Baixe Álgebra linear, matriz e exercícios e outras Resumos em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear
- Seja V = {(x, y) : x, y ∈ R}. Considere em V as opera¸c˜oes:
(x, y) + (x 1 , y 1 ) = (x + x 1 , y + y 1 ); α(x, y) = (α x, y)
E^ ´ V com tais opera¸c˜oes um espa¸co vetorial? Solu¸c˜ao Observemos que pelas defini¸c˜oes de acima,
(0, 2) = (0, 1) + (0, 1) = 2(0, 1) = (2 · 0 , 1) = (0, 1)
ou seja (0, 2) = (0, 1) e portanto 2 = 1 qual ´e falso.
- Considere R+^ o conjunto dos n´umeros reais positivos. Con- sidere neste conjunto as opera¸c˜oes:
x+y = xy para x, y ∈ R+
α · x = xα^ para x ∈ R+^ e α ∈ R Quais das condi¸c˜oes que definem um espa¸co vetorial (pag. 99) s˜ao v´alidas? Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.
- Determinar se o conjunto W ´e um subespa¸co do espa¸co V :
(a) W : matrizes invert´ıveis de ordem 2; V = M 2 × 2 (R) (b) W : solu¸c˜oes de AX = 0, A ∈ Mm×n(R); V = Mm×n(R) (c) W = {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ 0 }; V = R^2 (d) W = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 0}; V = R^2 (e) W = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 − y^2 = 0}; V = R^2 (f) W = {a 1 + a 2 t + a 3 t^2 : a 1 , a 2 , a 3 ∈ R; a 3 6 = 0}; V = P 3 (R) (g) W = {p(t) = a 1 + a 2 t, a 1 , a 2 ∈ R; 2p(0) = p(1)}; V = P 2 (R)
Solu¸c˜ao
(a) W n˜ao ´e subespa¸co vetorial de V. Temos que: ( 1 0 0 1
∈ W e
Claramente,
∈ / W.
(b) • W 6 = φ pois 0 ∈ W j´a que A 0 = 0.
- Se X 1 , X 2 ∈ W temos A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 = 0 + 0 = 0. Assim, X 1 + X 2 ∈ W.
- Se α ∈ R e X ∈ W temos A(α X) = α AX = α 0 = 0. Assim, αX ∈ W. Desta forma, concluimos que W ´e um subespa¸co vetorial de V. (c) W n˜ao ´e subespa¸co vetorial de V : Sejam w = (2, 1) ∈ W e α = − 1 ∈ R. Ent˜ao αw = (− 2 − 1) ∈/ W. (d) De x^2 + y^2 = 0, onde x, y ∈ R, resulta x = y = 0. Assim W = {(0, 0)}. W ´e um subespa¸co do espa¸co R^2 como mostrado no exemplo 9.1 na p´agina 111. (e) Exerc´ıcio. (f) Exerc´ıcio. (g) • W 6 = φ. O polinˆomio nulo p = 0 = 0 + 0t satisfaz 2p(0) = 0 = p(1). Logo 0 ∈ W.
- Sejam p e q elementos de W. Ent˜ao 2p(0) = p(1) e 2q(0) = q(1). Dai
2(p + q)(0) = 2p(0) + 2q(0) = p(1) + q(1) = (p + q)(1)
Assim p + q ∈ W.
- Sejam p ∈ W e α ∈ R. Tem-se que 2p(0) = p(1) e
2(αp)(0) = 2αp(0) = αp(1) = (αp)(1)
Assim αp ∈ W. Desta forma, concluimos que W ´e um subespa¸co vetorial de V.
Solu¸c˜ao Consideremos u =
a b c 1
e v =
elementos do conjunto W. Resulta que,
u + v =
a b c 1
a b c 2
Observamos que u + v n˜ao ´e um elemento de W j´a que os elementos de W s˜ao da forma
a b c 1
Concluimos que W n˜ao ´e um subespa¸co vetorial do espa¸co V.
- Seja V = P 2 (R) o espa¸co vetorial dos polinˆomios de grau ≤ 2. E o conjunto´
W = {p(t) = a + bt + ct^2 : a + b + c = 0}
um subespa¸co vetorial do espa¸co V? Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.
- (a) ´E o vetor v = (1, 1 , 1) combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 = (1, 2 , 3), v 2 = (3, 2 , 0) e v 3 = (2, 0 , 0)? (b) ´E o vetor v = (1, 1 , 1) combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 = (1, 2 , 3), v 2 = (3, 2 , 0) e v 3 = (− 1 , 2 , 6)? Solu¸c˜ao
(a) Determinemos, se poss´ıvel, constantes a, b e c tais que,
av 1 + bv 2 + cv 3 = v
ou equivalentemente,
a(1, 2 , 3) + b(3, 2 , 0) + c(2, 0 , 0) = (1, 1 , 1) = v (1)
Resulta de (1) o sistema linear,
a + 3b + 2c = 1 2 a + 2b = 1 3 a = 1
Segue que a =
, b =
, c =
Podemos reescrever (1) na forma,
1 3
(2, 0 , 0) = (1, 1 , 1) = v
Isto nos diz que v = (1, 1 , 1) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 , v 2 e v 3. (b) Determinemos, se poss´ıvel, constantes a, b e c tais que,
av 1 + bv 2 + cv 3 = v
ou equivalentemente,
a(1, 2 , 3) + b(3, 2 , 0) + c(− 1 , 2 , 6) = (1, 1 , 1) = v (2)
Resulta de (2) o sistema linear,
a + 3b − c = 1 2 a + 2b + 2c = 1 3 a + 6c = 1
Escalonando a matriz associada obtemos,
(verifique!) A ´ultima linha desta matriz indica que o sistema ´e imposs´ıvel. Desta forma, n˜ao existem constantes a, b e c tais que se cumpra (2). Ou seja, o vetor v = (1, 1 , 1) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 , v 2 e v 3.
- Determine m ∈ R tal que o vetor v = (1, −m, 3) seja combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 = (1, 0 , 2), v 2 = (1, 1 , 1) e v 3 = (2, − 1 , 5). Solu¸c˜ao Determinemos constantes a, b e c tais que
v = (1, −m, 3) = a(1, 0 , 2) + b(1, 1 , 1) + c(2, − 1 , 5) (1)
- Represente qualquer vetor v = (α, β) de R^2 como combina¸c˜ao linear dos vetores v 1 = (1, 2) e v 2 = (3, 4). Ou seja, R^2 ´e gerado pelo conjunto {v 1 , v 2 }. Solu¸c˜ao Determinemos as constantes a e b tais que
v = (α, β) = a(1, 2) + b(3, 4)
Desta equa¸c˜ao resulta o sistema,
a + 3b = α 2 a + 4b = β
Dai 4 b − 6 b = β − 2 α ⇒ b = α −
β 2
e a =
3 β 2
− 2 α
Assim, v = (α, β) =
( 3 β 2
− 2 α
α −
β 2
e portanto o espa¸co R^2 ´e gerado pelo conjunto {v 1 , v 2 }.
- E o conjunto´ {p 1 (t) = 1, p 2 (t) = t − 1 , p 3 (t) = (t − 1)^2 } um con- junto gerador do espa¸co P 2 (R)? Escreva p(t) = 1 + t^2 como combina¸c˜ao linear dos polinˆomios desse conjunto. Solu¸c˜ao Seja p(t) = a+bt+ct^2 um polinˆomio qualquer de P 2 (R). Determinemos, se poss´ıvel, α 1 , α 2 , α 3 tais que,
α 1 · 1 + α 2 · (t − 1) + α 3 · (t − 1)^2 = p(t) = a + bt + ct^2
Equivalentemente,
α 1 +α 2 t−α 2 +α 3 t^2 − 2 α 3 t+α 3 = (α 1 −α 2 +α 3 )+(α 2 − 2 α 3 )t+α 3 t^2 = a+bt+ct^2
Resulta o sistema,
α 1 − α 2 + α 3 = a α 2 − 2 α 3 = b α 3 = c
cuja solu¸c˜ao ´unica ´e
α 1 = a + b + c α 2 = b + 2c α 3 = c
Podemos escrever,
p(t) = a + bt + ct^2 = (a + b + c) + (b + 2c)(t − 1) + c(t − 1)^2 (1)
Segue dai que o conjunto {p 1 (t) = 1, p 2 (t) = t − 1 , p 3 (t) = (t − 1)^2 } ´e um conjunto gerador do espa¸co P 2 (R). Representemos agora o polinˆomio p(t) = 1 + t^2 como combina¸c˜ao linear dos polinˆomios desse conjunto gerador. Para tal obsevemos que a = 1, b = 0 e c = 1. Desta forma, de (1),
p(t) = 1 + t^2 = (1 + 0 + 1) · 1 + (0 + 2 · 1)(t − 1) + 1 · (t − 1)^2
ou seja, p(t) = 1 + t^2 = 2 · 1 + 2 · (t − 1) + 1 · (t − 1)^2
- E o conjunto´ {p 1 (t) = t^2 − 1 , p 2 (t) = t^2 + 3t − 5 , p 3 (t) = t} um conjunto gerador do espa¸co P 2 (R)? Escreva p(t) = 7t^2 − 15 como combina¸c˜ao linear dos polinˆomios desse conjunto. Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.
- Considere o conjunto B = {(3, 3), (4, 4)}. E o vetor´ (− 11 , −11) combina¸c˜ao linear dos vetores do conjunto B? Diga se o conjunto B gera R^2. Solu¸c˜ao
(a) Procuremos constantes a e b tais que
(− 11 , −11) = a(3, 3) + b(4, 4)
Equivalentemente temos a equa¸c˜ao,
3 a + 4b = − 11
Tomando z = t ∈ R obtemos,
(x, y, z) = (5t, − 3 t, t) = (5, − 3 , 1)t, t ∈ R
Desta forma o conjunto solu¸c˜ao S ´e gerado pelo vetor (5, − 3 , 1), ou seja, S = [(5, − 3 , 1)]
- Sejam U e W subespa¸cos do espa¸co vetorial V. Tem-se que a interse¸c˜ao U ∩ W ´e um subespa¸co de V. Sejam U e W os subespa¸cos de V = R^4 definidos pelos sistemas de equa¸c˜oes:
U :
x + y + z = 0 2 x − y + z = 0
V :
x − 2 y − t = 0 x − t = 0
Determinar um conjunto gerador para U ∩ W. Solu¸c˜ao Um elemento do subespa¸co U ∩ W ´e uma solu¸c˜ao do sistema,
x + y + z + t = 0 2 x − y + z = 0 x − 2 y − t = 0 x − t = 0
Escalonando a matriz associada ao sistema obtemos,
(verifique!) Ou seja,
x − t = 0 y = 0 z + 2t = 0
Desta forma, os elementos do subespa¸co U ∩ W s˜ao os vetores da forma
(t, 0 , − 2 t, t), t ∈ R
Equivalentemente, o conjunto gerador para U ∩ W ´e {(1, 0 , − 2 , 1)} ou ainda, U ∩ W = [(1, 0 , − 2 , 1)]
- Determinar o subespa¸co de R^3 gerado pelo conjunto {(1, − 2 , −1), (2, 1 , 1)}. Solu¸c˜ao O vetor (x, y, z) pertence ao subespa¸co gerado pelos vetores (1, − 2 , −1) e (2, 1 , 1) se existirem constantes α e β tais que
(x, y, z) = α(1, − 2 , −1) + β(2, 1 , 1) (1)
Para resolver esta equa¸c˜ao escalonamos a matriz associada. Tem-se que
1 2 x − 2 1 y − 1 1 z
1 2 x 0 1 2 x 5 +y 0 0 −x − 3 y + 5z
Observando a ´ultima linha desta matriz temos que para (1) ser com- pat´ıvel devemos ter que
x + 3y − 5 z = 0
o qual ´e um plano pasando pela origem no espa¸co R^3.
- E o conjunto´ {v 1 = (1, 1 , 0), v 2 (0, 1 , 1), v 3 = (1, 0 , 1)} um conjunto gerador de R^3? Se a resposta for positiva, determinar a, b, c ∈ R tais que u = (3, 2 , 1) = av 1 + bv 2 + cv 3. Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.
- Determinar um conjunto gerador para cada um dos sube- spa¸cos W de R^3
(a) conjunto dos vetores da forma (a, a, b). (b) conjunto dos vetores da forma (a, b, a + b). (c) conjunto dos vetores da forma (a, a, b) onde a + b + c = 0.
- Determinar um conjunto gerador para o subespa¸co vetorial W das matrizes anti-sim´etricas 3 × 3. Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.
- Seja U o subespa¸co de R^5 dado por
U = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ∈ R^5 : x 1 = 3x 2 , x 3 = 7x 4 }
Determinar um conjunto gerador para U. Solu¸c˜ao Exerc´ıcio.
