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Exercícios
1. Considere, num referencial ortonormado do plano, os pontos A (3 , –2) e B (–1 , 1).
1.1. Represente os pontos A e B e trace as retas paralelas aos eixos coordenados que contêm A ou B , por
forma a construir um retângulo do qual [ AB ] é uma diagonal.
1.2. Determine a distância entre os pontos A e B utilizando o Teorema de Pitágoras.
Resolução
1.2. Pelo Teorema de Pitágoras temos que
2 2 2
AB 3 1 1 2 25
. Como
AB 0
, então
AB 5 , ou seja, a distância entre os pontos A e B é 5.
2. *Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A ( a 1
, a 2
) e B ( b 1
, b 2
2.1. Designe por A 1
e B 1
as projeções ortogonais no eixo das abcissas respetivamente dos pontos A e B.
Exprima, em função de a 1
e de b 1
, a medida d 1
da distância entre A 1
e B 1
2.2. Designe por A 2
e B 2
as projeções ortogonais no eixo das ordenadas, respetivamente, dos pontos A e B.
Exprima, em função de a 2
e de b 2
, a medida d 2
da distância entre A 2
e B 2
2.3. Exprima a medida da distância entre A e B em função de d 1
e de d 2
e justifique que é igual a
2 2
1 1 2 2
b a b a.
Resolução
2.1. d 1
= | a 1
2.2. d 2
= | a 2
2.3. Pelo Teorema de Pitágoras,
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 1
AB a b b a b a b a. Como
AB 0
, temos
que
2 2
1 1 2 1
AB b a b a
. Logo,
2 2
1 1 2 1
d A , B b a b a .
3. **Demonstre, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos A ( a 1
, a 2
) e B ( b 1
, b 2
pertencentes a esse plano, que a medida da distância entre A e B , d ( A , B ) é igual a
2 2
1 1 2 2
b a b a , tomando por unidade de comprimento a unidade comum dos eixos
coordenados.
Resolução
Sejam A ( a 1
, a 2
) e B ( b 1
, b 2
) pontos pertencentes a um plano munido de um
referencial ortonormado. Designando por A 1
e B 1
as projeções ortogonais no
Descritor: 1.2 (Página 21 do caderno de apoio)
▪ Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial
ortonormado e pontos A ( a
1
, a
2
) e B ( b
1
, b
2
) pertencentes a esse plano, que a medida da distância entre
A e B é igual a e representá-la por « d ( A , B ) ».
eixo das abcissas dos pontos A e B , respetivamente, temos que 1 1 1 1
A B b a .
Podendo-se concluir que a abcissa de M é
a b
Exercícios
1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas A (1, 1), B (4, 6)
e C (4, 1).
1.1. Determine as coordenadas do ponto médio D do segmento de reta [ AC ].
1.2. Considere a reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto D e a respetiva interseção M
com o segmento de reta [ AB ]. Justifique, utilizando o Teorema de Tales, que M é o ponto médio de
[ AB ] e indique a abcissa de M.
1.3. Calcule a ordenada de M.
Resolução
D D D
1.2. Dado que a reta MD é paralela a BC e interseta [ AC ] no ponto
médio D , então pelo Teorema de Tales MD interseta [ AB ] no seu
ponto médio. Ou seja,
AC AB 2 AD
AD AM
AD
AB
AM AB
AM
Portanto, M é o ponto médio de [ AB ].
1.3. Pelo Teorema de Tales, temos que BC 2 DM.
Supondo que M tem ordenada y , então
y y y
Logo, a ordenada de M é
2. *Considere um referencial ortonormado em dado plano e três pontos A, B e M desse plano, bem como as
respetivas projeções ortogonais, respetivamente, A ’, B ’, M ’, no eixo
dos xx , e A ”, B ”, M ”, no eixo dos yy.
2.1. Sabe-se que M é o ponto médio de [ AB ]. Prove que os pontos M ’ e
M ” são, respetivamente, os pontos médios dos segmentos de reta
[ A ’ B ’] e [ A ” B ”].
2.2. Sabendo que A ( a 1
, a 2
) e B ( b 1
, b 2
), determine as coordenadas de M.
Resolução
2.1. Considere a reta paralela ao eixo das abcissas que passa pelo ponto A , a reta paralela ao eixo das
ordenadas que passa pelo ponto B e o ponto C , ponto de interseção das retas consideradas. Pelo
Teorema de Tales, o ponto de interseção de
M M
com [ AC ] é o ponto médio de [ AC ], pois M é o
ponto médio de [ AB ].
Dado que A ’ tem a mesma abcissa que A e B ’ tem a mesma abcissa que C , concluímos que M ’ é o
ponto médio do segmento de reta [ A ’ B ’]. Também pelo Teorema de Tales, o ponto de interseção de
M”M com [ BC ] é o ponto médio de [ BC ]. Uma vez que a ordenada de A ” é igual à de C e B ” é igual
Descritor: 1.4 (Página 21 do caderno de apoio)
▪ Reconhecer, utilizando argumentos geométricos baseados no Teorema de Tales ou em
consequências conhecidas deste teorema, que, dado um plano munido de um referencial
ortonormado e dois pontos A ( a
1
, a
2
) e B ( b
1
, b
2
) pertencentes a esse plano, as coordenadas do ponto
médio do segmento de reta [ AB ] são.
2.2. Prove que tomando
b CD se tem
2 2
b a c
, onde
AB
c .
Resolução
2.1. Comecemos por mostrar que a mediatriz de [ AB ] interseta a elipse exatamente em dois pontos
situados no semiplano oposto da fronteira AB.
Um ponto P é o ponto de interseção entre a elipse de focos A e B e semieixo maior a
a AB
e a
mediatriz de [ AB ], se e somente se, satisfaz as condições d ( A , P ) + d ( P , B ) = 2 a e d ( A , P ) = d ( P , B ).
Daqui resulta que d ( A , P ) = d ( P , B ) = a e, portanto, P está na circunferência de centro em A e raio a ,
assim como na circunferência de centro B e raio a. Reciprocamente, se P está na interseção das duas
circunferências, então pertence à elipse de focos A e B e semieixo maior a e na mediatriz [ AB ]. Dado
que a soma dos raios das circunferências, 2 a , é maior do que as distâncias entre os centros
a AB a AB
, podemos concluir que as circunferências são secantes e intersetam-se
exatamente em dois pontos, C e D , situados em semiplanos opostos da fronteira AB. Vejamos agora
que a mediatriz [ AB ] interseta a reta AB no ponto médio do segmento de reta [ CD ], que coincide com
o centro da elipse. Como C e D são pontos secantes das circunferências de centros A e B e raio a ,
d ( A , C ) = d ( B , C ) e d ( A , D ) = d ( B , D ) são pontos da mediatriz de [ AB ]. Assim, os triângulos [ ABC ] e
[ ABD ] são isósceles e iguais. Considerando M o ponto médio do segmento [ AB ], que também
pertence à mediatriz [ AB ], e a altura de ambos os triângulos relativamente ao lado [ AB ], temos que
CM MD.
Portanto, M é também ponto médio do segmento [ CD ], centro da elipse de focos A e B e semieixo
maior a.
2.2. Seja O o centro da elipse. Como C pertence à mediatriz de [ AC ], então AC BC e as arestas AO e
OC são perpendiculares.
Assim,
b CD CO e
c AB AO
. Como
AC BC 2 a
e
AC BC , AC BC a
Finalmente, como o triângulo [ AOC ] é retângulo em O , pelo Teorema de Pitágoras temos
2 2 2
AC AO CO
. Como b é positivo,
2 2
2 2
b CO AC AO a c
Exercícios
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos F 1
(– 4, 0) e F 2
1.1. Qual o valor que deve tomar o número real d por forma que um ponto P ( x, y ) pertença à elipse de
focos F 1
e F 2
e semieixo maior a , ( a > 4) quando e apenas quando
2 2
2 2
d x 4 y x 4 y?
1.2. *Considere a = 5.
Mostre que um ponto P ( x, y ) pertence à elipse referida na alínea anterior quando e apenas quando
Descritor: 1.10 (Página 22 do caderno de apoio)
▪ Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial
ortonormado e 0 < b < a , a equação é uma equação cartesiana da elipse de semieixo maior a e
semieixo menor b que tem focos A (– c , 0) e B ( c , 0), onde , e designá-la por «equação (cartesiana)
reduzida da elipse».
2 2
x y
1.3. Tendo em conta a alínea 1.2. , calcule as coordenadas dos pontos A 1
e A 2
em que a elipse interseta o
eixo das abcissas, as coordenadas dos pontos B 1
e B 2
, em que a elipse interseta o eixo das ordenadas e
o eixo menor 1 2
b B B .
1.4. Verifique, neste exemplo, que 2 2
b a c
, onde
1 2
c F F é a semidistância focal.
satisfizerem a equação
2 2
2
x c y x c y 2 a
, com
a c a c .
Deste modo, obtemos a equação cartesiana de uma tal elipse.
2 2
2 2
x c y x c y 2 a
2 2
2 2
x c y 2 a x c y
2 2 2 2
x c y 2 a x c y
2 2 2 2 2 2 2
x c y 2 a 2 2 a x c y x c y
2
2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 cx c y 4 a 4 a x c y x 2 cx c y
2 2 2
4 a x c y 4 a 2 cx 2 cx
2
2 2
a cx
x c y
a
2 2
2 2 2 2
** 2
acx c x
x cx c y a
a a
2
2 2 2 2 2
2
c
x x y a c
a
2 2 2 2
2 2 2
2
a x c x
y a c
a
2 2 2
2 2 2
2
x a c
y a c
a
2 2
2 2 2
x y
a a c
Em () e em (*) as implicações da direita para a esquerda são justificadas pelo facto de ambos os
membros serem não negativos. Em ambos, os primeiros membros ficam justificados por serem
somas de quadrados. Em (**) o segundo membro é não negativo, porque a
2
≥ cx. Sabemos, por
hipótese, que a > c > 0 e da última equação que
2
2
x
a
. Então, x
2
≤ a
2
, o que implica que | x | ≤ | a | = a
e, portanto, cx ≤ c | x | ≤ ca < a
2
. Em (*) o segundo membro é não negativo se
2 2
2 a x c y .
Da sexta equação a contar de baixo e das desigualdades já provadas, temos que:
2 2
2 2
c x a cx c x a
x c y a a a a
a a a a
2.3. Sabemos que 2 2
b a c
. Daqui resulta que b
2
= a
2
2
e, portanto,
2 2
2 2
x y
a b
Exercícios
1. Seja r a reta de equação y = 2 x + 1 num dado plano munido de um referencial ortonormado. Considere
os conjuntos A = { X ( x , y ): y > 2 x + 1} e B = { X ( x , y ): y < 2 x + 1}.
1.1. Seja P (1, 7) e Q (2, 6). Verifique que P ∈ A e que Q ∈ A. Calcule as coordenadas do ponto de
interseção das retas r e PQ e conclua que o segmento de reta [ PQ ] não interseta r.
1.2. Seja R (3, 1). Verifique que R ∈ B e que o segmento de reta [ PR ] interseta r.
1.3. Considere dois pontos P 1
( a , y 1
) e P 2
( a , y 2
). Mostre que se pertencerem ambos a A e o outro a B , então
Descritores: 1.11 e 1.12 (Página 23 do caderno de apoio)
▪ Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta r do plano de
equação reduzida y = ax + b ( a , b ∈), que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados)
determinados por r têm por inequações cartesianas y > ax + b e y < ax + b (respetivamente
y ≥ ax + b e y ≤ ax + b ) e designá-los respetivamente por «semiplano superior» e «semiplano
inferior» em relação à reta r.
▪ Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta r do plano de
equação cartesiana x = c ( x ∈), que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados)
determinados por r têm por inequações cartesianas x > c e x < c e (respetivamente, x ≥ c e x ≤ c ) e
designá-los, respetivamente, por «semiplano à direita» e «semiplano à esquerda» da reta r.
o segmento de reta [ P 1
P
2
] não interseta r , mas que se um deles pertencer a A e o outro a B , então o
segmento de reta [ P 1
P
2
] interseta r e determine as coordenadas do ponto de interseção.
1.4. Considere dois pontos P 1
( x 1
, y 1
) e P 2
( x 2
, y 2
) tais que x 1
≠ x 2
e seja P ( x, y ) um ponto de [ P 1
P
2
].
a) Utilizando a equação da reta P 1
P
2
ou, diretamente, o Teorema de Tales, mostre que
x = x 1
) e y = y 1
) para determinado s ∈ [0, 1].
b) Deduza da alínea anterior que x = (1 – t ) x 1
e y = (1 – t ) y 1
para determinado t ∈ [0, 1] e
conclua que se P 1
e P 2
pertencerem ambos a A (respetivamente a B ), então P ∈ A (respetivamente,
P ∈ B ) e, portanto, o segmento de reta [ P 1
P
2
] está contido em A (respetivamente em B ), logo não
interseta r.
c) Utilizando a alínea a) conclua que se P 1
∈ A e P 2
∈ B , então o segmento de reta [ P 1
P
2
] interseta r ,
determinando o valor de s correspondente ao ponto de interseção.
1.5. Conclua das alíneas anteriores que A e B são exatamente os semiplanos abertos de fronteira r do plano
dado.
Resolução
1.1. Se P ∈ A e Q ∈ A satisfizer a inequação y > 2 x + 1.
P (1 , 7) 7 > 2 × 1 + 1 ⇔ 7 > 2 + 1 ⇔ 7 > 3
Logo,
P A
Q (2 , 6) 6 > 2 × 2 + 1 ⇔ 6 > 4 + 1 ⇔ 6 > 5
Logo,
Q A
Equação reduzida da reta PQ
PQ
m
Temos que a equação é do tipo y = – x + b.
Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto P , temos que: 7 = – 1 + b ⇔ b = 7 + 1 ⇔ b = 8
Assim, a equação reduzida da reta PQ é y = – x + 8.
Ponto de interseção das retas r e PQ
y
y x
y x x x x
x
y
x
y
x
As coordenadas do ponto de interseção das retas r e PQ são
. Como a abcissa deste
ponto é superior às abcissas de Q e P , pode concluir-se que o segmento de reta [ PQ ] não interseta r.
1.2. R ∈ B se as suas coordenadas satisfazem a inequação y < 2 x + 1.
1 < 2 × 3 + 1 ⇔ 1 < 6 + 1 ⇔ 1 < 7
Logo, R ∈
B.
Equação reduzida da reta PR
Declive:
PQ
m
A equação da reta PR é da forma y = – 3 x + b.
Substituindo x e y pelas coordenadas de R na equação:
1 – 3 × 3 + b ⇔ b = 1 + 9 ⇔ b = 10
Logo, a equação reduzida da reta PR é y = – 3 x + 10.
Determina-se o ponto de interseção entre r e PR.
y y
y x
y x x x x
x x
Encontrando o ponto de interseção da reta r e P 1
P
2
x a x a
y x y a
S = {( a , 2 a + 1)}
Concluímos que r não interseta P 1
P
2
, pois as ordenadas de P 1
e P 2
são maiores do que 2 a + 1.
Suponhamos que P 1
e P 2
pertencem a B. Então, y 1
< 2 a + 1 e y 2
< 2 a + 1.
Assim, a equação da reta P 1
P
2
é x = a.
Calculando o ponto de interseção da reta r e P 1
P
2
, obtemos o ponto de coordenadas ( a , 2 a + 1).
Assim, concluímos que r não interseta P 1
P
2
, pois as ordenadas de P 1
e P 2
são menores do que a
ordenada do ponto de interseção entre r e P 1
P
2
Vejamos agora o caso em que um dos pontos pertence a A e o outro a B.
Suponhamos que P 1 ∈
A e P 2 ∈
B. Assim, y 1
2 a + 1 e y 2
< 2 a + 1.
Já sabemos que o ponto de interseção da reta r e da reta P 1
P
2
tem coordendas ( a , 2 a + 1).
Como y 2
< 2 a – 1 < y 1
, o segmento de reta [ P 1
P
2
] interseta a reta r.
De modo análogo se mostra que se P 1
∈ B e P 2
∈ B , o segmento de reta [ P 1
P
2
] interseta r.
Além disso, as coordenadas do ponto de interseção são ( a , 2 a + 1).
1.4. a) P 1
( x 1
, y 1
) e P 2
( x 2
, y 2
Considerando uma redução ou uma igualdade temos, utilizando o Teorema de Tales:
1 1
2 1 2 1
x x y y
s
x x y y
com 0 ≤ s ≤ 1
Assim:
1 1
2 1 2 1
x x y y
s s
x x y y
1 2 1 1 2 1
x x s x x y y s y y
x = x 1
y = y 1
), s ∈
[0, 1]
b) Pela alínea anterior: x = x 1
) ⇔ x = x 1
⇔ x = (1 – s ) x 1
, s ∈ [0, 1]
y = y 1
) ⇔ y = y 1
⇔ y = (1 – s ) y 1
, s ∈ [0, 1].
Como P 1 ∈
A e P 2 ∈
A , então y 1
2 x 1
2 x 2
Pretendemos concluir que P ∈ A , ou seja, (1 – t ) y 1
2[(1 – t ) x 1
] + 1.
Como P 1 ∈
A , y 1
2 x 1
Multiplicando por (1 – t ), temos que (1 – t ) y 1
(1 – t )(2 x 1
(1)
e, como P 2
∈ A , y 2
2 x 2
Multiplicando por t , ty 2
t (2 x 2
(2)
. Logo, adicionando (1) e (2) :
(1 – t ) y 1
(1 – t )(2 x 1
(1 – t ) y 1
(1 – t ) × 2 x 1
⇔ (1 – t ) y 1
2[(1 – t ) x 1
]+ 1 ⇔ y > 2 x + 1
Portanto, o segmento de reta [ P 1
P
2
] está contido em A , logo não interseta r.
De modo análogo, se mostra que para P 1 ∈
B e P 2 ∈
B , [ P
1
P
2
] está contido em B , logo não
interseta r.
c) Seja P 0
( x 0
, y 0
) o ponto de interseção de [ P 1
P
2
]
com r.
Por um lado, temos que x 0
= x 1
y 0
= y 1
), para algum s ∈
[0, 1].
Por outro, temos que y 0
= 2 x 0
Daqui resulta que y 1
) = 2( x 1
)) + 1, ou seja,
1 1
2 1 2 1
y x
s
y y x x
1.5. Começamos por notar que os conjuntos A , B e r são disjuntos 2 a 2 e a sua reunião é o plano.
Sejam P ∈ A e X ( x 0
, y 0
) um ponto do plano. Se X ∈ A , então, por b) , o segmento [ PX ] está contido
em A. Se X ∈
r , então o segmento [ PX ] interseta a reta r em X. Se X ∈
B , então, por c) o segmento
[ PX ] interseta a reta r. Portanto, o segmento [ PX ] não interseta a reta r se e só se X ∈ A e o
semiplano aberto de fronteira r determinado pelo ponto P ∈ A é A. Analogamente, se mostra que o
semiplano aberto de fronteira
r
determinado por um ponto Q ∈ B é B.
2. Seja c ∈
e r a reta de equação x = c. Considere os conjuntos A = { X ( x , y ): x > c } e
B = { X ( x , y ): x < c }.
2.1. Dados dois pontos P e Q de A (ou de B ), justifique que o segmento de reta [ PQ ] não interseta a reta r.
2.2. Dados dois pontos R ∈ A e S ∈ B , mostre que o segmento de reta [ RS ] interseta r.
2.3. Conclua que A e B são os dois semiplanos definidos pela reta r.
Resolução
2.1. Sejam P ( x 1
, y 1
) e Q ( x 2
, y 2
) dois pontos de A. Então, x 1
c e x 2
c. Se A ( x , y ) é um ponto do segmento
de reta [ PQ ] , então x = x 1
) e y = y 1
) para algum s ∈ [0, 1].
Como x = x 1
) = (1 – s ) x 1
(1 – s ) c + sc = c , o segmento de reta [ PQ ] não interseta a
reta r. De modo análogo se mostra que se P ( x 1
, y 1
) e Q ( x 2
, y 2
) são dois pontos de B , então o segmento
de reta [ PQ ] não interseta r.
2.2. Seja R ( x 1
, y 1
) e S ( x 2
, y 2
). Como R ∈ A e S ∈ B , x 1
c e x 2
< c.
Se P ( x , y ) é um ponto do segmento de reta [ RS ], então x = x 1
) e y = y 1
), para
algum s ∈ [0, 1]. Como x 2
< c < x 1
, x 1
Seja
2
1 2
c x
s
x x
. Por um lado,
2
1 2
c x
s
x x
porque x 2
< c. Por outro,
2 1 2
1 2 1 2
c x x x
s
x x x x
porque x 1
c. Daqui resulta que o ponto
2
1 2
c x
c
x x
está na interseção do segmento de reta [ RS ] com
a reta de equação = c.
2.3. Começamos por notar que os conjuntos A , B e r são disjuntos 2 a 2 e a sua reunião é o plano.
Sejam P ∈ A e X ( x 0
, y 0
) um ponto do plano. Se X ∈ A , então, por 1.4. b) , o segmento [ PX ] está contido
em A. Se X ∈ r , então o segmento [ PX ] interseta a reta r em X. Se X ∈ B , então, pelo exercício 1.4. c) ,
o segmento [ PX ] interseta a reta r. Portanto, o segmento [ PX ] não interseta a reta r se e só se X ∈ A , e o
semiplano aberto de fronteira r determinado pelo ponto P ∈ A é A.
Analogamente se mostra que o semiplano aberto de fronteira r determinado por um ponto Q ∈ B é B.
Exercício
1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma
circunferência de raio r > 0 e de centro C ( a , b ). Considere ainda um ponto
P ( x , y ) do plano.
1.1. Exprima a medida da distância d CP em função de x, y, a e b.
1.2. Justifique que P pertence à parte interna da circunferência quando e apenas
quando ( x – a )
2
2
≤ r
2
1.3. Justifique que o círculo de centro C ( a , b ) e raio r se define pela condição
( x – a )
2
2
≤ r
2
Resolução
1.1.
2 2
d CP x a y b
1.2. Como d < r e d
2
< r
2
( d > 0 e r > 0):
2 2
x a y b r , r 0
2 2 2
x a y b r
Descritor: 1.13 (Página 26 do caderno de apoio)
▪ Justificar, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial
ortonormado, que a inequação ( x – a )
2
2
≤ r
2
( a , b ∈, r > 0) é uma inequação do círculo de
centro C ( a , b ) e de raio r.
2. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas condições.
2.1. ( x + 2)
2
2
= 2 2.2. ( x – 1)
2
2
≤ 1 2.3. * x
2
2
2.4. *4 x
2
2
2 2
x y
2.6. *5 x
2
2
2.7. *9 x
2
2
= 36 2.8. 1 ≤ ( x – 3)
2
2
2.9. ( x + 2)
2
2
( x + 3)
2
2
< 4 2.10. ( x + 2)
2
2
| x | < 3
Resolução
2.1. ( x + 2)
2
2
= 2: circunferência de centro (–2, 0) e raio 2
2.2. ( x – 1)
2
2
≤ 1: círculo de centro (1, –3) e raio 1
2.3. x
2
2
2
2
4 x
2
2
(2 x + 5)
2
2
2
2
2
x y
: Circunferência de centro
e raio 5
2.4. 4 x
2
2
2
2
+ 8 y + 4 – 4 = 11⇔
2
x y x y
Circunferência de centro
e raio
2 2 2 2
2 2
x y x y
: Elipse centrada na origem com semieixo maior 3 e semieixo menor 2
Focos:
2
4 9 c c 5
; coordenadas dos focos:
5 , 0 e 5 , 0
2 2
2 2
2 2
x y
x y
Elipse centrada na origem com semieixo maior 4 e semieixo menor
Focos:
2
2 2 2
5 4 c 5 16 c 2
c 11 c 11
2
2 2
5 4 c c 11
; coordenadas dos focos:
e
2 2
2 2
2 2
x y
x y
Elipse centrada na origem com semieixo maior 3 e semieixo menor 2
Focos:
2 2 2
2 3 c c 5
; coordenadas dos focos:
0 , 5 e 0 , 5
2.8. 1 ≤ ( x – 3)
2
2
Coroa circular de centro (3 , –1) cujo raio da circunferência externa é 2 e o raio de circunferência
interna é 1
2.9. Perímetro interior círculo de centro em (–3, 0) e raio 2, exceto o círculo de
centro em (–2, 0) e raio 1
2
2
3 3
x x
x y x
3. Identifique e defina analiticamente, utilizando equações e inequações cartesianas, os seguintes conjuntos
de pontos do plano:
3.1. pontos que distam igualmente dos pontos A (–3, 5) e B (1, 1);
3.2. pontos cuja distância ao ponto C (2, –3) não excede 4 unidades;
Equação da mediatriz:
d P , O d P , G
2 2 2 2
x 0 y 0 x 3 y 3
2
x
2
y
2
x
2
6 x 9 y 6 y 9
6 y 6 x 18 y x 3
Equação da circunferência: ( x + 3)
2
2
Interseção entre a mediatriz e a circunferência:
2 2 2
2
y x
x y x x x
2 2
x x x
2
2 x 6 x 0 2 x x 3 0
y y y y
x x x x
O conjunto é {(– 3, 0); (0, – 3)}.
3.7.1. Trata-se de todos os pontos cuja distância a O é
do raio da circunferência de centro 2.
Assim, obtemos uma nova circunferência de centro O e raio
, pelo que são todos os pontos
que satisfazem a equação x
2
2
3.7.2. Seja A um ponto da reta de equação x + y = 5. As coordenadas de A são da forma ( x 1
, – x 1
Considerando M o ponto médio do segmento de reta [ HA ]:
1 1
x x
M
1 1
x x
1 1
x x
Os pontos médios são todos os pontos do conjunto:
1 1
x x
x y x y
Assim:
1
1 1
1
x
x x x x x
x
x y x y
y
Portanto, os pontos médios são todos os pontos da reta
y x .
4. *Num referencial ortonormado do plano, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero.
Sabendo que A (–5, 1) e
B 3, 1 2 3
, determine a ordenada de C sabendo que a abcissa é – 1.
Resolução
Dado que o triângulo é equilátero, d ( A , C ) = d ( B , C ). Seja y a ordenada de C.
d ((– 5, 1), (– 1, y )) =
d 3 , 1 2 3 , 1 , y
2
2 2 2
5 1 1 y 3 1 1 2 3 y
2
2
2
2
2 3 1 y
2
16 1 y
2
2
4 2 3 2 2 3 1 y 1 y
16 4 12 4 3 4 3 y
⇔ y = 1
A ordenada de C é 1.
5. Sabe-se que o ponto P (3, y ) é equidistante dos pontos A (–3, 1) e B (1, 2). Determine o valor de y.
Resolução
Dado que o ponto P (3, y ) é equidistante dos pontos A (–3, 1) e B (1, 2), então:
d P , A d P , B
2 2 2 2
3 3 y 1 3 1 y 2
2 2 2
2
3 3 y 1 2 y 2
2 2
6 y
2
2 y 1 4 y 4 y 4
36 2 y 2 4 y 8 2 y 4 y 8 36 1 2 y 29
y
O valor de y é
Exercícios
1. Na figura estão dois segmentos orientados que representam vetores
u
e
v
1.1. Reproduza no seu caderno, dois segmentos orientados com a mesma origem P que
representem, respetivamente, os vetores
u
e
v
e, utilizando a regra do
paralelogramo ou a regra do triângulo, construa o vetor
w
tal que
v w u
1.2. Construa o vetor-soma de
u
com
v
e justifique que é igual a
w
Resolução
u v
e w
tem a mesma direção, sentido e comprimentos.
Logo, são iguais.
2. **Dados os vetores
u
e
v
, prove, recorrendo a uma construção geométrica e utilizando diretamente as
definições de diferença e de soma de vetores, bem como o simétrico de um vetor, que
u v u v
Resolução
u v
é o vetor
w
e adicionado ao
v
obtém-se
u
, ou seja,
v w u
Utilizando a regra do triângulo:
Descritores: 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 (Página 27 do caderno de apoio)
▪ Identificar, fixada uma unidade de comprimento e dado um vetor , a «norma do vetor » como
a medida do comprimento de um segmento orientado representante de e representá-la por «».
▪ Identificar, dado um vetor e um número real (também designado por «escalar») , o «produto de por
» («») como o vetor de norma (fixada uma mesma unidade de comprimento para o cálculo das
normas), com a direção e sentido de se e com a direção de e sentido contrário ao de se e justificar
que não depende da unidade de comprimento fixada e que , vetor simétrico de.
▪ Justificar, dado um vetor não nulo, que um vetor é colinear ase e apenas se existir um número real
tal que , e que, nesse caso, é único.
▪ Justificar, dados os vetores e , que existe um e somente um vetor tal que , provando que , designar
por «diferença entre e » e representá-lo por «».
