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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - 2019
Exerc´ıcios 7 — sistemas de equa¸c˜oes, produto vetorial e independˆencia
1) Considere os vetores −→
i = (1,0,0), −→
j = (0,1,0), −→
k = (0,0,1), −→
u= (−1,3,1), −→
v= (0,1,1) e
−→
w= (1,4,1). Calcule:
(a) −→
i×−→
j ; (b) −→
i×−→
k ; (c) −→
u×−→
v; (d) −→
v×−→
u;
(e) −→
u×(−→
v×−→
w); (f) (−→
u×−→
v)×−→
w; (g) −→
w(−→
u×−→
v); (h) (−→
u×−→
w)−→
w.
2) Usando o produto vetorial, encontre um vetor (n˜ao nulo) perpendicular aos vetores: (a) −→
u=
(3,2,1) e −→
v= (4,1,3); (c) −→
u= (3,4,5) e −→
v= (1,2,3);
(b) −→
u= (2,−1,3) e −→
v= (5,1,−1); (d) −→
u= (2,7,−2) e −→
v= (3,−5,2).
3) Determine (1,−1,1) ×(−2,3,1) e (−1,1,2) ×(1,0,−1). Calcule o seno do ˆangulo formado
pelos vetores (1,−1,1) e (−2,3,1) e a ´area do paralelogramo por eles formado.
4) Encontre o vetor normal ao plano que cont´em os pontos A,BeCindicados e escreva a equa¸c˜ao
do plano.
(a) A= (0,1,1), B= (−3,1,0), C= (4,9,−5).
(b) A= (0,1,2), B= (0,1,0), C= (4,−1,−1).
(c) A= (1,0,0), B= (0,−1,0), C= (1,1,1).
5) Decida quais dos seguintes planos cont´em o ponto (1,2,0).
(a) o plano perpendicular ao vetor (−2,1,4) contendo a origem.
(b) o plano perpendicular ao vetor (−2,1,4) contendo A= (0,1,2).
(c) o plano perpendicular ao vetor (−2,1,1) contendo A= (0,1,2).
(d) o plano contendo a origem para o qual os vetores (1,1,0) e (0,1,1) formam uma base.
(e) o plano contendo a origem para o qual os vetores (1,2,8) e (2,4,15) formam uma base.
(f) {(x, y , z)x+y+z= 0}.
6) Use as propriedades do determinante para provar as seguintes propriedades do produto vetorial
dos vetores −→
u,−→
ve−→
wde R3:
(a) −→
v·(−→
v×−→
w) = (0,0,0) e −→
w·(−→
v×−→
w) = (0,0,0)
(b) −→
u×−→
v= (0,0,0) ⇔−→
ue−→
vs˜ao colineares.
(c) −→
u×−→
v=−−→
v×−→
u.
(d) −→
u×(−→
v+−→
w) = (−→
u×−→
v)+(−→
u×−→
w).
(e) (−→
u+−→
v)×−→
w= (−→
u×−→
w)+(−→
v×−→
w).
7) Mostre que os seguintes vetores s˜ao linearmente independentes
(a) (1,1,1) e (0,1,−1); (b) (1,0) e (1,1); (c) (−1,1,0) e (0,1,2);
(d) (2,−1) e (1,0); (e) (π, 0) e (0,1); (f) (1,2) e (1,3);
(g) (1,1,0), (1,1,1) e (0,1,−1); (h) (0,1,1), (0,2,1) e (1,5,3).
8) Determine dois n´umeros aebtais que o vetor −→
w= (1,3) = a−→
u+b−→
vem cada caso:
(a) −→
u= (1,0) e −→
v= (1,1); (b) −→
u= (2,−1) e −→
v= (1,0);
(c) −→
u= (π, 0) e −→
v= (0,1); (d) −→
u= (1,2) e −→
v= (1,3).
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