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- ´Areas e volumes de s´olidos
P´ag. 8
- h^2 + 5^2 = 13^2 ⇔ h^2 = 169 − 25 ⇔ h^2 = 144h> ⇔^0 h = 12 A = 21 × 12 = 252 A = 252 cm^2 Resposta:(C)
2.1. A OBˆ = 360◦^ : 6 = 60◦ Como OA = OB, vem que B AOˆ = O BAˆ pois, num triˆangulo, a lados iguais op˜oem-se ˆangulos iguais. Ent˜ao
B AOˆ = O BAˆ =
180 ◦^ − 60 ◦
◦
Logo, se o triˆangulo [BOA] tem os trˆes ˆangulos iguais, tamb´em tem os trˆes lados iguais. Portanto, o triˆangulo [BOA] ´e equil´atero.
2.2.
=
Ac´irculo − Ahex´agono
π × 62 −
6 × 6 × 5 , 196
A ≈ 3 , 26 cm^2 Resposta: (C)
- Os triˆangulos [ADC ] e [BCD] s˜ao semelhantes.
AD CD
CD
DB
CD
CD
⇔ CD
2 = 2 × 6 ⇔ CD =
12 ⇔ CD = 2
A[ABC] =
AB × CD
(2 + 6) × 2
A[ABC] = 8
3cm^2 Resposta: (A)
- AB = 2 × OC = 2 × 6 , 2 = 12, 4
A[OCDA] = OA^ +^ CD 2
× OC =^6 ,^ 2 + 12,^4
× 6 , 2 = 57, 66
A = 57, 66 −
× π × 6 , 22 = 57, 66 − 9 , 61 π ≈ 27 , 47
A ≈ 27 , 47cm^2 Resposta: (D)
- AD 2 + DE 2 = AE 2
AD^2 + (2, 5)^2 = 5^2 ⇔ AD^2 = 25 −
AD^2 = 25 −
⇔ AD^2 =^75
AD > 0
⇔ AD =
⇔ AD =^5
A[AED] =
5 √ 3 2 ×^2 ,^5 2
Os triˆangulos [AED] e [ABC ] s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo comum). A raz˜ao de semelhan¸ca da amplia¸c˜ao ´e
r =
AC
AE
A[ABC] =
× A[AED] =
×
A ´area do quadril´atero [EBCD] ´e igual a
A = 8
A ≈ 8 , 4cm^2 Resposta:(A)
P´ag. 9 6.1. V = Abase × altura = 3 × 2 3 × 2 , 4cm^3 = (4, 5 × 2 , 4)cm^3 = 10, 8cm^3
6.2. V = Abase × altura = 6 × 2 2 × 8cm^3 = 48cm^3
h^2 + 2, 42 = 4^2 ⇔ h^2 = 16 − 5 , 76 ⇔ h^2 = 10, 24 h> ⇔^0 h =
10 , 24 ⇔ h = 3, 2 V = Abase × altura = 4 ,^8 × 2 3 ,^2 × 4cm^3 = 30, 72 cm^3
7.1. Como 6^2 + 8^2 = 10^2 , pelo teorema rec´ıproco do Teorema de Pit´agoras, o triˆangulo da base ´e retˆangulo. Portanto,
Abase =^8 ×^6 2 cm^2 = 24 cm^2
7.2. V = Abase × altura = 24 × 12 cm^3 = 288 cm^3
7.3. Alateral = Pbase × altura= = (6 + 8 + 10) × 12 cm^2 = 288 cm^2
7.4. Atotal = Alateral + 2 × Abase = (288 + 2 × 24)cm^2 = 336 cm^2
V = Abase × altura ≈
8 × 6 × 7 , 243
× 8 cm^3 ≈ 1390 , 656 cm^3
V ≈ 1391 cm^3
- Caixa A: Abase = 93, 6cm^2 Pbase = 36cm
Caixa B : Abase = 25cm^2 VB = 375cm^3
9.1.
Abase = Pba^ se^ ×^ ap 2
93 , 6 = 36 × ap 2 ⇔ 2 × 93 , 6 = 36 × ap ⇔ 36 × ap = 187, 2 ap =
⇔ ap = 5, 2
ap = 5, 2cm
P´ag. 13 Quest˜ao 3 3.1. Volume da pirˆamide [ABDV ] =
3 ×^
8 × 8 2 ×^9
cm^3 = (3 × 4 × 8) cm^3 = 96 cm^3 Volume da pirˆamide [ABCDV ] = 2 × 96 cm^3 = 192 cm^3
3.2.
1 3 × Abase × altura =
[
× (8 × 8) × 9
]
cm^3 = 192 cm^3
P´ag. 14 1.1.
V =
× 8 × 6 × 6 = 96
V = 96 cm^3
1.2. Comprimento do retˆangulo x :
x^2 + 8^2 = 17^2 ⇔ x^2 = 289 − 64 ⇔ x^2 = 225x> ⇔^0 x = 15
V =
× 15 × 10 × 8 = 400
V = 400 cm^3
2.1. Aresta do cubo: a = 2 × 5 cm = 10 cm.
V =^1 3
× 10 × 10 × 5 =^500
V =^500
cm^3
2.2. Vcubo = 10^3 = 1000 V = 1000 cm^3
3.1. A reta IJ ´e concorrente obl´ıqua com o plano ABC. Resposta: (B)
3.2. A reta HD ´e paralela ao plano ABC. Resposta:(D)
3.3. V = Vprisma + Vpirˆamide Altura da pirˆamide:
IK 2
IK^2 + 0, 62 = 1^2 ⇔ IK^2 = 1 − 0 , 36 ⇔ IK^2 = 0, 64 ⇔
IK > 0
IK = 0, 8
V = 1, 2 × 1 , 2 × 1 , 5 +
3 ×^1 ,^2 ×^1 ,^2 ×^0 ,^ 8 = 2,^ 16 + 0,^ 384 = 2,^544
V = 2, 544 m^3 = 2544000 cm^3
P´ag. 15
V[DEF G] =
3 ×^
3 × 3
2 ×^ 6 = 9
Os triˆangulos [ACG] e [DFG], tal como os triˆangulos [CBG] e [FEG] s˜ao semelhantes.
A raz˜ao de semelhan¸ca (amplia¸c˜ao) ´e:
r =
CG
F G
Ent˜ao,
AC = CB =
× 3 cm = 5 cm
V[ABCG] =^1
× 5 ×^5
× 10 =^125
V =
cm^3 ≈ 41 , 7 cm^3
5.1. Por exemplo:
a) a reta AB e o plano BCF
b) os planos ABC e ABF
5.2.
Vcasa = Vprisma + Vpirˆamide = 6 × 6 × 2 +
× 8 × 8 × 4 , 5 = 72 + 96 = 168
Vcasa = 168 m^3
Vtronco = V[EF GH] − V[ABCD] =
3 ×^12 ×^12 ×^24 −^
3 ×^4 ×^4 ×^ 8 = 1152^ −^
3 ≈^1109 ,^3
V ≈ 1109 , 3 cm^3
P´ag. 16
- Resposta: (C)
2.1.
x ˆ =
2.2. xˆ = 360◦^ − 92 ◦^ = 268◦
2.3. xˆ = 360◦^ − 302 ◦^ = 58◦
3.1. Area do c´´ ırculo = π × 102 = 100 × π
C 1 : 100 × π 2 = 50π
C 2 :
100 π 4 = 25π
C 3 :
100 π 8 = 12,^5 π Amplitude do ˆangulo ao centro (em graus) 180 90 45 Area do setor circular (cm´^2 ) 50 π 25 π 12 , 5 π
3.2.
50 π 180
π ; 25 π 90
π ; 12 ,^5 π 45
π ; 50 π 180 =^25 π 90 =^12 ,^5 π 45
360 ◦^ —– 2 π × 14 50 ◦^ —– C
C = 50 × 2 × π × 14 360
1400 × 3 , 1416
C ≈ 12 , 2 cm
2.2. 360 ◦^ − 50 ◦^ = 310◦ 360 ◦^ —– 2 π × 14 310 ◦^ —– C
C = 310 × 2 × π × 14 360
8680 × 3 , 1416
P = (75, 7 + 2 × 14) cm≈ 103 , 7 cm
2.3. 360 ◦^ —– π × 142 50 ◦^ —– A
A =^50 ×^ π^ ×^14
2 360
≈ 9800 ×^3 ,^1416
A ≈ 85 , 5 cm^2
360 ◦^ —– π × 102 45 ◦^ —– A 1
A 1 = 45 × π × 102 360 =
4500 π 360 =
25 π 2 360 ◦^ —– π × 42 45 ◦^ —– A 2
A 2 =^45 ×^ π^ ×^4
2 360 = 2π
A =^25 π 2 − 2 π =^21 π 2
× 3 , 1416 ≈ 33 , 0 m^2
P´ag. 21 4.1. g^2 = 6^2 + 8^2 ⇔ g^2 = 100 Como g > 0, vem g = 10 cm
4.2. a) A = Alateral + Abase = π × 6 × 10 + π × 62 = 60π + 36π = 96π ≈ 96 × 3 , 1416 ≈ 301 , 6 A ≈ 301 , 6 cm^2
b)
V =
× Abase × altura =
× π × 62 × 8 ≈ 96 × 3 , 1416 ≈ 301 , 6 V ≈ 301 , 6 cm^3
5.1.
Vcone =
Vcilindro
Vs´olido = Vcilindro − Vcone; Vs´olido = Vcilindro − 1 3 Vcilindro =^2 3 Vcilindro
5.2. r = 15 cm ; h = 40 cm a)
Vs´olido =
Vcilindro =
× π × 152 × 40 = 6000π Vs´olido = 6000π cm^3
b) Abase = π × 152 = 225π Area lateral do cilindro:^ ´ Acilindro = 2 × π × 15 × 40 = 1200π Area lateral do cone =^ ´ π × r × g g^2 = 15^2 + 40^2 g =
Acone = π × 15 ×
A = 225π + 1200π + 15
1825 π ≈ 6490 A ≈ 6490 cm^2
V = Vcilindro + Vcone = π(0, 5)^2 × 12 +
× π × (0, 5)^2 × 2 , 5 ≈ 3 × 3 , 1416 +
× 0 , 625 × 3 , 1416 ≈ 10 , 1
V ≈ 10 , 1 cm^3
7.1. Os triˆangulos [OVB ] e [O’VD] s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo comum). Logo:
OB O′D′^
OV
O′V
15 + O′V
O′V
Seja x = O′V ; 10 : 6,25 = 1,
1 , 6 = 15 +^ x x ⇔ 1 , 6 x = 15 + x ⇔ 1 , 6 x − x = 15 ⇔ 0 , 6 x = 15 ⇔ x = 15 0 , 6 ⇔ x = 25
Logo, O′V = 25 cm
7.2.
Vcone grande =
× π × 102 × (15 + 25) =
× π × 100 × 40 ≈
× 3 , 1416 ≈ 4188 , 8
Vcone pequeno =
× π × (6, 25)^2 × 25 ≈
× 3 , 1416 × (6, 25)^2 × 25 ≈ 1022 , 7
V ≈ (4188, 8 − 1022 , 7) cm^3 ≈ 3166 , 1 cm^3 ≈ 3 , 1661 dm^3 ≈ 3 , 17 L
P´ag. 22
- S˜ao necess´arios 3 cones para encher o cilindro.
Vcone =
3 ×^ Abase^ ×^ altura =
3 Vcilindro
- Se Vsemiesfera = 2 × Vcone, ent˜ao Vesfera = 4 × Vcone Logo:
Vesfera = 4 × Vcone = 4 × 1 3 × π × r^2 × h = 4 × 1 3 × π × r^2 × r =^4 3 πr^3
P´ag. 24 Quest˜ao 7 7.1.
V =^4 3 πr^3 ≈ 4 3
× 3 , 1416 × (9, 5)^3 ≈ 3591
V = 3591 cm^3
Asemiesfera =
× 4 × π × 7 , 52 cm^2 ≈ 353 , 429 cm^2
Acoroa circular = π × (6 + 7, 5)^2 − π × 7 , 52 cm^2 ≈ 395 , 841 cm^2
Achap´eu ≈ (353, 429 + 395, 841) cm^2 ≈ 749 , 3 cm^2
P´ag. 26 Agora ´e a tua vez
A = 4πr^2 ≈ 4 × 3 , 1416 × (6300)^2 ≈ 498760416
A ≈ 498760416 km^2
P´ag. 27 1.1. 3 ha = 3 hm^2 = 30000 m^2 Resposta: (B)
1.2. 10 m^3 = 10 000 dm^3 = 10 000 L Resposta:(C)
1.3. 2500 ml = 2500 cm^3 = 2,5 dm^3 Resposta: (A)
2.1. Os triˆangulos s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo comum). 2.2.
CD =
CA ⇔ 3 CD = CA ⇔
CA
CD
A raz˜ao de semelhan¸ca que transforma o triˆangulo [DEC ] no triˆangulo [ABC ] ´e 3.
A[ABC] = A[DEC] × 32 =
10 × 32
cm^2 = 90 cm^2
Resposta: (D)
r =
3.1. V = 9^3 = 729
V = 729 cm^3 Resposta: (A)
3.2.
9 cm ×
= 3cm
Resposta: (A)
3.3. V = 3^3 = 27 V = 27 cm^3 Resposta: (C)
- a = AB, b = BC, c = CD
4.1. a × b × c = 3000 cm^3
1 2 a ×
b ×
c = a × b × c ×
= 3000 ×
V = 375 cm^3 Resposta: (C)
4.2. 3000 : 200 = 15
15 ×
O paralelogramo da figura 5 tem 7,5 cm de altura. Resposta: (D)
- A e B : 7π ≈ 7 × 3 , 1416 ≈ 22 6 = 44 C : 1, 6 π ≈ 1 , 6 × 3 , 1416 ≈ 5 A planifica¸c˜ao B n˜ao representa um cilindro.
- r = 10 cm h = 14 cm
6.1. V = Abase × altura = π × 102 × 14 = 1400π V = 1400π cm^3 Resposta: (A)
6.2. Vcubo =
cm^3 = 8 cm^3 Abase = πr^2 = π × 102 = 100π Abase = 100π cm^2 100 π × h = 8 ⇔ h = 8 100 π Resposta: (D)
7.1. N˜ao. Nenhuma das faces ´e um quadrado.
7.2. a) V = (7 × 3 × 6) cm^3 = 126 cm^3
b) Abase = (7 × 3 × 2 + 6 × 3 × 2 + 7 × 6 × 2) cm^2 = 162 cm^2
8.1.
V = Abase × altura =
3 × 4
× 6 = 36
V = 36 cm^3
8.2. Hipotenusa da base: a a^2 = 3^2 + 4^2 ⇔ a^2 = 25a> ⇔^0 a = 5 Alateral = (3 + 4 + 5) × 6 = 12 × 6 = 72 Alateral = 72 cm^2
8.3.
Atotal = Alateral + 2Abase =
72 + 2 ×
4 × 3
cm^2 = 84 cm^2
P´ag. 29 9.1. Atotal = (20 × 20 × 2 + 20 × 15 × 4) cm^2 = 2000 cm^2
9.2. m.d.c. (20 , 15) = 5 20 : 5 = 4 15 : 5 = 3 4 × 4 × 3 = 48 Na caixa cabem 48 cubos.
b) os planos ILK e IBC
c) os planos EFG e BCF
d) as retas AB e CF
e) as retas BC e FG
f ) as retas BC e BF
g) o plano EFG e a reta BF
15.2. A reta ´e estritamente paralela (HGF e ADC s˜ao planos estritamente paralelos porque contˆem faces opostas de um paralelep´ıpedo).
15.3. E perpendicular porque [´ ABCDEFGH ] ´e um paralelep´ıpedo retˆangulo.
15.4. S˜ao estritamente paralelas porque contˆem faces opostas de um paralelep´ıpedo.
15.5. S˜ao perpendiculares porque [ABCDEFGH ] ´e um paralelep´ıpedo retˆangulo.
15.6.
V =
10 × 20 × 1 , 7 − 1 ,^2 ×^10
× 10
m^3 = (340 − 60) m^3 = 280 m^3 = 280 000 dm^3
S˜ao necess´arios 280 000 litros de ´agua.
P´ag. 31 16.1. Prisma quadrangular.
16.2. Prisma triangular.
16.3. Altura do triˆangulo [EFI ]: h^2 + 5^2 = 6^2 ⇔ h^2 = 36 − 25 h^2 = 11h> ⇔^0 h =
V =
10 × 10 × 15 +^10
× 10
cm^3 =
cm^3 ≈ 1666 cm^3
17.1. O semicilindro tem 12,5 cm de raio e 16 cm de altura. V =
25 × 16 × 20 + 12 × π × (12, 5)^2 × 16
cm^3 ≈ (8000 + 1250 × 3 , 1416) cm^3 ≈ 11927 cm^3
17.2.
A = 25 × 20 × 2 + 16 × 20 × 2 + 25 × 16 + π × 12 , 52 +^1 2 × 2 π × 12 , 5 × 16 ≈
≈ (1000 + 640 + 400 + 156, 25 × 3 , 1416 + 200 × 3 , 1416) cm^2 ≈ 3159 cm^2
18.1. Por exemplo:
a) as retas AE e BC
b) as retas AB e CD
c) as retas AB e BF
d) as retas AB e AC
V =
3 ×^
2 × 2
2 ×^5
m^3 =
3 m
(^3) ≈ 3 , 3 m 3
P´ag. 32 19.1.
V =
× Abase × altura =
× 6 × 6 × 4
cm^3 = 48 cm^3
19.2. (ap)^2 = 4^2 + 3^2 ⇔ ap =
25 ap> ⇔^0 ap = 5 ap = 5 cm 19.3.
Alateral = 4 ×
6 × 5
cm^2 = 60 cm^2
19.4. Atotal =
60 + 6^2
cm^2 = 96 cm^2
Vrecipiente =
× 20 × 20 × 9
cm^3 = 1200 cm^3
Volume da ´agua: Consideremos o esquema seguinte de um corte na pirˆamide perpendicular `a base e que passa no v´ertice: Os triˆangulos [AVB ] e [CVD] s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA (tˆem um ˆangulo comum e ˆangulos agudos paralelos s˜ao iguais).
AB CD
EV
F V
CD
4 , 5 ⇔^20 −^ CD^ ×^2 ⇔^ CD^ = 10
V´agua =
× 10 × 10 × 4 , 5
cm^3 = 150 cm^3
Volume Tempo (s) 150 —— 5 1200 —— x
x =
1200 × 5
40 s – 5 s = 35 s Resposta: (B) 21.1. Abase = π × 32 cm^2 = 9π cm^2
21.2. Alateral == (π × 3 × 5) cm^2 = 15π cm^2
21.3. Atotal = (9π + 15π) cm^2 = 24π cm^2
21.4. h^2 + 3^2 = 5^2 ⇔ h^2 = 25 − 9 ⇔ h^2 = 16h> ⇔^0 h = 4 h = 4 cm
21.5.
Vcone =
× 9 π × 4
cm^3 = 12π cm^3
- r = 6 cm
h^2 + 6^2 = 12^2 ⇔ h^2 = 144 − 36 ⇔ h^2 = 108h> ⇔^0 h =
Comprimento: (4 × 6) cm = 24 cm Largura: (6 + 6 + h) cm=
cm
P´ag. 34
V =
× Abase × altura =
× 7 × 4 × 9
cm = 84 cm^3
- V M 2 = 10^2 + 24^2 V M =
676 ⇔ V M = 26
Atotal = Abase + 5 × Aface ≈ 5 ×^14 ,^53 ×^10 2
+ 5 × 14 ,^53 ×^26
Atotal ≈ 1308 cm^2
h^2 + 12^2 = 20^2 ⇔ h^2 = 400 − 144 ⇔ h^2 = 256h> ⇔^0 h =
256 ⇔ h = 16
Vcone =^1 3 × π × 122 × 16 = 768π ≈ 768 × 3 , 1416 ≈ 2412 , 75 Vcone ≈ 2413 cm^3 columnbreak
4.1. r = 10 cm 360 ◦^ —– 2 × π × 10 216 ◦^ —– x
x =^216 ×^2 ×^ π^ ×^10 360 = 12π
O comprimento do arco AB ´e igual a 12π cm.
4.2. Seja r o raio da base do cone. A geratriz do cone ´e g = 10 cm. O comprimento do arco AB ´e igual ao per´ımetro da base do cone: 12 π = 2 ⇔ r = 6 r = 6 cm Atotal = Alateral + Abase = πrg + πr^2 = π × 6 × 10 + π × 62 = 60π + 36π = 96π Acone = 96π cm^2
P´ag. 35 5.1.
4 3 πr^3 = 5000 ⇔ 4 πr^3 = 15 000 ⇔ r^3 =
4 π ⇒ r ≈ 3
4 × 3 , 1416
⇒ r ≈ 10 , 6078
r ≈ 10 , 61 m
5.2. A = 4πr^2 ≈ 4 × π × (10, 6078)^2 m^2 ≈ 1414 m^2
- r = (27 : 2) cm = 1,35 cm
6.1.
V = Vcilindro + Vcone = π × (1, 35)^2 × 1 , 4 +
× π ×
× 1 , 2 ≈ 3 , 1416 × 2 , 5515 + 0, 729 × 3 , 1416 ≈ 10 , 306
Vareia ≈ cm^3
Vsemiesfera =
×
πr^3 ≈
× 3 , 1416 × (1, 35)^3 ≈ 5 , 153
Vareia = Vsemiesfera + Vparte do cilindro
10 , 306 = 5, 153 + π × (1, 35)^2 × h ⇔ 5 , 153 = π × (1, 35)^2 × h ⇒ h ≈
3 , 1416 × (1, 35)^2
⇔ h ≈ 0 , 900
h ≈ 0 , 9 cm
7.1. A reta AD ´e estritamente paralela GHI porque os planos ADC e GHI s˜ao estritamente paralelos.
7.2. Na figura est´a representado, em esquema, o corte do modelo da figura 8 pelo plano que passa em V e nos pontos m´edios dos lados [AB ] e [DC ]. Os triˆangulos [RVS ] e [UVX ] s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo comum)
RS U X
RV
U V
U X
30 ⇔^
U X
30 ⇔^
U X
2 ⇔^ 18 = 3^ ×^ U X^ ⇔^ U X^ = 6
HI = 2 × U X = 12cm Vprisma = 18 × 2 10 × 18 cm^3 = 1620 cm^3
Vtronco =
× 18 × 18 × 45 −
× 12 × 12 × 30
cm^3 = (4860 − 1440) cm^3 = 3420 cm^3
Vcasa = (1620 + 3420) cm^3 = 5040 cm^3
P´ag. 36
- 215 : 2 = 107, Ap´otema da pirˆamide ap^2 = 143^2 + 107, 52 ap =
1432 + 107, 52 ≈ 178 , 900 m
Alateral ≈ 4 ×
215 × 178 , 9
Alateral ≈ 76 927 m^2
2.1. 360 ◦^ —– 2 × π × 8 120 ◦^ —– x
x = 120 × 16 π 360 =
16 π 3 ≈^
16 × 3 , 1416
3 ≈^16 ,^756
O arco AB tem aproximadamente 16,8 cm de comprimento. 2.2. 360 ◦^ —– π × 82 120 ◦^ —– x
x = 120 × 64 π 360
64 π 3
64 × 3 , 1416
A ´area da figura ´e aproximadamente 67,0 cm^2
3.1. Face da pirˆamide:
ap^2 + 9^2 = 25^2 ⇔ ap^2 = 625 − 81 ap> ⇔ 0 ap =
544 ⇔ ap =
16 × 34 ⇔ ap = 4
- Os triˆangulos [V ′QC] e [U P C] s˜ao semelhantes, pelo crit´erio AA (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo comum).
V ′Q V P
QC
P C
= QC
⇔ 3 × 12 = 5 × QC ⇔ QC =^36
⇔ QC = 7, 2
QB = QC − BC = 7, 2 − 2 × 3 = 1, 2
Volume do cone de raio da base: QB : V =
× π × (1, 2)^2 × 12
cm^3 = 5, 76 π cm^3
Volume do conde de raio da base: P C : V =
× π × 32 × 5 = 15π cm^3
P´ag. 38
1.1. A resposta esperada ´e sete faces. (5 faces da pirˆamide quadrangular + 4 faces da pirˆamide triangular – 2 faces que ficam sobrepostas).
1.2. O s´olido fica com cinco faces (das nove faces h´a duas que ficam sobrepostas e duas faces de um s´olido que ficam, cada uma, no mesmo plano de duas faces do outro s´olido).
2.1. VA = π × 32 × 10 ≈ 3 , 1416 × 90 ≈ 283 cm^3 VB = 5, 32 × 5 , 32 × 10 ≈ 283 cm^3 AA = (2 × π × 3 × 10 + 2 × π × 9) cm^2 = (60 × 3 , 1416 + 18 × 3 , 1416) cm^2 ≈ 245 cm^2 AB = 5, 32 × 2 + 4 × 5 , 32 × 10 cm^2 ≈ 269 cm^2
P´ag. 39
- Seja r o raio da bola. VA = πr^2 × 8 r = 8πr^3 VB = πr^2 × 4 r + 2r × 2 r × 4 r = 4πr^3 + 16r^3 = 4 (π + 4) r^3 VC = 4r × 4 r × 2 r = 32r^3
VD =
πr^3 + πr^2 × 6 r =
π + 6π
r^3
VD < VA < VB < VC
- Trigonometria no triˆangulo retˆangulo
P´ag. 42
1.1. Crit´erio AA. Os triˆangulos s˜ao semelhantes porque dois ˆangulos internos de um s˜ao iguais a dois ˆangulos internos de outro (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo igual).
1.2.
6 3
Crit´erio LLL. Os triˆangulos s˜ao semelhantes porque os comprimentos dos lados de um s˜ao diretamente pro- porcionais aos comprimentos dos lados do outro.
1.3.
8 6 =
Crit´erio LAL. Os triˆangulos s˜ao semelhantes porque os comprimentos de dois lados de um s˜ao diretamente proporcionais aos comprimentos de dois lados do outro e os ˆangulos por eles firmado em cada triˆangulo s˜ao iguais.
- Os triˆangulos [ABE ] e [ACD] s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA (s˜ao triˆangulos retˆangulos com um ˆangulo agudo comum). Logo,
DC EB
= DA
EA
= CA
BA
x 35 = y^ + 40 40
⇔ x 35
=^72
e y^ + 40 40
=^72
x = 35 ×
e y + 40 = 40 ×
x = 56 e y = 24 Resposta: (C)
A[BCD] =^4 ,^5 ×^2 2 m^2 = 4, 5 m^2
Os triˆangulos [ABE ] e [CDE ] s˜ao semelhantes pelo crit´erio AA, pois C BEˆ = E BCˆ e B AEˆ = D CBˆ. A raz˜ao de semelhan¸ca (da amplia¸c˜ao) ´e r = BEBD = 52. Ent˜ao,
A[ABE] =
× A[BCD] =
× 4 , 5 m^2 = 28, 125 m^2
Asec¸c˜ao = (4, 5 + 28, 125) m^2 = 32, 625 m^2
- Atendendo `a semelhan¸ca dos triˆangulos, temos
h 2
⇔ 4 h = 120 ⇔ h = 30
h = 30 cm
P´ag. 43 5.1. DC // AB e AB est´a contida no plano ABE. Logo, a reta DC ´e paralela ao plano ABE. Resposta: (C)
