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2.4. Questão 5: Sintonia de Controladores PID
O método da Curva de Reação ou reposta ao Degrau pode ser aplicado quando a curva da resposta ao degrau da planta tiver o aspecto de uma letra S, possuindo, portanto, um atraso (Figura 1). Este atraso acontece quando a planta não possuir integradores nem polos complexos dominantes.
Figura 1 – Função de Transferência e Resposta ao Degrau com Atraso
Fonte: Elaborado pelo autor com dados retirados de Sintoa PID.
Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de (constante de proporcionalidade), (tempo de integração) e (tempo de derivação) de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo.
Tabela 9 – Ziegler Nichols para Resposta ao Degrau Tipo de Controlador P ∞ 0 PI 0 PID 0.5L Fonte: Elaborado pelo autor com dados retirados de Sintonia PID.
Portanto, através deste método observa-se que o PID sintonizado apresenta um polo na origem e zeros duplos em possuindo a seguinte função de transferência.
No método do Limiar de Oscilação ou da Resposta em Frequência, inicialmente se trabalha com a ação de controle proporcional, para isso atribui-se e. Experimentalmente aumenta-se o valor de até que a resposta do sistema apresente uma oscilação sustentada pela primeira vez, ou seja, comportamento não amortecido. A esse
valor de dá-se a notação de (ganho crítico). O período da senóide encontrada será denominado (período crítico).
Figura 2 – Diagrama em Blocos e Período Crítico
Fonte: Elaborado pelo autor com dados retirados de Sintonia PID.
Para esse método, Ziegler e Nichols, sugeriram escolher valores de , e de acordo com a seguinte tabela.
Tabela 10 – Ziegler Nichols para Resposta em Frequência Tipo de Controlador P ∞ 0 PI 0 PID Fonte: Elaborado pelo autor com dados retirados de Sintonia PID.
Portanto, através deste método observa-se que o PID sintonizado apresenta um
polo na origem e zeros duplos em possuindo a seguinte forma:
O método Cohen-Coon se baseia no método de resposta ao degrau de Ziegler- Nichols e utiliza os mesmos parâmetros T e L obtidos em malha aberta. Seu principal critério de projeto é a rejeição às perturbações. Para controladores P e PD o valor de é o máximo possível de modo a minimizar o erro em estado estacionário devido às perturbações. Para PI e PID o ganho também é maximizado para a redução do erro em regime permanente. A sintonia pode ser realizada através dos valores tabelados abaixo:
Tabela 11 – Método Cohen-Coon Tipo de Controlador P ∞ 0 PI 0 PD ∞ PID
utilizado para simulação se inicia no instante de tempo igual a L para representar o atraso e possui valor final igual a 2.1, ou seja, o valor de K calculado anteriormente.
Figura 3 – Diagrama do Controlador P por Z.N. Gráfico 71 – Controlador P por Z. N.
Fonte: Simulink, 2014 Fonte: Simulink, 2014
Figura 4 – Diagrama do Controlador PI por Z.N. Gráfico 72 – Controlador PI por Z.N.
Fonte: Simulink, 2014 Fonte: Simulink, 2014
Figura 5 – Diagrama do Controlador PID por Z.N. Gráfico 73 – Controlador PID por Z. N.
Fonte: Simulink, 2014 Fonte: Matlab, 2014
O controlador Proporcional respondeu rapidamente quando comparamos com o original, entretanto o erro de regime permanente não é zerado, fato já esperado para um controlador proporcional aplicado em sistema do tipo 0 com entrada em degrau. Inclusive pode-se calcular o valor do erro em regime permanente () para este controlador.
O controlador PI respondeu rapidamente com aproximadamente 0.4 segundos de tempo de subida e um tempo de acomodação de aproximadamente 1.6 segundos, porém o sistema apresentou um pequeno overshoot. Ao contrário do controlador P, o erro de regime permanente é igual a zero, fato que já era esperado pois o erro zero para entrada degrau é uma característica do controlador PI. O controlador PID apresentou características semelhantes ao controle PI, entretanto com tempo de subida menor, resultado da ação derivativa que atua na velocidade de resposta. Figura 6 – Diagrama dos Controladores por Z.N. Gráfico 74 –Controladores por Z.N.
Fonte: Simulink, 2014 Fonte: Simulink, 2014
As análises descritas abaixo foram feitas utilizando o método Cohen-Coon. Os parâmetros K, L e T utilizados neste método foram obtidos anteriormente. Primeiramente devemos calcular os valores dos parâmetros a e b que servem como base para o projeto dos controladores.
Utilizando a tabela de Cohen-Coon podemos calcular os parâmetros para sintonizarmos os controladores de acordo com a tabela abaixo, lembrando que a tabela de Cohen-Coon nos fornece o tempo de integração e o tempo de derivação e não as constantes do controlador.
Controlador
P 0 0
O controlador Proporcional respondeu rapidamente quando comparamos com o original e que seu comportamento é semelhante ao controlador P sintonizado pelo método de Ziegler Nichols, porém possui erro de regime permanente mais elevado. O valor do erro em regime permanente () para este controlador é:
O controlador PI e o controlador PID sintonizado por esse método diferentemente sintonizado por Ziegler Nichols não respondeu de maneira satisfatória, pois a resposta foi muito lenta. Portanto esse sistema não pode ser sintonizado por esses controladores, visto que o piora a resposta do sistema em relação ao original. Por meio dos dados descritos anteriormente, percebemos que nenhum dos controladores sintonizados pelo método de Cohen-Coon apresentou resultados satisfatórios (Gráfico 78), conclui-se que o sistema não pode ser sintonizado por tal método. Portanto o melhor controlador para este sistema é o PID sintonizado pelo método de Ziegler Nichols (Gráfico 73), pois possui menor tempo de subida e menor tempo de acomodação.
Gráfico 78 – Comparação entre todos os Controladores por Cohen-Coon
Fonte: Matlab, 2014
2.5 Questão 5: Sintonia PID
As análises seguintes utilizam o diagrama em blocos abaixo, que representa o controle do ângulo de manobra de um veículo dirigido automaticamente.
Figura 10 – Diagrama de Blocos Questão 2
Fonte: Elaborado pelo autor com dados retirados de Sintonia PID
Para utilizar o método de Ziegler Nichols para resposta em frequência devemos plotar o Lugar das Raízes do sistema acima para encontrar o valor de , ou seja, o valor do ganho quando o lugar das raízes corta o eixo imaginário do plano s. Segue abaixo o L.R. do sistema:
Gráfico 79 – Lugar das Raízes do Sistema
Fonte: Matlab, 2014
Observando o lugar das raízes do sistema conclui-se que o valor de. Para ter certeza que o valor de observado no lugar das raízes está correto, vamos utilizar o Critério de Routh Hurwitz: Equação Característica do Sistema: 1 74 15 120 A B
