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1 Trigonometria
Atividade de diagnóstico
Pág. 10
1.1. sin , cos e tan
b c b
a a c
α = α= α=
1.2. a)
sin 50 5
α = = ;
cos 50 5
α = = e
tan 40 4
α = =
b)
sin 7,5 5
cos 7,5 5
α = = e
tan 6 4
α = =
2.1. sin 25 ° = cos 90( ° − 25 °) = cos 65°
2.2. cos( a − 30 ° =) sin 90 ° − (^) ( a − 30 ° (^) ) = sin 90( ° − a + 30 ° =)
= sin 120 ( ° − a )
2 2 sin α + cos α= 1
2 2 2 2 4 2 5 sin 1 sin 1 sin 3 9 9
Como
sin 0, sin 3
sin 3 5 tan cos 2 2
3
2 2 2 2 2
sin tan 25 25 sin 25cos cos
2 2
sin α + cos α= 1 ⇔
2 2
⇔ 25cos α + cos α= 1 ⇔
2
⇔ 26cos α= 1 ⇔
cos 26
Como cos α > 0 , então
cos 26 26
α = =.
2 2 sin α=25cosα
sin 25 26 26
α = × =
Como sin α > 0 , então
sin 26 26
α = =.
2sin cos 2 26 26 26 26 26 13
α α
× ×
× = × × = = =
×
Pág. 11
5.1.
2 sin 60 ° − 2 tan 45 ° + cos 45° =
2 3 2 2 1 2 2
= − × + =
2 2 3 sin 45 ° + cos 60 ° + tan 45° = (^2 ) (^2 1 ) 1 2 2
^
2 2 1 2 2 1 2 3 1 1 2 4 4
h h h
Logo,
h =.
sin 30 1 2
AM
AC
tan 30 3 2 3 3
2
AM
MC
2 0 2 2 2,3 5, 2 32,
BC BC BC
= + ⇔ =
tan 0, 4 5, 2
sin 0, 32,
α = ≈ e
cos 0, 32,
α = ≈
8. (^) ( )
1 α tan 2 63, 4
− ≈ ≈ °
2 2 2 BC = 4 + 3
BC = 16 + 9 ⇔ BC = 5
BC = 5 cm
9.2. a) ( )
tan 4
CBA =
Logo,
tan 36, 4
CBA
− ^
b)
ACB = 90 ° − CBA ≈ 90 ° − 36,87 ° ≈ 53,1°
ACB = 90 ° − 20 ° = 70 °
10.2. tan 20 tan 20 6 tan 20 6
AC AC
AC
AB
= ° ⇔ = ° ⇔ = × °
AC ≈ 2, 2cm
cos 20 6 cos 20 cos 20
AB
BC BC
BC
= ° ⇔ = × ° ⇔ =
BC ≈ 6, 4cm
Atividade inicial 1
Pág. 12
sin 82º 81sin 82º 81
h = ⇔ h =
sin 58º sin 58º
h h a a
a sin 58º = 81sin 82º⇔
81sin 82º 94, sin 58º
⇔ a = ⇒ a ≈
A distância a percorrer entre S. Jorge e a Ilha Terceira é de
94,6 km, aproximadamente.
Pág. 14
1.1. A = 180 ° − 60 ° − 45 ° = 75 °
sin 75 sin 45 sin 60
4 b c
1.1. Resolução de triângulos
4 sin 45 2 2 2 2, sin 75 sin 75 sin 75
b
×
× °
AC ≈ 2,9cm
4 sin 60 2 3 2 3, sin 75 sin 75 sin 75
c
×
× °
AB ≈ 3,6cm
1.2. B = 180 ° − 63 ° − 82 ° = 35 °
sin82 sin 63 sin 35
16 a b
16sin 35 14, sin
a
BC ≈ 14, 4cm
16sin 35 9, sin
b
AC ≈ 9,3cm
1.3. A = 180 ° − 85 ° − 15 ° = 80 °
sin85 sin80 sin
20 a c
20 sin 80 19, sin 85
a
× °
BC ≈ 19,8cm
20 sin 5, sin
c
× °
AB ≈ 5,2cm
Pág. 15
2. (^) ( )
sin150 sin 30 sin 90 sin 180 30 1 2
sin 30 2 2 2 2
sin 20 sin135 sin 25
55 a b
55 sin 113, sin 20
a
× °
55 sin 25 68, sin 20
b
× °
Logo, AC ≈ 68,0cm e BC ≈ 113,7cm.
Pág. 17
4.1.
2 2 2 a = b + c − 2 bc cos A
2 2 2 a = 3 + 5 − 2 × 3 × 5cos 26º⇔
2 ⇔ a = 34 − 30cos 26º⇒
2 ⇒ a ≈7,
BC = a ≈ 7,0362 ≈2,
BC ≈ 2,7 cm
2 2 2 2 2 2 2,7 5 3 cos 0, 2 2 2,7 5
a c b B ac
× ×
( )
1 B cos 0,8626 30,4º
− ≈ ≈
5.1. a = 4,8; b = 6,5e c = 8
2 2 2 2 2 2 6,5 8 4,8 83, cos 2 2 6,5 8 104
b c a A bc
× ×
cos 36, 104
A
− ^
2 2 2 2 2 2 4,8 8 6,5 44, cos 2 2 4,8 8 76,
a c b B ac
× ×
cos 54, 76,
B
− ^
2 2 2 2 2 4,8 6,5 8 1, cos 2 2 4,8 6,5 62,
a b c c ab
× ×
cos 88, 62, 4
c
− ^
A ≈ 36,86 ,° B ≈ 54,32° e C ≈ 88,82°
5.2. a = 3 , b = c = 5 2 2 2 2 2 2 5 5 3 41 cos 2 2 5 5 50
b c a A bc
× ×
cos 34, 50
A
− ^
Como b = c , temos B = C.
180 34, 72, 2
B C
A ≈ 34,92 ,° B ≈ 72,54° e C ≈ 72,54°
Pág. 19
6. A = 101 ,° a = BC , b = 7 cm, c = 12 cm
2 2 2 2 2 a = b + c − 2 bc cos A = 7 + 12 − 2 × 7 × 12 × cos101° ≈
≈ 225,
a ≈ 225,056 ≈15,
BC ≈ 15,0cm
2 2 2 2 2 225,0559 12 7 cos 0, 2 2 225,0559 12
a c b B ac
× ×
( )
1 B cos 0,8889 27, − ≈ ≈ °
CBA ≈ 27,3°
7. cos120 ° − sin150 ° + cos90° =
= cos 180 ( ° − 60 ° −) sin 180( ° − 30 ° +) 0 =
cos 60 sin 30 1 2 2
Pág. 20
8.1. a = 7 cm, b = 8 cm e c = 9 cm 2 2 2 2 2 2 8 9 7 96 2 cos 2 2 8 9 144 3
b c a A bc
× ×
cos 48, 2 3
A
− ^
2 2 2 2 2 2 7 9 8 66 11 cos 2 2 7 9 126 21
a c b B ac
× ×
cos 58, 4 21
B
− ^
2 2 2 2 2 2 7 8 9 32 2 cos 2 2 7 8 112 7
a b c C ab
× ×
1.1. Resolução de triângulos
13. CBF ˆ^ = 180 ° − 90 ° − 55 ° = 35 °
BCG = CED = 70 °
(ângulos alternos internos)
ˆ BGC = 180 ° − 70 ° − 35 ° = 75 °
Aplicando a lei dos senos ao triângulo
[ BCG ], temos:
sin 75 sin 70 sin 35
10 BG CG
10sin 70 9, sin 75
BG
10sin 35 5, sin 75
CG
BG ≈ 9,7cm e CG ≈ 5,9cm
Pág. 23
Aplicando a lei dos senos ao triângulo [ DCB ]:
ˆ CBD = 180 ° − 122 ° − 35 ° = 23 °
sin 23 sin 35
14 BC
14 sin 35
sin 23
BC
× °
Aplicando a lei dos senos ao triângulo [ ADC ]:
DAC ˆ^ = 180 ° − 126 ° − 34 ° = 20 °
sin 20 sin
14 AC
14 sin 33, sin 20
AC
× °
Aplicando o Teorema de Carnot
ao triângulo [ ACB ]:
BDA = 122 ° − 34 ° = 88 °
2 2 2 AB = AC + CB − 2 AC × CB × cos88° = 2 2 ≈ 33,1157 + 20,5514 − 2 × 33,1157 × 20,5514 × cos88°
AB ≈ 1471,506 ≈ 38, 4m
A distância entre A e B é aproximadamente igual a 38,4 m.
Pág. 24
sin 63 sin
° B
7 sin 63º sin 0, 6,
B
×
Se B é um ângulo agudo,
( )
1 B sin 0,9900 81,
− ≈ ≈
Se B é um ângulo obtuso,
B ≈ 180º −81,89 ≈98,
Se B ≈ 81,89, A ≈ 180º −63º −81,89º ≈35,11º
Se B ≈ 98,11, A ≈ 180º −63º −98,11º ≈18,89º
Determinação de a = BC :
sin sin 63
A
a
sin 35,11º sin 63
a 6,
= ou
sin18,89º sin 63
a 6,
6,3 sin 35,11º 4, sin 63
a
×
ou
6,3 sin18,89º 2, sin 63
a
×
Conclusão:
BC = 4,1, A ≈ 35,1ºe B ≈ 81,9ºou
BC = 2,3, A ≈ 18,9ºe B ≈98,1º
sin 55 sin
5 4
° C
4 sin 55 sin 5
C
× °
Se C é um ângulo agudo,
( )
1 C sin 0,6553 40,
− ≈ ≈ °.
Se C é um ângulo obtuso,
C = 180 ° − 40,94 ° = 139,06°.
Se C ≈ 40,94° :
B = 180 ° − (^) ( 55 ° + 40,94 °) ≈ 84,06°
Se C ≈ 139,06° :
B = 180 ° − (^) ( 55 ° + 139,06 ° (^) )≈ 180 ° −194,06 ° < 0
B não pode ser negativo. Logo, o problema tem apenas
uma solução: B ≈ 84,06°
Determinemos b = AC :
sin 55 sin 84,06^ (^ )
5 b
°^ °
5 sin 84,06 ( ) 6, sin 55
b
× °
b ≈ 6,1; B ≈ 84,1° e C ≈ 40,9°
Pág. 25
16.1. a = 7, c = 4 e C = 12 °
sin12 sin
° A
7 sin sin 4
A
× °
Se A é agudo:
( )
1 A sin 0,36385 21,
− ≈ ≈
B ≈ 180 ° − 12 ° − 21,337 ° ≈ 146,663°
1.1. Resolução de triângulos
O desenho não está feito à escala.
sin146,663º sin
b 4
4sin146,663º 10, sin
b = ≈ °
Se A é obtuso:
A ≈ 180 ° − 21,337 ≈158,
B ≈ 180 ° − 12 ° −158,663 ° ≈9,
sin 9,337 sin
b 4
4sin 9, 3, sin
b
A = 21,3 ;° B = 146,7° e b = 10,6 ou
A = 158,7 ;° B = 9,3° e b = 3,
Também se pode usar o Teorema de Carnot. 2 2 2 c = a + b − 2 ab cos C 2 16 = 49 + b − 2 × 7 × b × cos12° ⇔ 2 ⇔ b − 14cos12 ° × b + 33 = 0 ⇒
⇒ b = 10,573 ∨ b ≈3,
Para estes valores de b , determinam-se A e B.
16.2. a = 6, c = 20 e A = 25 °
sin A sin C
a c
sin 25 sin
C
20 sin 25 sin 1, 4 6
C
×
Como sin C > 1 , o triângulo [ ABC ] não existe.
16.3. a = 8, b = 11 e A = 41 °
sin A sin B
a b
sin 41 sin
° B
11 sin 41 sin 0, 8
B
× °
Se B é agudo:
( )
1 B sin 0,90208 64, 433
− ≈ ≈ °
C ≈ 180 ° − 41 ° − 64,433 ° ≈74,
sin 74,567 sin 41
c 8
8 sin 74,567º 11, sin 41
c
×
Se B é obtuso:
B = 180 ° − 64, 433 ° = 115,567°
C = 180º −41º −115,567º = 23,433°
sin 23, 433 sin 41
c 8
8 sin 23, 433º 4, sin 41
c
×
B ≈ 64, 4 ;° C ≈ 74,6° e c = 11,8 ou
B ≈ 115,6 ; C ≈ 23, 4° e c ≈4,
16.4. b = 5, c = 3 e C = 130º
sin C sin B
c b
sin130 sin
° B
5 sin sin 1, 28 3
B
× °
Como sin B > 1 , o triângulo [ ABC ] não existe.
16.5. b = 7, c = 5 e C = 63º
sin 63 sin
° B
7sin 63 sin 1, 25 5
B
O seno de um ângulo é sempre não superior a 1.
Logo, o triângulo [ ABC ] não existe.
16.6. a = 3, b = 7 e c = 11
c ≥ a + b. Logo, o triângulo [ ABC ] não existe.
16.7. A = 110º, B = 70º e c = 10
A + B ≥ 180º. Logo, o triângulo [ ABC ] não existe.
Atividades complementares
Pág. 27
17.1. B = 180 ° − 43 ° − 55 ° = 82 °
sin82 sin 43 sin 55
10 a c
10sin 43 6, sin
a
10sin 55 8, sin
c
a ≈ 6,9cm e c ≈ 8,3cm
17.2. C = 180 ° − 62 ° − 56 ° = 62 °
sin 56 sin 62 sin 62
3 a c
3sin 62 3, 2 sin 56
a c
a = c ≈ 3, 2cm
17.3. A = 180 ° − 80 ° − 85 ° = 15 °
sin85 sin80 sin
72 b a
72sin 18, sin
a
72sin 80 71, sin
b
a ≈ 18,7cm e b ≈ 71,2cm
ACB = 17 ° − 14 ° = 3 °
CBA = 180 ° − 17 ° = 163 °
d = AC
sin 3 sin
200 d
200sin 1117 sin 3
d
A distância entre A e C é aproximadamente 1117 m.
19. c = AB = 10 m
C = 105 °
A = 2 B
A + B + C = 180 °
2 B + B + 105 ° = 180 °
3 B = 75 °
1.1. Resolução de triângulos
23.2. a = 15 cm, b = 8 cm e c = 9 cm
2 2 2
cos 2
b c a A bc
2 2 2 8 9 15
× ×
cos 123, 9
A
− ^
2 2 2 2 2 2 15 9 8 242 121 cos 2 2 15 9 270 135
a c b B ac
× ×
cos 26, 135
B
− ^
2 2 2 2 2 2 15 8 9 208 13 cos 2 2 15 8 240 15
a b c C ab
× ×
cos 29, 15
C
− ^
A ≈ 123,75 ° ; B ≈ 26,32° e C ≈ 29,93°
23.3. a = 3,3 cm ; b = 5,6 cm e c = 6,5 cm
2 2 2
cos 2
b c a A b c
× ×
2 2 2 5,6 6,5 3,
× ×
cos 30, 65
A
− ^
2 2 2 2 2 2 3,3 6,5 5,6 21,78 33 cos 2 2 3,3 6,5 42,9 65
a c b B ac
× ×
cos 59, 49 65
B
− ^
2 2 2 2 2 2 3,3 5,6 6, cos 0 2 2 3,3 5,
a b c C ab
× ×
( )
1 C cos 0 90
− = = °
A ≈ 30,51° ; B ≈ 59,49° e C = 90 °
23.4. a = 3 cm, b = 5 cm e c = 7 cm
2 2 2
cos 2
b c a A bc
2 2 2 5 7 3 65 13
× ×
cos 21, 14
A
− ^
2 2 2 2 2 2 3 7 5 33 11 cos 2 2 3 7 42 14
a c b B ac
× ×
cos 38, 21 14
B
− ^
2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 cos 2 2 3 5 30 2
a b c C ab
× ×
cos 180 60 120 2
C
− ^
A ≈ 21,79 ° ; B ≈ 38, 21 ° e C = 120 °
24.1. a = 5,2 ; b = 3,2 e c = 6 2 2 2 2 2 2 3,2 6 5,2 19, 2 1 cos 2 2 3, 2 6 38, 4 2
b c a A bc
× ×
cos 60 2
A
− ^
BAC = 60 °
sin 60 3, 2 3, 2 2 5
h = ° ⇔ h = × ⇔ h =
25.1. A = 48 ,° b = 28 cm e c = 30 cm
2 2 2 a = b + c − 2 bc cos A = 2 2 = 28 + 30 − 2 × 28 × 30 × cos 48°
≈ 559,
a ≈ 559,861 ≈23,
2 2 2 2 2 559,861 30 28 cos 0, (^2 2) 559,861 30
a c b B ac
×
( )
1 B cos 0, 476 61,
− ≈ ≈ °
2 2 2 2 2 559,861 28 30 cos 0, (^2 2) 559,861 28
a b c C ab
×
( )
1 C cos 0,335 70, 4
− ≈ ≈ °
a ≈ 23,7cm, B ≈ 61,6° e C ≈ 70,4°
25.2. C = 60 ° , a = 7,5 cm e b = 4 cm
2 2 2 c = a + b − 2 ab cos 60° =
= + − × × × =
c = 42,25 =6,
2 2 2 2 2 2 4 6,5 7,5 2 1 cos 2 2 4 6,5 52 26
b c a A bc
× ×
cos 87, 26
A
− ^
2 2 2 2 2 2 7,5 6,5 4 82,5 11 cos 2 2 7,5 6,5 97,5 13
a c b B ac
× ×
cos 32, 13
B
− ^
c = 6,5 cm ; A ≈ 87,8° e B = 32, 2°
25.3. B = 46,7 ° ; a = 3 cm e c = 11 cm
2 2 2 b = a + c − 2 ac × cos B = 2 2 = 3 + 11 − 2 × 3 × 11 × cos 46,7 ° ≈84,
1.1. Resolução de triângulos
b ≈ 84,7360 ≈9,
2 2 2 2 2 84,7360 11 3 cos 0, (^2 2) 84,7660 11
b c a A bc
×
( )
1 A cos 0,9715 13,
− ≈ ≈ °
2 2 2 2 2 3 84,7360 11 cos 0, (^2 2 3) 84,
a b c C ab
× ×
( )
1 C cos 0,4936 119,
− ≈ − ≈ °
b = 9,2 cm ; A ≈ 13,7° e C ≈ 119,6°
2 2 2 50 41 35 cos 2 50 41
× ×
cos 44 4100
α
− ^
27.1. A = 52 ,° B = 68 ° e c = 15 cm
C = 180 ° − 52 ° − 68 ° ≈ 60 °
sin 60 sin 52 sin 68
15 a b
15sin 52 13, sin 60
a
15sin 68 16, sin 60
b
C = 60 ° ; a = 13,6cm e b = 16,1 cm
27.2. B = 180 ° − 110 ° − 25 ° = 45 °
sin 45 sin110 sin 25
8 a c
8sin 10, sin 45
a
8sin 25 4, sin 45
c
B = 45 ,° a ≈ 10,6cm e c ≈ 4,8cm
27.3. A = 180 ° − 37 ° − 53 ° = 90 °
O triângulo [ ABC ] é retângulo em A.
sin 53 12
b = ° ⇔ b = 12sin 53° ⇒ b ≈9,
cos 53 ( ) 12cos 53( ) 7, 2 12
c = ° ⇔ c = ° ⇒ c ≈
A = 90 ° ; b = 9,6cm e c ≈ 7,2cm
28. CBA ˆ^ = 180 ° − 42 ° = 138 °
ACB = 42 ° − 33 ° = 9 °
sin 9 sin 33
20 BC
20sin 33
sin 9
BC
sin 42
h
BC
20sin 33 sin 42 sin 42 46, sin 9
h BC
= × ° = × ° ≈
O prédio tem 46,6 m de altura.
BC = 2 × 25 ° = 50 °
BOC^ ˆ^ = 50 °
BO = OC = 5 cm
(^2 2 ) BC = 5 + 5 − 2 × 5 × 5 × cos50° ≈17,
BC ≈ 17,8606 ≈4, 2
BC ≈ 4,2cm
Pág. 29
ADB = 58 ° − 42 ° = 16 °
Pela lei dos senos no
triângulo [ BAD ]:
sin16 sin 42
4 AD
4sin 42 9, sin
AD
Aplicando a lei dos
cossenos ao triângulo [ ACD ]:
( )
(^2 ) 2 DC ≈ 8 + 9,7103 − 2 × 8 × 9,7103 × cos58 ° ≈75,
DC ≈ 75,9591 ≈8,
O poste mede 8,72 m, aproximadamente.
1.1. Resolução de triângulos
BAC CBA
α = =
α α
2 2 2 6 5 4 45 3 cos 2 6 5 60 4
× ×
( )
cos cos cos 4
Resposta: (D)
Pág. 31
7. C = 180 ° − 35 ° − 112 ° = 33 °
sin C sin A
c a
sin 33 sin 35
100 a
100 sin 35 105, sin 33
a
× °
A distância de B a C é de 105,3 m, aproximadamente.
BCA = 180 ° − 82 ° − 84 ° = 14 °
sin14 sin 84
100 AC
= (Lei dos senos no triângulo [ ABC ])
100sin 411, sin
AC = ≈
tan 9
DC
AC
= ° (O triângulo [ ACD ] é retângulo em C .)
tan 9 411,092 tan 9 65 411,
DC
≈ ° ⇒ DC ≈ × ° ⇒ DC ≈
A torre tem 65 m de altura, aproximadamente.
9. Seja x = CD e y = CB.
2 2 2 x = 3 + 1, 4 − 2 × 3 × 1,4 × cos 60° =6,
x = 6,76 =2,
AB = 1, 4 + 2,6 = 4
2 2 2 y = 3 + 4 − 2 × 3 × 4 × cos 60 ° = 9 + 16 − 12 = 13
y = 13
CB = 13 cm
( )
(^2 2 ) 1,5 r = r + r − 2 × r × r ×cos α
2 2 2 2, 25 r = 2 r − 2 r cos α
2 2 2 2 r cos α = 2 r −2,25 r
2
2
cos 2
0, 25 1 cos cos 2 8
r
r
α
α α
11. O triângulo [ ABC ] é retângulo em C.
(^2 2 ) AC = 12 + 35
AC = 144 + 1225 = 1369 = 37
Pela lei dos cossenos, se AD = x cm: 2 2 2 37 = x + 33 − 2 x + 33 × cos 60° ⇔ 2 ⇔ x − 33 x − 280 = 0 ⇔
( ) ( )
2 33 33 4 280
x
± − − × −
⇔ x = 40 ∨ x = − 7
Como x > 0, temos AD = 40 cm.
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
Atividade inicial 2
Pág. 32
1.1. C 1.2. E 1.3. F
1.4. B 1.5. D 1.6. D
2. Rotação de centro O e amplitude 60° de sentido positivo ou
rotação de centro O e amplitude 300° de sentido negativo
Pág. 33
1.1. C
1.2. α = 90 ° ou α = − 270 °
Pág. 35
2.1. a) 225 : 45° ° = 5
Lado extremidade: OF ɺ
b) 135 : 45° ° = 3
Lado extremidade: OF ɺ
2.2. a) 1575 ° = 135 ° + 4 × 360 °
1575 360°
135 4
Lado extremidade: OD
b) − 1170 ° = − 90 ° − 3 × 360 °
1170° 360°
90° 3
Lado extremidade: OG ɺ
Pág. 37
3.1. 1170 ° = 90 ° + 3 × 360 °
O transformado do ponto A é o ponto B.
3.2. 900 ° = 180 ° + 2 × 360 °
O transformado do ponto A é o ponto D.
O transformado do ponto A é o ponto E.
3.4. − 1530 ° = − 90 ° − 4 × 360 °
O transformado do ponto A é o ponto F.
3.5. − 840 ° = − 120 ° − 2 × 360 °
O transformado do ponto A é o ponto E.
3.6. − 1080 ° = − × 3 360 °
O transformado do ponto A é o ponto A.
Pág. 38
α = BAC
( )
2 2 2 5 5 5 3 cos 2 5 5
α
× ×
cos 180 60 120 2
− ^
α = − 120 ° e α = 240 °
Pág. 40
5.1.
α é do 3.º quadrante
sin α < 0 e cos α < 0
5.2.
α é do 4.º quadrante
sin α < 0 e cos α > 0
5.3.
α é do 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
5.4.
α é do 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
6. α é do 1.º quadrante
6.1. α ∈ 1.º Q ; sin α > 0
α + 180 ° ∈ 3.º Q ; cos (^) ( α + 180 ° <) 0
sin α + cos (^) ( α+ 180 ° <) 0
O sinal é negativo.
6.2. α + 90 ° ∈2.º Q ; cos ( α + 90 ° <) 0
α − 90 ° ∈ 4.º Q ; tan ( α − 90 ° <) 0
cos (^) ( α+ 90 ° ×) tan (^) ( α− 90 °) > 0
O sinal é positivo.
1170 360
90 3
900 360
180 2
600 360
240 1
1530 360
90 4
840 360
120 2
1080 360
0 3
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
Graus Rad
270 –––– x
270 3
x = =
rad
Graus Rad
150 –––– x
150 5
x = =
rad
Graus Rad
330 –––– x
330 11
x = =
Graus Rad
450 –––– x
450 5
x = =
rad
Graus Rad
252 –––– x
252 7
x = =
Graus Rad
202,5 –––– x
202,5 9
x = =
rad
Graus Rad
337,5 –––– x
337,5 15
180 8
x = =
2
° ′^ ′′= + + = °
Graus Rad
39,375 –––– x
39,375 7
x = =
° ′^ ′′=
rad
Graus Rad
x –––– 2
3
x 120
×
rad 120 3
Graus Rad
x ––––
6
x 150
×
rad 150 6
Graus Rad
x ––––
4
x 225
×
rad 225 4
Graus Rad
x ––––
x 112,
×
rad 112, 8
Graus Rad
x –––– 8
180 8 x 458,366 24
×
0,366 24 × 60 ≈21,
0,9744 × 60 ≈ 58
8 rad ≈ 458 °21 58′^ ′′
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
Graus Rad
x ––––
7
x 205,714 29
×
0,714 29 × 60 ≈42,
0,857 × 60 ≈ 51
rad 205 42 51 7
Graus Rad
x ––––
11
x 81,818 18
×
0,818 18 × 60 ≈49,
0,0908 × 60 ≈ 5
rad ≈ 81 °49 5′^ ′′
Graus Rad
x –––– 2,
180 2, x 137,509 87
×
0,509 87 × 60 ≈30,
0,5922 × 60 ≈ 36
2,4 rad ≈ 137 °30 36′^ ′′
Pág. 46
sin 3
α = − e α ∈ 3.º Q
2 2 sin α + cos α= 1
2 (^1 ) cos 1 3
cos 1 cos 9 9
⇔ α= − ⇔ α= ⇔
cos 3
⇔ α= ±
Como α ∈ 3.º Q , cos α < 0. Logo,
cos 3
α = −.
sin 3 2 3 tan cos 2 2 3 2 2 4
α α α
×
cos 3
α = − e
tan 4
α =
cos 5
α = e α ∈ 4.º Q
2 2 sin α + cos α= 1
2 2 1 2 1 sin 1 sin 1 5 25
sin sin 25 5
⇔ α= ⇔ α= ±
Como α ∈ 4.º Q , sin α < 0. Logo,
sin 5
α = −.
tan 2 6 1
5
α
sin 5
α = − e tan α = − 2 6
tan 7
α = − e α ∈ 2.º Q
2 2
1 tan cos
α α
2
2 2
7 cos α 49 cosα
2 2
cos cos 49 625
α α
cos 25
⇔ α= ±
Como α ∈ 2.º Q , cos α < 0. Logo,
cos 25
α = −.
2 2 sin α + cos α= 1
sin 1 sin 1 625 625
α+ = ⇔ α= − ⇔
sin sin 625 25
⇔ α= ⇔ α= ±
Como α ∈ 2.º Q , sin α > 0. Logo,
sin 25
α =.
cos 25
α = − e
sin 25
α =.
Pág. 47
14. Seja α = BOP ˆ.
P ( cos α , sinα (^) )e A ( 1 , tan α)
Portanto,
sin 3
α = − e α ∈ 4.º Q.
2 2 sin α + cos α= 1
2 1 2 2 1 2 8 cos 1 cos 1 cos 3 9 9
cos 3
⇔ α= ±
Como α ∈ 4.º Q , então
cos 3
α =.
sin 3 3 2 tan cos 2 2 3 2 2 4
α α α
×
A
OC = BA =
O ponto C tem coordenadas
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
cos sin cos sin 6 3 6 6 3 3
13 12 tan tan 6 6 6
−^ −^ +^ +^ −
cos sin 2 6 3
tan 2 6
cos sin 2 6 3
tan 2 6
cos sin sin 6 3 2 3
tan (^6 )
cos sin 6 3
+^ −^ =
cos sin 6 6 3 3
cos 2 sin 2 6 3
cos sin 6 3
cos sin 6 3
2 sin 3 tan 4 3
2 sin 3 tan 4 4 3 3
2 sin 2 3 tan 4 3
2 sin 3 tan 4 3
2 sin 3 3 4
= − + × =
= − × + = − + =
Pág. 50
sin 2 sin tan tan 2 cos cos 2
θ θ θ θ θ θ
− × = × =
^
cos sin 1 sin cos
θ θ
θ θ
= × =
tan (^) ( ) sin 2
3 cos 2
α α
α
× +
tan ( ) cos tan cos
cos cos 2 2
α^ α
− × − ×
− −^ −
^
^
π^ π
sin cos cos sin 1 sin sin
− ×
Pág. 51
19.1. sin (^) ( ) cos 2sin( ) 2
α α α
= sin α + sin α − 2sinα=
19.2. tan (^) ( ) sin sin( ) 2
α α α
− × + + =
= − tan α × cos α − sinα=
sin cos sin cos
= − × − =
α α α α
= − sin α − sinα=
= − 2sin α
19.3. (^) ( )
2 2 sin sin 5 2
( )
2 2 sin sin 4 2
α α
^
( )
2 2 = cos + sin =
2 2 = cos α + sin α= 1
cos , 2 13 2
x x
sin , 13 2
x x
sin , 13 2
x x π
x x
13sin 5 tan 2
x x
^
13sin 5tan 2
x x
= − 13cos x −5 tan x
2 2 sin x + cos x = 1
2 12 2 2 144 cos 1 cos 1 13 169
x x
cos cos 169 169
⇔ x = ⇔ x = ±
Como x ∈3.º Q, então
cos 13
x = −.
sin 12 13 tan cos 5 5
13
x x x
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
= − × − − × = − = −
21. • 3sin (^2 0) ] 0 , [ 2
x x π
] [
sin 0 , 2 3
x x
] [
sin 0 , 2 3
x x
] [
cos 0 , 3
⇔ − x = ∧ x ∈ π⇔
cos , 3 2
x x π
π − x x
= − tan x −sin x
2 2 sin x + cos x = 1
2 2 2 2 4 sin 1 sin 1 3 9
x x
sin sin 9 3
⇔ x = ⇔ x = ±
Como x ∈2.º Q, temos
sin 3
x =.
tan (^2 )
3
x
22. Sendo
AOB = α,
= + α
AOC.
A ordenada de T é igual a tan 2
α
Logo, tan 2 2
α
+^ = −
sin 2 tan 2 2 2 cos 2
α
α
α
+^ = −^ ⇔^ = −^ ⇔
^
cos 2 sin
1 2 tan
tan 2
No triângulo [ OAB ], considerando [ OA ] para base, temos que
a altura é igual a sin α.
Logo, a área de [ OAB ] é
sin
A = pois OA = 1.
Determinemos sin α sabendo que
tan 2
2 2
1 tan cos
2 2 2 2
1 cos 2 cos cos 4 5
sin 1 cos 1 5 5
Como α ∈ 1.º Q ,
sin 5 5 5
α = = =.
[ ]
sin 1 5 5
α = = × = ABC
A
Atividades complementares
Pág. 54
BC = 2 × 20 ° = 40 °
ADB = 2 × 130 ° = 260 °
AC = 360 ° − (^) ( 260 ° + 40 °) = 60 °
AB = 40 ° + 60 ° = 100 °
23.1. a)
BOC = 40 °
α = 40 ° ou α = − 320 °
b)
BOA = 100 °
α = − 100 ° ou α = 260 °
23.2. Se D é imagem de B numa rotação de centro A , então
AD = AB. Logo,
AD = AB = 100 °.
Assim,
BD = 360 ° − (^) ( 100 ° + 100 °) = 160 °pelo que:
DAB = 160 : 2° = 80 °
Portanto, β = − 80 ° ou β = 280 °.
24.1. a) AOD ˆ^ = 90 ° + 30 ° + 90 °= 210 °
Lado extremidade: OD ɺ
b) AOE ˆ^ = − 30 ° − 90 ° = − 120 °
Lado extremidade:
OE
c) 330 ° = 360 ° − 30 °
ˆ AOF = 330 °
Lado extremidade:
OF
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
α pertence ao 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
Pág. 55
28.1. A ( (^) cos 45 ° , sin 45°)ou
A
M ( 1 , tan 45°)ou M ( 1 , 1)
C é a imagem de A na reflexão central de centro O.
Logo,
−^ −
C
POC = 180 ° + 45 ° = 225 °. Logo, C ( cos 225 ° , sin 225°).
Temos, portanto,
sin 225 2
° = − e
cos 225 2
POB = 180 ° − 45 ° = 135 °; B ( cos135 ° , sin135°)
( )
cos135 cos 180 45 cos 45 2
( )
sin135 sin 180 45 sin 45 2
B
POD = 360 ° − 45 ° = 315 °; D ( cos315 ° , sin 315°)
Por outro lado, D é a imagem do ponto B pela reflexão
central de centro O. Assim,
D.
Logo,
sin 315 2
° = − e
cos 2
28.5. N é a imagem de M pela reflexão de eixo Ox.
Como M (^) (1 , 1 ), então N tem coordenadas (1 , –1).
29.1. 750 ° = 30 ° + 2 × 360
750 ° = ( 30 °, 2)
sin 750 sin 30 2
cos 750 cos 2
tan 750 tan 30 3
29.2. 1140 ° = 60 ° + 3 × 360
1140 ° = ( 60 °, 3)
sin1140 sin 60 2
cos1140 cos 60 2
tan1140 ° = tan 60 ° = 3
405 ° = (^) ( 45 °, 1)
sin 405 sin 45 2
cos 405 cos 45 2
tan 405 ° = tan 45 ° = 1
30.1. 480 ° = 120 ° + 360 ° ; 480 ° = (^) ( 120 °, 1)
( )
sin 480 sin120 sin 180 60 sin 60 2
( )
cos 480 cos120 cos 180 60 cos 60 2
30.2. 870 ° = 150 ° + 2 × 360 °
870 ° = (^) ( 150 °, 2)
( )
sin870 sin150 sin 180 30 sin 30 2
( )
cos870 cos150 cos 180 30 cos 2
30.3. 1215 ° = 135 ° + 3 × 360 °
1215 ° = (^) ( 135 °, 3)
( )
sin1215 sin135 sin 180 45 sin 45 2
( )
cos1215 cos135 cos 180 45 cos 45 2
30.4. 810 ° = 90 ° + 2 × 360 °
810 ° = (^) ( 90 °, 2)
sin810 ° = sin 90 ° = 1
cos810 ° = cos90 ° = 0
Graus Rad
240 –––– x
240 4
x
rad
Graus Rad
210 –––– x
210 7
x
rad
Graus Rad
300 –––– x
300 5
180 3
x
rad
750 360 30 2
1140 360 60 3
870 360 150 2
1215 360 135 3
810 360
90 2
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
Graus Rad
315 –––– x
315 7
x
rad
Graus Rad
–288 –––– x
288 8
x
rad
Graus Rad
420 –––– x
420 7
x
rad
Graus Rad
x ––––
rad = 252°
Graus Rad
x –––– 2
− ×
x , logo
rad = –450°
Graus Rad
x –––– 8
×
x , logo
rad = 67,5°
Graus Rad
x –––– 16
− ×
x , logo
rad = – 56,25°
Graus Rad
x –––– 32
×
x , logo
rad = 16,875°
Graus Rad
x –––– 25
x 43, 2
− ×
, logo
rad = - 43,2°
ACB π −
rad = 45°
ACB rad = 45°
34. Se [ AC ] é o lado de um triângulo equilátero inscrito na
circunferência, então
AC rad.
Como
= × =
BC rad, temos que:
AB
π×
[ AB ] é o lado de um pentágono regular inscrito na
circunferência.
35.1. (^) ( ) 1 T 1 , tan α
tan α = 2
2 2
1 tan cos
α α
2 2 2
1 2 cos cos cos 5 5
α α α
Como α ∈ 1.º Q,
cos 5 5
α = =.
2 2 sin α + cos α= 1
sin 1 sin 1 sin 5 5 5
α+ = ⇔ α= − ⇔ α= ±
Como α ∈ 1.º Q , temos
sin 5 5
α = =.
sin 5
α = ,
cos 5
α = e tan α = 2
35.2. (^) ( ) 2 P cos β , sinβ
sin 4
β =
2 2 sin β + cos β= 1
