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MAC
Exercícios preliminares: parte 1
IME–USP, 7/3/
Estes exercícios tratam de rudimentos da teoria dos conjuntos e de algumas outras trivialidades. Se você pretende cursar MAC5770 (Introdução à Teo- ria dos Grafos) — veja http://www.ime.usp.br/˜pf/mac5770-2005 — você deveria ser capaz de resolver esses exercícios em meia hora.
1 Conjuntos e seqüências
A seqüência cujos elementos são a, b e c — nesta ordem — é denotada por ( ) ( ) (a, b, c) ou por (a, b, c) ou por abc.
O conjunto^1 (usa-se também o termo coleção) cujos elementos são a, b e c é de- notado por { } {a, b, c}.
A união de conjuntos X e Y é denotada por X ∪ Y. A interseção de X e Y é X ∪ Y denotada por X ∩ Y. A diferença entre X e Y é denotada por X ∩ Y X − Y X − Y ou por X r Y. X^ r^ Y
Um conjunto X é disjunto de um conjunto Y se X ∩ Y = ∅. disjunto
(^1) Loterias como a sena sorteiam um conjunto de números: qualquer pessoa que tenha um
bilhete com o conjunto de números sorteados leva o prêmio. Já o jogo do bicho sorteia uma seqüência de números: qualquer pessoa que tenha um bilhete com a seqüência sorteada leva o prêmio.
Exercício 1.1 Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? Por que?
Exercício 1.2 Sejam A e B os conjuntos { 1 , 2 , 3 } e { 3 , 1 , 5 , 4 } respectivamente. Quanto valem A ∪ B, B ∪ A e A ∩ B? Quanto valem A ∪ ∅ e A ∩ ∅?
Exercício 1.3 Qual a diferença entre ∅, { } e {∅}?
Exercício 1.4 Se A e B são conjuntos de números e b é um número, o que signi- fica cada uma das expressões abaixo?
A ∪ b A ∪ B A ∪ {B} A ∪ {b}
Exercício 1.5 O conjunto { 1 , 2 , 3 } é disjunto do conjunto { 2 , 5 , 4 }?
Exercício 1.6 Sejam A, B e C os conjuntos { 1 , 2 , 3 }, { 2 , 4 , 6 } e { 1 , 2 , 3 , 4 } respec- tivamente. Quanto valem A r B, B r A e A r C?
Exercício 1.7 Qual o complemento de { 1 , 2 , 3 , 5 } em { 1 ,... , 10 }? complemento
- { 1 , 2 , 3 } é subconjunto de { 5 , 1 , 2 , 4 , 3 }
- { 1 , 2 , 3 } é subconjunto próprio { 5 , 1 , 2 , 4 , 3 }
- { 1 , 2 , 3 } é parte de { 5 , 1 , 3 , 4 , 6 }
- { 1 , 2 , 3 } é parte própria de { 2 , 1 , 3 }
Exercício 3.2 Sejam A e B os conjuntos { 1 , 2 , 3 } e { 3 , 1 , 2 , 5 , 4 } respectivamente. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
A ⊆ B A ⊇ B A ⊂ B A ⊃ B
Exercício 3.3 Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? Por que?
- {{ 1 , 2 }, { 1 }, { 2 , 4 , 6 }} ⊆ { 1 , 2 , 4 , 6 }
- { 2 , 4 , 6 } ⊆ {{ 1 , 2 }, { 1 }, { 2 , 4 , 6 }}
- { 2 , 4 , 6 } ∈ {{ 1 , 2 }, { 1 }, { 2 , 4 , 6 }}
Exercício 3.4 Escreva a sentença “k ∈ X ” em português, sem usar o símbolo “∈”.
Exercício 3.5 Faça uma lista de todos os subconjuntos de { 1 , 2 , 3 }. Quantos são os subconjuntos de um conjunto com n elementos?
Exercício 3.6 Faça uma lista de todas as permutações dos elementos do con- permutação junto { 3 , 1 , 4 }. Quantas são as permutações dos elementos de { 1 , 2 ,... , n}?
4 Pares ordenados e pares não-ordenados
Um par ordenado é essencialmente o mesmo que uma seqüência de compri- par mento 2. Um par não-ordenado é um conjunto com exatamente 2 elementos. ordenado não-ordenado
Exercício 4.1 Faça uma lista de todos os pares ordenados de elementos de { 1 , 2 , 3 }. Faça uma lista de todos os pares não-ordenados de elementos de { 1 , 2 , 3 }.
Exercício 4.2 Seja A um conjunto com n elementos. Quantos pares ordenados de elementos de A existem? Quantos pares não-ordenados?
5 Partições
Uma partição de um conjunto X é qualquer coleção de conjuntos dois a dois partição disjuntos cuja união é X. Em outras palavras, uma partição de X é qualquer coleção {X 1 ,... , Xk} de subconjuntos de X tal que
X 1 ∪ · · · ∪ Xk = X e Xi ∩ Xj = ∅ sempre que i 6 = j.
(Suporemos quase sempre que Xi 6 = ∅ para todo i.)
Uma bipartição de um conjunto X é qualquer partição de X em duas partes, ou bipartição seja, um par {A, B} de subconjuntos de X tal que A ∪ B = X e A ∩ B = ∅.^2
Exercício 5.1 É verdade que {{ 1 , 2 , 3 }, { 3 , 4 }, 5 } é uma partição de { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }?
(^2) Infelizmente, há muita bobagem rolando por aí a respeito da palavra “partição”. Suponha que {A, B} é uma partição de X. Então A é uma das partes da partição e B é outra parte. Não faz sentido dizer “A é uma das partições de X ”. Também está errada a expressão “A e B são as partições de X ”. Essas expressões têm o mesmo sabor que a par de frases “O casal Antônio e Benedita tem uma vida difícil. O casal Antônio está desempregado, e o casal Benedita trabalha como faxineira.”
