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Fun¸c˜oes (12.
o ano)
Fun¸c˜oes trigonom´etricas
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Considere as fun¸c˜oes f e g , de dom´ınio ]0,π[, definidas, respetivamente, por
f (x) = sen
3 x e por g(x) = sen x cos
2 x
Determine as coordenadas dos pontos de intersec¸c˜ao dos gr´aficos das fun¸c˜oes f e g.
Exame – 2025,
´ Ep. especial
- Seja g uma fun¸c˜ao diferenci´avel, de dom´ınio R, cuja derivada, g
′ , ´e definida por
g
′ (x) = cos(3x) +
x + 1
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
2.1. Estude a fun¸c˜ao g, no intervalo
]
π
[
, quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto
`a existˆencia de pontos de inflex˜ao.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de g tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de g tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de g.
2.2. Seja r a reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao g no ponto de abcissa 0 , e seja s uma reta perpendicular `a
reta r. Sabe-se que:
- a reta s intersecta os eixos Ox e Oy nos pontos A e B , respetivamente;
- o ponto A tem abcissa positiva;
- o triˆangulo [OAB] tem ´area igual a 12.
Determine a abcissa do ponto A.
Exame – 2025, 2.
a Fase
- Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − ∞,π], definida por
g(x) =
sen x
1 − x
se x < 0
2 sen
2 x −
3 x + 2 se 0 ≤ x ≤ π
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
3.1. Averigue se a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua em x = 0.
3.2. Estude, no intervalo ]0,π], a fun¸c˜ao g quanto a monotonia e quantoa existˆencia de extremos relativos.
Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de x para os quais a fun¸c˜ao g tem
extremos relativos.
Exame – 2025, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − 2 π, 2 π], definida por
f (x) =
1 − e
6 x
3 x
se − 2 π < x < 0
4 cos x
sen x − 2
se 0 ≤ x ≤ 2 π
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
4.1. Averigue se a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em x = 0.
4.2. Estude, no intervalo ]0, 2 π], a fun¸c˜ao f quanto a monotonia e quantoa existˆencia de extremos relativos.
Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de x para os quais a fun¸c˜ao f tem
extremos relativos.
Exame – 2024,
´ Ep. especial
- Seja g uma fun¸c˜ao diferenci´avel, de dom´ınio
]
π
π
[
, cuja derivada, g
′ , ´e dada por
g
′ (x) = cos(2x) + 2 sen x
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
5.1. Seja r a reta tangente ao gr´afico de g no ponto de abcissa 0, e seja s a reta paralela `a reta r que
intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 4.
Determine a equa¸c˜ao reduzida da reta s.
5.2. Estude a fun¸c˜ao g quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de
inflex˜ao.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de g tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de g tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de g , caso este(s) exista(m).
Exame – 2024, 1.
a Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n.
Oxy, uma semicircunferˆencia de raio 2 , e centro na origem do
referencial, e o triˆangulo is´osceles [ABC].
Sabe-se que:
- o v´ertice A pertence ao semieixo positivo Ox;
- o v´ertice B pertence ao semieixo positivo Oy;
- o v´ertice C pertence ao semieixo negativo Ox;
• AB = BC ;
- o lado [AB] ´e tangente `a semicircunferˆencia no ponto T ;
• A
OT = α, α ∈
]
o,
π
[
α
x
y
C O
T
A
B
Prove que a ´area do triˆangulo [ABC] ´e dada, em fun¸c˜ao de α, por
sen (2α)
Exame – 2023, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n.
Oxy, uma circunferˆencia de centro na origem e os pontos A, P
e Q, que pertencem `a circunferˆencia.
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (2,0);
- o ˆangulo orientado AOQ tem amplitude , α ∈
]
π,
3 π
[
- os pontos P e Q tˆem a mesma abcissa;
OP.
OQ = 3.
Determine o valor de cos(2α).
α
x
y
O A
P
Q
Exame – 2023, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio [0,π] , definida por f (x) = sen (2x)+x, e seja r a reta de equa¸c˜ao y = −x+2.
12.1. Qual das express˜oes seguintes pode definir a fun¸c˜ao derivada de f?
(A) 2 − 2 cos
2 x (B) 2 − 2 sen
2 x (C) 3 − 4 cos
2 x (D) 3 − 4 sen
2 x
12.2. Resolva este item sem recorrer `a calculadora, exceto em eventuais c´alculos num´ericos.
Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gr´afico da fun¸c˜ao f intersecta a
reta r em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo
]
π
π
[
Exame – 2023, 1.
a Fase
- Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
1 − cos x
x
se x < 0
ln
e + x se x ≥ 0
Averigue se a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em x = 0.
Exame – 2022, 2.
a Fase
- Seja g uma fun¸c˜ao deriv´avel, de dom´ınio ] − ∞,π[{ 0 }, cuja derivada, g
′ , ´e dada por
g
′ (x) =
3 e
2 x − 7 e
x se x < 0
x + 2 cos
2 x se 0 < x < π
Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Estude a fun¸c˜ao g quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de
inflex˜ao, no intervalo ]0,π[.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de g tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de g tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de g.
Exame – 2022, 2.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R \ {− 2 }, definida por
f (x) =
e
2 −x
x + 2
se x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2
sen (x − 2)
x
2 − 4
se − 2 < x < 2
Averigue, sem recorrer `a calculadora, se a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em x = 2.
Exame – 2022, 1.
a Fase
- Na figura ao lado, est´a representada a circunferˆencia trigo-
nom´etrica.
Sabe-se que:
- os pontos A, B e C pertencem `a circunferˆencia;
- o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox e o ponto B
pertence ao primeiro quadrante;
- a amplitude do ˆangulo BOC ´e igual ao dobro da amplitude
do ˆangulo AOB
- a ´area do triˆangulo [AOB] ´e igual a k
0 < k <
Mostre que a ordenada do ponto C ´e dada, em fun¸c˜ao de k, por
6 k − 32 k
3
x
y
O A
C
B
Exame – 2021, 2.
a Fase
- Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio
[
π
3 π
]
, definida por g(x) = x cos x + sen x
Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gr´afico
da fun¸c˜ao g tal que a reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao nesse ponto tem declive −
Exame – 2021, 1.
a Fase
- Considere, para um certo n´umero real positivo k, as fun¸c˜oes f e g, de dom´ınio
[
π
π
]
, definidas por
f (x) = k sen (2x) e g(x) = k cos x
Sejam, num referencial ortonormado do plano, A, B, e C os pontos de intersec¸c˜ao dos gr´aficos de f e g,
sendo A o ponto de menor abcissa e C o ponto de maior abcissa.
Sabe-se que o triˆangulo [ABC] ´e retˆangulo em B
Determine, sem recorrer `a calculadora, o valor de k
Exame – 2021, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio
]
π
[
, definida por f (x) =
e
2 x − 1
tg x
Mostre que o gr´afico da fun¸c˜ao f n˜ao tem ass´ıntotas.
Exame – 2020,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao h, de dom´ınio R , definida por h(x) =
4 + 3 cos(2x)
24.1. Qual ´e a taxa m´edia de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao h entre
π
e
7 π
(A) 1 (B)
(C) 0 (D) −
24.2. Determine, sem recorrer `a calculadora, as abcissas dos pontos do gr´afico da fun¸c˜ao h, pertencentes
ao intervalo ] − π,π[, cuja ordenada ´e 2
Exame – 2020,
´ Ep. especial
- Sejam f e g as fun¸c˜oes, de dom´ınio R, definidas, respetivamente, por f (x) = x
2 e g(x) = cos x
25.1. Qual ´e o declive da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f ◦ g no ponto de abcissa
π
(A) − 2 (B) − 1 (C) 1 (D) 2
25.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que a equa¸c˜ao f (x) = g(x) tem, pelo menos, uma
solu¸c˜ao no intervalo
]
π
[
Exame – 2020, 2.
a Fase
- Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − ∞,4[, definida por
h(x) =
1 + xe
x− 1 se x ≤ 1
x − 1
sen (x − 1)
se 1 < x < 4
Averigue, sem recorrer `a calculadora, se a fun¸c˜ao h ´e cont´ınua em x = 1.
Exame – 2020, 2.
a Fase
- Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
g(x) =
sen x
1 − e
x
se x < 0
0 se x = 0
x
2 ln x se x > 0
Resolva o item seguinte sem recorrer `a calculadora.
Averigue se a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua em x = 0
Exame – 2020, 1.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , definida em ]0,π[ por f (x) =
sen x
2 + cos x
28.1. Determine lim
x→ 0
f (π − x)
x
28.2. Estude a fun¸c˜ao f quanto `a monotonia e determine, caso existam, os extremos relativos.
Exame – 2019,
´ Ep. especial
- Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio ] − ∞,π], definida por
g(x) =
e
2 x − 1
4 x
se x < 0
2 − sen (2x)
se 0 ≤ x ≤ π
33.1. Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) A fun¸c˜ao g n˜ao tem zeros.
(B) A fun¸c˜ao g tem um ´unico zero.
(C) A fun¸c˜ao g tem exatamente dois zeros.
(D) A fun¸c˜ao g tem exatamente trˆes zeros.
33.2. Averigue se a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua no ponto 0
Justifique a sua resposta.
33.3. Estude a fun¸c˜ao g quanto `a monotonia no intervalo ]0,π] e determine, caso existam, os extremos
relativos.
Exame – 2018, 1.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao f definida em ]0,π[ por f (x) =
x
sen x
Qual das equa¸c˜oes seguintes define uma ass´ıntota do gr´afico da fun¸c˜ao f?
(A) x = 0 (B) x = π (C) x = 1 (D) x =
π
Exame – 2018, 1.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ]1 − π, + ∞[, definida por
f (x) =
2 x − 2
sen (x − 1)
se 1 − π < x < 1
2 se x = 1
e
− 2 x+
Resolva os dois itens seguintes recorrendo exclusivamente a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
35.1. Indique, justificando, se a seguinte afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou ´e falsa.
A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua a esquerda no ponto 1, mas n˜ao ´e cont´ınuaa direita nesse ponto.
35.2. Escreva a equa¸c˜ao reduzida da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto de abcissa 1 −
π
Exame – 2017,
´ Ep. especial
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, a
circunferˆencia de centro na origem e raio 1
Sabe-se que:
- o ponto A est´a no segundo quadrante e pertence `a circunferˆencia;
- o ponto D tem coordenadas (1,0)
- o ponto C pertence ao primeiro quadrante e tem abcissa igual `a do
ponto D
- o ponto B pertence ao eixo Oy e ´e tal que o segmento de reta [AB]
´e paralelo ao eixo Ox
- os ˆangulos AOC e COD s˜ao geometricamente iguais e cada um deles
tem amplitude α,
α ∈
]
π
π
[ )
C
x
y
O
α
α
A
B
D
Mostre que a ´area do triˆangulo [ABC], representado a sombreado, ´e dada por
tg α cos
2 (2α)
Exame – 2017,
´ Ep. especial
- Num jardim, uma crian¸ca est´a a andar num baloi¸co cuja cadeira est´a suspensa por duas hastes r´ıgidas.
Atr´as do baloi¸co, h´a um muro que limita esse
jardim.
A figura ao lado esquematiza a situa¸c˜ao. O ponto
P representa a posi¸c˜ao da cadeira.
Num determinado instante, em que a crian¸ca
est´a a dar balan¸co, ´e iniciada a contagem do
tempo. Doze segundos ap´os esse instante, a
crian¸ca deixa de dar balan¸co e procura parar o
baloi¸co arrastando os p´es no ch˜ao.
P
muro
solo
d(t)
haste
Admita que a distˆancia, em dec´ımetros, do ponto P ao muro, t segundos ap´os o instante inicial, ´e dada
por
d(t) =
30 + t sen (πt) se 0 ≤ t < 12
30 + 12e
12 −t sen (πt) se t ≥ 12
(o argumento da fun¸c˜ao seno est´a expresso em radianos)
Admita que, no instante em que ´e iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloi¸co est˜ao na vertical
e que a distˆancia do ponto P ao ch˜ao, nesse instante, ´e 4 dm
Treze segundos e meio ap´os o instante inicial, a distˆancia do ponto P ao ch˜ao ´e 4,2 dm
Qual ´e o comprimento da haste?
Apresente o resultado em dec´ımetros, arredondado `as unidades.
Se, em c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, duas casas decimais.
Exame – 2017, 2.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio
]
3 π
[
, definida por
f (x) =
x
2
3 π
< x < 0
ln (e
x
Estude, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das
concavidades e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao do seu gr´afico, no intervalo
]
3 π
[
Na sua resposta, indique:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de f
Exame – 2016,
´ Ep. especial
- Na figura ao lado, est´a representada uma circunferˆencia de centro
no ponto O e raio 1
Sabe-se que:
- os diˆametros [AC] e [BD] s˜ao perpendiculares;
- o ponto P pertence ao arco AB
- [P Q] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- o ponto R pertence a [OD] e ´e tal que [QR] ´e paralelo a [AC]
Seja α a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOP
α ∈
]
π
[)
Qual das seguintes express˜oes d´a a ´area do triˆangulo [P QR],
representado a sombreado, em fun¸c˜ao de α?
P
C A
B
D
O (^) α
Q R
(A)
cos(2α)
(B)
sen(2α)
(C)
cos(2α)
(D)
sen(2α)
Exame – 2016, 2.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio
]
π
[
, definida por
f (x) =
2 + sen x
cos x
se −
π
< x ≤ 0
x − ln x se x > 0
Estude, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, a fun¸c˜ao f quanto `a monotonia e
quanto `a existˆencia de extremos relativos, no intervalo
]
π
[
Exame – 2016, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados o c´ırculo trigonom´etrico e
um trap´ezio retˆangulo [OP QR]
Sabe-se que:
- o ponto P tem coordenadas (0,1)
- o ponto R pertence ao quarto quadrante e `a circunferˆencia.
Seja α a amplitude de um ˆangulo orientado cujo lado origem
´e o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade ´e a semirreta
OR
Qual das express˜oes seguintes d´a a ´area do trap´ezio [OP QR], em
fun¸c˜ao de α?
(A)
cos α
cos α
− sen α cos α
(C) cos α +
sen α cos α
(D) cos α −
sen α cos α
P
x
y
O
α
Q
R
Exame – 2016, 1.
a Fase
- Num dia de vento, s˜ao observadas oscila¸c˜oes no tabuleiro de uma ponte suspensa, constru´ıda sobre um
vale.
Mediu-se a oscila¸c˜ao do tabuleiro da ponte durante um minuto.
Admita que, durante esse minuto, a distˆancia de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale ´e dada,
em metros, por
h(t) = 20 +
2 π
cos(2πt) + t sen (2πt) (t ´e medido em minutos e pertence a [0,1])
Sejam M e m, respetivamente, o m´aximo e o m´ınimo absolutos da fun¸c˜ao h no intervalo [0,1]
A amplitude A da oscila¸c˜ao do tabuleiro da ponte, neste intervalo, ´e dada por A = M − m
Determine o valor de A, recorrendo a m´etodos anal´ıticos e utilizando a calculadora apenas para efe-
tuar eventuais c´alculos num´ericos.
Apresente o resultado em metros.
Exame – 2016, 1.
a Fase
- Seja a um n´umero real.
Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por f (x) = a sen x
Seja r a reta tangente ao gr´afico de f no ponto de abcissa
2 π
Sabe-se que a inclina¸c˜ao da reta r ´e igual a
π
radianos.
Determine o valor de a
Exame – 2015,
´ Ep. especial
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por f (x) = 3 sen
2 (x)
Qual das express˜oes seguintes define a fun¸c˜ao f
′′ , segunda derivada de f?
(A) 6 sen (2x) cos(x) (B) 6 sen (x) cos(2x) (C) 6 cos(2x) (D) 6 sen (2x)
Exame – 2015, 2.
a Fase
- Sejam f e g as fun¸c˜oes, de dom´ınio R, definidas, respetivamente, por
f (x) = 1 − cos(3x) e g(x) = sen (3x)
Seja a um n´umero real pertencente ao intervalo
]
π
π
[
Considere as retas r e s tais que:
- a reta r ´e tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto de abcissa a
- a reta s ´e tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao g no ponto de abcissa a +
π
Sabe-se que as retas r e s s˜ao perpendiculares.
Mostre que sen (3a) = −
Exame – 2015, 1.
a Fase
- Considere, para um certo n´umero real k, a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ] − ∞,e[, definida por
f (x) =
xe
x− 2 se x ≤ 2
sen (2 − x)
x
2
Determine k, de modo que a fun¸c˜ao f seja cont´ınua em x = 2, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem
utilizar a calculadora.
Exame – 2014,
´ Ep. especial
- Na figura ao lado, est˜ao representadas, num referencial
o.n. xOy, a circunferˆencia de centro O e a reta r
Sabe-se que:
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
- o ponto B tem coordenadas (0,1)
- a reta r ´e tangente `a circunferˆencia no ponto B
- o ponto C ´e o ponto de interse¸c˜ao da reta r com a
semirreta
OA
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOB,
com α ∈
]
π
[
B
O
x
y
r
α
C
A
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de α, a ´area da regi˜ao a sombreado?
(A)
sen α − α
(B)
tg α − α
(C)
tg α
(D)
α
Exame – 2014,
´ Ep. especial
- Considere, para um certo n´umero real k, a fun¸c˜ao f , cont´ınua em
[
π
π
]
, definida por
f (x) =
cos x
x −
π
se
π
≤ x <
π
k − 3 se x =
π
Qual ´e o valor de k?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
Exame – 2014, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um pent´agono regular [ABCDE]
Sabe-se que AB = 1
Mostre que
AB.
AD
AD
= 1 − 2 sen
2
π
Nota:
AB.
AD designa o produto escalar do vetor
AB pelo vetor
−−→
AD
E
A B
C
D
Exame – 2014, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados uma circunferˆencia de centro O
e raio 2 e os pontos P , Q, R e S
Sabe-se que:
- os pontos P , Q, R e S pertencem `a circunferˆencia;
- [P R] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
• P Q = P S
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo QP R
- α ∈
]
π
[
- A(α) a ´e a ´area do quadril´atero [P QRS], em fun¸c˜ao de α
α
R
P
Q S
O
Para um certo n´umero real θ, com θ ∈
]
π
[
, tem-se que tg θ = 2
Determine o valor exato de A(θ), recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Comece por mostrar que A(α) = 16 sen α cos α
Exame – 2014, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est´a representada uma planifica¸c˜ao
de uma pirˆamide quadrangular regular cujas arestas
laterais medem 4
Seja α a amplitude, em radianos, do ˆangulo
F SE
α ∈
]
π
,π
[ )
A aresta da base da pirˆamide e, consequente-
mente, a ´area de cada uma das faces laterais variam
em fun¸c˜ao de α
Mostre que a ´area lateral da pirˆamide ´e dada,
em fun¸c˜ao de α, por −32 cos α
Sugest˜ao – Comece por exprimir a ´area de uma face lateral
em fun¸c˜ao da amplitude do ˆangulo F SP , que poder´a designar
por β
P S
α
F
E
H
G
R
Q
Teste Interm´edio 12.
o ano – 30.04.
- Na figura ao lado, est˜ao re-
presentados a circunferˆencia
de centro no ponto C e
de raio 1, a semirreta
CB,
a reta AD e o triˆangulo
[ACE]
Sabe-se que:
E B D C
A
x
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
- os pontos D e E pertencem `a semirreta
CB
- a reta AD ´e perpendicular `a semirreta
CB
- o ponto A desloca-se sobre a circunferˆencia, e os pontos D e E acompanham esse movimento de
modo que DE = 6
- x ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo ACB
- x ∈
]
π
[
61.1. Mostre que a ´area do triˆangulo [ACE] ´e dada, em fun¸c˜ao de x, por f (x) = 3 sen x +
sen (2x)
61.2. Mostre, sem resolver a equa¸c˜ao, que f (x) = 2 tem, pelo menos, uma solu¸c˜ao em
]
π
π
[
Exame – 2013,
´ Ep. especial
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por
f (x) =
xe
3+x
x + sen (x − 1)
1 − x
se x > 1
Averigue, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, se a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em x = 1.
Exame – 2013, 2.
a Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, o
triˆangulo [OAB] e a reta r
Sabe-se que:
- a reta r ´e definida por x = − 3
- o ponto A pertence `a reta r e tem ordenada positiva;
- o ponto B ´e o sim´etrico do ponto A em rela¸c˜ao ao eixo Ox
- α ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo cujo lado origem ´e o
semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade ´e a semirreta
OA
]
π
, π
[
- a fun¸c˜ao P , de dom´ınio
]
π
, π
[
, ´e definida por
P (x) = −6 tg x −
cos x
63.1. Mostre que o per´ımetro do triˆangulo [OAB] ´e dado, em fun¸c˜ao de
α, por P (α)
63.2. Determine o declive da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao P no
ponto de abcissa
5 π
, sem utilizar a calculadora.
y
O
r
B
A
x
α
Exame – 2013, 2.
a Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R \ 0 , definida por f (x) =
sen (−x)
x
Considere a sucess˜ao de n´umeros reais (xn) tal que xn =
n
Qual ´e o valor de lim f (xn)?
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) +∞
Exame – 2013, 1.
a Fase
- Considere a fun¸c˜ao g, de dom´ınio
]
π
[
, definida por g(x) = sen (2x) − cos x
Seja a um n´umero real do dom´ınio de g
A reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao g no ponto de abcissa a ´e paralela `a reta de equa¸c˜ao y =
x
Determine o valor de a, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2013, 1.
a Fase
