Baixe Exercicio de Viga hiperestática e outras Exercícios em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity!
4,0 m 2,0 m 2,0 m
A B C D E
4,0 m
10 kN
80 kN
40 kN/m
80 kN/m
10 kN/m
2,0 m
10 kN
20 kN
4,0 m 2,0 m
A
B
D E
4,0 m
80 kN
40 kN/m
80 kN/m
2,0 m
M =
40 kN.m
ED
C
1. Traçar os diagramas de esforços solicitantes (esforço cortante e momento
fletor) da viga abaixo por meio do método dos deslocamentos. Considerar EI
constante.
Deslocabilidade interna
𝑖
𝐵
𝐶
, rotações nos nós internos B e C)
Deslocabilidade externa
𝑒
: 0 (não possui deslocamentos lineares)
Obs: o nó D não deve ser considerado como nó interno, pois o trecho DE está em
balanço e pode ser “retirado” (exclusivamente para a análise de esforços) fazendo-se a
equivalência estática, como pode ser visto no item a seguir.
1.0 Sistema principal com carregamento externo ( 0 )
Nesta etapa devem-se bloquear todas as deslocabilidades existentes na
estrutura, sejam rotações ou deslocamentos lineares. A estrutura com todas as
deslocabilidades bloqueadas é chamada de Sistema Principal. As rotações devem ser
bloqueadas por meio de chapas, e os deslocamentos lineares por meio de um apoio do
1º gênero. Neste exemplo a viga possui apenas duas incógnitas de rotação, dessa
maneira, como mostra a figura 1.1, coloca-se chapas nos nós B e C, sendo as chapas
1 e 2 respectivamente.
Figura 1.1. Sistema Principal com carregamento externo
Ao se colocar as chapas nos nós B e C, todas as barras devem ser analisadas
isoladamente para o cálculo dos momentos de engastamento perfeito, lembrando de
substituir as chapas por engastes, dessa maneira, as barras serão analisadas como
vigas biengastadas (barras AB e BC) e engastada e apoiada (barra CD) de acordo
como mostra a figura 1. 2.
M =
40 kN.m
ED
10 kN
20 kN
4,0 m
A B
40 kN/m
2,0 m
B C
80 kN
2,0 m
C D
80 kN/m
4,0 m
q.l
12
=
AB
2
q.l
12
AB
2
P.l
8
=
BC
P.l
8
BC
Caso da coluna 1,
linha 1 da tabela 1.
Caso da coluna 1,
linha 2 da tabela 1.
Caso da coluna 2,
linha 6 da tabela 1.
Caso da coluna 2,
linha 7 da tabela 1.
q.l
15
=
CD
2
M
2
ED
4,0 m 2,0 m
A
B
C
D
E
4,0 m
80 kN
40 kN/m
80 kN/m
2,0 m
M = 40 kN.m
ED
Figura 1. 2. Momentos de engastamento perfeito (análise isolada por barra).
Ainda na figura 1.2, na análise da barra CD, observa-se que além do
carregamento distribuído triangular, apenas o momento de 40 kN.m oriundo da
equivalência estática do balanço (trecho DE) geram momentos no engaste em C.
A fim de simplificar a resolução e torná-la mais prática, nos próximos exemplos
resolvidos, os momentos de engastamento perfeito serão apresentados como mostra a
figura 1.3.
Figura 1. 3. Momentos de engastamento perfeito (apresentação simplificada)
4,0 m
A
B
C
D
E
4,0 m
4,0 m
4,0 m
A
B
C D E
4,0 m
4,0 m
4 EI
l
2 EI
l
BC
BC
4 EI
l
AB
2 EI
l
AB
Da mesma maneira como no item 1.0, a fim de simplificar a resolução e torná-la
mais prática, nos próximos exemplos resolvidos, os momentos devido ao giro unitário,
serão apresentados como mostra a figura 1.6.
Figura 1. 6. Momentos devido ao giro unitário no nó B (apresentação simplificada)
1. 2 Sistema auxiliar ( 2 )
Nesta etapa aplica-se um giro unitário no nó 2 (nó C) da estrutura do sistema
principal como mostra a figura 1.7, ao fazer isso, apenas as barras BC e CD serão
flexionadas (linha tracejada fina), sendo estas as únicas barras solicitadas nesta
análise. Lembra-se que nos sistemas auxiliares o carregamento externo não é
considerado.
Figura 1. 7. Giro unitário no nó 2 (nó C)
Aqui as barras também são estudadas isoladamente, porém serão analisadas
apenas as barras BC e CD por serem elas as únicas solicitadas, e para facilitar as
“contas”, conforme já foi explicado no item 1.1, o valor de EI será substituído por 1. A
figura 1.8 mostra esta análise detalhadamente.
B C
4,0 m
C D
4,0 m
2 EI
l
= =
2
4
0,
BC 4 EI
l
= =
4
4
1,
BC
3 EI
l
= =
3
4
0,
CD
Caso da coluna 2,
linha 1 da tabela 2
Caso da coluna 1,
linha 2 da tabela 2
4,0 m
A
B C
D E
4,0 m
4,0 m
3 EI
l
CD
4 EI
l
BC
2 EI
l
BC
Figura 1. 8. Momentos gerados no engaste devido ao giro unitário no nó C
Conforme já foi mencionado, a fim de simplificar a resolução e torná-la mais
prática, nos próximos exemplos resolvidos, os momentos devido ao giro unitário, serão
apresentados como mostra a figura 1.9.
Figura 1. 9. Momentos devido ao giro unitário no nó C (apresentação simplificada)
1. 3 Cálculo dos 𝜷′𝒔
Os 𝛽′𝑠 que contêm o zero no índice (𝛽
10
20
, 𝑒𝑡𝑐 … ) são os termos de carga, o
restante (𝛽 11
12
21
, 𝑒𝑡𝑐 … ) são os coeficientes da matriz de rigidez. De uma forma
prática, eles são a soma de todos os momentos ou forças em um determinado nó. Para
este caso:
1. 5 Cálculo dos momentos finais
Barra AB
Para comprovar o que foi dito nos sistemas auxiliares em relação ao valor de 𝐸𝐼,
será considerado o produto 𝐸𝐼 apenas para este cálculo de momento, os próximos
serão feitos de maneira direta.
𝐴
𝑓
𝐴
0
𝐴
1
𝐵
𝐴
2
𝐶
𝐴
𝑓
𝐴
𝑓
11 , 077
𝐸𝐼
𝐴
𝑓
𝑨
𝒇
= 𝟓𝟖, 𝟖𝟕𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 ↶ Giro anti-horário
𝐵
𝑓
𝐵
0
𝐵
1
𝐵
𝐵
2
𝐶
𝐵
𝑓
𝐵
𝑓
𝑩
𝒇
= − 𝟒𝟐, 𝟐𝟓𝟔 𝒌𝑵. 𝒎 ↷ Giro horário
Barra BC
𝐵
𝑓
𝐵
0
𝐵
1
𝐵
𝐵
2
𝐶
𝐵
𝑓
𝐵
𝑓
𝑩
𝒇
= 𝟒𝟐, 𝟐𝟓𝟔 𝒌𝑵. 𝒎 ↶ Giro anti-horário
𝐶
𝑓
𝐶 0
𝐶 1
𝐵
𝐶 2
𝐶
𝐶
𝑓
𝐶
𝑓
𝑪
𝒇
= − 𝟓𝟐, 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 ↷ Giro horário
Barra CD
𝐶
𝑓
𝐶
0
𝐶
1
𝐵
𝐶
2
𝐶
𝐶
𝑓
𝐶
𝑓
𝑪
𝒇
= 𝟓𝟐, 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 ↶ Giro anti-horário
𝐷
𝑓
𝐷
0
𝐷
1
𝐵
𝐷
2
𝐶
𝐷
𝑓
𝑫
𝒇
= − 𝟒𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 ↷ Giro horário
Barra DE
De forma simplificada, o momento final para o nó D pode ser considerado o
mesmo da equivalência estática, feita no item 1.0, com o sinal contrário, pois esse
momento atua diretamente no nó D, sendo o contrário da convenção adotada, em que
se consideram os momentos na extremidade das barras. Para obter o 𝑀
𝐷
𝑓
já com o seu
sinal correto, devemos considerar a barra DE engastada no ponto D, conforme
mostrado na figura 1.10. A reação momento 𝑀
𝐷
𝑓
, calculada a seguir, estará atuando na
extremidade da barra, o que está de acordo com a convenção adotada.
Figura 1. 10. Esquema da barra DE engastada no nó D com reação momento 𝑀
𝐷
𝑓
𝐷
𝑓
𝐷
𝑓
𝑫
𝒇
= 𝟒𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 ↶ Giro anti-horário
𝑬
𝒇
= 𝟎 (Pois é a extremidade livre do balanço).
E
10 kN
f
2,0 m
10 kN/m
D
M
D
4,0 m 2,0 m
A
B C
D
4,0 m
80 kN
2,0 m
52,102 52,
40
160 kN 160 kN
RESULTANTE
(carregamento retângular)
58,
42,256 42,
10 kN
20 kN
160
2
160
2
80
2
4
58,
4
58,
4
42,
52,
80
2
160 x
2
4
42,
4
52,
52,
4
52,
4
40
RESULTANTE
4
42,
4
42,
4 4
160 x
4
40
3
4
4
1
3
x 4,
2
3
x 4,
x
1
3
4
4
x
VA =
84,154 kN
VB =
113,385 kN
VC =
152,154 kN
VD =
80,308 kN
RESULTANTE
(carregamento triângular)
40 x 4,0 =
80 x 4,
2,
=
E
4,0 m 2,0 m 2,0 m
A
B C D
E
2,0 m 4,0 m
M =29,
máx
q.l
AB
2
M = 35,
máx
P.l
BC
q.l
CD
2
q.l
DE
2
Parábola
do 2º grau
Parábola
do 3º grau
Parábola
do 2º grau
M = 32,
máx
2,104 m 1,757 m
1. 7 Cálculo das reações de apoio
Na figura 1.1 3 , mostra-se o cálculo detalhado das reações de apoio.
Figura 1. 13. Cálculo das reações de apoio
1. 8 Traçado do diagrama de momentos fletores (DMF)
Na figura 1.1 4 , mostra-se o traçado do diagrama de momentos fletores.
Figura 1. 14. Diagrama de momentos fletores (DMF) em KN.m
3
x
4
x
5
4,0 m 2,0 m 2,0 m
A
B C D E
4,0 m
10 kN
80 kN
40 kN/m
80 kN/m
10 kN/m
2,0 m
x
1
x
2
x
1. 9 Cálculo dos esforços cortantes
Antes de calcular os esforços cortantes deve-se dividir a viga em trechos, cada
trecho iniciando com sua própria abscissa (𝑥
1
2
3
, 𝑒𝑡𝑐 … ). E essa divisão deve ser
feita da seguinte maneira:
Todo carregamento concentrado, seja uma força ou momento, separam um
trecho do outro.
Todo início e fim de carregamento distribuído também separam um trecho do
outro.
Todo apoio, seja do 1º ou do 2º gênero, também separam um trecho do outro.
Dessa maneira, obtém-se a viga com os trechos indicados na figura 1.15.
Figura 1. 15. Viga separada em trechos
Será calculado o esforço cortante no início e no fim de cada trecho obedecendo
a legenda e a convenção mostradas a seguir.
Legenda:
𝑖,𝑗
→ 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑖𝑛 í 𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑗
𝑓,𝑗
Convenção:
𝐺𝑖𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜, 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
𝐺𝑖𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜, 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜.
A
B C D
E
q.l
CD
Horiz.
Parábola
do 2º grau
2,104 m 1,757 m
4,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 2,0 m
1. 9. 5 Trecho 5
𝑖, 5
𝑓, 4
𝐷
𝑓, 5
𝑖, 5
𝐷𝐸
1. 10 Traçado do diagrama de esforços cortantes (DEC)
Na figura 1.1 7 , mostra-se o traçado do diagrama de esforços cortantes.
Figura 1. 17. Diagrama de esforços cortantes (DEC) em kN
Algumas observações podem ser feitas sobre o diagrama traçado acima:
No trecho AB, tem-se um carregamento distribuído retangular, dessa
maneira, a equação de esforço cortante será uma função do 1º grau,
resultando em uma reta decrescente como gráfico.
No trecho BC, tem-se uma carga concentrada aplicada no meio do vão,
dessa maneira, a equação de esforço cortante será uma função constante
para as duas metades da barra BC, resultando em uma reta como gráfico,
sendo essa reta paralela ao eixo da viga.
No trecho CD, tem-se um carregamento distribuído triangular
decrescente, dessa maneira, a equação de esforço cortante será uma
função do 2º grau, resultando em uma parábola do 2º grau. Pelo fato de
ser decrescente, ele será zero em D, e nesta posição o ângulo que o
diagrama faz com a horizontal deve ser zero, deixando o diagrama na
horizontal.
E por fim, no trecho DE, caso análogo ao trecho AB, tem-se um
carregamento distribuído retangular, dessa maneira, a equação de
esforço cortante será uma função do 1º grau, resultando em uma reta
decrescente como gráfico.
