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Probabilidades com combinatória - Exame
Perguntas de Exames Nacionais dos últimos 16 anos com resolução e/ou vídeo. Versão de 6 de março de 2022. Verifique se existe versão com data mais recente aqui e aceda a mais fichas aqui.
- Numa dada localidade, existe um clube onde se pratica badmínton e ténis. Com doze raquetes distintas, sendo seis de badmínton e seis de ténis, formam-se, ao acaso, dois conjuntos de seis raquetes cada um. Qual é o valor, arredondado às centésimas, da probabilidade de cada um dos dois conjuntos ficar com três raquetes de badmínton e três raquetes de ténis?
(A) 0 , 22 (B) 0 , 43 (C) 0 , 50 (D) 0 , 87
Resolução, pg. 11 Exame nacional de 2021 - 2 .a^ fase
- Uma turma de 11 .◦^ ano é constituída por 30 alunos com idades de 15, 16 e 17 anos, dos quais 60% são raparigas. Sabe-se que um terço dos rapazes tem 17 anos e que um terço das raparigas tem 15 ou 16 anos. O André e a Beatriz, alunos da turma, são gémeos e têm 16 anos. Escolhem-se, ao acaso, cinco alunos da turma. Determine a probabilidade de o grupo constituído por esses cinco alunos ser formado pelo André, pela Beatriz, por dois jovens com 17 anos e por outro com 15 ou 16 anos. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
Resolução, pg. 12 Exame nacional de 2021 - 1 .a^ fase
- Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [OP QRST UV ]. Sabe-se que: - a face OP QR está contida no plano xOy; - o vértice Q pertence ao eixo Oy e o vértice T pertence ao eixo Oz; - o plano ST U tem equação z = 3. Seja T ′^ o simétrico do ponto T , relativamente à origem do referencial.
x
y
z
O
P
Q
R
V
S
T U
Escolhem-se, ao acaso, três vértices do prisma. Determine a probabilidade de o plano definido por esses três vértices ser perpendicular ao plano xOy. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Resolução, pg. 13 Exame nacional de 2017 - 2 .a^ fase
- Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o poliedro [NOP QRST UV ] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: - o vértice P pertence ao eixo Ox; - o vértice N pertence ao eixo Oy; - o vértice T pertence ao eixo Oz; - o vértice R tem coordenadas (2, 2 , 2); - o plano P QV é definido pela equação 6 x + z − 12 = 0. Dispõe-se de sete cores diferentes, das quais uma é branca e outra é azul, para colorir as nove faces do poliedro [NOP QRST UV ]. Cada face vai ser colorida com uma única cor. Considere a experiência aleatória que consiste em colorir, ao acaso, as nove faces do poliedro, podendo cada face ser colorida por qualquer uma das sete cores. x
y
z
b
b b
b
b
b b
b
O
T
P Q
N
U (^) R
S
V
Determine a probabilidade de, no final da experiência, o poliedro ficar com exatamente duas faces brancas, ambas triangulares, exatamente duas faces azuis, ambas quadradas, e as res- tantes faces coloridas com cores todas diferentes. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.
Resolução, pg. 14 Exame nacional de 2016 - 1 .a^ fase
- Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular. Sabe-se que:
- [P Q] e [QR] são arestas de uma das bases do prisma;
- P Q = 4.
- o plano P QR tem equação 2 x + 3y − z − 15 = 0;
- uma das arestas laterais do prisma é o segmento de reta [P S], em que S é o ponto de coordenadas (14, 5 , 0).
Escolhem-se, ao acaso, dois vértices de cada uma das bases do prisma. Determine a probabilidade de esses quatro pontos pertencerem a uma mesma face lateral do prisma. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
Resolução, pg. 20 Exame Nacional de 2018 - 2 .a^ fase
- Uma escola secundária tem alunos de ambos os sexos. Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de 1 a 30. Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem- se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o 22? Apresente o resultado arredondado às milésimas.
Resolução, pg. 21 Exame Nacional de 2016 - 2 .a^ fase
- De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:
- 60% dos funcionários residem fora de Coimbra;
- os restantes funcionários residem em Coimbra.
Considere que a empresa tem oitenta funcionários. Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa. A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a (^80) C 3 − 32 C 3 (^80) C 3. Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada. Na sua resposta:
- enuncie a regra de Laplace;
- explique o número de casos possíveis;
- explique o número de casos favoráveis.
Resolução, pg. 22 Exame Nacional de 2015 - 1 .a^ fase
- Na figura, está representado um tetraedro com as faces numeradas de 1 a 4
O João tem um catálogo de tintas com 12 cores diferentes, uma das quais é a sua preferida. O João seleciona, ao acaso, 4 cores diferentes para pintar as quatro faces do tetraedro. Cada uma das faces é pintada com uma única cor. Determine a probabilidade de o tetraedro ter uma das faces pintadas com a cor preferida do João. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Resolução, pg. 23 Exame Nacional de 2011 - 1 .a^ fase
- Considere as 13 cartas do naipe de copas: ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do 2 ao 10 ). Determine a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, 4 das 13 cartas do naipe de copas, obter pelo menos duas figuras. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Resolução, pg. 24 Exame Nacional de 2011 - Época especial
- Lança-se cinco vezes consecutivas um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6 , e regista-se, em cada lançamento, o número inscrito na face voltada para cima. Considere os acontecimentos seguintes. I: “sair face ímpar em exatamente dois dos cinco lançamentos”; J: “sair face 4 em exatamente dois dos cinco lançamentos”. Qual dos acontecimentos seguintes é mais provável?
(A) acontecimento I (B) acontecimento I (C) acontecimento J (D) acontecimento J Resolução, pg. 25 Exame Nacional de 2011 - Época especial
- Considere um baralho com 52 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus). Em cada naipe, há um Ás, três figuras (uma Dama, um Valete, um Rei) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). Admita que, num jogo, cada jogador recebe três cartas, por qualquer ordem. Qual é a probabilidade de um determinado jogador receber exatamente dois ases?
Uma resposta correta a esta questão é
4 C 2 × 48
52 C 3.
Numa pequena composição, justifique esta resposta, fazendo referência:
- à Regra de Laplace;
- ao número de casos possíveis;
- ao número de casos favoráveis.
Resolução, pg. 29 Exame Nacional de 2009 - 2 .a^ fase
- A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu- se de identificar cada um deles. Qual é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de música rock e o outro ser de música popular?
(A)
(B)
(C)
(D)
Resolução, pg. 30 Exame Nacional de 2009 - 2 .a^ fase
- Uma caixa contém bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 têm cor verde, e as bolas numeradas de 11 a 20 têm cor amarela. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente, duas bolas da caixa, não repondo a primeira bola retirada, e em registar a cor das bolas retiradas. Determine a probabilidade de as duas bolas retiradas da caixa terem cores diferentes. Apre- sente o resultado na forma de fracção irredutível.
Resolução, pg. 31 Exame Nacional de 2009 - 1 .a^ fase
- De um baralho com 40 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus), em que cada naipe contém um Ás, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mão, pela ordem que as recebe. Qual é a probabilidade de o jogador obter a sequência 2 − 4 − 6 − 7 − Dama − Rei, nas cartas recebidas?
(A)
40 A 6^ (B)^
40 C 6^ (C)^
40 A 6^ (D)^
40 C 6
Resolução, pg. 32 Exame Nacional de 2009 - 1 .a^ fase
- Duas crianças escrevem, em segredo e cada uma em seu papel, uma letra da palavra VERÃO. Qual é a probabilidade de as duas crianças escreverem a mesma letra?
(A)
(B)
(C)
(D)
Resolução, pg. 33 Exame Nacional de 2009 - 1 .a^ fase
- Uma turma do 12.◦^ ano de uma Escola Secundária está a organizar uma viagem de finalis- tas. Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos para a viagem. A numeração das rifas é uma sequência de três algarismos (como, por exemplo, 099 ), iniciando-se em 000. De entre as rifas, que foram todas vendidas, será sorteada uma, para atribuir um prémio. Qual é a probabilidade de a rifa premiada ter um único algarismo cinco? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às centésimas.
Resolução, pg. 34 Exame Nacional de 2008 - 1 .a^ fase
- O João e a Maria convidaram três amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco bilhetes com numeração seguida, numa determinada fila, e distribuíram-nos ao acaso. Qual é a probabilidade de o João e a Maria ficarem sentados um ao lado do outro?
(A)
(B)
(C)
(D)
Resolução, pg. 35 Exame Nacional de 2008 - 1 .a^ fase
- De um baralho de cartas, selecionaram-se 16 cartas ( 4 ases, 4 reis, 4 damas e 4 valetes). Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os ases e os reis e outro com as damas e os valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição). Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um ás, um rei, uma dama e um valete, não necessariamente do mesmo naipe? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Resolução, pg. 38 Exame Nacional de 2007 - 2 .a^ fase
- Três rapazes, o João, o Rui e o Paulo, e três raparigas, a Ana, a Maria e a Francisca, decidem passar a tarde juntos. Depois de ouvirem algumas músicas, os seis jovens resolveram dançar aos pares. Admita que, numa dança:
- cada rapaz dança com uma rapariga;
- Numa sala de Tempos Livres, a distribuição dos alunos por idades e sexo é a seguinte:
5 anos 6 anos 7 anos
Rapaz 1 5 2
Rapariga 3 5 7
Escolhem-se dois alunos ao acaso. Qual é a probabilidade de a soma das suas idades ser igual a 12? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Resolução, pg. 41 Exame Nacional de 2006 - 2 .a^ fase
- As cinco letras da palavra TIMOR foram pintadas, cada uma em sua bola. As cinco bolas, indistinguíveis ao tato, foram introduzidas num saco. Extraem-se, aleatoriamente, as bolas do saco, sem reposição, e colocam-se em fila, da es- querda para a direita. Qual é a probabilidade de que, no final do processo, fique formada a palavra TIMOR, sabendo-se que, ao fim da terceira extracção, estava formada a sucessão de letras TIM?
(A) 0 (B)
(C)
(D) 1
Resolução, pg. 42 Exame Nacional de 2007 - 1 .a^ fase
- Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo retângulo. Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma aresta?
(A)
8 C 2^ (B)^
(C)
8 C 2^ (D)^
8 A 2
Resolução, pg. 43 Exame Nacional de 2007 - 1 .a^ fase
- Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação z = 2. Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Resolução, pg. 44 Exame Nacional de 2006 - 1 .a^ fase
Resoluções
Resolução da pergunta 1
Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 1
O número de possibilidades de escolher 6 raquetes de um conjunto de 12 é 12 C 6. As restan- tes 6 raquetes ficam no segundo conjunto de 6 raquetes. O número de casos favoráveis a formar um conjunto com três raquetes de badminton e três de ténis para o primeiro conjunto de 6 raquetes é 6 C 3 × 6 C 3. Novamente, as restantes ra- quetes ficam para o segundo conjunto. Pela Lei de Laplace temos que a probabilidade pedida é (^6) C 3 × 6 C 3 (^12) C 6 ≈^0 ,^43.
Resolução da pergunta 3
Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 2
Para o plano ser perpendicular a xOy, tem obrigatoriamente que ser paralelo às arestas principais do prisma. Como cada ponto do prisma tem igual probabilidade de ser escolhido, podemos utilizar a Lei de Laplace para calcular a probabilidade pedida. Relativamente aos casos favoráveis, conclui-se com base na observação do prisma que há 6 planos possíveis ( 4 contendo as faces e 2 contendo as diagonais espaciais). Como cada um desses planos secciona o prisma segundo um retângulo, podemos obter cada plano de 4 C 3 modos distintos. No total temos 6 × 4 C 3 casos favoráveis. Os casos possíveis são 8 C 3 , correspondentes a escolher 3 dos 8 vértices do prisma.
A probabilidade pedida é portanto
64 C 3
8 C 3 =
Resolução da pergunta 4
Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 2
Uma vez que a coloração das 9 faces é feita ao acaso qualquer face tem igual probabili- dade de ficar com cada uma das 7 cores e podemos usar a Lei de Laplace para calcular a probabilidade pretendida. Os casos possíveis são 7 A′ 9 correspondentes ao número de ma- neiras de pintar as 9 faces de qualquer uma das 7 cores disponíveis. Os casos favoráveis são^4 C 2 ×^5 C 2 × 5!. 4 C 2 corresponde ao número de escolhas de duas faces triangulares, para colorir de branco, entre as quatro disponíveis. Para cada uma destas escolhas podemos escolher duas faces quadrangulares entre as cinco disponíveis de 4 C 2 modos. Para cada uma destas escolhas podemos colorir as restantes cinco faces com as cinco cores sobrantes de 5! maneiras. Pela Lei de Laplace, a probabilidade é portanto
P =
4 C 2 × 5 C 2 × 5!
7 A′
9
Resolução da pergunta 6
Voltar ao enunciado da pergunta, pg. 3
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Como os números são escolhidos em segredo, há igual probabilidade que cada pessoa es- colher um dos 5 números e podemos utilizar a Lei de Laplace para calcular a probabilidade pedida. Comecemos por ilustrar os casos favoráveis com um esquema.
Como há 4 C 2 modos de selecionar as duas pessoas que escolheram o número 5 , há 42 × 4 C 2 casos favoráveis. Relativamente aos casos possíveis, há 5 A′ 4 modos de as pessoas escolherem os 4 números entre os 5 disponíveis.
A probabilidade é portanto P =
42 × 4 C 2
5 A′ 4 = 0.^1536.
A opção correta é a (D).
Resolução da pergunta 7
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Vamos determinar a probabilidade pedida recorrendo à Lei de Laplace. Para determinar os casos favoráveis vamos recorrer ao esquema seguinte e ao Princípio fundamental da contagem.
L L L
Relativamente aos casos favoráveis temos:
3!. × 7! × 8 Há 8 modos de colocar as bolas com logotipo juntas Há 7! permutações das bolas sem logotipo Há 3! permutações das bolas com logotipo
Uma vez que os casos possíveis são 10!, correspondentes às permutações das 10 bolas, a probabilidade pedida é 3! × 7! × 8 10!
A opção correta é a (B).
Resolução da pergunta 9
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Comecemos por ilustrar a situação com um esquema.
E 1
E 2
E 3
E 4
I 1
I 2
I 3
I 4
I 5
I 6
I 7
I 8
× 2
Note que no esquema Ei designa o estudante de Espanhol i para i = 1, 2 , 3 , 4 e Ij designa o estudante de Inglês j para j = 1, ..., 8. Podemos concluir pelo Princípio fundamental da contagem que há 4! × 8! × 2 = 1935360 maneiras de fazer o pretendido. A opção correta é a (D).
Resolução da pergunta 10
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Como os vértices são escolhidos ao acaso, podemos utilizar a Lei de Laplace para resol- ver o problema. Os casos possíveis são 6 C 2 × 6 C 2 uma vez que para cada uma das 6 C 2 possíveis escolhas de dois vértices de uma das faces podemos escolher dois vértices da outra face de 6 C 2 modos. Os casos favoráveis são 6 uma vez que há seis faces laterais.
Pela Lei de Laplace, a probabilidade pedida é
6 C 2 × 6 C 2 ≈^0.^03.
