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A relação entre o número de vértices, arestas e faces em diferentes poliedros, como cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, e como esses números se relacionam com a relação de euler.
Tipologia: Exercícios
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Luciana de Araújo Nóbrega Santos
Tomando como base o poliedro convexo CUBO, temos:
𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
Tomando-se uma pirâmide regular de base quadrada (face do poliedro), temos:
Onde o número de faces, arestas e vértices do poliedro 𝑃′
pode ser dado por:
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
= 8 + 6 ( 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒) ⇒ 14 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
Tomando como base o poliedro convexo TETRAEDRO, temos:
𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
Tomando-se uma pirâmide regular de base triangular (face do poliedro), temos:
Onde o número de faces, arestas e vértices do poliedro 𝑃′′
pode ser dado por:
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
= 4 + 4 ( 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒) ⇒ 8 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
= 6 + 12 ( 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒) ⇒ 18 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
Comparando a relação do número de vértices, arestas e faces dos poliedros gerados a partir do
CUBO e do TETRAEDRO, temos:
𝑉
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
= 8 + 1 ∗ 6 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙)
𝐴
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
= 12 + 4 ∗ 6 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙)
𝐹 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
= 6 + 4 ∗ 6 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙)
Generalizando temos:
𝑉
′
= 𝑉 + 𝐹
𝐴
′
= 𝐴 + 4 ∗ 𝐹
𝐹
′
= 𝐹 + 4 ∗ 𝐹
𝑉
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
= 4 + 1 ∗ 4 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙)
𝐴
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
= 6 + 3 ∗ 4 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙)
𝐹 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
= 4 + 3 ∗ 4 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙)
Generalizando temos:
𝑉
′
′ = 𝑉 + 𝐹
𝐴
′′
= 𝐴 + 3 ∗ 𝐹
𝐹′
′
= 𝐹 + 3 ∗ 𝐹
Conclui-se que:
da base do poliedro original, assim como, na relação do poliedro 𝑃’’ (gerado a partir do
TETRAEDRO) o número 3 é o número de arestas da base do poliedro original.
𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
Sabemos que o ICOSAEDRO tem 12 vértices, 30 arestas e 20 faces. Perceba que em cada vértice
truncado, o próprio deixa de existir, mas outros 3 aparecem, ou seja, são 3 ∗ 12 = 36 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠.
Em cada vértice truncado surgem 3 novas arestas, segue que são 30 + 12 ∗ 3 = 66 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠.
Como surgem 12 novas faces (planos), o total passa a ser 20 + 12 = 32 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠.
Para 𝑥 =
𝑙
2
Para o CUBO, temos:
original. Como o cubo tem 12 arestas, o novo poliedro possui 12 vértices;
o cubo possui 6 faces e cada uma delas possui os 4 lados de um dos quadrados, o total
de arestas procurado é 4 ∗ 6 = 24 ;
quadradas formadas nas faces do cubo original. Temos então 8 + 6 = 14 faces.
Veja que a relação de Euler é válida também para esse novo poliedro, pois:
Para o TETRAEDRO, temos:
TETRAEDRO original. Como o tetraedro tem 6 arestas, o novo poliedro possui 6 vértices;
o tetraedro possui 4 faces e cada uma delas possui os 3 lados de um dos triângulos, o
total de arestas procurado é 4 ∗ 3 = 12 ;
quadradas formadas nas faces do tetraedro original. Temos então 4 + 4 = 8 faces.
Veja que a relação de Euler é válida também para esse novo poliedro, pois:
Para o OCTAEDRO, temos:
OCTAEDRO original. Como o octaedro tem 12 arestas, o novo poliedro possui 12
vértices;
o octaedro possui 8 faces e cada uma delas possui os 3 lados de um dos triângulos, o
total de arestas procurado é 3 ∗ 8 = 24 ;
triangulares formadas nas faces do octaedro original. Temos então 8 + 6 = 14 faces.
Veja que a relação de Euler é válida também para esse novo poliedro, pois:
Para o DODECAEDRO, temos:
DODECAEDRO original. Como o dodecaedro tem 30 arestas, o novo poliedro possui 30
vértices;
Como o dodecaedro possui 12 faces e cada uma delas possui os 5 lados de um dos
pentágonos, o total de arestas procurado é 5 ∗ 12 = 60 ;
pentagonais formadas nas faces do dodecaedro original. Temos então 20 + 12 = 32
faces.
Veja que a relação de Euler é válida também para esse novo poliedro, pois:
Para o ICOSAEDRO, temos:
ICOSAEDRO original. Como o icosaedro tem 30 arestas, o novo poliedro possui 30
vértices;
o icosaedro possui 20 faces e cada uma delas possui os 3 lados de um dos triângulos, o
total de arestas procurado é 3 ∗ 20 = 60 ;
triangulares formadas nas faces do icosaedro original. Temos então 20 + 12 = 32
faces.
Veja que a relação de Euler é válida também para esse novo poliedro, pois:
