7%

6%

6% 5%

Grande S.P. (37 municípios) Grande R.J. (15 municípios) Grande B.H. (14 municípios) Grande Porto Alegre (14 municípios) Grande Recife (9 minicípios) Grande Salvador (8 municípios) Grande Fortaleza (5 municípios) Grande Curitiba (14 municípios)

REGIÕES METROPOLITANAS POPULAÇÃO PERCENTUAL

Grande S.P. (37 municípios) 15.444.900 37,3% Grande R.J. (15 municípios) 9.814.600 23,7% Grande B.H. (14 municípios) 3.436.100 8,3% Grande Porto Alegre (14 municípios) 3.026.800 7,3% Grande Recife (9 municípios) 2.874.500 6,9% Grande Salvador (8 municípios) 2.496.500 6,0% Grande Fortaleza (5 municípios) 2.307.000 5,6% Grande Curitiba (14 municípios) 2.000.800 4,8%

TOTAL 41.401.200 100,0%

Atividade Esportiva

Número de Alunos voleibol 600 basquete 200 futebol 100 natação 50 outras 250 Com esses dados pode-se construir uma representação gráfica de setores dessa distribuição, em que usaremos um círculo. Lembrando que uma circunferência completa tem 360º, podemos calcular por meio de uma regra de três simples e direta o ângulo central correspondente a cada uma das atividades desejadas pelos alunos. Assim, temos: 1200 ------------ 360º à v = 600 x 360º = 180º 600 ------------ v 1200

1200 ------------ 360º à b = 200 x 360º = 60º 200 ------------ b 1200

1200 ------------ 360º à f = 100 x 360º = 30º 600 ------------ f 1200

1200 ------------ 360º à n = 50 x 360º = 15º 50 ------------ n 1200

1200 ------------ 360º à o = 250 x 360º = 75º 250 ------------ o 1200

Com essas medidas, poderemos, então construir com o uso de régua e compasso um gráfico de setores de forma correta, utilizando-se de cores e legenda para representar melhor a opinião dos alunos quanto ao esporte praticado. Veja a construção do professor.

Exercícios propostos

15- Uma pesquisa sobre atividades culturais extraclasse foi feita entre 1000 alunos de uma escola. O resultado está no quadro seguinte:

Atividade Nº de Alunos

Visita a museus 400 Visita a outras cidades 200 Palestras 250 Exposições 100 Outras 50 Usando um gráfico de setores, faça a representação gráfica dessa distribuição. Faça também uma pesquisa na sala sobre a mesma preferência, construa também um gráfico de setores e faça uma análise comparativa entre as duas situações.

Turma B: 2+3+4+4+4+5+6+7+7+8+9 = 59 = 5,

Colocando estes três valores lado a lado, temos:

Turma Posição Central Maior Freqüência å x

n

A 6 7 5,

b 5 4 5,

Observando os resultados, podemos afirmar que a turma A teve melhor que a turma B. Esses três valores caracterizam as distribuições. São chamados valores típicos. Eles tendem a se localizar em um ponto central de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, o que significa a denominação medidas de tendência central ou médias. O valor que ocupa a posição central chama-se mediana ( Md ) : Para a turma A, a mediana é 6: Md = 6. Para a turma B, a mediana é 5: Md = 5. O valor que aparece com maior freqüência chama-se moda ( Mo ) : Para a turma A, a moda é 7: Mo = 7. Para a turma B, a moda é 4: Mo = 4. O quociente da soma pelos valores pela quantidade deles é a média aritmética ( Ma ) : Para a turma A, a média aritmética é Ma = 5,45. Para a turma B, a média aritmética é Ma = 5,36.

Portanto, mediana, moda e média aritmética são medidas de tendência

central ou médias da distribuição.

Existem outros tipos de média, como a média geométrica e a harmônica, que não constarão deste capítulo por não serem muito utilizadas neste nível de ensino.

Média aritmética

A média aritmética (Ma) é a medida de tendência central mais conhecida. Já sabemos que ela é o quociente da soma dos valores (åx) pela quantidade (n).

Exemplo 1 – Consideremos os dados abaixo: 18 17 17 16 16 15 15 15 14 14 13 13 13 13 13 12 12 12 11 11

A quantidade de dados é n = 20

A soma dos dados é åx = 18 + 17 + ... + 11 + 11 = 280

A média aritmética é: Ma = åx = 280 = 14 n 20

Exemplo 2 – Consideremos os mesmos dados do exemplo1 dispostos em uma distribuição por freqüência:

x Fi 18 1 17 2 16 2 15 3 14 2 13 5 12 3 11 2 TOTAL 20

Veja que o número de observações é igual ao da soma das freqüências absolutas Fi = n = 20, que pode ser efetuado da seguinte forma: åx = 1. 18 + 2. 17 + 2. 16 + 3. 15 + 2. 14 + 5. 13 + 3. 12 + 2. 11 = 280

Os fatores que multiplicam os dados são as freqüências que aparecem na tabela da distribuição. Logo:

Ma = åx = å Fix

n å Fi

Na prática, quando temos a distribuição por freqüência, acrescentamos à tabela uma coluna com os produtos Fi x de cada valor pela sua freqüência, veja:

x Fi Fi x 18 1 18 17 2 34 16 2 32 15 3 45 14 2 28 13 5 65 12 3 36 11 2 22 TOTAL 20 280

Ma = 280 ® Ma = 14