Fasores e Impedâncias Complexas: Análise de Circuitos RLC em Regime Permanente, Exercícios de Circuitos Elétricos

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FASORES

Senóides

➢ Período : T

 Tempo necessário para se percorrer um ciclo

➢ Freqüência: f = 1/ T

 Ciclos por segundo

➢ Freqüência Angular: w = 2p f

➢ Amplitude: VM

Exemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüência

angular da senóide abaixo

0

2

4

6

8

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.

Fase em Atraso ou em Adianto

x 1 (t) está adiantado em relação a x 2 (t) de -

x 2 (t) está atrasado em relação a x 1 (t) de -

Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria

de negativo para positivo antes?

x t = X (w^ t + ) M

( ) cos 1

x t = X (w t + )

M

( ) cos 2

Circuitos RLC com Excitação Senoidal

➢ Resposta Transitória e de Regime Permanente

 Exemplo (RL - fonte senoidal)

i(t)

i ( t )

di R V cos w dt

L + = p L

R

V Vpcos( w t )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) R

L

t

i t t i e

−

















−

− − −

= 0

R L

V cos cos

R L

V

L 2 2

p

2 2

p

w

w 

w

Resposta Permanente

A Amplitude da corrente depende

da amplitude da fonte, de R , de L e

da freqüência w da fonte

Reposta Transitória

ou Natural

A corrente está defasada em atraso  radianos em relação a cossenóide da fonte

R

wL  =

Circuitos RLC com Excitação Senoidal

➢ Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com

fontes senoidais de freqüência “ w ” terá todas as correntes e

tensões em seus dispositivos

 possuindo forma de onda senoidal de freqüência “ w ” igual a das fontes

 defasadas  radianos em atraso ou adianto com relação as fontes

  depende da estrutura e dos elementos do circuito

 amplitudes dependentes da freqüência w , da amplitude das fontes e

dos valores dos dispositivos R, L e C

Sabendo disso, seria possível obter a Resposta em Regime Permanente para Excitação Senoidal sem precisar resolver uma equação diferencial ???

Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal

➢ Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente,

tudo o que precisamos saber é sua amplitude e sua fase em relação

a senóide da fonte. A freqüência e a forma de onda já se sabe qual

será.

➢ Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são

obtidas de uma solução particular da equação diferencial do circuito.

Preciso escrever e

resolver uma Equação

diferencial!!??

Vpsen( wt )

Fonte

AP sen( wt +  )

Tensão ou

Corrente do

circuito em RP CIRCUITO

RLC

Amplitude?

Fase?

FASORES

➢ FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que

representa a amplitude e a fase de uma tensão ou

corrente senoidal

X (w t +  )

M

cos

M

X X

Domínio Tempo

Domínio Freqüência

Impedância Complexa

➢ A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre

um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no

elemento (expressa como Fasor)

➢ A impedância é um número complexo

➢ O valor da impedância normalmente depende da freqüência

➢ Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de

Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de

correntes e correntes a partir de tensões

Como?

Melhor ver esses

Números Complexos...

Representando Formas de Onda

Senoidais como Fasores

➢ Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo

X = z   = x + jy

➢ Um sinal senoidal é uma função do tempo

x(t) = z cos (w t + )

Exemplo:

Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:

X = - 1 + j 2

V = 104V - j 60V

A = - 1mA - j 3mA

Aritmética com Números Complexos

➢ Para se determinar FASORES de Tensão ou Corrente

é necessário que saibamos proceder operações

aritméticas básicas com números complexos:

 Soma

 Subtração

 Multiplicação

 Divisão

Será que

lembro disso?

É melhor dar

uma olhada!

eixo

real

eixo

imag.

A

B

A / B

Multiplicação e Divisão

➢ Multiplicação

 Multiplicação é mais facilmente feita em coordenadas polares

A = AM  

B = BM  

A  B = ( AM  BM )  (  +  )

➢ Divisão

 Divisão é mais faclmente feita em em coordenadas polares

A = AM  

B = BM  

A / B = ( AM / BM )  (  −  )

eixo

real

eixo

imag.

A

B

A  B

(melhor na forma polar)

Exponencial Complexa

➢ Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a

parte real de uma exponencial complexa

➢ Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre as

funções senoidais do tempo e os fasores.

➢ Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito

RLC em regime permanente para excitação senoidal um

problema algébrico

Funções

Senoidais

Exponenciai

s Complexas

FASORES

Exponenciais Complexas

Ae

j w t = z e

j  e

j w t = z e

j ( w t+ )

z e

j ( w t+ )

= z cos ( w t+ ) + j z sen ( w t+ )

Re[ Ae

j w t ] = z cos ( w t+ )

Senóides, Exponenciais Complexas e

Fasores

➢ Senóide:

z cos ( w t+ )

➢ Exponencial Complexa:

Ae

j w t

= z e

j ( w t+ )

➢ Fasor:

A = z  

O que se

ganha com

tudo isso???

z cos ( w t+ ) = Re { z e

j ( w t+ ) }= Re { A e

j w t

}