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Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere
todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.
A
4 , 8 m
C
12 kN/m
3 , 2 m
B
A B C
12 kN/m
D
4,8 m 5,4 m 4,2 m
A B C
10,8 kN/m
D
3 , 5 m 4 , 5 m 3 , 5 m 3,5 m
E
Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Os trechos têm
inércias, EI, distintas. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.
A
4 , 6 m
C
1 0,8 kN/m
3 , 4 m
B
EI (^) 2EI
A B C
9,6 kN/m
D
4, 5 m 6,0 m 4, 5 m
EI 3EI EI
A B C
8 ,0 kN/m
D E
3 , 5 m 4 , 0 m 4 , 0 m 3,5 m
EI (^) 2EI 2EI EI
Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere
todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.
A
4 , 5 m
C
8 kN/m
3 , 5 m
B
6 kN/m
A
4 , 0 m
C
8 kN/m
4 , 0 m
B
6 kN/m
A B C
6 kN/m
D
5 , 0 m 5 ,0 m 5 , 0 m
6 kN/m
A B C^ D
5 , 0 m 5 ,0 m 5 , 0 m
6 kN/m
A B C D E
4 , 0 m 3 , 5 m 4 , 0 m 3,5 m
6 kN/m 6 kN/m
8 kN/m 8 kN/m
A B C D E
4 , 0 m 3 , 5 m 4 , 0 m 3,5 m
6 kN/m
8 kN/m
Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo, com forças
concentradas e distribuídas. Os trechos têm inércias, EI, distintas e apoios de primeiro, segundo e terceiro
gêneros. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes.
A
4 , 73 m
C
9 , 08 kN/m
3 , 42 m
B
EI 2EI
A
4 , 0 m
C
8 kN/m
4 , 0 m
B
6 kN/m
EI 2EI
A B C D
4, 5 m 6,0 m 4, 5 m
EI 3EI EI
6 kN/m
27 kN 6 kN/m
3 m
A B C D E
3 , 5 m 4 , 0 m 4 , 0 m 3,5 m
EI (^) 2EI 3EI 2EI
15 kN 6 kN/m 2 m
15 kN 2 m
A B C D E
4 m 4 m 4 m 4 m
15 kN
2 m
15 kN
2 m
15 kN
2 m
15 kN
2 m
EI (^) 2EI 2EI EI
6 kN/m
1) Utilize o Método dos deslocamentos
para encontrar as reações de apoio da viga
vista ao lado. Considere todos os trechos
com a mesma inércia EI. Trace, também, os
diagramas de esforços solicitantes.
A
4 , 8 m
C
12 kN/m
3 , 2 m
B
Solução:
1- Sistema Principal
A
L 2 = 4 , 8 m
B C
L 1 = 3 , 2 m
1
2- Efeitos no sistema principal
B C
q
1
A
1 2
Carregamento
Externo
q
1
V
0 A
M
0 B 1
V
0 B 1
q
2
V
0 C
M
0 B 2
V
0 B 2
Barra 1:
5 qL V
3 qL V
qL M
1 B 1
0
1 A
0
2 1 B 1
0
Barra 2:
qL M
2 2 B 2
0
5 qL V
2 B 2
0
3 qL V
2 C
0
Temos então: M MB 2 15 , 36 34 , 56 19 , 2
0 B 1
0 10
5- Equações de esforços solicitantes
Equações de Esforços Cortantes (Origem de x em A)
V 1 (x)VAqx 10 , 8 12 x
V 1 (x) 10 , 8 12 x ............................................................ 0 x 3 , 2 m
V 2 (x)VAqxVB 10 , 8 12 x 62 , 0
V 2 (x) 72 , 8 12 x ............................................................
3 , 2 x 8 , 0 m
Equações de Esforços Momentos Fletores (Origem de x em A)
x 10 , 8 x 12 2
x M(x) Vx q
2 2
1 A
2 M 1 (x) 10 , 8 x 6 x ......................................................... 0 x 3 , 2 m
62 , 0 x 3 , 2
x V x 3 , 2 10 , 8 x 12 2
x M (x) Vx q
2
B
2
2 A
M (x) 72 , 8 x 6 x 198 , 4
2 2 ............................................ 3 , 2 x 8 , 0 m
6- Diagramas de esforços solicitantes
Cortantes
Momentos fletores
0,90 m 2,30 m 2,87 m 1,93 m
2 ) Utilize o Método dos
deslocamentos para encontrar as
reações de apoio da viga vista ao
lado. Considere todos os trechos
com a mesma inércia EI. Trace,
também, os diagramas de esforços
solicitantes.
A B C
12 kN/m
D
4,8 m 5,4 m 4,2 m
Solução:
1- Sistema Principal
A
L 2 =5,4 m L 3 =4,2 m
B C
D
L 1 =4,8 m
1 2
2- Efeitos no sistema principal
B C D
q
1 2
A
1 2 3
Carregamento
Externo
q
1
V
0 A
M
0 B 1
V
0 B 1
q
2
M
0 B 2 M
0 C 2
V
0 B 2 V
0 C 2
q
3
V
0 D
M
0 C 3
V
0 C 3
Barra 1:
qL M
2 1 B 1
0
3 qL V
1 A
0
5 qL V
1 B 1
0
Barra 2:
qL M
2 2 B 2
0
qL M
2 2 C 2
0
qL V
2 B 2
0
qL V
2 C 2
0
Barra 3:
qL M
2 3 C 3
0
5 qL V
3 C 3
0
3 qL V
3 D
0
Temos então: M M B 2 5 , 40
0 B 1
0 10
M MC 3 2 , 70
0 C 2
0 20
Temos então: M M B 2 0 , 37037 EI
2 B 1
2 12
M MC 3 1 , 45503 EI
2 C 2
2 22
3- Cálculos das incógnitas 1 e 2 :
Das equações de compatibilidade vem que:
20
10
2
1
21 22
11 12
EI
2
1
EI
2
1
4- Cálculos das reações de apoio
0 , 17007 EI 18 , 745 kN
EI
EI
V 18 , 9
V V V V
0 , 20576 EI 0 , 17007 EI 63 , 105 kN EI
0 , 20576 EI 0
EI
V 32 , 4 31 , 5
V V V V V V V
0 0 , 20576 EI 68 , 868 kN EI
0 , 130021 EI 0 , 20576 EI
EI
V 36 32 , 4
V V V V V V V
0 22 , 083 kN EI
0 , 13021 EI
EI
V 21 , 6
V V V V
D
2 2 D
1 1 D
0 D D
C
2 C 3
2 2 C 2
1 C 3
1 1 C 2
0 C 3
0 C C 2
B
2 B 2
2 2 B 1
1 B 2
1 1 B 1
0 B 2
0 B B 1
A
2 2 A
1 1 A
o A A
^
A
4,2 m
B C
12 kN/m
D
4,8 m
22,1 kN 68,9 kN 63,1 kN 18,7 kN
5,4 m
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -29.50126713 22.0826 0. 2 -0.00000000 3.70653426 68.8677 0. 3 -0.00000000 0.91215492 63.1048 0. 4 -0.00000000 18.06592254 18.7449 0.
5- Equações de esforços solicitantes
Equações de Esforços Cortantes (Origem de x em A)
V 1 (x)VAqx 22 , 083 12 x
V 1 (x) 22 , 083 12 x ........................................................ 0 x 4 , 8 m
V 2 (x)VAqxVB 22 , 083 12 x 68 , 868
V 2 (x) 90 , 951 12 x ........................................................
4 , 8 x 10 , 2 m
V 3 (x)VAqxVBVC 22 , 083 12 x 68 , 868 63 , 105
V 3 (x) 154 , 056 12 x ......................................................
10 , 2 x 14 , 4 m
Equações de Esforços Momentos Fletores (Origem de x em A)
x 22 , 083 x 12 2
x M(x) Vx q
2 2
1 A
2 M 1 (x) 22 , 083 x 6 x ..................................................... 0 x 4 , 8 m
68 , 868 x 4 , 8
x V x 4 , 8 22 , 083 x 12 2
x M (x) Vx q
2
B
2
2 A
M (x) 90 , 951 x 6 x 330 , 5664
2 2 .................................. 4 , 8 x 10 , 2 m
68 , 868 x 4 , 8 63 , 105 x 10 , 2
x V x 4 , 8 V x 10 , 2 22 , 083 x 12 2
x M(x) Vx q
2
B C
2
3 A
M (x) 154 , 056 x 6 x 974 , 2374
2 3 ................................ 10 , 2 x 14 , 4 m
6- Diagramas de esforços solicitantes
Cortantes
Momentos fletores
1,84 m 2,96 m^ 2,78 m^ 2,62 m^ 2,64 m 1,56 m
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -16.87500000 15.8000 0. 2 -0.00000000 -2.70000000 56.2000 0. 3 -0.00000000 2.70000000 56.2000 0. 4 -0.00000000 16.87500000 15.8000 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -7.42291667 10.6357 0. 2 -0.00000000 0.55416667 33.7799 0. 3 -0.00000000 0.00000000 31.1688 0. 4 -0.00000000 -0.55416667 33.7799 0. 5 -0.00000000 7.42291667 10.6357 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -6.18196615 10.0279 0. 2 -0.00000000 -1.92773438 34.5615 0. 3 -0.00000000 12.35449219 10.4106 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -25.00000000 13.5000 0. 2 -0.00000000 18.75000000 16.5000 0. 3 -0.00000000 -18.75000000 16.5000 0. 4 -0.00000000 25.00000000 13.5000 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 0.00000000 6.25000000 -1.5000 0. 2 -0.00000000 -12.50000000 16.5000 0. 3 -0.00000000 12.50000000 16.5000 0. 4 0.00000000 -6.25000000 -1.5000 0.
16) Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio da viga vista abaixo.
Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços
solicitantes.
A B C^ D
5 , 0 m 5 ,0 m 5 , 0 m
21,6 kN
3 m
21,6 kN
3 m
Solução:
1- Sistema Principal
A
L 2 = 5 m L 3 = 5 m
B C
D
L 1 = 5 m
2- Efeitos no sistema principal
B C D
q
1 2
A
1 2 3
Carregamento
Externo P P
P
1
V
0 A
M
0 B 1
V
0 B 1
a b
2
M
0
B 2 M
0 C 2
V
0
B 2 V
0 C 2
P
a b
3
V
0 D
M
0 C 3
V
0 C 3
Barra 1:
(L a) 20 , 736 2 L
Pab M (^1) 2 1
B 1
0
(L a) 4 , 4928 2 L
Pab
L
Pb V (^1) 3 (^11)
A
0
(L a) 17 , 1072 2 L
Pab
L
Pa V (^1) 3 1 1
B 1
0
Barra 2:
L
Pab M 2 2
2
B 2
0
L
Pa b M 2 2
2
C 2
0
L ab a 7 , 603
L
Pb V
2 2 3 2 2
2 B 2
0
L ab a 13 , 997
L
Pb V
2 2 3 2 2
2 C 2
0
Barra 3:
M (^) C 3 0
0
V C 3 0
0
V (^) D 0
0
Temos então: M M B 2 10 , 3680
0 B 1
0 10
M M C 3 15 , 5520
0 C 2
0 20
B C
D
A
1 2 3
1 2
Rotação 1
1
V
1 A
M
1 B
V
1 B
2
M
1 B 2
M
1 C 2
V
1 B 2 V
1 C 2
3
V
1 D
M
1 C 3
V
1 C 3
0 , 120 EI
L
3 EI
V
0 , 120 EI
L
3 EI
V
0 , 600 EI
L
3 EI
M
2 1
B 1
1
2 1
A
1
1
B 1
1
0 , 240 EI
L
6 EI
V
0 , 240 EI
L
6 EI
V
0 , 400 EI
L
2 EI
M
0 , 800 EI
L
4 EI
M
2 2
C 2
1
2 2
B 2
1
2
C 2
1
2
B 2
1
V 0
V 0
M 0
D
1
C 3
1
C 3
1
Temos então: M MB 2 1 , 400 EI
1 B 1
1 11
M MC 3 0 , 400 EI
1 C 2
1 21
B C
D
A
1 3
1 2 2
Rotação 2
1
V
2 A
M
2 B
V
2 B
2
M
2 B 2 M
2 C 2
V
2 B 2 V
2 C 2
3
V
2 D
M
2 C 3
V
2 C 3
V 0
V 0
M 0
B 1
2
A
2
B 1
2
0 , 240 EI
L
6 EI
V
0 , 240 EI
L
6 EI
V
0 , 800 EI
L
4 EI
M
0 , 400 EI
L
2 EI
M
2 2
C 2
2
2 2
B 2
2
2
C 2
2
2
B 2
2
0 , 120 EI
L
3 EI
V
0 , 120 EI
L
3 EI
V
0 , 600 EI
L
3 EI
M
2 3
D
2
2 3
C 3
2
3
C 3
2
5- Equações de esforços solicitantes
Equações de Esforços Cortantes (Origem de x em A)
V 1 (x)VA
V 1 (x) 5 , 0458 ................................................................. 0 x 3 , 0 m
V 2 (x)VA 21 , 6 5 , 0458 21 , 6
V 2 (x) 16 , 5542 ............................................................
3 , 0 x 5 , 0 m
V 3 (x)VA 21 , 6 VB 5 , 0458 21 , 6 27 , 6134
V 3 (x) 11 , 0592 ...............................................................
5 , 0 x 8 , 0 m
V 4 (x)VA 21 , 6 VB 21 , 6 5 , 0458 21 , 6 27 , 6134 21 , 6
V 4 (x) 10 , 5408 ............................................................
8 , 0 x 10 , 0 m
V 5 (x)VA 21 , 6 VB 21 , 6 VC 5 , 0458 21 , 6 27 , 6134 21 , 6 11 , 7158
V 5 (x) 1 , 175 ...................................................................
10 , 0 x 15 , 0 m
Equações de Esforços Momentos Fletores (Origem de x em A)
M 1 (x)VAx
M 1 (x) 5 , 0458 x ............................................................. 0 x 3 , 0 m
M 2 (x)VAx 21 , 6 x 3 5 , 0458 x 21 , 6 x 3
M 2 (x) 16 , 5542 x 64 , 8 ..............................................
3 , 0 x 5 , 0 m
M 3 (x)VAx 21 , 6 x 3 VB x 5 5 , 0458 x 21 , 6 x 3 27 , 6134 x 5
M 3 (x) 11 , 0592 x 73 , 267 .............................................
5 , 0 x 8 , 0 m
M 4 (x)VAx 21 , 6 x 3 VB x 5 21 , 6 x 8 5 , 0458 x 21 , 6 x 3 27 , 6134 x 5 21 , 6 x 8
M 4 (x) 10 , 5408 x 99 , 533 ..........................................
8 , 0 x 10 , 0 m
5 , 0458 x 21 , 6 x 3 27 , 6134 x 5 21 , 6 x 8 11 , 7158 x 10
M 5 (x) VAx 21 , 6 x 3 VBx 5 21 , 6 x 8 VC x 10
M 5 (x) 1 , 175 x 17 , 625 ..................................................
10 , 0 x 15 , 0 m
6- Diagramas de esforços solicitantes
Cortantes
Momentos fletores
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -18.75000000 7.0000 0. 2 -0.00000000 6.25000000 23.0000 0. 3 -0.00000000 -6.25000000 23.0000 0. 4 -0.00000000 18.75000000 7.0000 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -8.57142857 5.0893 0. 2 -0.00000000 2.14285714 18.2143 0. 3 -0.00000000 0.00000000 13.3929 0. 4 -0.00000000 -2.14285714 18.2143 0. 5 -0.00000000 8.57142857 5.0893 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -0.00000000 12.0461 4. 2 -0.00000000 -6.78521642 44.0305 0. 3 -0.00000000 13.40177757 17.9253 0.
-----Deslocamentos----- --Reações de apoio-- no Vertical Rotação Força M.fletor 1 -0.00000000 -8.24242424 9.0909 0. 2 -0.00000000 0.48484848 31.2727 0. 3 -0.00000000 0.00000000 15.6364 -10.
