Exercício Polinomios, Exercícios de Matemática

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Polinômios [D] Introdução aos polinômios TROQUE IDEIAS Professor, o objetivo desta atividade é levar o estudante a reconhecer polinômios por meio da expressão da área de superfícies planas e do volume e da área de poliedros. É também uma oportunidade de integrar e revisar conceitos já estudados. Problemas com polinômios i Consulte as respostas nas Resolva os seguintes problemas. cos tea Ev a) No quadriculado abaixo, o lado de cada quadradinho mede x (unidades de medida de comprimento). Calcule, em função de x, a área dos polígonos A, Be €. : €) Deum paralelepípedo retângulo de dimen- sões x, 2xex + 10, com x > 1, são retira- dos quatro cubos unitários, como mostra a figura: Ly 2x b) Responda: Determine o volume do poliedro obtido. i) De uma folha de cartolina retangular de E d) Observe o poliedro seguinte. dimensões 30 cm X 22 cm é recortado, : am +1 em cada um de seus vértices, um quadra- E do cujo lado mede x centímetros, em que ; O 5p(2)=13 * Substituímos x por i: pl)=2:P+P-4+1=-2-X-4i+1> p()=-6i OBSERVAÇÕES Considerando o polinômio p() = a,-x +a, , x! +... tax +a,-x+ a, temos que: cp(D)=ac+a c1+.+a-+a-l+aç=a ta, +..+a,+ a +a, istoé, p(1) é igual à soma dos coeficientes do polinômio. cplO)=a,-O+a, U Pp h -0+..+a,-0+a,-0'+a, =, isto é, p(0) é igual ao coeficiente independente do polinômio. na 203 204 CAPÍTULO 8 Seja EC. Dizemos que « é raiz do polinômio p(xy) = a, -Xº + a, ., XT ++ a, x + a, se p(o) = 0, isto é: n n-1 = acv+a,co!+.+aca+a=0 O número 2i é uma raiz do polinômio p(x) = x? + 3x? + 4x + 12, pois p(2i) = 0, isto é: pe)=(2P+30)+4-2+12>pl)=8P+12+8+12>p(2)=-8-12+8+12=0 Já o número —2 não é raiz desse polinômio, pois: p(-D)=(-2)+3:(-22+4:(-2)+12=8%0 a EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 Sabendo que x = —4 é uma raiz do polinômio p(x) = xº + mx — 3, em quem E RR, determine o valor de m. Solução: Como —4 é raiz, devemos ter p(—4) = 0, isto é: (apt m(-9-3=0 16-4m-3=0 »m= 1 » Z EXERCÍCIOS 14 Cátia 4) pense NISTO: pl) = ax +b, coma E C* 8 O polinômio p(x) = ax + (b — 2) énulo. Quaissão - 14 Determine o poli- os valores de a e b? nômio p de grau 1, ebec. , tal que p(2) =S5e Como se escreve generi- 9 Determine os valores de a, b, ce d, a fim de que p(-)=2. camente um polinômio de grau 1? pO=(a-1+(Za-b+3xX+(b- cx+ + (c — 2d) seja o polinômio nulo. , ' . ( ) seja op 15 O número i é raiz do polinômio p(y) =x? + 3x + k, 10 Sendo p(y) =º — 5x + 3, obtenha o valor numé- em que k é uma constante complexa. Determine: rico de p para: a) k; a)x=0 ox=2 ejx=i b) p(2 + i), usando o item a. bx=1 dx=1+1 9x=2 2 16 Seja o polinômio: 11 Verifique quais dos números complexos i, 1, 3, pl) =x+ 20 + 3% +... + 49 + 50º 1+2ie0 são raízes de p(x) = xº — 5X + 11x— 15. a) Verifique se O é raiz de p(x). b) Determine a soma dos coeficientes de p(x). 12 Determine m E R a fim de que —1 seja raiz do ) pls, olinômio xº — 4x + (m + 4). . . P ( ) 17 Obtenha o polinômio do 2º grau que tem 2i como 13 Determine a e b reais em p(x) = aé — 2X) + bx— 1, uma de suas raízes e cuja soma dos coeficientes é sabendo que 1 é raiz de p(x) e que p(2) = 3. igual a 5. 206 CAPÍTULO 8 EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 Determine os valores de a e b reais para os quais ocorre a igualdade: a ex 2. Solução: x+3 ak 2) +bix+2) - a - 5 $=4" GE K-7 >ax-2)+bkx+2)=x+3 >» ax-2a+bx+2b=x+3 o X—4 Agrupamos os termos semelhantes: (a+b)x+(-2a+2b)=x+3 Da igualdade de polinômios segue: a+b=1 —22+2b=3 j goéa=--Leb=2 cuja solução é: a q eb TE 1) EXERCÍCIOS PA 18 Calcule os valores de a e b reais de modo que seja satisfeita a igualdade (a + 3)x + (b— )=2x—3. 19 Para que valores de m, ne p, com (m, n, pj CC, ocorre a igualdade mx + (2n+3)x— p= 5x +i? no -=3X+4 x= 10 xx— 1)" . . m 20 Determine m e n reais de modo que: = + a . a bx =X +3x+2 Obtenha os valores das constantes reais a e b para que se tenha: X-2 + X+2 Va 22 Seja o polinômio do 1º grau p(x) = ax + b, em que a e b são coeficientes reais tais que: a x—2 Qual é o valor de p(i) + p(-i)? (3 Adição, subtração e multiplicação de polinômios Vamos revisar, por meio de exemplos, as operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios, estudadas no Ensino Fundamental. Dados os polinômios f(x) = —7xX + 5X) — x + 4e g(x) = —2xº + 8x — 7, vamos obter f(x) + g(x): (D+ -x+M+(-2X + 8X D=-D0 +52 -x+8x+4—7= =D +3X+7x—-3 Lembre que a soma de dois polinômios f e g é o polinômio obtido quando adicionamos os coeficientes dos termos semelhantes de f e de g. Polinômios 207 EXEMPLO 8 Dados os polinômios f(x) = 4x? — 5x + 6 e g(x) = 3x — 8, vamos obter f(x) — g(x): (42 —- 5x+6)-(3x—-8)=4X —-5x+6-3x+8=4X-8x+14 Note que a diferença entre os polinômios f e g é o polinômio obtido quando adicionamos f ao oposto deg, isto é, f- g=f+(—9). EXEMPLO 9 Dados os polinômios f(x) = 3x? — 5x + 8e g(x) = —2x + 1, vamos determinar f(x) - g(x): (3X —-5x+8)-(-2x+1)=-60+3X+10X-5x— 16x+8= =-60+ 13X —-21x+8 Lembre que o produto dos polinômios f e g corresponde ao polinômio obtido quando multiplicamos cada um dos termos de f por todos os termos de g e adicionamos os produtos obtidos. XERCÍCIOS RESOLVIDOS 5 Os polinômios f(x) = —2x + ae g(x) = x + b, com a e b constantes reais, são tais que f(x) - g(x) = =—2X — 3x— 1. Determine a eb. Solução: Temos: fW)-gW)=(-2x+a):(x+b)=-2X —2bx+ax+ab=-2X2 +x(-2b+a) + ab Daí: , , -p+a=-3 q -2xX+x-(-2b+a)+ab= 2) -3x—1> ab=—1 2 De 2, temosa = -+e substituindo em 1, obtemos: b=5=a=2 -2b-J="352b-3b+1-05 ou b=15a=-—1 Assim, podemos ter(a =-2eb= 3) ou(a=-1eb=1). 6 Considerando que f(x) é um polinômio de grau 4 e g(x) é um polinômio de grau 3, determine o grau de: a) f(x) + g(x) b) flo) - glx) . Como g(x) tem grau 3, x - g(x) tem grau 4 e f(x) tem grau 4, então f(x) + x - g(x) tem grau menor ou igual a 4. Por exemplo, Solução: fy)=xeg(y) = +25 fl) +x-gh) =x +x-(D0+2)=x!—xº + 2x = 2x(grau 1). Peça aos estudantes que encontrem outros exemplos nos quais o grau de f(x) + x - g(x) é menor ou igual a 4. a) Na adição de polinômios, só podemos adicionar os termos semelhan- tes, isto é, aqueles cujas potências de x têm o mesmo expoente. ad PENSE NISTO: Como somente o polinômio f(x) apresenta termo em x*, então o grau de f(x) + g(x) é 4. Neste exercício, qual se- Na aa . ria o grau do polinômio b) Quando multiplicamos polinômios, devemos lembrar a propriedade de ft) +x- 969? potências: xº - xº = xº*B. Assim, o grau de f(x) - g(x) é€4 + 3 = 7. Polinômios - 2º passo: Multiplicamos o quociente obtido (3x?) por g(x) e subtraímos de f(x), isto é, adicionamos f(x) com o oposto do produto obtido. Obtemos um resto parcial. 3X (272 +x—3)=6x + 3% — 9x MK -—- é+ 3B-x+1|2Ã+x—3 O = —- 3% + 9% 3x — 46 + 12X — x + 1 e resto parcial * 3º passo: Repetimos o procedimento anterior com o resto parcial obtido até que o grau do resto se torne menor que o grau do divisor (ou o resto seja o polinômio nulo): “aê = - —2x; —2x- (2X) 4x3) = —44 — 2x + 6x X— + 3X x+1|2X+x—3 O=- -3/+ 9% 3X — 2x “AR + 12X x+1 +AR + 2X 14X— 7x + 1 e novo resto parcial 2 e ger 3)= 148 47x 21 + —- d+ 3B- x+ 1|2X+x—3 O = -30 + 9% 3X — 2x+7 “AR + x+ 1 +4Ê + 2X — 6 M$ — Ix+ 1 Ograudorestoé o . menor que o grau + OM IXHZ qodiisor A divisão — 14x + 22 e está encerrada. Daí: qx) = 3x2 — 2x + 7er(x) = —14x + 22. Observe que f(x) = g(x) - q(x) + r(x). De fato: QX+x-3)-(3X% — 2x + 7) + (14x + 22) = 9(x) qi) rx =6 — 40 + 1407 +30 2X +7x— 9X + 6x— 21 — 14x +22 = =60-0+3X -x+1=f(x) Se f é um polinômio de grau n e g é um poli- nômio de grau m, com n = m, na divisão de f'por g, qual é o grau do quociente obtido? O grau én — m; basta lembrar que XL. =x" Ei 209 210 CAPÍTULO 8 Vamos efetuar a divisão de f(x) = 3x) — 14x) + 23x — 10 por g()=x— 4x +5. 3Ê — 142 + 23x— 10 |X —4x+5 OBSERVAÇÃO =3€ + 12X — 15x 3x—2 is > Se a divisão de f(x) por =X + 8—-W g(y), com g(y) * 0, é + 2R- MAM exata, isto é, r(x) = 0, To O dizemos que f(x) é divi- sível por g(x), ou ainda, a(s divide ff). Assim, q(xy) = 3x — 2 e r(x) = 0, ou seja, r(x) é o polinômio nulo. “ a EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 7 Para que valores de a e b, com (a, b) EC R, o polinômio —2x + ax + b é divisível pelo polinômio —*+6x—1? Solução: Devemos efetuar a divisão e impor que o resto seja o polinômio nulo. Temos: >2% + ax + b |=£+6e-—1 AR — MV$+ 2x 2x+12 =>2% + (a+2x + b X- mM + 4 resto > (a — 70x + (b+ 12) O polinômio (a — 70)x + (b + 12) é nulo se todos os seus coeficientes forem iguais a zero, isto é, se: a-70=0=>a=70 b+12=0>b=-—12 8 Dividindo-se o polinômio —x* — 4x + 3 por um polinômio p, obtêm-se —x — 6 como quociente e —12x + 3 como resto. Determine o polinômio p. an. Se fl) = p(x) - alo) + (x) = f(x) — nl) = p(x) - al) = Calrçios > pl) = it, isto é, p(x) é o quociente obtido na Do enunciado, podemos escrever: ias ads Txpor-x- 6 é —- 42 +3)=p(x):(-x— 6) + (=12x+3) fo) a(x) rtg Como o grau de f(x) é 3 eo grau de a(x) é 1, o grau de p(x) deve ser igual a 2 para que a igualdade acima seja válida. Façamos p(x) = ax” + bx + c; devemos determinar os valores das constantes cmo 40) PENSE NISTO: Proponha outro modo de resolver este exercí abec: 40h PENSE NISTO: -X-4% = (ax oxo n é-4W+3=(a2+bx+O-(-x—6)+(-12x+3)> - Se gb) = 0eh6) 4 0, >-*-44+3=-ar-6ax—bx — 6bx- x-— 6c— 12Xx+3> qual é o resto e qual é 5-6 -48+3=-aé+x(-6a-b)+x-6b-c-1)+(3-6)> o quociente da divisão -1=-a5a=1 de g(x) por h(y? —4 = —6a — b; como a = 1, temos: —-4= -6—- b>5b = —2 E se g6) tem grau ne > h(y) tem grau m (com 0=-—6b —-c— 12;comob = —2,temos:0=12 -c—-12>5c=0 mn), qual é o resto 3=3-6c>5c=0 equal é o quociente da divisão de g(x) por h(9? Quociente: é o polinômio nulo. Resto: g(x), isto é, o polinômio nulo. Quociente: é o polinômio nulo, isto é, a(x) = 0. Resto: g(x) Desse modo, p(x) = 1:x —2:x+0=x— 2x [- 212 CAPÍTULO 8 0 Divisões porx-a Um caso particular importante na divisão de polinômios é aquele em que o divisor é um polinômio do 12 grau, com coeficiente dominante unitário, isto é, um polinômio do tipo x — a oux + a, sendo a E C. Esse caso de divisão será frequentemente usado no capítulo seguinte. Considerando como dividendo um polinômio f de grau n (com n = 1), temos: fl) |x—a Law) r(x) O grau de q(x) én — 1. Como o grau do resto deve ser menor que o grau do divisor, temos: grau r(x) < 1 => grau r(x) = O ou r(x) = O —— ny) =k rWéo (KkECk+0) polinômio nulo (3 Teorema do resto Vamos efetuar a divisão de f(x) = 4x + x? — 5x + 8 por g(x) = x — 2 usando o método da chave: 4Ã+ X- 5x+ 8l|x-2 =40 + 8x 4X + 9x + 13 Co BE x , E 8 [rimos =X XxX AB + 8 r(x) = 34 = + 26 34 Observe que o resto também pode ser obtido calculando-se o valor numérico do polinômio dividendo (f) parax = 2: f(20)=4:2+22-5.2+851(2)=32+4-10+85f(2)=34 Vamos agora enunciar e demonstrar o teorema do resto: O resto da divisão de um polinômio f(x) por x — a é igual a f(a). Demonstração: Da divisão de f(x) por x — a, podemos escrever: 6) = (x — a) + alo) + r(x) em que r(x) = r % O é um polinômio constante (pois r(x) tem grau zero) ou r(x) é o polinômio nulo. Calculando os valores desses polinômios para x = a, temos: fa)=(a-a)-q(a) +r isto é, r = f(a). =0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 9 Qual é o resto da divisão de p(x) = 3x — 17x + 15 porx— 2? Eporx + 1? Solução: Não é necessário efetuar a divisão para sabermos o valor do resto. Então, vejamos: * Na divisão de p(x) por x — 2 temos: A raiz do divisor é: x>2=0=x=2. Pelo teorema do resto, sabemos que: r=p(2)=3:22-17:2+15=12-34+15=—7 * Na divisão de p(x) porx + 1, orestoér = p(—1),istoé, r=3-(=12 > 17-(-1) +15 =35. Polinômios 10 Sejam 5 e 2, respectivamente, os restos da divisão de um polinômio f por x — 3 e porx + 1. Qual é o resto da divisão de f por (x — 3) - (x + 1)? Solução: Pelo teorema do resto, temos: f3)-=5 1 e H-)=2 2 Quando dividimos f por g(x) = (x— 3) -(x+ 1) =x? — 2x — 3, temos grau r < 1 (pois grau r < grau g e grau g = 2). Assim, escrevemos r(x) = ax + b, com a e b reais. Devemos determinar a e b. Temos, Vx E €: f)=(xX+)-(xX—-3)-qw)+ax+b Lo —— 90x) o) Calculando o valor numérico desse polinômio em x = 3 eem x = —1, obtemos: 1 f3)=0+1):0-3)-q8)+a:3+b53a+b=5 der AS che) =0 2 (-D=(1+1):(-1-3-:q-)+a(-)+b> -ca+b=2 SEL NO oh NL) 0 Resolvendo esse sistema, encontramos a = + eb= a Dessa forma, o resto é r(x) = =x ap di, Uma consequência importante do teorema do resto é o teorema de D'Alembert, cujo enunciado é: Um polinômio f é divisível por x — a se, e somente se, a for raiz de f. Demonstração: Há duas implicações a provar: 13) fé divisível por x — a > a é raiz de f. Se f é divisível por x — a, temos r = O e, pelo teorema do resto, r = f(a) = 0, do que concluímos que a é raiz de f. 22) aérraiz de f > f é divisível por x — a. Como a é raiz de f, temos que f(a) = 0; pelo teorema do resto, o resto r da divisão de f por x — a é igual a f(a). Assim, r = f(a) = 0, o que mostra que f é divisível por x — a. EXERCÍCIO RESOLVIDO 11 Determine m E RR, de modo que f(x) = —2x + x? + mx + 5 seja divisível por x — 2. Solução: Pelo teorema de D'Alembert, x = 2 deve ser raiz de f, isto é, f(2) = O: -2:P 42? +m-245-052m-7-05m=-T 213 Polinômios Observe, a seguir, um método mais rápido e simples, chamado dispositivo prático de Briot-Ruffini, para a determinação dos coeficientes q, q, --., q,., € do resto r da divisão: Vamos agora acompanhar a “montagem” do dispositivo usando um exemplo numérico. Seja a divisão de f(x) = x — 4x + 5x — 2 por g(x) =x— 3. * 1º passo: Calculamos a raiz do divisor g(x) e, ao seu lado, colocamos os coeficientes ordenados do dividendo f(x), segundo potências de expoentes decrescentes de x: Raizdeg(xy:x-3=0>x=3 raiz de g(x) coeficientes ordenados de f(x) ———— 3/1 45 —2 * 2º passo: Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo (1) e o multiplicamos pela raiz do divisor (1:3=3). 3/1 45 —2 1 * 3º passo: Adicionamos o produto obtido (3) ao coeficiente seguinte (—4). A soma (3 + (-4) = —1) é colocada abaixo desse coeficiente. 3/1 45 2 1-1 - 4º passo: Com a soma obtida (—1), repetimos as operações (multiplicamos pela raiz e adicionamos o coeficiente seguinte), e assim por diante. 3/1 45 —2 1-1 2/4 O último dos números obtidos no dispositivo ou algoritmo de Briot-Ruffini é o resto da divisão. Assim, rx) = 4. Os demais números obtidos nesse algoritmo correspondem aos coeficientes ordenados (segundo po- tências de expoentes decrescentes de x) do quociente da divisão. Assim: qW=1:X2-1:x+2=WX-x+2 215 216 CAPÍTULO 8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 12 Obtenha o quociente q e o resto r da divisão de Temos: 24 +W — 5X —-x+ 1 porx+2. 3 2 90 5 4 2 6 13 | 40 Solução: . x O quociente q é 2x + 6x + 13, eo resto r é 40. Temos: 2/2 1 -5 4 1 14 Determine a E R de modo que 2X — 4x — 5x + a | 2 5 15 29 | =57 seja divisível por x — 3. q=-28+58-15x+29e r=-57 Solução: Construímos o dispositivo de Briot-Ruffini: 13 F divisão de f(x) = 2x) — 5x + 1 =8. aça a divisão de f(x) x + 1 porx 3 2 4 =5 a Solução: 2 2 1[a+3 Convém, inicialmente, notar que Devemos ter resto igual a 0, isto é: f)=2:0+0-2—5:x+1. a+3=05a=-3 EXERCÍCIOS E sinto 44 Em cada caso, obtenha o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x), utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: adfy)=-2+4X% —-5x+1eg)=x—3 b)f)=(3x+2PegW)=x+2 Jfy=x-3X+x—-2ZegW=x+1 Dfwy=x-—-1egb)=x 45 Dividindo-se x — 2x? + mx + 4 (com m E R) por x + 2, obtém-se o quociente x — 4x + 5. Qual é o resto dessa divisão? 46 O polinômio f(x) = 4x* — 5x) + 2x + m (com m E R) é divisível por x — 2. a) Qual é o valor dem? b) Qual é o quociente e o resto da divisão de f(x) por x + 3? 47 Qual é o quociente e o resto da divisão de (xº + 1)? porx + 1? 48 O polinômio f(x) = 2x + mx + n, em que (m, n) C R, é divisível por x + 1; dividindo f(x) por x + + obtemos resto igual a 2. Determine o valor dem + n. 49 Determine o valor da constante real K a fim de que a divisão de 2x — 3x + x + 6k por x — 3 seja exata. O polinômio p(x) = x — 6x + 16X — 26x + 15 é divisível por x — 2x + 5. Para que valores reais de x tem-se p(x) = 0? 218 CAPÍTULO 9 (3 Definição Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível à forma p(x) = 0, em que: p)=ax +a x!+..+ax+a,coma £0, é um polinômio de grau n, sendo n = 1, com coeficientes em €, e cuja incógnita x pode assumir um valor qualquer em €. São exemplos de equações polinomiais: «4x +5=0 «32 +Hix— 1=0 xXx +x+3=0 eX—2x+8=0 “X+4X+x—1=0 “x -2i=0 Seja a equação polinomial p(x) = 0, em que: p)=ax Ha x! +.tax+a, Um número complexo r é raiz dessa equação se, substituindo x por r na equação e efetuando os cál- culos, obtemos: p)=arr+ami+.+ar+a=0 Em outras palavras, r é raiz de uma equação p(x) = O se r for raiz do polinômio p(x). O número 4 é uma raiz da equação xº — 6x? + 10x — 8 = 0, pois: $-6:42+10-4-8=64-96+40-8=0 Já o número complexo i não é raiz dessa equação, pois: P—-62+100-8=-i+6+10-8=-2+9£0 > Conjunto solução Conjunto solução de uma equação polinomial é o conjunto de todas as raízes dessa equação, conside- rando C o conjunto universo. Neste capítulo, vamos considerar U = C nos exemplos e exercícios. Vejamos: * Seo grau do polinômio é 1, para encontrar o conjunto solução da equação ax+ b = 0 (coma + 0) basta fazer: ax = —b>x = -Des-[-D Se o grau do polinômio é 2, é preciso resolver a equação ax? + bx + c = O (com a £ 0). Usando a fórmula resolutiva da equação do 2º grau, temos: x Ob + vb? — 4ac es = (bt abro doc cbr soro doc 2a 2a , 2a Se o grau do polinômio é 3 ou 4, é possível determinar as raízes da equação por meio de fórmulas que envolvem as quatro operações fundamentais e a extração de raízes. No entanto, essas fórmulas não são estudadas nos cursos de Ensino Médio. * Seo grau do polinômio é maior ou igual a 5, não existe uma fórmula resolutiva (envolvendo as quatro operações e a extração de raízes) que se aplique a qualquer equação. Equações algébricas UM POUCO DE HISTÓRIA A resolução de equações Os primeiros registros encontrados sobre a resolução de algumas equações do 2º grau datam de, aproximadamente, 1700 a.C. e pertencem a civilizações antigas, como a dos sumérios, egípcios e babilônios. Os gregos usaram a Geometria para aperfeiçoar as técnicas de resolução das equações do 2º grau. A civilização islâmica também deixou um legado importante: a obra Aljabr W'al- -Mugabala, do matemático e astrônomo Al- -Khowarizmi, datada do século VIII, inclui, entre outros, uma exposição completa da resolução das equações do 12e 22 graus. A palavra “álgebra” deriva desse nome. No século XVI, com o Renascimento italiano, ocorreu um progresso significati- vo: a resolução de equações do 3º grau e, como decorrência, de 4º grau. A história da resolução dessas equações envolve segredos, batalhas, desafios e traições, culminando, em 1545, na publicação de Ars Magna, de Girolamo Cardano. Essa obra contém o processo de resolução e a devida demonstração da fórmula de resolução de uma equação do 32 grau, além da explicação de como resolver uma equação do 4º grau, transformando-a em outra do 3º grau. Durante dois séculos e meio tentou-se encontrar uma fórmula resolutiva para a equação do 5º grau. Somente em 1824 o norueguês Niels Abel (1802-1829) provou, de maneira consistente, a impossibilidade de resolução dessa equação por meio das quatro operações aritméticas e de radiciações. Poucos anos depois, o francês Évariste Galois (1811-1832) — cujos trabalhos deram início à chamada Álgebra Moderna — generalizou as condições de resolubilidade de uma equação algé- brica qualquer. THINKSTOCNGETTY IMAGES Estátua de Al-Khowarizmi em Khiva, no Uzbequistão. Fonte de pesquisa: BOYER, Carl B. História da Matemática. 3a ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2010. [|] Teorema fundamental da Álgebra CTFA) O teorema seguinte, enunciado e provado por Carl Gauss (1777-1855), constitui um elemento central para o estudo das equações algébricas. Todo polinômio de grau n, n = 1, admite ao menos uma raiz complexa. A demonstração desse teorema exige conhecimentos de Matemática do Ensino Superior e que, portanto, não são abordados no Ensino Médio. 219