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Fun¸c˜oes (12.o^ ano)
Fun¸c˜oes trigonom´etricas (resolu¸c˜ao gr´afica)
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Uma empresa que fabrica suspens˜oes para ve´ıculos est´a a testar a elasticidade nas vibra¸c˜oes verticais de um certo tipo de mola.
Num dos testes, fixou-se uma das extremidades de uma mola numa bancada, e a extremidade livre foi alongada alguns cent´ımetros acima da posi¸c˜ao de equil´ıbrio, tendo sido depois solta (figura ao lado).
Admita que a mola oscila numa trajet´oria verti- cal e que o deslocamento, y, em cent´ımetros, da extremidade livre da mola, em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao de equil´ıbrio, no primeiro segundo, ´e dado, em cada instante t, em segundos, por
y(t) = 7, 5 e−^1 ,^5 t^ sen (8, 6 t + 1,6)
(o argumento da fun¸c˜ao seno est´a expresso em radia- nos).
de equil´ıbrio
posi¸c˜ao
Existem trˆes instantes em que a extremidade livre da mola est´a meio cent´ımetro abaixo da posi¸c˜ao de equil´ıbrio.
Determine, recorrendo `a calculadora, o primeiro desses instantes.
Apresente o resultado arredondado `as cent´esimas de segundo.
N˜ao justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equa¸c˜ao que lhe permita resolver o problema;
- represente, num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equa¸c˜ao.
Exame – 2024, 2.a^ Fase
- Na figura seguinte, est´a representada uma caixa que vai ser puxada ao longo de um plano horizontal, com recurso a uma haste r´ıgida. Nesta figura, o segmento de reta [AB] repre- senta a haste r´ıgida, o ponto A representa o ponto em que a haste est´a fixada `a caixa, e o ponto B representa o ponto em que vai ser exercida a for¸ca que permite deslocar a caixa.
Seja θ a amplitude, em radianos, do ˆangulo que a for¸( ca faz com a horizontal θ ∈
[
π 2
[)
A
θ A
B
Admita que, para cada valor de θ, a intensidade m´ınima da for¸ca a aplicar no ponto B, para que se inicie o movimento da caixa, ´e dada, em newton, por
F (θ) =
5 sen θ + 12 cos θ
Existem dois valores distintos de θ aos quais corresponde a mesma intensidade m´ınima da for¸ca, em newton, a aplicar no ponto B , para que se inicie o movimento da caixa.
Sabe-se que um desses valores ´e o dobro do outro.
Seja θ 1 o menor desses valores
θ 1 ∈
]
π 4
[)
Determine, recorrendo `a calculadora, o valor de θ 1.
Apresente o resultado em radianos, arredondado `as cent´esimas. N˜ao justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equa¸c˜ao que lhe permita resolver o problema;
- represente, num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equa¸c˜ao.
Exame – 2024, 1.a^ Fase
- O mecanismo de manivela-biela ´e composto por uma manivela de comprimento fixo, que efetua um mo- vimento de rota¸c˜ao (sempre no mesmo sentido), e por uma biela, tamb´em de comprimento fixo, que transforma esse movimento de rota¸c˜ao no movimento alternado de transla¸c˜ao de um pist˜ao.
Na figura seguinte, est´a representado esse mecanismo.
manivela
biela
pist˜ao
Na figura seguinte, est´a representado um esquema do mecanismo descrito.
Relativamente a esta figura, sabe-se que:
- o ponto P representa o pist˜ao;
- o segmento de reta [OM ] representa a manivela, que tem 1 cm de comprimento;
- o segmento de reta [M P ] representa a biela;
- os pontos A e B s˜ao os pontos em que a distˆancia do pist˜ao ao centro de rota¸c˜ao da manivela, O, ´e m´ınima e m´axima, respetivamente;
- os pontos O, A, P e B s˜ao colineares.
M
O
d
A P B
Sabe-se que o movimento de rota¸c˜ao da manivela se inicia quando o pist˜ao se encontra na posi¸c˜ao B e que a manivela descreve voltas completas a uma frequˆencia angular constante.
Admita que a fun¸c˜ao que d´a, em cent´ımetros, a distˆancia do pist˜ao ao ponto O, em fun¸c˜ao do tempo, t, em segundos, contado a partir do instante em que ´e iniciado o movimento, ´e dada por
d(t) = cos t +
9 − sen^2 t , t ≥ 0
(o argumento das fun¸c˜oes seno e cosseno est´a expresso em radianos)
4.1. Qual ´e, em cent´ımetros, o comprimento da biela neste mecanismo?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4.2. Durante os primeiros cinco segundos, ap´os o in´ıcio do movimento, registou-se, num certo instante t 0 , a distˆancia do pist˜ao ao ponto O
Sabe-se que, dois segundos ap´os esse instante, a distˆancia do pist˜ao ao ponto O diminuiu 25%.
Determine, recorrendo as capacidades gr´aficas da calculadora, a distˆancia, em cent´ımetros, arre- dondadaas d´ecimas, do pist˜ao ao ponto O no instante t 0 , sabendo-se que este valor existe e ´e ´unico.
N˜ao justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- apresente uma equa¸c˜ao que lhe permita resolver o problema;
- reproduza, num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equa¸c˜ao e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arre- dondadas `as cent´esimas;
- apresente o valor pedido em cent´ımetros, arredondado `as d´ecimas. Se, nos c´alculos interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, duas casas decimais.
Exame – 2020, 1.a^ Fase
- O planeta Merc´urio descreve uma ´orbita el´ıptica em torno do Sol. Na figura ao lado, est´a representado um esquema de uma parte dessa ´orbita.
Relativamente a esta figura, tem-se que:
- o ponto S representa o Sol;
- o ponto M representa o planeta Merc´urio;
- o ponto A representa o af´elio, que ´e o ponto da ´orbita mais afastado do Sol;
- x ´e a amplitude do ˆangulo ASM , compreendida entre 0 e 180 graus.
A
M
S
x
Admita que a distˆancia, d, em milh˜oes de quil´ometros, do planeta Merc´urio ao Sol ´e dada, em fun¸c˜ao de x, por d =
10 − 2 ,06 cos x Seja α a amplitude do ˆangulo ASM , num certo instante (α est´a compreendido entre 0 e 20 graus). Nesse instante, o planeta Merc´urio encontra-se a uma certa distˆancia do Sol. Passado algum tempo, a amplitude do ˆangulo ASM ´e trˆes vezes maior e a distˆancia do planeta Merc´urio ao Sol diminuiu 3%.
Determine, recorrendo `as capacidades gr´aficas da calculadora, o valor de α, sabendo-se que esse valor existe e ´e ´unico.
N˜ao justifique a validade do resultado obtido na calculadora.
Na sua resposta:
- equacione o problema;
- reproduza, num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equa¸c˜ao;
- apresente o valor de α em graus, arredondado `as unidades.
Exame – 2018, 2.a^ Fase
- A primeira derivada de uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio
]
π 2
[
, ´e dada por f ′(x) = 3x − tg x
Sabe-se que o gr´afico de f tem um ´unico ponto de inflex˜ao.
Qual ´e a abcissa desse ponto, arredondada `as cent´esimas?
(A) 0 , 84 (B) 0 , 88 (C) 0 , 92 (D) 0 , 96 Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Num dia de vento, s˜ao observadas oscila¸c˜oes no tabuleiro de uma ponte suspensa, constru´ıda sobre um vale. Mediu-se a oscila¸c˜ao do tabuleiro da ponte durante um minuto. Admita que, durante esse minuto, a distˆancia de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale ´e dada, em metros, por
h(t) = 20 +
2 π
cos(2πt) + t sen (2πt) (t ´e medido em minutos e pertence a [0,1])
Em [0,1], o conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao h(t) < 19 ,5 ´e um intervalo da forma ]a,b[ Determine o valor de b − a arredondado as cent´esimas, recorrendoa calculadora gr´afica, e interprete o resultado obtido no contexto da situa¸c˜ao descrita.
Na sua resposta:
- reproduza o gr´afico da fun¸c˜ao h visualizado na calculadora (sugere-se que, na janela de visualiza¸c˜ao, considere y ∈ [19,21]);
- apresente o valor de a e o valor de b arredondados `as mil´esimas;
- apresente o valor de b − a arredondado `as cent´esimas;
- interprete o valor obtido no contexto da situa¸c˜ao descrita.
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ]0,π[ definida por f (x) = ln x + cos x − 1 Sabe-se que:
- A ´e um ponto do gr´afico de f
- a reta tangente ao gr´afico de f , no ponto A, tem inclina¸c˜ao
π 4
radianos.
Determine a abcissa do ponto A, recorrendo `a calculadora gr´afica. Na sua resposta, deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir o gr´afico da fun¸c˜ao ou os gr´aficos das fun¸c˜oes que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
- indicar a abcissa do ponto A com arredondamento `as cent´esimas.
Exame – 2013, Ep. especial´
- De duas fun¸c˜oes f e g sabe-se que:
- f tem dom´ınio R e ´e definida por f (x) = π − 4 sen (5x)
- g tem dom´ınio
]
2 π 3
π 3
[
, e g′, primeira derivada de g, tem dom´ınio,
]
2 π 3
π 3
[
; e ´e definida
por g′(x) = log 2
π 6
− x
Seja h a fun¸c˜ao, de dom´ınio
]
2 π 3
π 3
[
, definida por h(x) = f (x) − g(x) O ponto A pertence ao gr´afico da fun¸c˜ao h Sabe-se que a reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao h no ponto A ´e paralela ao eixo Ox Recorrendo `as capacidades gr´aficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A. Na sua resposta, deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir o gr´afico da fun¸c˜ao, ou os gr´aficos das fun¸c˜oes, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
- indicar a abcissa do ponto com arredondamento `as d´ecimas.
Exame – 2011, Ep. especial´
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio
]
π 2
[
,definida por f (x) = e^2 x^ + cos x − 2 x^2 Sabe-se que:
- B ´e um ponto do gr´afico de f
- a reta de equa¸c˜ao y = 8x ´e paralela `a reta tangente ao gr´afico de f no ponto B
Determine, recorrendo `a calculadora gr´afica, a abcissa do ponto B
Na sua resposta, deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir o gr´afico da fun¸c˜ao, ou os gr´aficos das fun¸c˜oes, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
- indicar a abcissa do ponto B com arredondamento `as cent´esimas.
Exame – 2011, 2.a^ Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ]0,3[ definida por f (x) = x ln x + sen (2x) O ponto A pertence ao gr´afico da fun¸c˜ao f Sabe-se que a reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto A tem declive 3
Determine a abcissa do ponto A Na resolu¸c˜ao deste item deve:
- traduzir o problema por uma equa¸c˜ao;
- resolver graficamente essa equa¸c˜ao, recorrendo `a calculadora;
- indicar o valor pedido arredondado `as cent´esimas.
Deve reproduzir e identificar o gr´afico, ou os gr´aficos, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gr´afico(s), o(s) ponto(s) relevante(s).
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 26.05.
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio ]0,π[, definida por f (x) = ln x × cos x Sabe-se que:
- O ´e a origem do referencial;
- A ´e o ponto de intersec¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f com o eixo Ox, que se situa mais pr´oximo da origem O;
- B ´e o ponto de intersec¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f com a reta bissetriz dos quadrantes pares.
Determine a ´area do triˆangulo [OAB], recorrendo `as capacidades gr´aficas da sua calculadora.
Na sua resposta, deve:
- reproduzir o gr´afico da fun¸c˜ao, ou os gr´aficos das fun¸c˜oes, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
- indicar as coordenadas dos pontos A e B, arredondando `as mil´esimas as coordenadas do ponto B;
- desenhar o triˆangulo [OAB], assinalando os pontos que representam os seus v´ertices;
- apresentar o resultado pedido, com arredondamento `as cent´esimas
Exame – 2010, Ep. especial´
- Considere a fun¸c˜ao g, definida no intervalo ]1,7[ por g(x) = sen x + ln x x
(ln designa logaritmo na base e) Recorrendo as capacidades gr´aficas da calculadora, visualize o gr´afico da fun¸c˜ao g e reproduza-o na sua folha de prova. Com base nesse gr´afico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinte problema: Seja a fun¸c˜ao g′^ derivada de g. O conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao g′(x) < 0 ´e um intervalo aberto ]a,b[. Determine os valores de a e de b. Apresente os resultados arredondadosas cent´esimas. Justifique a sua resposta. Exame – 2007, 2.a^ Fase
- Como sabe, a Terra descreve uma ´orbita el´ıptica em torno do Sol. Na figura est´a representado um esquema dessa ´orbita. Est´a assinalado o peri´elio, o ponto da ´orbita da Terra mais pr´oximo do Sol. Na figura est´a assinalado um ˆangulo de amplitude x radi- anos (x ∈ [0, 2 π[). Este ˆangulo tem o seu v´ertice no Sol, o seu lado origem passa no peri´elio e o seu lado extremidade passa na Terra. A distˆancia d, em milh˜oes de quil´ometros, da Terra ao Sol, ´e (aproximadamente) dada, em fun¸c˜ao de x por d = 149,6(1 − 0 ,0167 cos x).
Sabe-se que x verifica a rela¸c˜ao
2 πt T
= x − 0 ,0167 sen x em que:
- t ´e o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo peri´elio at´e ao instante em que atinge a posi¸c˜ao correspondente ao ˆangulo x;
- T ´e o tempo que a Terra demora a descrever uma ´orbita completa (365,24 dias).
Sabe-se que a ´ultima passagem da Terra pelo peri´elio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de Janeiro. Determine a distˆancia a que a Terra se encontrava do Sol, a mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o resultado em milh˜oes de quil´ometros, arredondadoas d´ecimas. Nos valores interm´edios, utilize, no m´ınimo, quatro casas decimais. Nota: a resolu¸c˜ao desta quest˜ao envolve uma equa¸c˜ao que deve ser resolvida graficamente, com recurso `a calculadora; os apresente todos elementos recolhidos na utiliza¸c˜ao da calculadora, nomeadamente o gr´afico, ou gr´aficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s).
Exame – 2006, 2.a^ Fase
- Considere a fun¸c˜ao f definida no intervalo [1,2] por f (x) = cos(x − 1) + ln x (ln designa logaritmo de base e). Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a fun¸c˜ao g, definida no intervalo [1,2] por g(x) = a.f (x) + b tem por contradom´ınio o intervalo [4,5]. Utilizando as capacidades gr´aficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b, arredondados `as cent´esimas. Explique como procedeu. Na sua explica¸c˜ao, deve incluir o gr´afico, ou gr´aficos, que tenha visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos. Sempre que, em valores interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve um m´ınimo de trˆes casas decimais.
Exame – 2006, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representadas uma semirreta AB˙ e uma circunferˆencia de centro O e de raio 1 (os pontos O, A e B s˜ao colineares; o ponto A pertence `a circunferˆencia.
Considere que o ponto P se desloca ao longo da semirreta AB˙ , nunca coincidindo com o ponto A. Os pontos R e S acompanham o movimento do ponto P , de tal forma que as retas P R e P S s˜ao sempre tangentes `a circunferˆencia, nos pontos R e S, respetivamente. Seja α a amplitude, em radianos, do ˆangulo SOR (α ∈]0,π[).
A
O
P
B
R
S
α
A ´area do quadril´atero [ORP S] ´e dada, em fun¸c˜ao de α, por f (α) = tg
( (^) α 2
Recorra `a calculadora para determinar graficamente a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao que lhe permite resolver o seguinte problema:
Qual ´e o valor de α, para o qual a ´area do quadril´atero [ORP S] ´e igual `a ´area da regi˜ao sombreada?
Apresente todos os elementos recolhidos na utiliza¸c˜ao da calculadora, nomeadamente o gr´afico, ou gr´aficos, obtido(s), bem como as coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedido na forma de d´ızima, arredondado `as d´ecimas.
Exame – 2005, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Na figura ao lado est´a representada uma circunferˆencia com centro no ponto O e raio 3. Os diˆametros [EF ] e [GH] s˜ao perpendiculares.
Considere que o ponto B se desloca sobre o arco F G. Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B, de tal forma que:
- as cordas [AB] e [CD] permanecem paralelas a [EF ];
- [AD] e [BC] s˜ao sempre diˆametros da circunferˆencia Os pontos I e J tamb´em acompanham o mesmo movimento, de tal forma que s˜ao sempre os pontos de interse¸c˜ao de [GH] com [AB] e [CD], respetivamente.
E F
G
H
A
C
B
D
O
I
J
x
Para cada posi¸c˜ao do ponto B, seja x a amplitude, em radianos, do ˆangulo F OB,
x ∈
[
π 2
])
e a a ´area da regi˜ao sombreada ´e dada, em fun¸c˜ao de x por A(x) = 18(x + sen x. cos x)
Recorra a calculadora para determinar graficamente a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual ´e o valor de x para o qual a ´area da regi˜ao sombreada ´e igual a metade da ´area do c´ırculo? Apresente todos os elementos recolhidos na utiliza¸c˜ao da calculadora, nomeadamente obtido(s), bem como coordenadas relevantes o gr´afico, ou gr´aficos, de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de d´ızima, arredondadoas cent´esimas.
Exame – 2005, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- A Rita est´a a participar num concurso de papagaios de papel. No regulamento do concurso, est˜ao as condi¸c˜oes de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir:
Ap´os um certo instante, indicado pelo j´uri:
- o papagaio n˜ao pode permanecer no ar mais do que um minuto;
- o papagaio tem de permanecer no ar, pelo menos doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros;
- o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura.
Admita que a distˆancia, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos ap´os o instante indicado pelo j´uri, ´e dada por d(t) = 9,5 + 7 sen
t^2 200
t 4
(os argumentos das fun¸c˜oes seno e co-seno est˜ao expressos em radianos).
Note-se que, a partir do momento em que o papagaio atinge o solo, a distˆancia do papagaio ao solo deixa de ser dada pela express˜ao, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero.
Dever´a a Rita ser apurada para a final?
Utilize a calculadora para investigar esta quest˜ao. Numa pequena composi¸c˜ao, com cerca de dez li- nhas, explicite as conclus˜oes a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utiliza¸c˜ao da calculadora: gr´aficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas `as d´ecimas).
Exame – 2003, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- Na figura ao lado est´a representado a sombreado um pol´ıgono [ABEG]. Tem-se que:
- [ABF G]´e um quadrado de lado 2
- F D ´e um arco de circunferˆencia de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em con- sequˆencia, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] ⊥ [BD]
- x designa a amplitude, em radianos, do ˆangulo CBE
x ∈
[
π 2
]) A
G
C
F
B D
x
E
Sabendo que a ´area do pol´ıgono [ABEG] ´e dada, em fun¸c˜ao de x, por A(x) = 2(1 + sen x + cos x), recorra a calculadora para determinar graficamente as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais s˜ao os valores de x para os quais a ´area do pol´ıgono [ABEG] ´e 4 , 3? Apresente todos os elementos recolhidos na utiliza¸c˜ao da calculadora, nomeadamente o gr´afico, ou gr´aficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de d´ızima, arredondadosas d´ecimas.
Exame – 2003, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 435)
- Considere as fun¸c˜oes f e g de dom´ınio R, definidas por
f (x) =
- 2e^1 −x^ g(x) = 2 sen x − cos x
Recorrendo `a calculadora, determine as solu¸c˜oes inteiras da inequa¸c˜ao f (x) > g(x), no intervalo de [0, 2 π].Explique como procedeu.
Exame – 2002, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- De uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio [−π,π], sabe-se que a sua derivada f ′^ est´a definida igualmente no intervalo [−π,π] e ´e dada por f ′(x) = x + 2 cos x O gr´afico de f cont´em um ´unico ponto onde a reta tangente ´e paralela ao eixo Ox. Recorrendo
a sua calculadora, determine um valor arredondadoas cent´esimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu.
Exame – 2002, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 435)
- Considere a fun¸c˜ao, de dom´ınio R+, definida por f (x) = x + sen π x Recorrendo `as capacidades gr´aficas da sua calculadora, determine o n´umero de zeros da fun¸c˜ao f , no intervalo
[
[
Explique como procedeu, apresentando o gr´afico, ou gr´aficos, em que se baseou para dar a sua resposta.
Exame – 2001, Prova para militares (c´od. 435)
- Admita que, num dia de Ver˜ao, a temperatura da ´agua de um lago, em graus cent´ıgrados, pode ser dada, aproximadamente, por f (t) = 17 + 4 cos
[
π(t + 7) 12
]
onde t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia. (Considere que o argumento da fun¸c˜ao cosseno est´a expresso em radianos.) Numa pequena composi¸c˜ao, com cerca de quinze linhas, indique como varia a temperatura da ´agua do lago, ao longo do dia. N˜ao deixe de referir os seguintes aspetos:
- quando ´e que a temperatura aumenta, e quando ´e que diminui;
- a que horas ´e que a temperatura ´e m´axima, e qual ´e o valor desse m´aximo;
- a que horas ´e que a temperatura ´e m´ınima, e qual ´e o valor desse m´ınimo;
- as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho s´o ´e realmente bom se a temperatura da ´agua n˜ao for inferior a 19 graus.
Utilize a calculadora, se considerar que lhe pode ser ´util. Se o desejar, pode enriquecer a sua composi¸c˜ao com o tra¸cado de um ou mais gr´aficos.
Exame – 2001, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Considere a fun¸c˜ao f de dom´ınio R definida por f (x) = 2x − cos x
Na figura ao lado est˜ao representadas:
- parte do gr´afico da fun¸c˜ao f
- parte de uma reta r, cuja inclina¸c˜ao ´e 45o, que cont´em o ponto A(− 3 ,0) e que interseta o gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto B Recorrendo
a sua calculadora, determine a ´area do triˆangulo [AOB], onde O designa a origem do referencial. Apresente o resultado arredondadoas unidades.
Nota: sempre que, nos valores interm´edios, proceder a arredondamentos, conserve, no m´ınimo, uma casa decimal.
x
y
f r
A
B
Exame – 2000, 2.a^ fase (c´od. 435)
- Um sat´elite S tem uma ´orbita el´ıptica em torno da Terra, tal como se representa na figura ao lado. Tenha em aten¸c˜ao que os elementos nela desenhados n˜ao est˜ao na mesma escala. Na elipse est˜ao assinalados dois pontos:
- o apogeu, que ´e o ponto da ´orbita mais afastado do centro da Terra;
- o perigeu, que ´e o ponto da ´orbita mais pr´oximo do centro da Terra;
O ˆangulo x, assinalado na figura, tem o seu v´ertice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no sat´elite e a sua amplitude est´a compreendida entre 0 e 360 graus.
A distˆancia d, em km, do sat´elite ao centro da Terra, ´e dada por d =
1 + 0,07 cos x
Num certo instante, o sat´elite est´a na posi¸c˜ao indicada na figura ao lado.
A distˆancia do sat´elite ao centro da Terra ´e, ent˜ao, de 8 200 km.
Determine o valor de x, em graus, arredondado `as unidades.
Exame – 2000, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 435)
- No ano de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pˆor do Sol, no dia de ordem n do ano, ´e dado em horas, aproximadamente por
f (n) = 12,2 + 2,64 sen
π(n − 81) 183 n ∈ { 1 , 2 , 3 , ......, 366 }
(o argumento da fun¸c˜ao seno est´a expresso em radianos).
Por exemplo: No dia 3 de fevereiro, trig´esimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pˆor do Sol foi de f (34) ≈ 10 ,3 horas.
Em alguns dias do ano, o tempo entre o nascer e o pˆor do Sol ´e superior a 14,7 horas. Recorrendo `a sua calculadora, determine em quantos dias do ano ´e que isso acontece. Indique como procedeu. Exame – 2000, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 435)
