Baixe Exame modelo Matemática A e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Escola Secund´aria de Penafiel
Exame Modelo I de Matem´atica A
Dura¸c˜ao do Exame: 150 minutos + 30 minutos de tolerˆancia junho de 2018
Caderno 1 (75 minutos + 15min ) + Caderno 2 (75 minutos + 15min )
12.º Ano de Escolaridade Turma - G - K
Caderno 1
Dura¸c˜ao: 75 minutos + 15 minutos de tolerˆancia
´E permitido o uso de calculadora gr´afica
Indica de forma leg´ıvel a vers˜ao da prova. A prova ´e constitu´ıda por dois cadernos (Caderno 1 e Caderno 2). Utiliza apenas caneta ou esferogr´afica de tinta azul ou preta. S´o ´e permitido o uso de calculadora no Caderno
- N˜ao ´e permitido o uso de corretor. Risca o que pretendes que n˜ao seja classificado. Para cada resposta identifica o item. Apresenta as tuas respostas de forma leg´ıvel. Apresenta apenas uma resposta para cada item. A prova apresenta um formul´ario no Caderno 1. As cota¸c˜oes dos itens de cada Caderno encontram-se no final de cada Caderno.
Na resposta aos itens de sele¸c˜ao (escolha m´ultipla), seleciona a resposta correta. Escreve na folha de respos- tas o n´umero do item e a letra que identifica a op¸c˜ao escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresenta o teu racioc´ınio de forma clara, indicando todos os c´alculos que tiveres de efetuar e todas as justifica¸c˜oes necess´arias. Quando, para um resultado, n˜ao ´e pedida aproxima¸c˜ao apresenta sempre o valor exato.
Formul´ario
Geometria
Comprimento de um arco de circunferˆencia:
αr (α - amplitude, em radianos, do ˆangulo ao centro; r - raio)
´area de um pol´ıgono regular: Semiper´ımetro × Ap´otema
´area de um setor circular: αr^2 2 (α- amplitude, em radianos, do ˆangulo ao centro, r - raio)
´area lateral de um cone: πrg (r - raio da base, g - geratriz)
´area de uma superf´ıcie esf´erica: 4 πr^2 (r - raio)
Volume da pirˆamide: 1 3 × ´area da base × Altura
Volume do cone: 1 3 × ´area da base × Altura
Volume da esfera: 4 3 πr^3 (r - raio)
Progress˜oes
Soma dos n primeiros termos de uma progress˜ao (un):
Progress˜ao aritm´etica: u^1 +^ un 2 × n
Progress˜ao geom´etrica: u 1 × 1 −^ r
n 1 − r , r 6 = 1
Trigonometria
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Lei dos senos sin Aˆ a = sin Bˆ b = sin Cˆ c
Lei dos cossenos ou Teorema de Carnot
a^2 = b^2 + c^2 − 2 bc cos Aˆ
Complexos
(|z|cisθ)n^ = |z|ncis(nθ) ou (|z|eiθ^ )n^ = |z|nei(nθ) n^ √|z|cisθ = n^ √|z|cis
( (^) θ + 2kπ n
) ou n^ √z = √n|z|ei
( (^) θ+2kπ n
) , k ∈ {0; 1; 2; ...; n − 1 } e n ∈ N
Probabilidades
μ = p 1 x 1 + · · · + pnxn σ =
√ p 1 (x 1 − μ)^2 + · · · + pn(xn − μ)^2 Se X ∼ N (μ, σ), ent˜ao: P (μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0. 6827 P (μ − 2 σ < X < μ + 2σ) ≈ 0. 9545 P (μ − 3 σ < X < μ + 3σ) ≈ 0. 9973
Regras de deriva¸c˜ao
(u + v)′^ = u′^ + v′ (uv)′^ = u′v + uv′ ( (^) u v
)′
u′v − uv′ v^2 (un)′^ = nun−^1 u′^ (n ∈ R) (sin u)′^ = u′^ cos u (cos u)′^ = −u′^ sin u (tan u)′^ = u
′ cos^2 u (eu)′^ = u′eu (au)′^ = u′au^ ln a (a ∈ R+{ 1 }) (ln u)′^ = u′ u (loga u)′^ = u
′ u ln a (a ∈ R+{ 1 })
Limites not´aveis
lim
( 1 +^1 n
)n = e (n ∈ N)
xlim→ 0
sin x x = 1
xlim→ 0
ex^ − 1 x = 1
x→lim+∞^ ln^ x x = 0
x→lim+∞
ex xp^ = +∞ (p ∈ R)
- Seja (E, P (E), P ) um espa¸co de probabilidade Sejam A e B dois acontecimentos poss´ıveis de P (E)
Sabe-se que:
P (A ∩ B) =
P (A ∪ B) =
P (A | B) =
Determina P (B | A)
- No referencial ortonormado Oxyz, da figura 2 est´a representado um s´olido [ABCDEF GH]
Sabe-se que:
a origem O do referencial situa-se no centro da face [ABCD]
[ABCD] ´e um quadrado de lado 6, contido no plano xOy
as faces [ABF E] e [CDHG] s˜ao paralelas ao plano yOz
B(3; 3; 0), E(3; −3; 3) e G(−3; 3; 5)
uma equa¸c˜ao do plano EF G ´e x + 3z − 12 = 0
A B
C
O
E D F
H G
x
y
z
Figura 2
5.1. V˜ao ser escolhidos trˆes dos oito v´ertices do s´olido. Qual ´e a probabilidade de definirem um plano paralelo ao plano yOz? Apresenta o resultado sob a forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel 5.2. Determina uma equa¸c˜ao vetorial da reta perpendicular ao plano EF G e que cont´em o ponto D 5.3. Escreve a equa¸c˜ao do plano mediador do segmento de reta [AH]
- Considera a fun¸c˜ao g, real de vari´avel real, definida em ] − ∞; −2[ Na figura 3 est˜ao representados, em referencial o.n. xOy, parte do gr´afico da fun¸c˜ao g e de duas retas r e s Sabe-se que:
as retas s e r, s˜ao, respetivamente, a ass´ıntota vertical e a ass´ıntota n˜ao vertical ao gr´afico da fun¸c˜ao g, e que I ´e o seu ponto de interse¸c˜ao
lim x→− 2 −^
g(x) = −∞
lim x→−∞
[
g(x) −
x +
]
As coordenadas do ponto I s˜ao:
(A)
(B)
(C)
(D)
g
r
s
I x
y
Figura 3
- Considera a fun¸c˜ao f , real de vari´avel real, definida no seu dom´ınio, por f (x) = ex+1^ − 1 2 ex^ − 1
7.1. Mostra que a reta de equa¸c˜ao y =
e 2
´e ass´ıntota ao gr´afico da fun¸c˜ao, quando x → +∞
7.2. Considera a fun¸c˜ao g, real de vari´avel real, definida no seu dom´ınio, por g(x) = −
ex^
- f (x) Mostra que a fun¸c˜ao g tem pelo menos um zero em ]1; 2[
- Um corpo est´a suspenso numa mola e oscila verticalmente Admite que a distˆancia, em dec´ımetros, do corpo ao solo, t segundos ap´os um certo instante t 0 , ´e dada por p(t) = 5 + 5e−^0.^2 t^ cos
πt 3
, com t ∈ [0; +∞[
Na figura 4 est´a representado, em referencial orto- normado xOy, parte do gr´afico da fun¸c˜ao p
p
O
5
t
p(t)
Figura 4
8.1. Determina os instantes em que o corpo se encontra a 5 dec´ımetros do solo, durante os primeiros oito segundos 8.2. Determina lim t→+∞ p(t) e interpreta o valor encontrado, em termos do movimento do corpo
FIM DO CADERNO 1
P ´AGINA EM BRANCO
Caderno 2
Dura¸c˜ao: 75 minutos + 15 minutos de tolerˆancia Neste Caderno n˜ao ´e permitida a utiliza¸c˜ao de calculadora
P2001/ 2002 PMC
9.1. Admite que, numa certa escola, a vari´avel ”Massa corporal dos alunos do sexo masculino da es- cola”segue uma distribui¸c˜ao aproximadamente normal, de valor m´edio 60 kg
Escolhe-se, ao acaso, um aluno do sexo masculino dessa escola
Relativamente a esse rapaz, qual dos acontecimentos seguintes ´e o mais prov´avel? (A) a sua massa corporal ´e inferior a 70 kg (B) a sua massa corporal ´e superior a 70 kg (C) a sua massa corporal ´e superior a 55 kg (D) a sua massa corporal ´e inferior a 55 kg
9.2. Na figura 5 est´a representada a fun¸c˜ao f , definida por f (x) = −
π 4
x 2
Sabe-se que:
A ´e o ponto de interse¸c˜ao do gr´afico de f com o eixo das ordenadas;
B ´e o ponto do gr´afico de f com ordenada
5 π 12
A abcissa do ponto B ´e: (A) 1
(B) 2
(C)
(D)
f
O
512 π B
x
y
Figura 5
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considera os n´umeros complexos,
w 1 = − 2
2 cos
( (^) π 4
2 i sin
( (^) π 4
e w 2 = cos(θ + π) + i sin(θ + π), com θ ∈ R
10.1. Considera a condi¸c˜ao
|z + w 1 | = 2 ∧ −
π 2
≤ Arg(z) ≤ −
π 4 No plano complexo, esta condi¸c˜ao define uma linha
Determina o comprimento dessa linha
10.2. Mostra que |w^32 + 1| = 2
∣sin
3 θ 2
- Na figura 10, est´a representado, num referencial ortonormado xOy, parte do gr´afico da fun¸c˜ao f , definida por
f (x) =
x e^2 x^ − ex^ se x < 0
0 se x = 0
(x + 1) ln
x + 2 x
se x > 0
f r
O x
y
b
Figura 10
Sabe-se que:
o eixo das ordenadas ´e ass´ıntota vertical ao gr´afico da fun¸c˜ao f a reta r ´e ass´ıntota horizontal ao gr´afico da fun¸c˜ao f lim x→ 0 −^
f (x) = b
14.1. Determina o valor de b
14.2. Considera a sucess˜ao (an), definida por an =
2 n + 3 n + 1
)n
Determina lim f (an) e escreve a equa¸c˜ao da reta r
- Considera a fun¸c˜ao h, real de vari´avel real, definida por
h(x) =
sin(− 2 x)(cos^2 (x) − sin^2 (x)) 4 x
se x < 0
k ln (
e) 2
se x = 0
2 x 1 − e^4 x^
se x > 0
, com k ∈ R
15.1. Averigua se existe k, para o qual a fun¸c˜ao h ´e cont´ınua em x = 0, e em caso afirmativo, indica-o
15.2. Mostra que, se x > 0, h′(x) =
e^4 x(8x − 2) + 2 (1 − e^4 x)^2
, e resolve a equa¸c˜ao h′(x) =
(1 − e^4 x)^2
15.3. Escreve a equa¸c˜ao reduzida da reta t, tangente ao gr´afico de h no ponto de abcissa
FIM DO CADERNO 2
COTAC¸ ˜OES
.................................................................................... 5 pontos
10.1 .................................................................................... 10 pontos 10.2 .................................................................................... 10 pontos
.................................................................................... 5 pontos
.................................................................................... 5 pontos
.................................................................................... 5 pontos
14.1 .................................................................................... 10 pontos 14.2 .................................................................................... 10 pontos
15.1 .................................................................................... 15 pontos 15.2 .................................................................................... 15 pontos 15.3 .................................................................................... 10 pontos TOTAL ..................... 100 pontos
