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P´ag. 3 1.1. Se x < 2, ent˜ao 3x < 6 → Monotonia parcial da multiplica¸c˜ao. Multiplicou-se ambos os membros da desigualdade por 3.
1.2. Se x <
3, ent˜ao x − 1 <
3 − 1 → Monotonia da adi¸c˜ao Adicionou-se –1 a ambos os membros da desigualdade.
1.3. Se x < −2, ent˜ao −x > 2 → Monotonia parcial da multiplica¸c˜ao. Multiplicou-se ambos os membros da desigualdade por –1.
1.4. Se x < 2, ent˜ao − x 4 > − 12 → Monotonia parcial da multiplica¸c˜ao Multiplicou-se ambos os membros da desigualdade por − 14.
1.5. Se x > 2, ent˜ao 0 < (^1) x < (^12)
1.6. Se x < 3, ent˜ao − x 6 + 1 > 12 → Monotonia parcial da multiplica¸c˜ao e monotonia da adi¸c˜ao Multiplicou-se ambos os membros da desigualdade por − 16 e adicionou-se 1 a cada um.
1.7. Se 1 < x < 2, ent˜ao 12 < x 2 < 1 → Monotonia parcial da multiplica¸c˜ao Multiplicou-se ambos os membros da desigualdade por (^12)
1.8. Se 1 < x < 2, ent˜ao −
2 x > − 2
2 → Monotonia parcial da multiplica¸c˜ao Adicionou-se 1 a cada um dos membros da desigualdade.
1.9. Se x < −3, ent˜ao x + 1 < − 2 → Monotonia da adi¸c˜ao Adicionou-se 1 a cada um dos membros da desigualdade.
1.10. Se x + 2 > 5, ent˜ao x + 5 > 7 Se x + 2 > 5 ent˜ao x + 2 + 3 > 5 + 3, ou seja, x + 5 > 8 Se x + 5 > 8 e 8 > 7 ent˜ao x + 5 > 7 Logo, se x + 2 > 5, ent˜ao x + 5 > 7
1.11. Se x > 3, ent˜ao x^2 > 9 → Monotonia do quadrado
1.12. Se x < 3, ent˜ao x^3 < 27 → Monotonia do cubo
2.1. 3 x < 4 x porque 3 < 4 e x > 0
2.2. (^) x^3 > (^2) x porque 3 > 2 e x > 0 Logo, − (^3) x < − (^2) x
2.3. x 3 > x 4 porque 3 < 4. e x > 0
2.4. x + 1 > x − 1 porque 1 > − 1
2.5. x − 1 > x − 2 porque − 1 > − 2
2.6. 2 x > x porque 2 > 1 e x > 0 Logo, − 2 x < −x
- (^) x^2 > 27 se x ´e positivo e menor que 7. Como x ´e um n´umero inteiro, x ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
P´ag. 4
- N˜ao. Por exemplo, para x = −10 e y = −11, tem-se que
(^2) ︸ × (−︷︷10) + 1 ︸ − 21
− 14
, mas − 10 > − 11
5.1. x + 1 > 3 ⇔ x + 1 − 1 > 3 − 1 ⇔ x > 2
5.2. 4 + x < − 2 ⇔ 4 + x − 4 < − 2 − 4 ⇔ x < − 6
5.3. x− < − 2 ⇔ x − 1 + 1 < −2 + 1 ⇔ x < − 1
5.4.
2 x > 4 ⇔ 2 x ×
> 4 ×
⇔ x > 2
− 3 x < − 6 ⇔ − 3 x ×
> − 6 ×
⇔ x > 2
x 2
x 2 × (−2) > 1 × (−2) ⇔ x > − 2
x < 2 ⇔ x >
2 x
2 x
× (−2) < − 4 × (−2) ⇔
x < 8 ⇔ x >
x
x
x < 2 ⇔ x >
x
x
x
x
5 ⇔ x <
6.1. Se a < b, com a, b ∈ R+, ent˜ao a^2 < b^2 ⇔
a^2
b^2
⇔ a^4 < b^4 , pelo monotonia do quadrado.
6.2. Se a < b, com a, b ∈ R, ent˜ao a^3 < b^3 , pela monotonia do cubo.
6.3. Se a < b e c > 0, ent˜ao ac < bc, pela monotonia parcial da multiplica¸c˜ao.
6.4. Se a, b ∈ R+^ e a < b, ent˜ao a^3 , b^3 ∈ R+^ e a^3 < b^3 , pela monotonia do cubo. Logo , (^) a^13 > (^) b^13.
6.5. Se a, b ∈ R+e a < b, ent˜ao (^1) a > (^1) b. Logo − (^1) a < − (^1) b , pela monotonia parcial da multiplica¸c˜ao.
x < 3 ⇔ x 3
A afirma¸c˜ao (A) ´e verdadeira. Se x = −4, x^2 = 16 e 16 > 9. A afirma¸c˜ao (B) ´e verdadeira. x < − 3 ⇔ x^2 < 32 ⇔ x^2 < 9 se x ∈ R+ 0. A afirma¸c˜ao (C) ´e falsa x < 3 ⇔ x^2 < 33 ⇔ x^3 < 27. A afirma¸c˜ao (D) ´e verdadeira. Resposta: (C)
- Resposta: (B)
3.1. − 3 < −
A ∩ Z = {− 2 , − 1 , 0 , 1 }
3.2. A ∩ {− 3 , − 2 , 2 } = {− 2 }
3.3. (A ∩ N) ∪ { 2 } = { 1 } ∪ { 2 } = { 1 , 2 }
3.4. (A ∪ {− 3 , − 2 , 2 }) ∩ Z =
([
]
∩ Z = {− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } ∪ {− 3 , − 2 , 2 } = {− 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }
P´ag. 8
4.1.
]− 1 , 3] ∪ ]3, 4[ = ]− 1 , 4[
]1, 5[ ∪ ]4, 8] = ]1, 8]
[
[
[ 1
2 ,^1
]
= [0, 1]
[√
]
∪ [1, 2] = [1, 2]
[5, 7[ ∪ ]2, 8] = ]2, 8]
]1, 3] ∩ [3, 4] = { 3 }
[4, 10[ ∩ ]1, 6[ = [4, 6[
[0, 1[ ∩ [1, 3[ = ∅
]
[
∩ [0, 1] = [0, 1]
]
[
∪ [0, 1] =
]
[
[0, 1] ∪ ]1, +∞[ = [0, +∞[
[0, 1] ∩ ]1, +∞[ = ∅
]−∞, 3[ ∪ [1, +∞[ = ]−∞, +∞[ = R
]−∞, 3[ ∩ [1, +∞[ = [1, 3[
A reuni˜ao de intervalos ]−∞, 3] ∪ ]5, 10] n˜ao se pode simplificar.
[5, +∞[ ∩ ]−∞, 10] = [5, 10]
A ∪ B = [− 1 , +∞[
A ∩ B = [0, 1[
C ∩ D = ∅
C ∪ D = ]−∞, 0[ ∪ ]0, 2]
A ∩ D = [− 1 , 0[
A ∪ D = ]−∞, 1[
B ∩ C = ]0, 2]
B ∪ C = [0, +∞[ = R+ 0
A ∩ B ∩ C = ]0, 1[
(B ∩ C) ∪ D = ]−∞, 0[ ∪ ]0, 2]
6. A = N ∩ ]− 2 , 3[ = { 1 , 2 }
Resposta: (C)
P´ag. 9 1.1. 2 x − 3 > 3 x + 1 ⇔ 2 x − 3 x > 1 + 3 ⇔ −x > 4 ⇔ x < − 4 S = ]−∞; −4[
1.2.
2 x − 3 2 ≤ − 1 ⇔ 2 x − 3 ≤ − 2 ⇔ 2 x ≤ 1 ⇔ x ≤
S =
]
]
−3 (x − 1) ≥ 2 (2 − 3 x) + 1 ⇔ − 3 x + 3 ≥ 4 − 6 x + 1 ⇔ − 3 x + 6x ≥ 5 − 3 ⇔ 3 x ≥ 2 ⇔ x ≥
S =
[
[
x − 3 2 (×3)
(×6)
< 2 x^ + 2 3 (×2)
⇔ 3 x − 9 − 6 < 4 x + 4 ⇔ 3 x − 4 x < 4 + 15 ⇔ −x < 19 ⇔ x > − 19
S = ]−19; +∞[
4.2. − 1 ≤ 2 x − 3 ⇔ − 2 x ≤ −3 + 1 ⇔ − 2 x ≤ − 2 ⇔ x ≥ 1 x + 1 = 3x − 3 ⇔ x − 3 x = − 3 − 1 ⇔ − 2 x = − 4 ⇔ x = 2
A ∩ B = { 2 } A ∪ B = [1, +∞[
- −x +
2 > 0 ⇔ −x > −
2 ⇔ x <
Resposta: (B)
P´ag. 10
- 0 < 2 x ≤ 4 ⇔ 0 < x ≤ 2 A = ]0, 2]
− 1 < − x 2 <^0 ⇔ −^2 <^ −x <^0 ⇔^2 > x >^0 ⇔^0 < x <^2 B = ]0, 2[ B ⊂ A Resposta: (C)
- Sabemos que y ≥ 2 x e que 2x + 2y = 120 2 x + 2y = 120 ⇔ x + y = 60 ⇔ y = 60 − x Assim, tem-se: 60 − x ≥ 2 x ⇔ −x − 2 x ≥ − 60 ⇔ − 3 x ≥ − 60 ⇔ x ≤ 20 Logo, o lado menor deve medir, no m´aximo, 20 m.
- O custo, c, de uma viagem de t´axi ´e dada por c = 3, 44 + 0, 9 d, sendo d o n´umero de quil´ometros percorridos. Tem-se:
3 , 44 + 0, 9 d ≤ 20 ⇔ 0 , 9 d ≤ 20 − 3 , 44 ⇔ 0 , 9 d ≤ 16 , 56 ⇔ d ≤ 16 ,^56 0 , 9 ⇔ d ≤ 18 , 4
Com 20 pode percorrer, no m´aximo, 18,4 km numa viagem de t´axi.
9.1. Tarif´ario A: 35 + 0, 05 × 250 = 47, 5 Tarif´ario B: 20 + 0, 08 × 250 = 40 Tarif´ario C : 0 + 0, 12 × 250 = 30 O plano A ´e o mais vantajoso para quem utilizar 250 min de chamadas ´e o C.
9.2. Tarif´ario A: A (x) = 35 + 0, 05 x Tarif´ario B : B (x) = 20 + 0, 08 x Tarif´ario C : C (x) = 0, 12 x
A (x) < B (x) ⇔ 35 + 0, 05 x < 20 + 0, 08 x ⇔ 0 , 05 x − 0 , 08 x < 20 − 35 ⇔ − 0 , 03 x < − 15 ⇔ x >
⇔ x > 500
A (x) < C (x) ⇔ 35 + 0, 05 x < 0 , 12 x ⇔ 0 , 05 x − 0 , 12 x < − 35 ⇔ − 0 , 07 x < − 35 ⇔ x >
⇔ x > 500
O tarif´ario A ´e mais vantajoso do que os tarif´arios B e C a partir de 500 min de chamadas.
- 4 × 1 , 75 + 2 × 3 + 5x = 20 ⇔ 5 x = 20 − 7 − 6 ⇔ x = 1, 4 4 × 1 , 75 + 2 × 4 + 5x = 20 ⇔ 5 x = 20 − 7 − 8 ⇔ x = 1 O custo de cada quilograma de ma¸c˜as ´e superior a 1 e inferior ou igual a 1,
P´ag. 11 1.1. x + 3 > 2 x > 3 + 1 ⇔ 4 < 2 x < x + 3 ⇔ 4 < 2 x ∧ 2 x < x + 3 ⇔ x > 2 ∧ x < 3 S = ]2, 3[
x − 5 ≤ 2 x ≤ 5 ⇔ x − 5 ≤ 2 x ∧ 2 x ≤ 5 ⇔ x − 2 x ≤ 5 ∧ x ≤
⇔ −x ≤ 5 ∧ x ≤
⇔ x ≥ − 5 ∧ x ≤
S =
[
]
3 x + 1 < x + 4 ≤ 2 ⇔ 3 x + 1 < x + 4 ∧ x + 4 ≤ 2 ⇔ 3 x − x < 4 − 1 ∧ x ≤ 2 − 4 ⇔ 2 x < 3 ∧ x ≤ − 2
⇔ x <
∧ x ≤ − 2
S = ]−∞, −2]
1.4.
2 ≥ x − 7 ≥ − 3 x ⇔ − 3 x ≤ x − 7 ∧ x − 7 ≤ 2 ⇔ − 3 x − x ≤ − 7 ∧ x ≤ 9 − 4 x ≤ − 7 ∧ x ≤ 9 ⇔ x ≥
∧ x ≤ 9
S =
[
]
3 x − 4 > 5 x + 2 4 x − 4 < 2 x + 2
3 x − 5 x > 2 + 4 4 x − 2 x < 2 + 4
− 2 x > 6 2 x < 6
x < − 3 x < 3
S = ]−∞, −3[
1.6.
x + 1 ≥ 3 x − 1 ∨ − x 3 < − 1 ⇔ x − 3 x ≥ − 1 − 1 ∨ −x < − 3 ⇔ − 2 x ≥ − 2 ∨ x > 3 ⇔ x ≤ 1 ∨ x > 3
S = ]−∞, 1] ∪ ]3, ∞[
1.7.
3 x − 1 ≥ 5 ∨ − x^ + 1 2
3 ⇔ 3 x ≥ 6 ∨ −x − 1 > 6 ⇔ x ≥ 2 ∨ −x > 7 ⇔ x ≥ 2 ∨ x < − 7
S = ]−∞, −7[ ∪ [2, +∞[
1.8.{ 2 x − 1 < 3 − (1 + 2x) < (^12)
2 x < 4 − 1 − 2 x < (^12)
x < 2 − 2 x < 12 + 1^
2 x > − (^32)
x < 2 x > − (^34)
S =
]
[
2.1. 11 < P < 20
11 < 2 x + 6 < 20 Logo, 5 < 2 x < 14.
2.2. 5 < 2 x < 14
5 2 < x < 7
Logo, x ∈ { 3 , 4 , 5 , 6 }
2.2. 3 , 0 < x < 3 , 4 5 , 0 < y < 5 , 6 Logo, 8, 0 < x + y < 9 , 0 com erro inferior a 0, 2 + 0, 3 = 0, 5
- 1 , 9 < x < 2 , 1 2 , 9 < y < 3 , 1 1 , 9 × 2 , 9 < xy < 2 , 1 × 3 , 1 Logo, 5, 51 < xy < 6 , 51
- 4 , 7 < x < 5 , 3 2 , 2 < y < − 1 , 8 1 , 8 < −y < 2 , 2 4 , 7 × 1 , 8 < x × (−y) < 5 , 3 × 2 , 2 8 , 46 < x × (−y) < 11 , 66 − 11 , 66 < xy < − 8 , 46 − 11 , 66 + 10 < xy − (−10) < − 8 , 46 + 10 − 1 , 66 < xy − (−10) < 1 , 54 |− 1 , 66 | > | 1 , 54 | O erro m´aximo cometido foi 1,66.
- 3462 < 1002 × 12 < 3472 ( 346 100
Logo,
12 ∈ ]3, 46; 3, 47[
6.1. 142 < 102 × 2 < 152
Logo, 1, 4 <
6.2. 242 < 102 × 6 < 252
Logo, 2, 4 <
7. 33 < 23 × 4 < 43
Logo, √ (^34) ∈
]
[
P´ag. 14
73 < 103 ×
Como ( 7 10
= 0, 343 e
e o valor mais pr´oximo de 12 ´e 0,512, ent˜ao 3
1 2 ≈^0 ,^ 8.
9. 1 , 5 × 2 , 5 = 3, 75
A ´area do quadrado ´e 3,75 cm^2. A medida do lado do quadrado ´e
Pretende-se valores aproximados `as d´ecimas. 19 , 32 < 102 × 3 , 75 < 19 , 42 ( 19 , 3 10
Logo, 1,9 ´e um valor aproximado por defeito e 2 ´e um valor aproximado por excesso de
3 , 75 com erro inferior a 0, 1 cm = 1 mm.
- 4 < a < 7 1 < b < 5 8 < a + 4b < 27 √ (^38) < √ (^3) a + 4b < √ (^327) 2 < 3
a + 4b < 3 Logo, 3
a + 4b ≈ 3.
- 222 < 102 × 5 < 232 ( 22 10
Resposta: (C)
V =
9 × 16
A aresta dos reservat´orios c´ubicos ´e 3
16 cm. 253 < 103 × 16 < 263 ( 25 10
Para que o l´ıquido caiba nos trˆes reservat´orios, devemos tomar o valor aproximado por excesso. Logo, as arestas dos reservat´orios c´ubicos devem medir 2,6 m, aproximadamente.
P´ag. 15
1.1.
11 n˜ao ´e um n´umero irracional porque 11 n˜ao ´e um quadrado perfeito.
1.2.
− 2 , 5 = −
x = 0, (2) = 0, 222 222 2... 10 x = 2, (2) = 2, 222 222 2...
10 x − x = 2 ⇔ 9 x = 2 ⇔ x =^2 9
0 , (2) =
1.3. 11 × 10 000 = 110 000
3312 < 11 × 1002 < 3322
P´ag. 17 1.1. a) 2 cˆentimos
b) 12 cˆentimos
c) 10 —— 3, 15 —— x
x =
15 × 3 , 2
Resposta: 4,8 cˆentimos.
1.2. a) c 1 (t) = at + b
a =
c 1 = 15 + b ⇔ 2 = 15 + b ⇔ b = – 13 Logo, c 1 (t) = t – 13, t ≥ 15
b) c 2 (t) = a t + b
a =
c 2 = 1,5 × 30 + b ⇔ 12 = 45 + b ⇔ b = – 33 Logo, c 2 (t) = 1,5 t – 33, t ≥ 30
c) c 3 (t) = k × t
k =
Logo, c 3 (t) = 0,32 t, t ¿
1.3. c 1 (t) = 40 ⇔ t – 13 = 40 ⇔ t = 53 c 2 (t) = 40 ⇔ 1,5 t – 33 = 40 ⇔ 1,5 t = 73 ⇔ t = 48,
c 3 (t) = 40 ⇔ 0 , 32 t = 40 ⇔ t =
⇔ t = 125
Resposta: Tempo m´aximo t 1 : 53 s; t 2 : 48 s e t 3 : 125 s.
1.4. a)
0 , 32 t < t − 13 ∧ t > 15 ⇔ − 0 , 68 t < − 13 ∧ t > 15 ⇔ t > 13 0 , 68 ∧ t > 15 ⇔ t > 325 17 ∧ t > 15 ⇔ t ∈
]
[
Resposta: O tarif´ario t 3 ´e inferior ao tarif´ario t 1 a partir dos 20 s.
b) (t − 13 > 12 ∧ 15 < t < 30) ∨ (t − 13 > 1 , 5 t − 33 ∧ t ≥ 30) ⇔ ⇔ (t > 25 ∧ 15 < t < 30) ∨ (t − 1 , 5 t > −33 + 13 ∧ t ≥ 30) ⇔
⇔ (25 < t < 30) ∨ (− 0 , 5 t > − 20 ∧ t ≥ 30) ⇔ (25 < t < 30) ∨
t < 20 0 , 5 ∧ t ≥ 30
⇔ (25 < t < 30) ∨ (t < 40 ∧ t ≥ 30) ⇔ (25 < t < 30) ∨ (30 ≤ t < 40) ⇔ (25 < t < 40) ⇔ t ∈ ]25; 40[ Para chamadas com dura¸c˜ao entre 25 s e 40 s, o tarif´ario t 1 tem um custo superior ao tarif´ario t 2 ,
P´ag. 18 2.1. 2 x − 1 2
1 − 2 (1 − x) ⇔ 2 x^ −^1
2
1 − 2 + 2x ⇔ 2 x − 1 > −2 + 4x ⇔ 2 x − 4 x > −2 + 1 ⇔ − 2 x > − 1 ⇔ x < 1 2 Resposta: O maior n´umero inteiro ´e o 0.
2.2. a)
A ∩ B =
]
[
= B
b) A ∪ B = ]−∞, 1] = A
3.1. 2 , 0 < x < 2 , 2 ; 1, 3 < y < 1 , 7 3 , 3 < x + y < 3 , 9 Logo, 3,3 ´e um valor proximado de x + y, por defeito.
3.2. O erro m´aximo da soma x + y ´e igual `a soma dos erros das parcelas, x e y. 0 , 1 + 0, 2 = 0, 3
C =^5 9
(F − 32)
38 , 87 ◦^ < C < 356 , 58 ◦^ ⇔ 38 , 87 ◦^ <
(F − 32) < 356 , 58 ◦^ ⇔ 38 , 87 ◦^ ×
< F − 32 < 356 , 58 ◦^ ×
⇔ 38 , 87 ◦^ ×
+ 32 < F < 356 , 58 ◦^ ×
+ 32 ⇔ 101 , 97 ◦^ < F < 673 , 84 ◦
Resposta: O merc´urio mant´em-se no estado l´ıquido entre 101,97 ◦F e 673,84 ◦F.
Atriˆangulo =
CE × CD
2 =^
x × 6 2 = 3x^ =^ A^ (x)
Atrap´ezio = DA^ +^ EB 2 × AB = 6 + 6^ −^ x 2 × 6 = (12 − x) × 3 = 36 − 3 x = B (x) Resposta: A (x) = 3x; B (x) = 36 − 3 x.
5.2.
Area^ ´ triˆangulo < 1 3 × Area´ trap´ezio
3 x < 1 3 (36 − 3 x) ⇔ 3 x < 12 − x ⇔ x < 3 ⇔ x ∈ ]0, 3[
P´ag. 19
- (I) x × y = k 4 × 1 = 4 8 × 2 = 16 12 × 3 = 36 Resposta: As grandezas n˜ao s˜ao inversamente proporcionais, porque o produto das vari´aveis n˜ao ´e constante.
(II) x × y = k 1 × 8 = 8 2 × 4 = 8 5 × 1,6 = 8 Resposta: As grandezas s˜ao inversamente proporcionais e a constante de proporcionalidade ´e 8.
(III) x × y = k 1 × 4 = 4 2 × 2 = 4 1 × 3 = 3 Resposta: As grandezas n˜ao s˜ao inversamente proporcionais, porque o produto das vari´aveis n˜ao ´e constante.
(IV) x × y = k 1 × 130 = 130 2 × 65 = 130 4 × 32,5 = 130 Resposta: As grandezas s˜ao inversamente proporcionais e a constante de proporcionalidade ´e 130.
N´umero de litros 24 20 12 10 Pre¸co por litro (em euros) 0,50 0,6 1 1, k = 24 × 0 , 50 = 12 A constante ´e 12 e representa a quantia fixa, em euros, para comprar leite.
7.1. 7 dias ——— 420 euros 15 dias ——— x
x =^15 ×^420 7 = 900 euros
Resposta: O custo do arrendamento da casa de f´erias durante 15 dias ´e de 900 euros.
7.2. N.◦^ de amigos 8 12 Custo 45 30 k = 8 × 45 = 360 Resposta: Cada um pagaria 30 euros
N.◦^ cami˜oes 6 5 15 N.◦^ viagens 15 18 6
8.1. Cada cami˜ao far´a 18 viagens.
8.2. 90 : 6 = 15. Seriam necess´arios 15 cami˜oes.
P´ag. 21 1.1. Proporcionalidade direta: yx = 2 ; y = x 3.
1.2. Proporcionalidade inversa: y = (^3) x ; xy =
- (I) O gr´afico cont´em os pontos de coordenadas (4, 1) e (1, 4). Como 4 × 1 = 1 × 4 = 4, ent˜ao as grandezas x e y representadas no gr´afico podem ser inversamente propor- cionais.
(II) O gr´afico cont´em os pontos de coordenadas (5, 1) e (2, 4). Como 5 × 1 6 = 2 × 4, ent˜ao as grandezas x e y representadas no gr´afico n˜ao s˜ao inversamente proporcionais.
(III) O gr´afico cont´em os pontos de coordenadas (3, 1) e (1, 3). Como 3 × 1 = 1 × 3 = 3, ent˜ao as grandezas x e y representadas no gr´afico podem ser inversamente propor- cionais.
(IV) O gr´afico cont´em os pontos de coordenadas (2, 1) e (1, 4). Como 2 × 1 6 = 1 × 4, ent˜ao as grandezas x e y representadas no gr´afico n˜ao s˜ao inversamente proporcionais.
3.1. a)
2 × f (2) =
× 6 ⇔ 2 × f (2) = 2
Logo, f (2) = 1
b)
1 4 × f
= 2 ⇔ f
= 4 × 2
Logo,
f
3.2. A constante de proporcionalidade inversa ´e 2. Logo,
f (x) =
x
4.1. f (2) = 4. A constante de proporcionalidade inversa ´e 2 × 4 = 8. Logo,
f (x) =
x
4.2.
P : f (x) = 5 ⇔
x = 5 ⇔ x =
Q : f (6) =
A abcissa do ponto P ´e 85 e ordenada do ponto Q ´e 43.
P´ag. 22 5.1. Sabemos que: a (b + 3) = 2ab ⇔ a (b + 3) − 2 ab = 0 ⇔ a (b + 3 − 2 b) = 0 Logo, b + 3 − 2 b = 0 ⇔ −b = − 3 ⇔ b = 3
5.2. a)
2 ab → 2 × 1 2 × 3 = 3 ou a (b + 3) → 1 2
(3 + 3) =^1
× 6 = 3
A constante de proporcionalidade ´e 3.
b)
f (x) =
x
6.1.
2 ×
1 × 2 = 2 2 × 1 = 2 4 × 2 = 8
Resposta: (D).
6.2. O ponto B ´e o ponto de interse¸c˜ao dos gr´aficos de f e g. f (x) = 8 (x)
g (x) =
x
f (x) = g (x) ⇔ 8 x =
x ⇔ x^2 =
⇔ x = ±
Como x > 0, x = 12.
f
= 8 ×
= 4 ou g
1 2
= 2 × 2 = 4
Logo, B
2 ,^4
A ´area do triˆangulo ´e igual a 12. Assim, tem-se x× 2 4 = 12, sendo x a abcissa do ponto A. x × 4 2 = 12^ ⇔^2 x^ = 12^ ⇔^ x^ = 6 A abcissa do ponto A ´e 6.
- Como g ´e uma fun¸c˜ao de proporcionalidade inversa, 12 x = 12 ⇔ x = 1. Logo, P
f (1) =
2 ⇔^ a^ ×^1
2 =^1
2 ⇔^ a^ =
Assim,
f (−1) =^1 2
× (−1)^2 =^1
× 1 =^1
6.2. a)
g (x) =
1 2 x ou g (x) = 1 2 x
b)
f (x) =
x^2
P´ag. 25
1.1. Tabela A Tabela B Tabela C Tabela D 1 × 30 = 30 1 × 30 = 30 1 × 30 = 30 1 × 30 = 30 1 × 30 = 30 3 × 10 = 30 2 × 25 = 50 2 × 35 = 70 2 × 60 = 120 4 × 7,5 = 30 Resposta: A op¸c˜ao correta ´e a tabela B.
1.2.
xy = 30 ⇔ y =
x
1.3. E o gr´´ afico A, porque ´e um ramo de hip´erbole.
1.4.
5 a × k a = 30 ⇔ 5 k = 30 ⇔ k = 6
2.1. f = – 3 ⇔ a × 12 = – 3 ⇔ a = – 3 Resposta: a = – 3
2.2. f (x ) = 27 ⇔ 3 x 2 = 27 ⇔ x = ± 3 Resposta: 3
P´ag. 26
3.1. a) 48 : 4 = 12 Resposta: 12 sacos de ra¸c˜ao.
b) 12 : 4 = 3 Resposta: 3 sacos de ra¸c˜ao.
3.2. 12 × 4 = 48 ; 48 : 6 = 8 Resposta: 8 dias
4.1. Resposta: (B)
4.2. f (x) = g (x)
1 2 x =
x ⇔ x^2 = 16 ⇔ x = ±
16 ⇔ x = − 4 ∨ x = 4, x > 0
f (4) =
× 4 = 2
Resposta: Ponto de interse¸c˜ao: (4, 2).
5.1. Par´abola.
5.2. y = − 2 x^2 Resposta: (D)
5.3.
− 2 x^2 = −
⇔ x^2 =
S =
2 ,^
As solu¸c˜oes s˜ao as abcissas dos pontos de interse¸c˜ao dos gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por y = − 2 x^2 e y = − 12.
P´ag. 27 1.1. N´umero de inscri¸c˜oes (N ) 1 2 8 9 12 Custo da viagem (C ) 720 360 90 80 60
C =^720
= 720 C =^720
= 360 C =^720
= 8 C =^720
= 9 C =^720
1.2. A tabela relaciona duas grandezas inversamente proporcionais, logo N × C = 720, C = (^720) N.
1.3. C = (^720) N apenas pode estar representada no gr´afico (D). Resposta: (D)
1.4. C ≤ 28
720 N ≤^28 ⇔^28 N^ ≥^720 ⇔^ N^ ≥^
Como n ∈ N, temos N ≥ 26 Ter˜ao de se inscrever 26 colegas.
1.5. Pen´ultimo dia:
C 1 =^720 N Ultimo dia:^ ´
C 2 =
2 N
C 2
C 1
720 2 N 720 N
720 × N
2 N × 720
x =
45 × 80
= 40 min
Resposta: Levaria 40 minutos.
