4aLISTA DE EXERC´
ICIOS DE INT. `
A INF. ESTAT´
ISTICA - SME0221
Para o exerc´ıcio 1, considere o erro quadr´atico m´edio (EQM)
de um estimador b
θde θ:
EQM (b
θ, θ) = E(b
θ−θ)2= Var(b
θ) + b(b
θ),
em que b(b
θ) ´e o v´ıcio do estimador.
Exerc´ıcio 1. (Bussab e Morettin 37, p. 327)
Suponha que Xtenha uma distribui¸c˜ao uniforme no intervalo
(0, θ), onde θ´e desconhecido. Uma amostra de nobserva¸c˜oes
X1, X2,...,Xn´e retirada. Sabemos que E(X) = E(Xi) = θ/2
e Var(X) = Var(Xi) = θ2/12 para todo i= 1,...,n. Logo, se
calcularmos a m´edia amostral X, essa deve estar pr´oxima de
θ/2 e podemos estimar θpor b
θ= 2X.
(a) Calcule E(b
θ).
(b) Calcule EQM (b
θ).
(c) b
θ´e consistente? Por quˆe?
Exerc´ıcio 2. (Bussab e Morettin 6 p. 307)
Estamos estudando o modelo yt=µ+t, para o qual uma
amostra de cinco elementos produziu os seguintes valoes para
yt: 3,5,6,8,16.
(a) Calcule os valores de S(µ) = Pt(yt−µ)2, para µ=
6,7,8,9,10, e fa¸ca o gr´afico de S(µ) em rela¸c˜ao a µ.
Qual o valor de µque parece tornar m´ınimo S(µ)?
(b) Derivando S(µ) em rela¸c˜ao a µ, e igualando o resultado
a zero, vocˆe encontrar´a o EMQ de µ. Usando os dados
acima, encontre a estimativa para µe compare com o
resultado do item anterior.
(c) Estar entre 0 e 2.
Exerc´ıcio 3. (Bussab e Morettin 7 p. 307)
Os dados abaixo referem-se ao ´ındice de infla¸c˜ao (yt) de 1967
a 1979 (t).
Ano 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979
Infla¸c˜ao 128 192 277 373 613 1236 2639
(a) Fa¸ca o gr´afico de ytcontra t.
(b) Considere ajustar o modelo yt=α+β t +taos dados.
Encontre as estimativas de m´ınimos quadrados de αe
β.
(c) Qual seria a infla¸c˜ao em 1981?
(d) Vocˆe teria alguma restri¸c˜ao em adotar o modelo linear
nesse caso?
Exerc´ıcio 4. (Bussab e Morettin 8 p. 308)
No Exerc´ıcio 3, determinamos os estimadores de m´ınimos qua-
drados para o modelo yt=f(t) + t, com f(t) = α+βt.
Suponha agora que
f(t) = α+βxt, y = 1,...,n,
ou seja, temos nvalores fixos x1,...,xnde uma vari´avel fixa
(n˜ao-aleat´oria) x. Obtenha os estimadores de m´ınimos quadra-
dos de αeβpara esse modelo.
Exerc´ıcio 5. (Bussab e Morettin 45 p. 329)
Obtenha o estimador de λna Poisson, pelo m´etodo dos mo-
mentos.
Exerc´ıcio 6. (Bussab e Morettin 12 p. 310)
Suponha que Xseja uma v.a. com distribui¸c˜ao normal, com
m´edia µe variˆancia 1. Obtenha o EMV de µ, para uma amostra
de tamanho n, (X1,...,Xn).
Exerc´ıcio 7. (Bussab e Morettin 13 p. 310)
Considere Yuma v.a. com distribui¸c˜ao de Poisson, com parˆametro
λ > 0. Obtenha o EMV de λ, baseado numa amostra de ta-
manho n.
Exerc´ıcio 8. (Walpole et al. 9.82 p. 199)
Considere uma amostra de nobserva¸c˜oes de uma distribui¸c˜ao
Weibull com parˆametros αeβe fun¸c˜ao densidade
f(x) = (αβxβ−1e−αxβ, x > 0
0,caso contr´ario ,
para α, β > 0.
(a) Escreva a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca
(b) Escreva as equa¸c˜oes que, quando resolvidas, fornecem
os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca de αeβ.
Exerc´ıcio 9. (Walpole et al. 9.85 p. 199)
Considere um experimento hipot´etico no qual um homem com
um fungo usa uma droga antif´ungica e ´e curado. Considere
isso, ent˜ao, uma amostra de uma distribui¸c˜ao de Bernoulli com
fun¸c˜ao de probabilidade
f(x) = pxq1−x, x = 0,1,
em que p´e a probabilidade de sucesso (cura) e q= 1 −p.´
E
claro, a informa¸c˜ao da amostra fornece x= 1. Escreva um
desenvolvimento que msotra que ˆp= 1,0 ´e o estimador de
m´axima verossimilhan¸ca da probabilidde de cura.
Exerc´ıcio 10. (Meyer 14.4 p.365)
Uma vari´avel aleat´oria Xtem f. d. p.
f(x) = (β+ 1)xβ,0< x < 1.
(a) Calcule o estimador de m´axima de verossimilhan¸ca ba-
seado numa amostra de tamanho n.
(b) Calcule a estimativa de MV quando os valores amos-
trais forem: 0,3; 0,8; 0,27; 0,35; 0,62 e 0,55.
Exerc´ıcio 11. (Meyer 14.8 p.366)
Suponha que Xseja uniformemente distribu´ıdo sobre (−α, α).
determine a estimativa de MV de α, baseada em uma amostra
de tamanho n.
Exerc´ıcio 12. (Meyer 14.9 p.366)
(a) Um procedimento ´e realizado at´e que um particular
evento Aocorra pela primeira vez. Em cada repeti¸c˜ao,
P(A) = p; suponha que sejam necess´arias n1repeti¸c˜oes.
Depois, esse experimento ´e repetido e, agora, n2re-
peti¸c˜oes s˜ao necess´arias para produzir-se o evento A.
Se isso foi feito kvezes, obteremos a amostra n1,...,nk.
Baseando-se nessa amostra, determine o estimador de
MV de p.
(b) Admita que kseja bastante grande. Determine o valor
aproximado de E(ˆp) e Var(ˆp), em que ´e o estimador de
MV obtido em (a).
Exerc´ıcio 13. (Meyer 14.15 p.367)
Suponha que Xtenha uma distribui¸c˜ao gama; isto ´e, sua f. d.
p. seja dada por
f(x) = λ(λx)r−1e−λx
Γ(r), x > 0.
Suponha que rseja conhecido e seja X1,...,Xnuma a. a. de
X. Determine o estimador de MV de λbaseado nesta amostra.
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