Exercícios de exame - matematica a, Exercícios de Matemática

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APRESENTAÇÃO

Esta publicação dá-te a possibilidade de resolveres alguns itens saídos nos últimos

exames nacionais e nos testes intermédios (estes últimos são testes temáticos e pe-

riódicos que se realizaram até 2014).

Assim, apresentamos-te uma compilação de exercícios de exame / testes inter-

º ano: médios organizados pelos temas abordados no 11.

• Trigonometria e Funções Trigonométricas
• Geometria Analítica
• Sucessões
• Funções Reais de Variável Real
• Estatística

Cada tema encontra-se organizado em itens de seleção e itens de construção.

No final, disponibilizamos-te as soluções de todos os exercícios.

Terás ainda à tua disposição, em www.expoente11.asa.pt, as resoluções detalhadas

destes exercícios, para te apoiar caso tenhas dúvidas.

Esperamos que este livro te seja muito útil.

Bom trabalho!

Trigonometria e Funções Trigonométricas TEMA I

Trigonometria e Funções Trigonométricas

= 0,9. x , a equação trigonométrica cosR Considere, em 1.

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

, – (D) , (C) ]π [0, (B) , – (A)

º ano, janeiro de 2011, 11. Teste Intermédio de Matemática A

três números reais. Sabe-se que: θ e β ,α Sejam 2.

π = 2 θ + α • = β + α • 0, α ∈ •

?θ + sen β + sen α Qual das expressões seguintes é equivalente a sen

α cos (D) α −cos (C) α − cos α 2sen (B) α + cos α 2sen (A)

º ano, janeiro de 2011, 11. Teste Intermédio de Matemática A

, o círculo trigonométrico. yOx Na figura está representado, num referencial o. n. 3.

Sabe-se que:

é o ponto de coordenadas (1, 0); C •

O pertencem ao eixo E e D • os pontos y

] é um diâmetro do círculo trigonométrico; AB • [

; xO são paralelas ao eixo BD e EA • as retas

; COA é a amplitude do ângulo θ •

. 0, θ ∈ •

Qual das expressões seguintes representa o perímetro da região sombreada na figura?

θ + sen θ cos (B) )θ + sen θ 2(cos (A)

θ + sen θ 1 + cos (D) )θ + sen θ 2(1 + cos (C)

ª fase , 2011, 2. Exame Nacional de Matemática A

. = – x é uma solução da equação sen θ um número real. Sabe-se que θ Seja 4.

? = x Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação sen

θ + (D) θ – (C) θ + π (B) θ – π (A)

º ano, fevereiro de 2012, 11. Teste Intermédio de Matemática A

π

È

Í

Î

È

Í

Î

π

π

È

Í

Î

È

Í

Î

π

È

Í

Î

π 3

È

Í

Î

π

È

Í

Î

π

È

Í

Î

π

π

π

È

Í

Î

π

È

Í

Î

Itens de seleção

Tema I

q

A

C

E

O

D B

y

x

Exercícios de Exame TEMA I

] representado na figura. ABC Considere o triângulo [ 5.

Sabe-se que:

= 2 – BA •

AC •

= 30º B

?α , em função de– CB = 30º. Qual das expressões seguintes representa BÂC = α Seja

α 6cos (D) α 4cos (C) α 6sen (B) α 4sen (A)

º ano, fevereiro de 2012, 11. Teste Intermédio de Matemática A

. Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo? , Considere o intervalo 6.

(A) = −0,5 x cos

(B) = −0,5 x sen

(C) = −0,9 x cos

(D) = −0,9 x sen

º ano, março de 2013, 11. Teste Intermédio de Matemática A

pertencente ao intervalo x Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer

? , π

(A) x + cos x sen

(C) (B) x – sen x tg

(D) x sen

x tg

º ano, março de 2014, 11. Teste Intermédio de Matemática A

= 0,3. x , a equação trigonométrica senR Considere, em 8.

[?π , 20π Quantas soluções tem esta equação no intervalo [−

80 (D) 60 (C) 40 (B) 20 (A)

º ano, março de 2014, 11. Teste Intermédio de Matemática A

. r e a reta O , a circunferência de centro yOx Na figura estão representadas, num referencial o.n. 9.

Sabe-se que:

pertencem à circunferência; B e A • os pontos

tem coordenadas (0, 1); B • o ponto

; B é tangente à circunferência no ponto r • a reta

com a semirreta r é o ponto de interseção da reta C • o ponto

; OA

. 0, α ∈ , com AOB é a amplitude, em radianos, do ângulo α •

, a área da região a sombreado?α Qual das expressões seguintes representa, em função de

(D) (C) (B) (A)

, 2014, época especial Exame Nacional de Matemática A

È

Í

Î

π 3

È

Í

Î

x cos

x tg

È

Í

Î

π

È

Í

Î

α – α sen

α – αtg

αtg

α

È

Í

Î

π 5

π 4

È

Í

Î

A

O

α

B

C

r

y

x

A

h

B

2

a

30º

C

Exercícios de Exame TEMA I

Na figura estão representados: 13.

= 2; – CB = 1 e – CD ], em que ABCD • o retângulo [

]; AD , ponto médio do segmento [ O • o ponto

e raio 1. O • uma semicircunferência de centro no ponto

], AB se desloca ao longo do segmento de reta [ P Considere que um ponto

. Para cada posição B , mas podendo coincidir com A nunca coincidindo com

com a semicircunferência. PO o ponto de interseção da reta Q , seja P do ponto

. 0, ∈ x DOQ a amplitude, em radianos, do ângulo x Seja . sem recorrer à calculadora Resolva os dois itens seguintes

, por x ], representado a sombreado, é dada, em função de BCDQP Mostre que a área do polígono [ 13.1.

. Determine, para essa posição do = – x – , tem-se cos P Para uma certa posição do ponto 13.2.

]. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. BCDQP , a área do polígono [ P ponto

º ano, março de 2014, 11. Teste Intermédio de Matemática A

Na figura está representada uma planificação de uma pirâmide quadrangular

regular cujas arestas laterais medem 4.

Seja

α FSE a amplitude, em radianos, do ângulo

α ∈ ,

π

. A aresta da

base da pirâmide e, consequentemente, a área de cada uma das faces late-

.α rais variam em função de

.α , por −32cosα Mostre que a área lateral da pirâmide é dada, em função de

, comece por exprimir a área de uma face lateralα cos α ) = 2 senα Atendendo a que sen(2 Sugestão:

.β , que poderá designar por FSP em função da amplitude do ângulo

º ano, abril de 2014, 12. Teste Intermédio de Matemática A Adaptado de

. S e R , Q , P e raio 2 e os pontos O Na figura estão representados uma circunferência de centro

Sabe-se que:

pertencem à circunferência; S e R , Q , P • os pontos

] é um diâmetro da circunferência; PR • [

– S;P = – QP •

; QPR é a amplitude, em radianos, do ângulo α •

; 0, α ∈ •

.α ], em função de PQRS ) é a área do quadrilátero [α( A •

= 2 θ , tem-se que tg 0, θ ∈ , comθ Para um certo número real

), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Comeceθ( A Determine o valor exato de

.α cosα ) = 16senα( A por mostrar que

ª fase , 2014, 2. Exame Nacional de Matemática A

π

h

i

j

h

i

j

È

Í

Î

È

Í

Î

x tg

x sen

π 3

h

i

j

h

i

j

h

i

j

È

Í

Î

È

Í

Î

h

i

j

π

È

Í

Î

π

È

Í

Î

È

Í

Î

π

È

Í

Î

x

2

1

1

B

A

P

C

D

Q

R

O

O

α

P

S Q

R

α

F

H

S P

4

R Q

E G

7

TEMA II Geometria Analítica

Geometria Analítica

Considere, num referencial o.n. O

xyz , o plano α, definido por 4 x − z + 1 = 0. Seja r

uma reta perpendi-

cular ao plano α.

Qual das condições seguintes pode definir a reta r

(A) ( x , y , z ) = (0, 0, –1) +k(4, 1, 0),k å 

(B) x = 4 ∧

z = – 1

(C) ( x , y , z ) = (3, 0, 0) +k(1, 0, 4),k å 

(D) ( x , y , z ) = (3, 1, 0) +k(4, 0, –1),k å 

Adaptado deExame Nacional de Matemática A, 2014, 1.ª fase

Considere, num referencial o.n. O

xyz , o ponto A

, de coordenadas (1, 0, 3), e o plano α, definido por

3 x + 2 y − 4 = 0. Seja β um plano perpendicular ao plano α e que passa pelo ponto A

Qual das condições seguintes pode definir o plano β?

(A) 3 x + 2 y − 3 = 0

(B) 2 x − 3 y − z + 1 = 0

(C)

2 x − 3 y + z = 0

(D) 3 x + 2 y = 0

Exame Nacional de Matemática A

, 2014, 2.ª fase

3. Considere, num referencial o.n. O

xyz , o ponto A

, de coordenadas (2, 0, 3), e o plano α, definido por

x − y − 2 z = 3. Seja r

a reta perpendicular ao plano α que passa pelo ponto A

Qual das condições seguintes pode definir a reta r

(A) (

x ,

y ,

z ) = (–2, 0, –1) +k(1, 0, 1),k å 

(B) ( x , y , z ) = (5, –3, –3) +k(–1, 1, 2),k å 

(C) ( x , y , z ) = (1, –1, –2) +k(2, 0, 3),k å 

(D) (

x ,

y ,

z ) = (2, 0, 3) +k(1, –1, 1),k å 

Adaptado deExame Nacional de Matemática A, 2014, época especial

Itens de seleção

Tema II

Geometria Analítica TEMA II

= 12. z + 2 y + x , de equação ABC , parte do plano xyzO Na figura está representada, num referencial o.n. 7.

são os pontos de interseção deste plano com os eixos coordenados. C e B , A Tal como a figura sugere,

. ABC (1, 2, 3) e é paralelo ao plano D Determine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto 7.1. . MB ]. Determine uma equação vetorial da reta AC o ponto médio do segmento de reta [ M Seja 7.2.

, a uma esfera centrada na origem do referencial, tal como P é tangente, num ponto ABC O plano 7.3.

se ilustra na figura.

Determine o valor exato do volume dessa esfera.

. ABC é perpendicular ao plano OP Tenha em conta que a reta Nota:

º ano, março de 2014, 11. Teste Intermédio de Matemática A Adaptado de

], ABCDV , uma pirâmide quadrangular regular [ xyzO Na figura está representada, num referencial o.n. 8.

é o centro da base da P tem cota positiva. O ponto V e cujo vértice yOx cuja base está contida no plano

pirâmide.

Admita que:

= 10; – VA •

e tem abcissa igual a 6; xO pertence ao eixo A • o vértice

tem abcissa e ordenada iguais a 6. V • o vértice

tem cota igual a 8. V Mostre que o vértice 8.1.

. CM ]. Determine uma equação vetorial que defina a reta BV o ponto médio da aresta [ M Seja 8.2.

8.3. ]. DV e que é perpendicular à aresta [ P Determine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto

º ano, abril de 2014, 12. Teste Intermédio de Matemática A Adaptado de

C

B

A

O

z

x

y

C

P

B

A

O

z

x

y

Itens de construção

V z

y

x

A

B

C

P

D

O

Exercícios de Exame TEMA II

], de aresta 3. OABCDEFG , o cubo [ xyzO Na figura está representado, num referencial o.n. 9.

Sabe-se que:

; xO pertence ao semieixo positivo A • o ponto

; yO pertence ao semieixo negativo C • o ponto

; zO pertence ao semieixo positivo D • o ponto

tem coordenadas (3, −2, 3). H • o ponto

. AHC a amplitude, em radianos, do ângulo α Seja

Determine o valor exato de sen

2

, sem utilizar a calculadora.α

ª fase , 2014, 1. Exame Nacional de Matemática A

]. ABCDE Na figura está representado um pentágono regular [ 10.

A Sabe-se que

= 1. B

= 1 – 2sen Mostre que

2

≥ BA Nota:

.

.≥ DA pelo vetor ≥ BA designa o produto escalar do vetor ≥ DA

) = cosα Use a igualdade cos(

2

• sen α

2

.α

ª fase , 2014, 2. Exame Nacional de Matemática A Adaptado de

A B

F

H

D G

E

O C

z

x

y

A

C E

B

D

≥ B A

≥ DA

A ||

|| D

π

h

i

j

h

i

j

Exercícios de Exame TEMA II

] que se pode decom- NOPQRSTUV , o poliedro [ xyzO Na figura está representado, num referencial o.n. 13.

por num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Sabe-se que:

; xO pertence ao eixo P • o vértice

; yO pertence ao eixo N • o vértice

; zO pertence ao eixo T • o vértice

tem coordenadas (2, 2, 2); R • o vértice

− 12 = 0. z + x é definido pela equação 6 PQV • o plano

13.1.

. V Determine as coordenadas do ponto

P Escreva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto 13.2.

. OR e é perpendicular à reta . QRS um ponto pertencente ao plano A Seja 13.3.

Sabe-se que:

tem cota igual ao cubo da abcissa; A • o ponto

são perpendiculares. ≥ QT e ≥ AO • os vetores

, recorrendo à calculadora gráfica. A Determine a abcissa do ponto

Na sua resposta:

• equacione o problema;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que

lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utilização da janela

[−2, 7]);∈ y [−4, 4] e∈ x de visualização em que

arredondada às centésimas. A • apresente a abcissa do ponto

ª fase , 2015, 2. Exame Nacional de Matemática A

− 4 = 0. z + y − x definido pela condição 2 β , o plano xyzO Considere, num referencial o.n. 14.

é perpendi- OP um certo número real. Sabe-se que a reta a ), sendo a (−2, 1, 3 P Considere o ponto 14.1.

a origem do referencial. O , sendoβ cular ao plano

. a Determine o valor de

14.2. o ponto de interseção do plano B (1, 2, 3). Seja A Considere o ponto

β o C. Seja xO com o eixo

. zOy relativamente ao plano B simétrico do ponto . BAC Determine a amplitude do ângulo

Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial, que é tangente 14.3.

.β ao plano

Na resolução deste item, tenha em conta que o raio relativo ao ponto de tangência é perpendicular

.β ao plano

, 2015, época especial Exame Nacional de Matemática A

O

P

Q

N

S

V

T

U

R

y

x

z

Sucessões TEMA III

Sucessões

u Seja ( 1.

n ) a sucessão definida por recorrência do seguinte modo:

w Seja (

n w ) a sucessão de termo geral

n − 13. n = 5

w para o qual se tem n Qual é o valor de

n u =

2 ?

(A) 3

4 (B)

5 (C)

(D) 6

º ano, maio de 2011, 11. Teste Intermédio de Matemática A

Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona e limitada? 2.

(–1) (A)

n

(B) (–1)

n

n

– (C)

n 1 + (D)

2

ª fase , 2015, 2. Exame Nacional de Matemática A

a De uma progressão geométrica ( 3.

n e que o sexto termo é igual ), sabe-se que o terceiro termo é igual a

a 2.

Qual é o valor do vigésimo termo?

8192 (A)

16 384 (B)

32 768 (C)

65 536 (D)

, 2015, época especial Exame Nacional de Matemática A

u

1

= 3

u

n u =

• 1 n

1 n se n + 2

n

Itens de seleção

Tema III

Sucessões TEMA III

A Relativamente ao conjunto I, designe por

1 A a área do círculo central, por

2 a

área da região exterior à circunferência um e interior à circunferência dois, e assim

A sucessivamente, até

20 , de acordo com o esquema representado na figura 4.

Considere, no logótipo pintado no muro do aldeamento, os valores corres- 7.1.

A pondentes a

1 A ,

2 A ,

3 A , ...,

20 , em cm

2

A. Justifique que

n .π − 25 n π = 50

A Mostre que 7.2.

n .π é termo geral de uma progressão aritmética de razão 50

Na pintura do logótipo do muro do aldeamento, foram usadas tinta branca e tinta preta, com igual 7.3.

rendimento. Admita que, para pintar o círculo central do conjunto I, se gastou 1 centilitro de tinta

branca.

Determine a quantidade total de tinta preta gasta na pintura dos conjuntos I, II e III do logótipo,

admitindo que a quantidade de tinta gasta na pintura de uma região é diretamente proporcional à

área dessa região.

Apresente o resultado em litros, arredondado às décimas.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.

ª fase , 2014, 1. Exame Nacional de Matemática B Adaptado de

Admita que, numa determinada mina de ouro, foi necessário construir um poço que permitisse um 8.

acesso direto às galerias da mina situadas a maior profundidade. Dadas as características geológicas do

subsolo e a complexidade dos trabalhos de escavação, o número de metros escavados em cada dia foi

progressivamente diminuindo, até se alcançar a profundidade pretendida.

Sabe-se que:

• no final do primeiro dia de trabalho, o poço ficou com 30 metros de profundidade;
• no segundo dia, foram escavados 28,5 metros (95% de 30 metros), ficando o poço, no final desse dia,

com 58,5 metros de profundidade.

Admita que os trabalhos prosseguiram, de modo que, em cada dia, a partir do segundo, a profundidade

acrescentada ao poço, em metros, foi 95% da profundidade acrescentada ao poço no dia anterior.

p Considere a sequência (

n p ), em que

n é o número de metros acrescentados à profundidade do poço,

. n no dia de trabalho de ordem

Quantos metros foram acrescentados à profundidade do poço no décimo dia de trabalho? 8.1.

Apresente o resultado arredondado às décimas.

p Na sua resposta, comece por justificar que os termos da sequência (

n ) são termos consecutivos de

uma progressão geométrica de razão 0,95.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Determine quantos dias de trabalho foram necessários para que a profundidade do poço ultrapas- 8.2.

sasse 575 metros.

Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais.

ª fase , 2014, 2. Exame Nacional de Matemática B

Figura 4

A

1

… A

2

A

3

A

4

A

20

Exercícios de Exame TEMA III

Desde muito cedo que o Dinis procura fazer economias, quer poupando quer investindo as suas 9.

poupanças para as rentabilizar.

9.1. No dia em que fez dezasseis anos, o Dinis decidiu iniciar uma poupança. Pensou em duas hipóteses

diferentes:

• colocar 2 euros num mealheiro vazio e, todos os meses, a partir desse dia, colocar no mealheiro

mais 1 euro do que a quantia colocada no mês anterior;

• colocar 15 euros num mealheiro vazio e, todos os meses, a partir desse dia, colocar novamente

15 euros no mealheiro.

O objetivo do Dinis era juntar, pelo menos, 500 euros.

Qual das duas hipóteses permite concretizar este objetivo mais rapidamente?

Justifique a sua resposta.

9.2. Quando o Dinis completou o Ensino Secundário, os pais e os avós deram-lhe algum dinheiro.

O Dinis decidiu rentabilizar esse dinheiro num depósito a prazo, obtendo juros, num regime de

juro composto. Depois de se informar em várias instituições bancárias, o Dinis depositou o dinheiro

que tinha recebido dos pais e dos avós numa conta a prazo com uma taxa de juro anual de 1,50%,

com capitalizações anuais.

O Dinis fez alguns cálculos e verificou, corretamente, que, nas condições referidas, seis anos após

a data de abertura da conta, o correspondente capital iria perfazer cerca de 1530,82 euros.

Determine a quantia que o Dinis recebeu dos pais e dos avós quando completou o Ensino Secundário.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

ª fase , 2015, 1. Exame Nacional de Matemática B Adaptado de

O reservatório de um parque industrial tem a forma de um tronco de cone, tal como o que se apresenta 10.

na figura 1.

Na superfície lateral do reservatório, foram pintadas 27 circunferências, de espessura desprezável, con-

tidas em planos paralelos equidistantes, como o esquema da figura 1 ilustra.

A figura 2 apresenta a vista de cima do reservatório, na qual estão representadas, no mesmo plano,

algumas dessas circunferências.

Sabe-se que a menor circunferência pintada no reservatório tem 6,9 metros de raio e que cada circun-

ferência, da menor para a maior, tem mais 0,3 metros de raio do que a circunferência anterior.

Os perímetros das 27 circunferências pintadas no reservatório, da menor para a maior, são termos con-

secutivos de uma progressão aritmética.

metros. π Mostre que a razão dessa progressão é exatamente 0,6 10.1.

Determine a soma dos perímetros das 27 circunferências pintadas no reservatório. 10.2.

Apresente o resultado em metros, arredondado às unidades.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

ª fase , 2015, 2. Exame Nacional de Matemática B Adaptado de

Figura 2 Figura 1

… …

Exercícios de Exame TEMA IV

, parte do grá- yOx Na figura está representada, num referencial ortogonal 4.

uma função, de f , de grau 3. Seja g fico de uma função polinomial

• 3). x ( g ) = x ( f , que verifica a condiçãoR domínio

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico

? f , primeira derivada da função’ f da função

(B) (A)

(D) (C)

ª fase , 2013, 2. Exame Nacional de Matemática A

. Sabe-se que:R uma função de domínio f Seja 5.

) = 1 x ( f •

] = 2 x ) + 2 x ( f [ •

? f Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função

(B) (A)

(D) (C)

Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assíntotas desse gráfico. Nota:

, 2013, época especial Exame Nacional de Matemática A

lim

∞+ Æ x

2

6 4 2

4

O

y

x

–2 –4 –

2

2

4

O

y

x

–2 –4 –

2

2

4

O

y

x

2

6 4 2

4

O

y

x

1

2

4 2 –

3

O

y

x

1

2

4 2 –

3

O

y

x

1

2

4 2 –

3

O

y

x

1

2

4 2 –

3

O

y

x

lim

∞– Æ x

–2 –

2

4 2

4

O

g

y

x

Funções Reais de Variável Real TEMA IV

, parte da hipér- yOx Na figura está representada, num referencial o.n. 6.

interseta f. O gráfico da função f bole que é o gráfico de uma função

= −2 y = 1 e x no ponto de abcissa –1. As retas de equações xO o eixo

. f são as assíntotas do gráfico da função

) x ( f Qual é o conjunto-solução da condição

(A) , –2[∞]–

]–2, 0]

, –1]∞]– (B)

[∞ ]0, +

, 0]∞]– (C)

[∞ ]1, +

(D) , –1]∞]–

[∞ ]1, +

º ano, março de 2014, 11. Teste Intermédio de Matemática A

. Sabe-se que:R duas funções de domínio g e f Sejam 7.

• 6; x ) = 3 x ( f é definida por f • a função

é uma função quadrática e é uma função par; g • a função

(2) = 0. g •

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) não tem zeros. tem três zeros e a função g × f A função

(B) tem um zero. tem três zeros e a função g × f A função

(C) não tem zeros. tem dois zeros e a função g × f A função

(D) tem um zero. tem dois zeros e a função g × f A função

º ano, março de 2014, 11. Teste Intermédio de Matemática A

R uma função de domínio f Seja 8.

. f − 5 é assíntota do gráfico da função x = 2 y. A reta de equação

? Qual é o valor de

∞+ (D) 3 (C) 2 (B) 0 (A)

, 2014, época especial Exame Nacional de Matemática A

). f ‘ designa a derivada de f ‘(2) = 6 ( f. Sabe-se queR uma função de domínio f Seja

? Qual é o valor de

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

, 2015, época especial Exame Nacional de Matemática A

f

g

f

g

f

g

f

g

lim

∞+ Æ x

x

) x ( f

lim

2 Æ x

(2) f ) – x ( f

x

2

x – 2

1 –

O

f

y

x