OBMEP na Escola 2022
4ª ATIVIDADE PARA OS PROFESSORES
Encontro 7 – Poliedros
Teorema de Euler
Encontro 8 – Poliedros regulares
Anderson Kerlly Rodrigues de Sousa
PROBLEMA 01. Um poliedro convexo possui V vértices, A
arestas e F faces. Sobre cada face desse poliedro foi
colocada uma pirâmide regular exterior ao poliedro (e a
face original do poliedro foi, evidentemente, removida).
Determine o número de vértices, de arestas e de faces do
novo poliedro formado desse jeito.
Considerando que a pirâmide que será colocada sobre o
poliedro tenha: 𝑛 vértices, 2(𝑛 − 1) arestas e 𝑛
faces. E, que sejam colocadas 𝑝 pirâmides
regulares no exterior do poliedro, o novo poliedro
terá:
Faces: 𝑛 − 𝑝
Arestas: 𝑝 . 2(𝑛−1)
2⇒𝑝. (𝑛−1) ⇒𝑝𝑛−𝑝
Vértices: 𝑉−𝐴+𝐹 = 2 ⇒𝑉=2+𝐴−𝐹
𝑉=2+𝑝(𝑛−1) − (𝑛−𝑝) ⇒ 𝑉 = 2+𝑝𝑛−𝑛
Portanto, o novo poliedro terá vértices,2+𝑝𝑛−𝑛
arestas e faces. 𝑝𝑛−𝑝 𝑛 − 𝑝
