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Poliedros
Resumo
Poliedros são sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces, cujas superfícies são polígonos planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc.). A palavra poliedro vem do grego antigo, em que poli significa ‘’vários’’ e ‘’edros’’ significa ‘’faces’’. Veja alguns exemplos de poliedros:
Relação de Euler
Em um poliedro, como dito antes, podemos distinguir faces, arestas e os vértices. Observe abaixo: Ou seja:
- faces são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro.
- arestas são as interseções entre as faces do poliedro.
- vértices são os pontos de encontro das arestas. Leonhard Euler foi um matemático suíço que desenvolveu uma expressão matemática que descreve a relação entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Eis a fórmula: V + F = A + 2 Devemos ter cuidado ao usar essa fórmula, pois ela funciona para qualquer poliedro convexo e para alguns poliedros côncavos. Mas o que são poliedros convexos e côncavos?
Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Poliedro convexo: Poliedro côncavo:
Cálculo para quantidade de arestas de um poliedro
Seja um poliedro com f 3 faces triangulares, f 4 faces quadrangulares, f 5 pentagonais etc. Podemos calcular a quantidade de arestas (A) desse poliedro usando a fórmula: 2 A = 3 f (^) 3 + 4 f 4 (^) + 5 f 5 (^) + 6 f 6 +...
Poliedros de Platão
O filósofo Platão criou um teorema que nos diz que existem 5, e apenas 5, poliedros regulares. Esses 5 poliedros são chamados poliedros de Platão. Para que possa ser um poliedro de Platão, é necessário que o poliedro obedeça às seguintes disposições:
- todas as faces devem ter a mesma quantidade n de arestas;
- todos os vértices devem ser formados pela mesma quantidade m de arestas; Estes são os poliedros de Platão:
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3. Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a: a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 e) 114 4. Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m
5. Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e IV a seguir: a) 8, 6, 5, 6. b) 8, 6, 6, 5. c) 8, 5, 6, 6. d) 5, 8, 6, 6. e) 6, 18, 6, 5. 6. Sobre as sentenças: I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que a a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. 7. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é cinco. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
Gabarito
1. B
Usamos a relação de Euler: V + F = A + 2 20 + F = 30 + 2 F = 12
2. A Podemos ver que, para cada corte, teremos 3 vértices novos, 3 arestas novas e 1 nova face. Como são 4 cortes teremos 12 novos vértices, 12 novas arestas e 4 novas faces. Assim, teremos: 12 + 8 arestas = 20 1 + 12 vértices = 13 5 + 4 faces = 9 3. D Cada dodecaedro regular possui 30 arestas. Observe: 2 × Adodecaedro = 5 × F 5 (sendo F 5 a quantidade e faces pentagonais) 2 × Adodecaedro = 5 × 12 Adodecaedro = 30 Segundo a relação de Euler: Vdodecaedro + Fdodecaedro = Adodecaedro + 2 Vdodecaedro + 12 = 30 + 2 Logo, o dodecaedro possui 20 vértices. A justaposição de duas faces congruentes dos dois dodecaedros regulares impede a visualização de 5 arestas e de 5 vértices (porque passam a coincidir) e de 2 faces (que ficam ocultas). No novo sólido, portanto, as quantidades V de vértices, F de faces e A de arestas são: V= 20 + 20 – 5 = 35 F = 12 + 12 – 2 = 22 A = 30 + 30 – 5 = 55 A soma V + F + A é igual a 112. 4. B De cada vértices partem 5 arestas, logo as pirâmides retiradas foram pentagonais e em números de 12. Com isto a bola passa a ter 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais formadas nas faces triangulares após as retiradas. Logo o número de arestas será: 12(5) 20(6) 180 90 2 2 A
= = =. As costuras são justamente as arestas. Como em cada uma se gasta 7cm, ao final das 90 arestas gastará (7cm).(90) = 630cm = 6,3m. 5. A Nesta questão, temos que contar as faces olhando para o poliedro.
6. E
I. é falsa, pois sabemos que um octaedro é formado por faces triangulares. II. é verdadeira. III. é verdadeira.
7. B Considerando x o número de faces triangulares e aplicando a fórmula do número de arestas em função do número de faces, temos: número de faces quadrangulares: 5 número de faces triangulares: x A = 4x 3 4(5) 4 4 2 Total de faces: 5 + 4 = 9 x A x x + = = = 8. E Calculando o número de arestas, temos: 2 A = 4.5 + 2.5 = 30 A = 15 Por fim, pela relação de Euler: V + F = 2 + A V + 7 = 15 + 2 V = 10 **9. C
- C**
