Baixe Torção: Análise de Tensões em Barras Circulares e outras Exercícios em PDF para Resistência dos materiais, somente na Docsity!
As fórmulas de torção (3.9) e (3.10) foram deduzidas para uma barra deseção transversal circular uniforme submetida a torques em suas extremida-des. No entanto, elas também podem ser utilizadas para uma barra de seçãotransversal variável ou para uma barra submetida a torques em localizaçõesque não são suas extremidades (Fig. 3.
a ). A distribuição de tensões de ci-
salhamento em determinada seção transversal
S^ da barra circular é obtida da
Equação (3.9), em que
J^ representa o momento polar de inércia daquela seção,
e em que
T^ representa o
esforço solicitante de torção
ou^ esforço interno de
torção
naquela seção. O valor de
T^ é obtido desenhando-se o diagrama de cor-
po livre da parte da barra circular localizada em um dos lados da seção (Fig.3.17 b ) e escrevendo que a soma de torques aplicados àquela parte, incluindoo esforço interno de torção
T , é zero (ver o Problema Resolvido 3.1).
Até aqui, nossa análise de tensões em uma barra circular esteve limitadaa tensões de cisalhamento. Isso porque o elemento que selecionamos estavaorientado de modo que suas faces eram paralelas ou perpendiculares ao eixoda barra circular (Fig. 3.6). Sabemos pelas discussões anteriores (Seções 1.11e 1.12) que podem ser encontradas tensões normais, tensões de cisalhamento,ou uma combinação de ambas sob as mesmas condições de carregamento,dependendo da orientação do elemento que foi escolhido. Considere os doiselementos
a^ e^ b^
localizados na superfície de uma barra circular submetida à
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de com-primento e diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a40 mm e 60 mm (Fig. 3.16). (
a ) Qual é o maior torque que pode
ser aplicado à barra circular se a tensão de cisalhamento não deveexceder 120 MPa? (
b ) Qual é o valor mínimo correspondente da
tensão de cisalhamento na barra circular?
1,5 m
T 60 mm40 mm
(a) Maior torque permitido.
O maior torque
T^ que pode
ser aplicado à barra de seção circular é aquele para o qual
t^5 máx^
120 MPa. Como esse valor é menor que a tensão de escoamentodo material da barra, podemos usar a Equação (3.9). Resolvendoessa equação para
T , temos
J t T máx c^
Lembrando que o momento polar de inércia
J^ da seção transversal
é dado pela Equação (3.11), em que
(^1) c 5 1 2 (40 mm)
5 0,02 m e
(^1) c 5 (60 mm) 2 2
5 0,03 m, escrevemos (^1) J p 2 (^4 1) c 2 (^41) c^2 p^1 0,
6 4 m
Substituindo
J^ e^ tmáx
em (3.12), e fazendo
c^^5 c^2
5 0,03 m, temos
4,08^ kN
m J t T máx c
1 1,^
6 10 m
6 10 Pa^2 0,03 m
(b) Tensão de cisalhamento mínima.
O valor mínimo
da tensão de cisalhamento ocorre na superfície interna da barra.Ele é obtido da Equação (3.7), a qual mostra que
temín^ tsãomáx^
proporcionais respectivamente a
c e^ c^1
tmín
c^1 tmáx c^2
0,02 m 0,03 m
1 120 MPa
2 80 MPa
EXEMPLO 3.
B
( a ) ( b )
T C
T E
T E
T B
T B
T A
E
B
C S
A
S
E
T
161
Fig. 3.
Fig. 3.
162
Torção^
torção (Fig. 3.18). Como as faces do elemento
a^ são, respectivamente, para-
lela e perpendicular ao eixo da barra circular, as únicas tensões no elemen-to serão as tensões de cisalhamento definidas pela Equação (3.9), ou seja, t^5 máx^
Tc y J. Em contrapartida, as faces do elemento
b , que formam ângulos
arbitrários com o eixo da barra de seção circular, estarão submetidas a umacombinação das tensões normal e de cisalhamento.Vamos analisar o caso particular de um elemento
c^ (não mostrado) a 45°
do eixo da barra. Para determinarmos as tensões nas faces desse elemento,consideramos os dois elementos triangulares mostrados na Fig. 3.19 e dese-nhamos seus diagramas de corpo livre. No caso do elemento da Fig. 3.
a ,
sabemos que as tensões exercidas nas faces
BC^ e^
BD^ são as tensões de cisa-
lhamento
t^5 máx
Tc y J. A intensidade das forças de cisalhamento correspon-
dentes será então
t A máx
, em que 0
A representa a área da face. Observando^0
que as componentes nas faces
DC^ das duas forças de cisalhamento são iguais
e opostas, concluímos que a força
F^ aplicada em
DC^ deve ser perpendicular
àquela face. É uma força de tração, e sua intensidade é
F^^2
1 t A máx
2 cos 45 0
°^ t
A^2 máx^0
A tensão correspondente é obtida dividindo-se a força
F^ pela área
A^ da face
DC. Observando que
A^ A
escrevemos 22 , 0 F s A
t A máx^0
22 A 22 0
tmáx^
Uma análise similar aplicada ao elemento da Fig. 3.
b^ mostra que a tensão
na face
BE^ é^
s^5
t. Concluímos que as tensões exercidas nas faces demáx
um elemento
c^ a 45° do eixo da barra (Fig. 3.20) são tensões normais iguais a
rt. Assim, enquanto o elementomáx
a^ na Fig. 3.20 está em cisalhamento puro,
o elemento
c^ na mesma figura está submetido à tensão de tração em duas de
suas faces, e à tensão de compressão nas outras duas. Notamos também quetodas as tensões envolvidas têm a mesma intensidade,
Tc y J .†
Como foi visto na Seção 2.3, os materiais dúcteis geralmente falham emcisalhamento. Portanto, quando submetido à torção, um corpo de prova
J^ feito
de um material dúctil rompe-se ao longo de um plano perpendicular ao seueixo longitudinal (Fig. 3.
a ). Não obstante, materiais frágeis falham mais
em tração do que em cisalhamento. Assim, quando submetido à torção, umcorpo de prova feito de um material frágil tende a se romper ao longo dassuperfícies perpendiculares à direção na qual a tensão de tração é máxima,isto é, ao longo das superfícies que formam um ângulo de 45° com o eixolongitudinal do corpo de prova (Fig. 3.
b ).
( a )^
( b )
b a T '
T
!^ máx Fig. 3.
( a )^
( b ) F ' F C
C
B^
B
D^
E
A! máx^0 A !máx^0 A! máx^0
A !máx^0
45 "^
Fig. 3.19^ T '
T
a^
c Tc! # (^) máx^ J
Tc %# $ (^45) "^ J
Fig. 3.20 Fig. 3.^
† Tensões em elementos de orientação arbitrária, como o elemento
b^ da Fig. 3.18, serão discutidas
no Capítulo 7.
163
PROBLEMA RESOLVIDO 3.1 O eixo de seção circular
BC^ é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120
mm, respectivamente. Os eixos de seção circular
AB^ e^ CD
são cheios e têm diâmetro
d. Para o carregamento mostrado na figura, determine (
a ) as tensões de cisalhamento
máxima e mínima no eixo
BC , ( b
) o diâmetro
d^ necessário para os eixos
AB^ e^ CD
, se
a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa. SOLUÇÃO^ Equações da estática.
Chamando de
T o torque no eixo AB^
AB , cortamos uma
seção através do eixo
AB^ e, para o diagrama de corpo livre mostrado, escrevemos^1 6 kN^
m^2 T
0 AB
T
6 kN AB m
© Mx^
Cortamos agora uma seção através do eixo
BC^ e, para o corpo livre mostrado, temos
1 6 kN^
m^2
14 kN^
m^2 T
0 BC
T
20 kN BC m
© Mx^
0: a. Eixo^ BC
.^ Para esse eixo circular vazado temosp^4 J^1 c^2
(^4) c^2 p3 10,060 2
6 4 m
Tensão de cisalhamento máxima.
Na superfície externa, temos
tmáx^
86,2 MPa
tmáx^
T t 2 cBC^2 J 1 20 kN
m^2 ˛^1 0,060 m
13,^
6 10 m 4
Tensão de cisalhamento mínima.
Escrevemos que as tensões são proporcionais
à distância do centro do eixo.
tmín^
64,7 MPa
tmín tmáx
c^1 c^2
tmín 86,2 MPa
45 mm 60 mm
b. Eixos
AB^ e^
CD****.^ Notamos que em ambos os eixos a intensidade do torque é T^^5 6 kN
?^ m e^ t
5 65 MPa. Chamando deadm
c^ o raio dos eixos, escrevemos
d^ 77,8 mm
d^^2 c
^21 38,9 mm
(^3) c 58,
6 3 m
c^ 38,
3 m
Tc t^ J
65 MPa
1 6 kN m^2 c p^4 c 2
T #^ 6 kN · m A^^ T B
0,9 m^ d A #^ 14 kN · m B^ T #^ 26 kN · m C^ 0,7 m0,5 m^ 120 mm^ T #^ 6 kN · m D^
d C
D
A^
T AB^ x T^5 6 kN A^
· m T^5 14 kN · m B^ A
B^
T BC^ xx
T^5 6 kN · m A^
c^5 45 mm^1^ c^5 60 mm^2
t^2 t^1^ A
B 6 kN · m
6 kN · m
164
PROBLEMA RESOLVIDO 3.2 O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um geradordeterminou que o eixo escolhido fosse vazado e com diâmetros interno e externo de100 mm e 150 mm, respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admis-sível é de 82 MPa, determine o valor do torque máximo que pode ser transmitido (
a )
pelo eixo conforme o projeto preliminar, (
b ) por um eixo de seção cheia com o mesmo
peso, ( c ) por um eixo de seção vazada com o mesmo peso e com diâmetro externo de
200 mm. SOLUÇÃO^ a.^
Eixo vazado conforme foi projetado.
Para o eixo vazado, temos
p J^2 (^41) c 2 (^4) c^2 p3 10,075 m 2
4 21 0,050 m
6 4 m
Utilizando a Equação (3.9), escrevemos
T^ 43,6 kN
m
tmáx
Tc^2^ J^
82 MPa
T^^1 0,075 m
39,^
6 10 m 4
b****. Eixo de seção cheia de mesmo peso.
Para que o eixo projetado e a seção
transversal cheia tenham o mesmo peso e comprimento, suas áreas de seção transver-sal devem ser iguais.
p^ 3 10,075 m
2 21 0,050 m
2 24 p
(^2) c 3
c 0,056 m^3
A^1 a^2 A^1 b^2
Como^ t^5 adm^
82 MPa, escrevemos
T^ 22,62 kN
m
tmáx
Tc^3^ J^
82 MPa
T^^1
0,056 m
p^1 0,056 m^2
c****. Eixo vazado com 200 mm de diâmetro externo.
Para ter o mesmo peso, as
áreas das seções transversais devem ser iguais. Determinamos o diâmetro interno doeixo escrevendo^ p^ 3 10,075 m
2 21 0,050 m
2 24 p
3 10,100 m
2 22 c^5
c 0,083 m^5
A^1 a^2
A^1 c^2
Para^ c^5
5 0,083 m e
c^5 100 mm^4 p J 3 10,100 m 2
4 21 0,083 m
5 4 m
Com^ t
5 82 MPa eadm
c^5 100 mm^4
T^ 67,65 kN
m
tmáx
Tc^4^ J^
82 MPa
T^1 0,10 m
8,^
5 10 m 4
150 mm
100 mm
2,50 m
T '
T c^5 0,075 m^2^ T c^5 0,050 m^1
c^3 T
c^5 T c = 100 mm^4
3.^
Os torques mostrados são aplicados nas polias
A ,^ B^ e
C. Sabendo que
ambos os eixos são cheios, determine a tensão de cisalhamento máxima no (
a ) eixo
AB^ e ( b
) eixo^
BC.
3.^
Os eixos do conjunto de polias mostrado na figura deve ser redimensio- nado. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível em cada eixo é de 58,6 MPa,determine o menor diâmetro admissível para (
a ) o eixo
AB , ( b ) o eixo
BC.
3.^
A tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPa na barra de aço
AB
e 55 MPa na barra de latão
BC. Sabendo que um torque de intensidade
T^^5
N^?^ m é aplicado em
A^ e desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine
o diâmetro necessário de (
a ) barra
AB^ e (
b ) barra
BC.
3.^
A tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPa na barra de aço
AB^ de
38,1 mm de diâmetro e 55 MPa na barra
BC^ de 45,7 mm de diâmetro. Desprezando
o efeito das concentrações de tensão, determine o maior torque que pode ser aplicadoem^ A.^ 3.
A seção transversal cheia mostrada na figura é feita de latão para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa. Desprezando o efeito das concentra-ções de tensão, determine os menores diâmetros
d e^ AB^ d para os quais a tensão de BC^
cisalha mento admissível não é excedida.^ 3.
Resolva o Problema 3.17, considerando que a direção de
T seja C^
invertida.^ 3.
A tensão admissível é de 50 MPa na barra de latão
AB^ e de 25 MPa na bar-
ra de alumínio
BC. Sabendo que um torque de intensidade
T^^5 1 250 N
?^ m é aplicado
em^ A , determine o diâmetro necessário (
a ) da barra
AB^ e ( b ) da barra
BC.
3.^
A barra
BC^ de seção
cheia^ tem diâmetro de 30 mm e é feita de um alumí-
nio para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 25 MPa. A barra
AB^ é^ vazada
e tem um diâmetro externo de 25 mm; ela é feita de um latão para o qual a tensãode cisalhamento admissível é de 50 MPa. Determine (
a ) o maior diâmetro interno da
barra^ AB
para o qual o coeficiente de segurança seja o mesmo para cada barra e (
b ) o
maior torque que pode ser aplicado em
A.
768 N · m
45,7 mm^1 829 mm
C
1 175 N · m 33,0 mm
407 N · m
B
1 219 mm
A
B C
T^ Latão A
Aço A
600 mm dAB 750 mm
dBC^
C
T^5 1200 N · m B^ B
T^5 400 N · m C^ Alumínio
Aço
T
B
C
A
Fig. P3.13 e P3.
Fig. P3.15 e P3.16 Fig.^ P3.17 Fig. P3.19 e P3.
Problemas
^167
168
Torção^
3.^
Um torque de intensidade
T^^5 904 kN
?^ mm é aplicado em
D , como mos-
tra a figura. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 51,7 MPa em cadaeixo, determine o diâmetro necessário do (
a ) eixo
AB^ e (
b ) eixo
CD.
3.^
Um torque de
T^^5 904 kN
?^ mm é aplicado em
D , como mostra a figura.
Sabendo que o diâmetro do eixo
AB^ é de 57,1 mm e que o diâmetro do eixo
CD^ é de
45 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima no (
a ) eixo
AB^ e (
b ) eixo
CD.
3.^
Dois eixos de aço com seção transversal cheia são conectados por en- grenagens conforme mostra a figura. É aplicado um torque de intensidade
T^^5
N^?^ m no eixo
AB. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa e considerando somente tensões causadas por torção, determine o diâmetro necessáriopara ( a
) o eixo
AB^ e (
b ) o eixo
CD.
3.^
O eixo CD^ é feito de uma barra de 66 mm de diâmetro e está conectado ao eixo^ AB
de 48 mm de diâmetro, como mostra a figura. Considerando somente tensões em decorrência da torção e sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de60 MPa para cada eixo, determine o maior torque
T^ que pode ser aplicado.
3.^
Os dois eixos de seção transversal cheia estão conectados por engrena- gens como você pode ver na figura e são feitos de um aço para o qual a tensão decisalhamento admissível é de 48,3 MPa. Sabendo que os diâmetros dos dois eixossão, respectivamente,
d^5 BC^
40,6 mm e
d^5 EF^
31,8 mm, determine o maior torque
T que pode ser aplicado em C^
C.
A
40,6 mm 101,6 mm C B^
T^^5 904 kN · mm D
240 mm
80 mm B A T
C
D
Fig. P3.21 e
P3.22 Fig. P3.23 e P3.
3.^
Os dois eixos de seção transversal cheia estão conectados por engrena- gens, como mostra a figura, e são feitos de um aço para o qual a tensão de cisa-lhamento admissível é de 58,6 MPa. Sabendo que um torque de intensidade
T^5 C^
565 kN
?^ mm é aplicado em
C^ e que o conjunto está em equilíbrio, determine o diâ-
metro necessário do (
a ) eixo
BC^ e do (
b ) eixo
EF.
3.^
Um torque de intensidade
T^^5 120 kN
?^ m é aplicado ao eixo
AB^ do trem
de engrenagem mostrado. Sabendo que a tensão de cisalhamento é de 75 MPa emcada um dos três eixos sólidos, determine o diâmetro necessário para (
a ) o eixo
AB ,
( b ) o eixo
CD^ e (
c ) o eixo
EF.
3.^
Um torque de intensidade
T^^5 100 kN
?^ m é aplicado ao eixo
AB^ do trem
de engrenagem mostrado. Sabendo que os diâmetros dos três eixos sólidos são respec-tivamente,
d^5 AB^ 21 mm,
d^5 CD^ 30 mm, e
d^5 EF^ 40 mm, determine a máxima tensão
de cisalhamento no (
a ) eixo
AB , ( b
) eixo^ CD
e ( c ) eixo
EF.
3.^
Embora a distribuição exata das tensões de cisalhamento em um eixo ci- líndrico vazado seja como mostra a Fig. P3.
a , pode-se obter um valor aproximado
para^ tmáx
considerando que as tensões são uniformemente distribuídas sobre a área
A
da seção transversal, como mostra a Fig. P3.
b , e supondo ainda que todas as forças
de cisalhamento elementares agem a determinada distância do ponto
O^ dada pelo
raio médio da seção transversal
1 ( c^11 c ). Esse valor é uma aproximação de^2
t^50
T y Arm , em que
T^ é o torque aplicado. Determine a relação
tytmáx
, em que 0
té amáx^
tensão de cisalhamento exata e
té a tensão aproximada para valores da relação^0
c y c ,^12
respectivamente iguais a 1,00; 0,95; 0,75; 0,50 e 0.
101,6 mm63,5 mm
B E G H
A D
C^ T F
C T F
C
B
F
D
3 0 mm A 25 mm
6 0 mm 75 mm
E
T
3.^
( a ) Para uma dada tensão de cisalhamento admissível, determine a relação T y w^ do torque
T^ máximo admissível e o peso por unidade de comprimento
w^ para o
eixo vazado mostrado na figura. (
b ) Chamando de (
T y w )^0
o valor dessa relação para
uma seção transversal cheia com o mesmo raio
c , expresse a relação^2
T y w^ para o eixo
vazado em termos de (
T y w )^0 e^ c y c^12
Problemas
^169
Fig.^ P3.
e P3. Fig. P3.
Fig. P3.27 e P3.28 Fig. P3.
c^2 c^1
O^
O
c^1 máx
rm c^2
0 ( a )^
( b )
170
Torção^
3.5. Ângulo de torção no regime elástico^ Nesta seção, será determinada uma relação entre o ângulo de torção
f^ de
um eixo circular e o momento torçor
T^ aplicado no eixo. Vamos considerar
que o eixo permanece elástico em qualquer parte. Considerando primeiro ocaso de um eixo de comprimento
L^ e de seção transversal uniforme de raio
c^ submetido a um momento torçor
T^ em sua extremidade livre (Fig. 3.22),
lembramos da Seção 3.3 que o ângulo de torção
f^ e a deformação de cisalha-
mento máxima
gestão relacionados da seguinte forma:máx^
gmáx
c f^ L
Contudo, no regime elástico, a tensão de escoamento não é excedida em nenhumponto do eixo, assim aplica-se a lei de Hooke da seguinte forma:
g^5 máx^
ty G máx
Dessa relação e da Equação (3.9), obtém-se
gmáx
tmáx^ G
Tc JG^
Igualando os dois membros direitos das Equações (3.3) e (3.15), e resolvendopara^ f
, escrevemos
TL f JG
em que
f^ é expresso em radianos. A relação obtida mostra que, dentro do
regime elástico,
o ângulo de torção
f^ é proporcional ao momento torçor T
aplicado no eixo
. Isso está de acordo com a evidência experimental citada no
início da Seção 3.3.A Equação (3.16) nos proporciona um método conveniente para determinaro módulo de elasticidade transversal de um material. Um corpo de prova domaterial a ser analisado, na forma de uma barra cilíndrica de diâmetro e com-primento conhecidos, é colocado em uma
máquina para ensaios de torção
(Fig.
3.23). Torques
T^ de intensidades crescentes são aplicados ao corpo de prova e os
valores correspondentes do ângulo de torção
f^ em determinado comprimento
L
do corpo de prova são registrados. Enquanto a tensão de escoamento do materialnão é excedida, os pontos obtidos em um gráfico de
T^ em função de
f^ estarão em
uma linha reta. A inclinação dessa linha representa a quantidade
JG y L
, por meio
da qual pode ser calculado o módulo de elasticidade transversal
G.
L
T c!
"máx Fig. 3.22 Fig. 3.
Máquina de teste de torção.
3.6. Eixos estaticamente indeterminados^ Vimos na Seção 3.4 que, para determinar as tensões em um eixo, eranecessário primeiro calcular os momentos torçores internos nas várias seçõesdo eixo. Esses momentos eram obtidos por meio da estática, desenhando odiagrama de corpo livre da parte do eixo localizada em um lado de determi-nada seção e escrevendo que a soma dos momentos exercidos naquela parteera zero.No entanto, há situações nas quais os momentos de torção internos nãopodem ser determinados somente pela estática. Na verdade, nesses casos ospróprios momentos externos, isto é, os torques aplicados no eixo pelos apoiose conexões não podem ser determinados pelo diagrama de corpo livre do eixointeiro. As equações de equilíbrio devem ser complementadas por relaçõesque envolvem as deformações do eixo e obtidas considerando-se a geome-tria do problema. Em virtude da estática não ser suficiente para determinaros momentos externos e internos, dizemos que os eixos são
estaticamente
indeterminados
. O exemplo apresentado a seguir e o Problema Resolvido
Para o conjunto da Fig. 3.26, sabendo que 3.5 mostrarão como analisar eixos estaticamente indeterminados.
r^5 A^ 2 r , determine B
o ângulo de rotação da extremidade
E^ do eixo
BE^ quando lhe é
aplicado o torque
T^ em^ E
Primeiro determinamos o torque
T aplicado ao eixo AD^
AD.
Observando que forças
F^ e^ F ¿ iguais e opostas são aplicadas nas
duas engrenagens em
C^ (Fig. 3.27), e lembrando que
r^5 A^ 2 r , B
concluímos que o torque aplicado no eixo
AD^ é duas vezes maior
que o torque aplicado no eixo
BE ; assim,
T^5 AD^
2 T.
A^
B F C F ' rA^
rB
Como a extremidade
D^ do eixo
AD^ está fixa, o ângulo de
rotação
fda engrenagem A^
A^ é igual ao ângulo de torção do eixo,
e é obtido escrevendo-se
T f A
LAD JG
2 TL^ JG
Observando que os arcos
CC ¿^ e
CC –^
na Fig. 3.
b^ devem ser
iguais, escrevemos que
r f^5 AA^
r fe obtemos BB^ f^1 B^ rr^2 f A^ B
2 f A A
Temos, portanto,
f^2 B^
(^4) f A
TL JG
Considerando agora o eixo
BE , lembramos que o ângulo de
torção desse eixo é igual a
fe corresponde ao giro da extremi- E / B^
dade^ E
em relação à extremidade
B. Temos f E^ B
TLBE^ JG
TL JG
O ângulo de rotação da extremidade
E^ é obtido escrevendo-se 4 TL^ JG
TL JG
5 TL^ JG
ff E^
f B E B
EXEMPLO 3.
173
Fig. 3.
174
Torção Um^ eixo
circular
AB^ consiste
em^ um
cilindro
de^ aço
de
240 mm de comprimento e 22 mm de diâmetro, no qual foi feitoum furo de 120 mm de profundidade e 16 mm de diâmetro naextremidade
B. O eixo está engastado a suportes fixos em ambas as extremidades, e é aplicado um torque de 120 N · m na sua seçãomédia (Fig. 3.28). Determine o torque aplicado no eixo por cadaum dos suportes.
Desenhando o diagrama de corpo livre do eixo e chamandode T e^ T A^ B^ os torques aplicados pelos suportes (Fig. 3.
a ), obte-
mos a equação de equilíbrio
TTA^
120 N B
m
Como essa equação não é suficiente para determinar os dois tor-ques desconhecidos
T e^ A^ T , o eixo é estaticamente indetermi- B
nado.No entanto,
T e^ T A^
podem ser determinados se observarmos B
que o ângulo de torção total do eixo
AB^ deve ser zero, pois am-
bas as extremidades estão rigidamente fixadas. Chamando de
f^1
e^ f, respectivamente, os ângulos de torção das partes^2
AC^ e^
CB ,
escrevemos
f^ f
f 1 2
Com base no diagrama de corpo livre de uma pequena partedo eixo incluindo a extremidade
A^ (Fig. 3.
b ), notamos que
o momento torçor interno
T em^1
AC^ é igual a
T. Por meio do A
diagrama de corpo livre de uma pequena parte do eixo incluindoa extremidade
B^ (Fig. 3.
c ), notamos que o momento torçor
interno
T em^2
CB^ é igual a
T. Usando a Equação (3.16) e obser- B
vando que as partes
AC^ e^ CB
do eixo giram em sentidos opostos,
escrevemos
f^ f
f 1 2
TLA^1^ JG^1
TLB^2^ JG^^2
Resolvendo para o torque
T , temos B^ TB
LJ^1 2^ TA LJ^2
Substituindo os valores numéricos^ J^2
1 p^ 3 10,011 m 2
4 21 0,008 m
8 4 m
(^1) J p 1 2 1 0,011 m
8 4 m LL^1
120 mm 2
obtemos
T 0,720 B^
TA
Substituindo essa expressão na equação de equilíbrio original, es-crevemos
T 69,77 N A^
m^
T 50,23 N B^
m
1,720^ T
120 N A
m
EXEMPLO 3.
120 mm
120 mm 120 N · m
B
A
( a ) ( b )
( c )
T B
T^1
T^2 T A
T B
T A A A
C
B B 120 N · m Fig. 3.28 Fig. 3. 174
175
PROBLEMA RESOLVIDO 3.3 O eixo horizontal
AD^ está engastado a uma base rígida em
D^ e submetido aos torques
mostrados na figura. Foi feito um furo de 44 mm de diâmetro na parte
CD^ do eixo.
Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual
G^^5 77 GPa, determine o ângulo
de torção na extremidade
A.
SOLUÇÃO^ Como o eixo consiste em três partes
AB ,^ BC
e^ CD , cada uma delas com seção
transversal constante e momento torçor interno constante, pode ser utilizada a Equa-ção (3.17).^ Estática.
Cortando o eixo em uma seção transversal entre
A^ e^ B e utilizando o
diagrama de corpo livre mostrado na figura, encontramos
1 250 N
m^2
TAB^
TAB^
250 N^
m
© Mx^
Cortando agora o eixo em uma seção entre
B^ e^ C , temos
1 250 N
m^2
1 2 000 N
m^2
TBC^
TBC^
2 250 N
m
© Mx^
Como não é aplicado nenhum torque em
C ,
TCD^
TBC^
2 250 N
m
Momentos polares de inércia JCD
p^4 1 c^22
(^4) c^2 p3 10,030^2
(^4) m 2 1 0,022 m
6 4 m
JBC
p^4 c 2
p^1 0,030 m^2
6 4 m
JAB
p^4 c 2
p^1 0,015 m^2
6 4 m
Ângulo de torção.
Utilizando a Equação (3.17) e lembrando que
G^^5 77 GPa
para o eixo inteiro, temos
f2,31° A^
f^1 A^
0,0403 rad
360° 2 2 p^ rad 0,
0,0403 rad
f A
(^11) c 77 GPa
250 N^
m^2 ˛^1 0,4 m
6 4 m
1 2 250^2
˛ 1 0,2^2
1,^
1 2 250^2
˛ 1 0,6^2
0,^
d (^6 )
f A^
TLi a i
(^1) i a JG G^ i
TLABAB^ JAB
TLBCBC^ JBC
TLCDCD^ JCD
b
B
D
C
A 2 000^ N · m 0,2 m0,4 m 0,6 m
60 mm
(^250) 30 mm N · m
44 mm x A T AB
250 N · m^ B
A T BC^ 2 000
N · m^250
N · m^ x^ 22 mm
15 mm
30 mm^
30 mm
AB^
BC^
CD C
B^
f^ A A
D
176
PROBLEMA RESOLVIDO 3.4 Dois eixos cheios de aço estão acoplados pelas engrenagens mostradas na figura. Sa-bendo que para cada eixo
G^^5 77,2 GPa, e que a tensão de cisalhamento admissível é
de 55 MPa, determine (
a ) o maior torque
T que pode ser aplicado à extremidade^0
A^ do
eixo^ AB
e ( b ) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade
A^ do eixo
AB^ gira.
SOLUÇÃO^ Estática.
Chamando de
F^ a intensidade da força tangencial entre os dentes da
engrenagem, temos^ Engrenagem
B^.
Engrenagem
C^.^
F^1 62 mm
2 TCD
© MC^
0:^
TCD^
2,82 T^0
F^1 22 mm
2 T^0
© MB^
0:^
Cinemática.
Notando que os movimentos periféricos das engrenagens são iguais, escrevemos
r f BB^
r f CC^
f B^
rC f C rB
62 mm f C 22 mm
f C^
a.^ Torque
T^0
Eixo^ AB
.^ Com
T^5 AB^
T e^ c^0 ^5 9,5 mm, juntamente com uma tensão de cisalha-
mento máxima admissível de 55 MPa, escrevemos^ t^
TcAB^ J^
55 MPa
T^0
1 9,5 mm
1 p^1 9,5 mm 2
T 74,07 N^0
m
Eixo^ CD
.^ De (1) temos
T^5 CD^
2,82^ T
. Com 0 c^^5 12,5 mm e
t^5 adm^
55 MPa,
escrevemos^ t^
TcCD^ J^
55 MPa
T^1 12,5 mm^0
1 p^1 12,5 mm 2
T 59,84 N^0
m
Torque máximo permitido.
Escolhemos o menor valor obtido para
T^0
T 59,84 N^0
m
b****. Ângulo de rotação da extremidade A.
Primeiro calculamos o ângulo de tor-
ção para cada eixo.^ Eixo
AB****.^ Para
T^5 AB^
T^5 59,84 N^0
?^ m, temos
f A^ B
TLAB^ JG
1 59,84 N
m^2 ˛^1 0,650 m
1 p^1 0,0095 m 2
2 N/m^2
0,0394 rad
Eixo^ CD
.^ T^5 CD^
2,82^ T
5 2,82(59,84 N · m) 0
f C^ D
TLCD^ JG
2,82^1 59,84 N
m^2 ˛^1 0,900 m
1 p^1 0,012 m 2
2 N/m^2
0,0604 rad
Como a extremidade
D^ do eixo
CD^ está fixa, temos
f^5 C^
f^5 C y D^
3,46°. Usando
(2), calculamos que o ângulo de rotação da engrenagem
B^ deve ser
f2,82 B^
f2,82 C^
1 3,46°^2
Para a extremidade
A^ do eixo
AB , temos
f12,02° A^
ff A^
f B A
9,76° B
900 mm25 mm 19 mm^ 650 mm 22 mm 62 mm
A^
D T^0
C
B C^
T AB^ B
5 T^0
T CD
F F
r^5 62 mm C^
r^5 22 mm B^ f^ C C^
f^ B B r = 22 mm B
r = 62 mm C^
B^ 650 mm
T^5 T AB^
0
T^5 T AB^
c^ = 9,5 mm^0
A 900 mm
T CD
c^ = 12 mm T CD
D
C C B
D A !"^ 12,02 A^
!^ "^ 9,76 B
!^ "^ 3,46 C^
3.^
Os torques mostrados são aplicados nas polias
A ,^ B^ e
C. Sabendo que
ambos os eixos têm seção transversal cheia e são feitos de latão (
G^^5 39 GPa), deter-
mine o ângulo de torção entre (a)
A^ e^ B^ e ( b )^ A e^ C.
800 N · m 40 mm 1,8 m
C
1200 N · m 30 mm 400 N · m
B 1,2 m A
3.^
A barra de alumínio
BC^ ( G
^5 26 GPa) está ligada à barra de latão
AB
( G^^5 39 GPa). Sabendo que cada barra é de seção cheia e tem um diâmetro de 12 mm,determine o ângulo de torção (
a ) em^ B^ e ( b ) em
C.
3.^
A barra de alumínio
AB^ ( G
^5 27 GPa) está ligada à barra de latão
BD
( G^^5 39 GPa). Sabendo que a parte
CD^ da barra de latão é vazada e tem um diâmetro
interno de 40 mm, determine o ângulo de torção em
A.
3.^
Três eixos sólidos, cada um deles com 19,05 mm de diâmetro, são conec- tados pelas engrenagens mostradas. Sabendo que
G^^5 77,2 GPa, determine (
a ) o ângu-
lo de torção na seção
A^ do eixo
AB^ e ( b ) o ângulo de torção da seção
E^ do eixo
EF.
A^
4 in. 152,4 mm
9 144 mm B 50,8 mm 1 219 mm
C
E
D F r^ 38,1 mm
T 11,30 kN · mm A^ T 22,60 kN · mm E^
400 mm
375 mm
D 250 mm 60 mm 36 mm T^5 800 N · m A^
T^5 1600 N · m B^
C B A
Latão
200 mm 300 mm
A B^ Alumínio C^ 100 N · m
Fig. P3.
Fig. P3.37 Fig. P3.
Fig.^ P3.
Problemas
^179
180
Torção^
3.^
Dois eixos, cada um com diâmetro de 22,2 mm, são conectados pelas engrenagens mostradas na figura. Sabendo que
G^^5 77,2 GPa e que o eixo está fixo
em^ F , determine o ângulo pelo qual a extremidade
A^ gira, quando lhe é aplicado um
torque de 135,6 N
?^ m.
3.^
Dois eixos de seção transversal cheia estão acoplados por engrenagens, conforme mostra a figura. Sabendo que
G^^5 77,2 GPa para cada eixo, determine o
ângulo de rotação da extremidade
A^ quando
T^5 1 200 N A^
?^ m.
T
E F^
B
A 110 mm
150 mm300 mm
200 mm
150 mm
D C
D
240 mm
80 mm B
A T A
C 42 mm 1,6 m
60 mm 1,2 m
3.^
Resolva o Problema 3.41, considerando que o diâmetro de cada eixo seja de 54 mm.^ 3.
Um tacômetro
F , utilizado para registrar em forma digital a rotação do
eixo^ A , é conectado ao eixo por meio do trem de engrenagens mostrado, valendo-se dequatro engrenagens e três eixos de aço de seção cheia e diâmetro
d. Duas das engrena-
gens têm raio
r^ e as outras duas têm raios
nr. Se a rotação do tacômetro
F^ for impedi-
da, determine em termos de
T ,^ l ,^ G
,^ J^ e^ n , o ângulo pelo qual a extremidade
A^ gira.
3.^
Para o trem de engrenagens descrito no Problema 3.43, determine o ân- gulo pelo qual a extremidade
A^ gira quando
T^^5 565 N
?^ mm,^ l^^5 61 mm,
d^^5 1,59 mm,
G^^5 77,2 GPa e
n^^5 2.
F
E nr^ D
r^ C
l
T A nr^ B l
l
r A
Fig. P3.
Fig. P3.
Fig.^ P3.
3.^
As especificações de projeto de um eixo de transmissão de seção cheia de 1,2 m de comprimento requerem que o ângulo de torção do eixo não exceda 4°quando for aplicado um torque de 750 N
?^ m. Determine o diâmetro necessário para
o eixo, sabendo que ele é feito de um aço com tensão de cisalhamento admissível de90 MPa e um módulo de elasticidade transversal de 77,2 GPa.^ 3.
Um furo é feito em uma chapa de plástico em
A^ através de uma força
P
de 600 N, aplicada à extremidade
D^ da alavanca
CD , que está rigidamente conectada
ao eixo cilíndrico
BC. Especificações de projeto exigem que o deslocamento do ponto D^ não exceda 15 mm desde o momento em que o punção toca a chapa até o ponto emque ele efetivamente penetra no plástico. Determine o diâmetro necessário para o eixo BC^ feito com aço de
G^^5 77 GPa e
t^5 adm^
80 MPa.^ 500 mm P
300 mm
A
C D B
3.^
As especificações de projeto para o sistema de engrenagem e eixo de transmissão mostrados requerem que o mesmo diâmetro seja utilizado para osdois eixos e que o ângulo de torção da polia
A^ quando submetida a um torque de
226 N^
?^ m ao mesmo tempo em que a polia
D^ é mantida fixa não pode sofrer giro su-
perior a 7,5°. Determine o diâmetro necessário para ambos os eixos feitos de aço com G^^5 77,2 GPa e tensão de cisalhamento admissível
t^5 adm^
82,7 MPa.
203,2 mm A
152,4 mm 127,0 mm 406,4 mm
50,8 mm B^ C
T A T D D
3.^
Resolva o Problema 3.47, considerando que ambos os eixos são feitos de latão com
G^^5 38,6 GPa e
t^5 adm^
55,2 MPa. Fig. P3.46 Fig. P3.
Problemas
^181
182
Torção^
3.^
O projeto do sistema de engrenagem e eixo mostrado na figura requer que sejam utilizados eixos de aço de mesmo diâmetro para
AB^ e^
CD. É necessário
também que
t#adm^
60 MPa e que o ângulo
fpelo qual a extremidade D^
D^ do eixo
CD^ gira não exceda 1,5°. Sabendo que
G^^5 77 GPa, determine o diâmetro necessário
para os eixos.^ 3.
O motor elétrico aplica um torque de 800 N
^ m ao eixo de aço
ABCD
quando a rotação tem velocidade constante. Especificações de projeto requerem que odiâmetro do eixo seja uniforme entre
A^ e^ D^
e que o ângulo de torção entre
A^ e^ D^
não
exceda 1,5°. Sabendo que
t#adm^
60 MPa e
G^^5 77 GPa, determine o menor diâmetro
possível para esse eixo.^ 3.
Os cilindros sólidos
AB^ e^ BC
estão conectados em
B^ e estão engastados
em suportes fixos em
A^ e em
C. Sabendo que os módulos de rigidez são 25,5 GPa para
o alumínio e 38,6 GPa para o latão, determine a máxima tensão de cisalhamento (
a )
no cilindro
AB^ e (
b ) no cilindro
BC.
3.^
Resolva o Problema 3.51, considerando que o cilindro
AB^ é feito de aço
com^ G ^5 77,2 GPa.
A
40 mm 100 mm C B^
T^ = 1 000 N · m D
400 mm
600 mm
A
0,3 m 0,6 m
0,4 m^
C
B
500 N · m
300 N · m
D
304,8 mm38,1 mm 457,2 mm50,8 mm A B C
Alumínio T^1 412 kN · mm Latão
Fig. P3.
Fig.^ P3.
Fig. P3.
3.7. Projeto de eixos de transmissão^ As principais especificações a serem observadas no projeto de um eixode transmissão são a
potência
a ser transmitida e a
velocidade de rotação
do
eixo. O papel do projetista é selecionar o material e as dimensões da seçãotransversal do eixo, de modo que as tensões de cisalhamento máximas admis-síveis do material não sejam ultrapassadas quando o eixo estiver transmitindoa potência necessária com a velocidade especificada.Para determinarmos o torque aplicado ao eixo, recordamos que no estudoda dinâmica elementar vimos que a potência
P^ associada à rotação de um
corpo rígido submetido a um torque
T^ é P T v
em que
v^ é a velocidade angular do corpo expressa em radianos por segundo.
Contudo,
v^5
2 p f , em que
f^ é a frequência da rotação, isto é, o número de
revoluções por segundo. A unidade de frequência é, então, 1
21 s e é chamada
de um
hertz^
(Hz). Substituindo
v^ na Equação (3.19), escrevemos^ P^
2 p^ f T
Se forem utilizadas unidades SI, verificamos que, com
f^ expressa em Hz e
T^ em N
?^ m, a potência é expressa em N
?^ mys, ou seja, em
watts
(W). Da
Equação (3.20), obtemos o torque aplicado
T^ em um eixo, quando ele trans-
mite uma potência
P^ a uma frequência de rotação
f ,
T^
P 2 p^ f
em que
P ,^ f^ e^
T^ são expressos nas unidades indicadas acima.
Após determinar o torque
T^ que será aplicado ao eixo e tendo selecionado
o material a ser utilizado, o projetista usará os valores de
T^ e da tensão máxi-
ma admissível na fórmula da torção elástica (3.9). Resolvendo esta equaçãopara^ J
y c , temos
J c
T tmáx
e obtemos dessa maneira o valor mínimo admissível para o parâmetro
J y c.
Verificamos que, se forem utilizadas unidades SI,
T^ será expresso em N
?^ m,
tem Pa (ou Nmáx^
2 ym), e
J y c^ será obtido em m
3. No caso de um eixo circular
cheio,
1 J 5 2
4 p c
e^ J y c^
15 p 2
3 c substituindo esse valor de
J y c^ na Equação
(3.22) e resolvendo-a para
c,^ obtemos o valor mínimo admissível do raio do
eixo. No caso de um eixo circular vazado, o parâmetro crítico é
J y c , em que^2
c é o raio externo do eixo; o valor desse parâmetro pode ser calculado da^2 Equação (3.11) da Seção 3.4 para determinar se uma dada seção transversalserá aceitável.Quando forem utilizadas unidades inglesas, a frequência geralmenteserá expressa em rpm e a potência, em hp. É necessário então, antes deaplicar a fórmula (3.21), converter a frequência em rotações por segundo
3.7. Projeto de eixos de transmissão
^185
186
Torção^
(isto é, hertz) e a potência em pé
?^ lby
s ou pol
?^ lby
s com o uso das se-
guintes relações:
1 hp^
746 N
m/s
746 kN
mm
/s
1 rpm^
11 s^60
Hz
Se expressarmos a potência em N
?^ mys, a Equação (3.21) dará o valor do
torque
T^ em N
?^ m. Usando esse valor de
T^ na Equação (3.22), e expressando
tem Nmáx^
2 ym, obtemos o valor do parâmetro
J y c^ em m
EXEMPLO 3.6 Qual a dimensão do diâmetro do eixo que deverá ser utilizadopara o rotor de um motor de 5 hp que opera a 3 600 rpm, se a ten-são de cisalhamento não deve exceder 60 MPa no eixo?Primeiro expressamos a potência do motor em m
?^ Nys e sua
frequência em ciclos por segundo (ou hertz).
f^^1 3 600 rpm
1 Hz 2 60 rpm
60 Hz 60 s
(^1)
P^^1 5 hp
746 N 2 a m/sb 1 hp^
3 730 N
m/s
O torque aplicado ao eixo é dado pela Equação (3.21):
T^
P 2 p^ f
3 730 N
m/s 2 p^1 60 s
9,89 N
m.
Substituindo
T^ e^ tmáx
na Equação (3.22), escrevemos J^ T c^ tmáx
9,89 N
m 60 10
6 2 N/m
6 3 m
Contudo,
J^ c^
13 p c para um eixo sólido. Temos, portanto, 2^ d
^2 c^
9,4 mm c^ 4,
3 m 13 p c 2
0,^
6 10 m 3
Deverá ser utilizado um eixo de 9,4 mm.
EXEMPLO 3.7 Um eixo que consiste em um tubo de aço com 50 mm de diâme-tro externo deve transmitir 100 kW de potência girando a umafrequência de 20 Hz. Determine a espessura do tubo que deveráser utilizado de modo que a tensão de cisalhamento não exceda60 MPa.O torque aplicado ao eixo é dado pela Equação (3.21):
T^
P 2 p^ f
3 10 W 2 p 1 20 Hz^2
795,8 N
m
Da Equação (3.22) concluímos que o parâmetro
J y c deve ser^2
pelo menos igual a^ J^ c^2
T tmáx
795,8^ N
m 60 10
6 2 N/m
6 3 m
Contudo, da Equação (3.10), temos^ J^ c^2
p^41 c^2 2 c^2
(^4) c^2
p3 1 0,^
4 c^4
Igualando os membros da direita das Equações (3.23) e (3.24):^ c^1
20,^
3 10 m 20,6 mm (^4) c 390,6 1
9 4 m
4 42 c^1
0,050^ p^
1 13,^
A espessura correspondente do tubo é
cc^2
25 mm 1
20,6 mm
4,4 mm
Deverá ser utilizado um tubo com espessura de 5 mm.
3.8. Concentração de tensões em eixos circulares^ A fórmula da torção
t^5 máx^
Tc y J^
foi deduzida na Seção 3.4 para um eixo
circular de seção transversal uniforme. Além do mais, consideramos ante-riormente, na Seção 3.3, que o eixo estava carregado em suas extremidadespor placas rígidas presas a ele solidamente. No entanto, na prática, os torquessão geralmente aplicados ao eixo por meio de acoplamentos com flange (Fig.3.30 a ) ou de engrenagens conectadas ao eixo por chavetas que se encaixamem cortes (Fig. 3.
b ). Em ambos os casos espera-se que a distribuição de
tensões na seção e proximidades, em que os torques são aplicados, seja dife-rente daquela dada pela fórmula de torção. Por exemplo, ocorrerão altas con-centrações de tensões nas proximidades do corte da chaveta mostrada na Fig.3.30 b. A determinação dessas tensões localizadas pode ser feita por métodosexperimentais de análise de tensão ou, em alguns casos, por meio da teoriamatemática da elasticidade.Conforme indicamos na Seção 3.4, a fórmula da torção também pode serutilizada para um eixo de seção transversal variável. No entanto, no caso deum eixo com uma mudança abrupta no diâmetro de sua seção transversal,as concentrações de tensões ocorrerão próximas da descontinuidade, com asmais altas tensões ocorrendo em
A^ (Fig. 3.31). Essas tensões podem ser redu-
( a )^ ( b )
zidas com o adoçamento do ângulo, e o valor máximo da tensão de cisalha-mento no adoçamento pode ser expresso como
tmáx^
TcK^ J^
em que a tensão
Tc y J^
é a tensão calculada para o menor diâmetro de eixo,
e na qual
K^ é o coeficiente de concentração de tensão. Como o coefi ciente
K^ depende somente da relação entre os diâmetros e da relação entre o raiodo adoçamento e o menor diâmetro, ele pode ser calculado e registrado naforma de uma tabela ou gráfico, como mostra a Fig. 3.32. Devemos notar,no entanto, que esse procedimento para determinar tensões de cisalhamen-to localizadas é válido somente quando o valor de
t, dado pela Equaçãomáx
(3.25), não exceder o limite de proporcionalidade do material. Isso ocorreporque os valores de
K^ representados graficamente na Fig. 3.32 foram obtidos
admitindo-se a hipótese de que a relação tensão-deformação no cisalhamentoé linear. Se ocorrerem deformações plásticas, elas resultarão em valores detensão máxima menores do que aqueles indicados pela Equação (3.25).
A
d
D
Fig. 3.
Fig. 3.
Fig. 3.
Coeficientes de concentração de tensão para adoçamentos em eixos circulares.
†
1,8 1,7 1,6 1,5 K
r D
1,4 1,3 1,2 1,1 1,0^0
0,05^ 0,
r / d D^5 1,111 d^ D^5 d^
1,25^ D^5 1,666 d^
D^5 2 d^
d D 5 2,5 d
† PILKEY, W. D.
Petersons stress concentration factors
. 2. ed. Nova York: John Wiley & Sons,
187
3.8. Concentração de tensões em
eixos circulares
188
PROBLEMA RESOLVIDO 3.6 O eixo de seção variável mostrado deve girar a 900 rpm transmitindo potência de umaturbina para um gerador. A classe do aço especificado no projeto tem uma tensão decisalhamento admissível de 55 MPa. (
a ) Para o projeto preliminar mostrado, deter-
mine a potência máxima que pode ser transmitida. (
b ) Se no projeto final o raio do
adoçamento for aumentado de modo que
r^^5 24 mm, qual será a variação percentual
em relação ao projeto preliminar, na potência que pode ser transmitida? SOLUÇÃO^ a. Projeto preliminar.
Usando a notação da Fig. 3.32, temos
D^^5
190 mm,
d^^5 95 mm,
r^^5 14 mm.^ D^ d
190 mm^ 95 mm
r^ 14 mm d^ 95 mm
Da Fig. 3.32 foi encontrado um coeficiente de concentração de tensão
K^^5 1,33.
Torque.
Usando a Equação (3.25), escrevemos
tmáx^
TcK^ J^
JT c tmáx^ K^
em que
J y c^ refere-se ao diâmetro menor do eixo: J^ c^
13 p c 2
1 p^1 47,5 2
3 2 m^2
1,^
4 10 m 3
e em que
tmáx^ K
55 MPa^ 1,^
41,4 MPa
Substituindo na Equação (1), encontramos
T^^5
(1,68^3
(^3) m)(4,14 MPa)
6 955 N
?^ m. Potência.^
Como^
f^^1 900 rpm
1 Hz 2 60 rpm
15 Hz 15 s
1 , escrevemos P 878 hp a^
P^1 a^
655 493 N
m/s^21
1 hp^ 746 N
m/s^2
P^2 a^
p^ f T^
2 p^1 15 s
1 21 6 955 N
m^2
655 493 N
m/s
b.^ Projeto final.
Para^ r
^5 24 mm D^2 d^
r^ 24 mm d^ 95 mm
K^ 1,
Seguindo o procedimento utilizado acima, escrevemos
P^1 b^
731 552 N
m/s^21
1 hp^ 746 N
m/s^2 981 hp
P^2 b^
p^ f T^
2 p^1 15 s
1 21 7 762 N
m^2
731 552 N
m/s
J T c tmáx^ K^
1 1,^
4 10 m 321 46,2 MPa
2 7 762 N
m
tmáx^ K
55 MPa^ 1,^
46,2 MPa
Variação percentual na potência
Variação percentual
PPb^ a^100 Pa
95 mm^
r^^5 14 mm
190 mm t^ máx t m 5 5 41,4 MPa^ K T 5 6 955 N · m a
r^^5 14 mm T^5 7 762 N · m b^
r^^5 24 mm t^ máx t m 5 5 46,2 MPa^ K
3.^
Um eixo de seção transversal cheia feita de aço com 1 524 mm de com- primento e 22,2 mm de diâmetro deve transmitir 18 hp. Determine a velocidade míni-ma na qual o eixo pode girar, sabendo que
G^^5 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento
admissível é de 31 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder 3,5°.^ 3.
Um eixo de aço de 2,5 m de comprimento e 30 mm de diâmetro gira a uma frequência de 30 Hz. Determine a potência máxima que o eixo pode transmitir,sabendo que
G^^5 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder 7,5°.^ 3.
Um eixo de aço deve transmitir 150 kW à velocidade de 360 rpm. Sa- bendo que
G^^5 77,2 GPa, projete um eixo de seção transversal cheia de modo que a tensão máxima não exceda 50 MPa e que o ângulo de torção em um comprimento de2,5 m não exceda 3°.^ 3.
Um eixo de aço tubular de 1,5 m de comprimento, com diâmetro externo d de 38 mm e diâmetro interno^1
d de 30 mm, deve transmitir 100 kW entre uma tur-^2
bina e um gerador. Determine a frequência mínima na qual o eixo pode girar, sabendoque^ G^ 5 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento admissível é 60 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder 3°.^ 3.
Um eixo de aço tubular de 1,5 m de comprimento e diâmetro externo d de 38 mm deve ser feito de um aço para o qual^1
t^5 adm^
65 MPa e
G^^5 77,2 GPa.
Sabendo que o ângulo de torção não deve exceder 4° quando o eixo é submetido aum torque de 600 N
?^ m, determine o maior diâmetro
d que pode ser especificado no^2
projeto.^ 3.
O eixo de seção variável mostrado gira a 450 rpm. Sabendo que r^^5 5,08 mm, determine a potência máxima que pode ser transmitida sem exceder atensão de cisalhamento admissível de 51,7 MPa.^ 3.
O eixo de seção variável da figura gira a 450 rpm. Sabendo que
r^^5
12,7 mm, determine a potência máxima que pode ser transmitida sem exceder a tensãode cisalhamento admissível de 51,7 MPa.^ 3.
O eixo de seção variável mostrado na figura deve rotacionar com uma frequência de 50 Hz. Sabendo que o raio do adoçamento é
r^^5 8 mm e que a tensão
de cisalhamento admissível é de 45 MPa, determine a potência máxima que pode sertransmitida.^ 3.
Sabendo que o eixo de seção variável mostrado na figura deve transmitir 45 kW na velocidade de 2 100 rpm, determine o raio
r^ mínimo do adoçamento para
que a tensão de cisalhamento admissível de 50 MPa não seja excedida.^ 3.
O eixo de seção variável mostrado na figura deve transmitir 45 kW. Sa- bendo que a tensão de cisalhamento admissível no eixo é de 40 MPa e que o raio doadoçamento é
r^^5 6 mm, determine a rotação mínima possível no eixo.
d 38 mm^1
d^2
150 mm
125 mm
r T '
T 60 mm
30 mm
Fig.^ P3.
e P3.
Fig.^ P3.
e^ P3. Fig. P3.86, P3.87 e P3.
Problemas
^191
192
Torção^
3.^
No eixo de seção variável mostrado na figura, que tem um adoçamento de um quarto de circunferência completa, a tensão de cisalhamento admissível é de80 MPa. Sabendo que
D^^5 30 mm, determine o maior torque admissível que pode ser
aplicado ao eixo se (
a )^ d^^5 26 mm e (
b )^ d^^5 24 mm.
3.^
O eixo de seção variável mostrado na figura tem um adoçamento de um quarto de circunferência completa,
D^^5 31,8 mm e
d^^5 25,4 mm. Sabendo que
a velocidade do eixo é 2 400 rpm e que a tensão de cisalhamento admissível é de51,7 MPa, determine a potência máxima que pode ser transmitida pelo eixo.^ 3.
Um torque de intensidade
T^^5 22,6 N
?^ m é aplicado ao eixo de seção
variável mostrado na figura, que tem um adoçamento de um quarto de circunferênciacompleta. Sabendo que
D^^5 25,4 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima
no eixo quando (
a )^ d^^5 20,3 mm e (
b )^ d^^5 22,9 mm.
*3.9. Deformações plásticas em eixos circulares^ Quando deduzimos as Equações (3.10) e (3.16), que definem, respectiva-mente, a distribuição de tensão e o ângulo de torção de um eixo circular sub-metido a um
momento torçor
T , consideramos que a lei de Hooke se aplicava
ao eixo todo. Se a tensão de escoamento for excedida em uma parte do eixo,ou se o material envolvido for um material frágil com um gráfico tensão--deformação não linear no cisalhamento, essas relações deixam de ser váli-das. A finalidade dessa seção é desenvolver um método mais geral, que podeser utilizado quando a lei de Hooke não pode ser aplicada, para determinar adistribuição de tensões em um eixo de seção circular cheia, e para calcular otorque necessário para produzir um ângulo de torção.Primeiro lembramos que nenhuma relação entre a tensão e a deforma-ção específica foi considerada na Seção 3.3, quando provamos que a defor-mação de cisalhamento
g^ varia linearmente com a distância
r^ do centro do
eixo (Fig. 3.33).
r^!^ ( D^ D d^1^ "^ d )^2
O adoçamento de um quarto decircunferência completa estende-seaté a borda do eixo maior.
Assim, podemos ainda usar essa propriedade em nossa análise atual eescrever
r g^ c
gmáx^
em que
c^ é o raio do eixo.
O
$^ máx^ c
Fig. P3.89, P3.90 e P3.
Fig. 3.
Considerando que o valor máximo
tda tensão de cisalhamentomáx^
t^ foi
especificado, o gráfico de
t^ em função de
r^ pode ser obtido da seguinte for-
ma. Primeiro determinamos, por meio do gráfico tensão-deformação no ci-salhamento, o valor de
gcorrespondente amáx^
t(Fig. 3.34), e usamos essemáx^
valor na Equação (3.4). Depois, para cada valor de
r, determinamos o valor
%^!^ f (^ ) %
$ $ máx
%^ máx
correspondente de
g^ da Equação (3.4) ou da Fig. 3.33 e obtemos, do gráfico
da tensão em função da deformação da Fig. 3.34, a tensão de cisalhamento
t
correspondente a esse valor de
g. Construindo um gráfico de
t^ em função de
r, obtemos a distribuição desejada de tensões (Fig. 3.35).Lembramos agora que, quando deduzimos a Equação (3.1) na Seção 3.2,não consideramos nenhuma relação particular entre tensão e deformação nocisalhamento. Podemos portanto utilizar a Equação (3.1) para determinar otorque
T^ correspondente à distribuição de tensão de cisalhamento obtida na
Fig. 3.35. Considerando um elemento anular de raio
r^ e espessura
d r, expres-
samos o elemento de área na Equação (3.1) como
dA^^5
2 Sr^ d
r^ e escrevemos
ou
T^^2
c p^ r 0
2 t^ d r
T
c^ rt^120
pr^ d r
em que
t^ é a função de
r^ representada na Fig. 3.35.
Se^ t^ for uma função analítica conhecida de
g, a Equação (3.4) pode ser utili-
zada para expressar
t^ em função de
r, e a integral em (3.26) pode ser determinada
analiticamente. Em contrapartida, o torque
T^ pode ser obtido por meio de uma
integração numérica. Esse cálculo torna-se mais significativo se notarmos que aintegral na Equação (3.26) representa o momento de segunda ordem, ou momentode inércia, com relação ao eixo vertical da área localizada acima do eixo horizon-tal e limitada pela curva de distribuição de tensões mostrada na Fig. 3.35.Um valor importante do torque é o torque-limite
T , que provoca a falha L
do eixo. Esse valor pode ser determinado por meio do limite da tensão decisalha mento
tdo material, impondo L^
tmáx^
5 t L^
e executando os cálculos
indicados anteriormente. No entanto, considera-se mais conveniente na prá-tica determinar
T experimentalmente ensaiando um corpo de prova de um L^
material, em torção, até que ele se rompa. Considerando uma distribuiçãolinear fictícia de tensões, a Equação (3.9) é utilizada para determinar a tensãode cisalhamento máxima correspondente
R : T
RT
TcL^ J^
Fig. 3.
t O
t^ máx^ r c
Fig. 3.
193
3.9.Deformações plásticas em
eixos circulares
194
Torção^
A tensão fictícia
R é chamada de T^
módulo de ruptura em torção
de um ma-
terial. Ela pode ser utilizada para determinar o torque-limite
T de um eixo L^
feito do mesmo material, mas de dimensões diferentes, resolvendo a Equação(3.27) para
T. Como as distribuições de tensões real e linear fictícia mostra- L
das na Fig. 3.36 devem resultar no mesmo valor
T para o torque-limite, as L^
O
r t
RT t^ L^ c
áreas que elas definem precisam ter o mesmo momento de inércia com rela-ção ao eixo vertical. É claro então que o módulo de ruptura
R será sempre T^
maior que o limite da tensão de cisalhamento real
t. L
Em alguns casos, podemos querer determinar a distribuição de tensões eo torque^ T
correspondente a determinado ângulo de torção
f. Isso pode ser
feito lembrando a expressão obtida na Seção 3.3 para a deformação de cisa-lhamento
g^ em termos de
f,^ r, e o comprimento
L^ do eixo:
rf g
L^
Com^ f
e^ L^ dados, podemos determinar da Equação (3.2) o valor de
g^ corres-
pondente a determinado valor de
r. Utilizando o gráfico da tensão em função
da deformação do material, podemos então obter o valor correspondente datensão de cisalhamento
t^ e construir um gráfico de
t^ em função de
r. Uma vez
obtida a distribuição de tensão de cisalhamento, o
momento torçor
T^ pode ser
determinado analiticamente ou numericamente conforme já explicado. *3.10. Eixos circulares feitos de um material elastoplástico^ Obtém-se um melhor conhecimento do comportamento plástico de umeixo em torção considerando o caso idealizado de um
eixo circular cheio feito
de um material elastoplástico.
O gráfico da tensão de cisalhamento em função
da deformação de cisalhamento desse material é mostrado na Fig. 3.37. Uti-lizando esse diagrama, podemos proceder conforme indicado anteriormentee determinar a distribuição de tensões por meio de uma seção do eixo paraqualquer valor do
momento torçor
T.
Desde que a tensão de cisalhamento
t^ não exceda a tensão de escoamento
t, aplica-se a lei de Hooke, e a distribuição de tensão ao longo da seção é E linear (Fig. 3.
a ), com
tdada pela Equação (3.9):máx^
tmáx
Tc^ J^
!! E
Fig. 3.
Fig. 3.
EXEMPLO 3.8 Um eixo circular cheio, com 1,2 m de comprimento e 50 mm dediâmetro, está submetido a um torque de 4,60 kN
?^ m em cada
extremidade (Fig. 3.40). Considerando que o eixo é feito de ummaterial elastoplástico com uma tensão de escoamento em cisa-lhamento de 150 MPa e um módulo de elasticidade transversal de77 GPa, determine (
a ) o raio do núcleo elástico e (
b ) o ângulo de
torção do eixo.
1,2 m
50 mm
4,60^ kN · m
4,60^ kN · m
(a) Raio do núcleo elástico.
Primeiro determinamos o
torque T no início do escoamento. Utilizando a Equação (3.28) E^ com^ t E
5 150 MPa,
c^^5 25 mm e (^1) J p 2
(^14) c 2 p^125
3 10 m
9 4 m
escrevemos^ TE
J t E^ c
9 10 m
6 10 Pa
3 m^
3,68 kN
m
Resolvendo a Equação (3.32) para (
(^3) ry c ) E e substituindo os va-
lores de
T^ e^ TE
, temos r E 0,630^ c^
r E
1 25 mm
2 15,8 mm
(^3) r E ab c
3 T 4 T
4 E
31 4,60 kN
m^2 3,68 kN
m^
(b) Ângulo de torção.
Primeiramente, determinamos o
ângulo de torção
fno início do escoamento da Equação (3.16): E^
93,^
3 10 rad
T f E
LE JG
1 3,^
3 10 N^
m^21 1,2 m
9 10 m
9 10 Pa^2
Resolvendo a Equação (3.36) para
f^ e substituindo os valores
obtidos para
fe^ r E^
y c , escrevemos E f f
93,4 E r cE
3 rad 0,^
148,^
3 10 rad
ou^ f^
3 rad^2 a
360 ° 2 p^ rad b^ 8,
*3.11. Tensão residual em eixos circulares^ Nas duas seções anteriores, vimos que em um eixo submetido a um
mo-
mento torçor
suficientemente alto, desenvolve-se uma região plástica, e que
as tensões de cisalhamento
t^ em qualquer ponto nessa região podem ser ob-
tidas do gráfico de tensão em função da deformação de cisalhamento da Fig.3.34. Se o
momento torçor
for removido, a redução da tensão e da deformação
que ocorrerá no ponto considerado ocorrerá ao longo de uma linha reta (Fig.3.41). Conforme será visto mais adiante nesta seção, o valor final da tensãoem geral não será zero. Haverá uma tensão residual em muitos pontos, e elapode ser positiva ou negativa. Notamos que, como no caso das tensões nor-mais, a tensão de cisalhamento continuará diminuindo até atingir um valorigual ao seu valor máximo em
C^ menos duas vezes a tensão de escoamento
do material.
E 0
C !
2 E ! E Fig. 3.40 Fig. 3.
197
198
Torção^
Considere novamente o caso ideal do material elastoplástico caracterizadopelo gráfico da tensão em função da deformação de cisalhamento da Fig. 3.37.Considerando que a relação entre
t^ e^ g^
em qualquer ponto do eixo permanece
linear desde que a tensão não caia por mais do que 2
t, podemos utilizar a E
Equação (3.16) para obter o ângulo por meio do qual o eixo desfaz a rotaçãode torção à medida que o
momento torçor
volta a zero. Consequentemente, o
descarregamento do eixo será representado por uma linha reta no gráfico
T - f
(Fig. 3.42). Notamos que o ângulo de torção não retorna a zero depois que o momento torçor
é removido. Sem dúvida, o carregamento e o descarregamento
do eixo resultam em uma deformação permanente caracterizada pelo ângulo
f p^
f^ f
¿^
em que
f^ corresponde à fase de carregamento e pode ser obtido de
T^ resol-
vendo a Equação (3.38), e na qual
f¿^ corresponde à fase de descarregamento
e pode ser obtido da Equação (3.16).As tensões residuais em um material elastoplástico são obtidas aplicando--se o princípio da superposição de uma maneira similar àquela descrita na Se-ção 2.20 para um carregamento axial. Não obstante, consideramos as tensõesdecorrentes da aplicação do
momento torçor
T^ e, simultaneamente, as tensões
decorrentes do
momento torçor
igual e oposto aplicado para descarregar o
eixo. O primeiro grupo de tensões reflete o comportamento elastoplástico domaterial durante a fase de carregamento (Fig. 3.
a ), e o segundo grupo, o
comportamento linear do mesmo material durante a fase de descarregamento(Fig. 3.
b ). Somando os dois grupos de tensões, obtemos a distribuição das
tensões residuais no eixo (Fig. 3.
c ).
Notamos da Fig. 3.
c^ que algumas tensões residuais têm o mesmo senti-
do das tensões originais, enquanto outras têm o sentido oposto. Isso era espe-rado, pois, de acordo com a Equação (3.1), a relação
r^1 t^ dA
deve ser verificada depois que o
momento torçor
foi removido.
E
E !^
! E
( a )^
( b )^
( c )
c^
c
c Tc ' " (^) m^ J
Fig. 3.
Fig. 3. T 0
T
TE
f
f
f^ p
f^9
EXEMPLO 3.9 Para o eixo do Exemplo 3.8, determine (
a ) o ângulo de torção
permanente e (
b ) a distribuição de tensões residuais, depois que o torque de 4,60 kN
?^ m foi removido. (a) Ângulo de torção permanente.
Recordamos do
Exemplo 3.8 que o ângulo de torção correspondente ao torquedado é f^5 8,50°. O ângulo
f¿^ por meio do qual o eixo desfaz a
rotação de torção, quando o torque é removido, é obtido da Equa-ção (3.16). Substituindo os dados fornecidos,
G^^77
Pa T^ 4,60 L^ 1,2 m
N^ m
e o valor
J^^5
9 4 mobtido na solução do Exemplo 3.8,
temos
116,^
3 10 rad TL f¿ JG
1 4,^
3 10 N^
m^21 1,2 m
9 10 m
9 10 Pa
ou
f¿^1
116,^
3 10 rad
360 ° 2 2 p^ rad
O ângulo de torção permanente é, portanto
ff p^
f¿^
8,50°^
6,69°^
(b) Tensões residuais.
Recordamos do Exemplo 3.8 que
a tensão de escoamento é
t^5 E^ 150 MPa e que o raio do núcleo
elástico correspondente ao torque dado é
r^5 E^
15,8 mm. A dis-
tribuição das tensões no eixo durante o carregamento é mostradana Fig. 3.
a. A distribuição de tensões em razão do torque oposto de4,60 kN^?^ m necessário para descarregar o eixo é linear e está ilus-trada na Fig. 3.
b. A tensão máxima na distribuição de tensões reversas é obtida da Equação (3.9):
187,3 MPa t¿máx
(^1) Tc J
4,^
3 10 N^
m^2125
3 10 m
9 10 m 4
Superpondo as duas distribuições de tensões, obtemos as ten-sões residuais mostradas na Fig. 3.
c. Verificamos que, apesar
das tensões reversas excederem a tensão de escoamento
t, a su- E
posição de uma distribuição linear dessas tensões é válida, poiselas não excedem 2
t. E
0
0
0
150 15,8 mm
15,8 mm
25 mm
–187,
31,6 –37,
–118,4 ( b )^
( c )
(MPa)^
(MPa)^
(MPa)
( a ) Fig. 3.
199
200
PROBLEMA RESOLVIDO 3.7 O eixo
AB^ é feito de um aço doce considerado elastoplástico com
G^^5 77,2 GPa e
t^5 145 MPa. Um torque E^
T^ é aplicado e gradualmente aumentado em sua intensi-
dade. Determine a intensidade de
T^ e o ângulo de torção correspondente (
a ) quando
se inicia o escoamento e (
b ) quando a deformação da seção transversal já se tornou
totalmente plástica. SOLUÇÃO Propriedades geométricas^ As propriedades geométricas da seção transversal são^ J^
14 p^1 c 22
(^41) c^2 p3 10,029 m
4 21 0,019 m
8 4 m
(^1) c 1 2 1 0,038 m
2 0,019 m
(^1) c^12 0,058 m
2 0,029 m
a.^ Início do escoamento.
Para^ t^5 máx^ t^5 145 MPa, encontramos E^
T 4 532 N E^
m
t TE
(^1) JE c 2
6 10 N^ m
8 4 m^2 0,029 m
Fazendo
r^5 c^2
e^ g^5 gna Equação (3.2) e resolvendo em função de E^
f, obtemos o
valor de
f: E
f5,57 E^
g f E L^ t E c 2
LE cG 2
6 10 N^ m 221 1,5 m
1 0,029 m
21 77,^
9 10 N^ m
0,097 rad 22
b****. Deformação totalmente plástica.
Quando a zona plástica atinge a superfície
interna, as tensões são distribuídas uniformemente, como mostra a figura. Utilizandoa Equação (3.26), escrevemos
T 5 324 N p^
m
2 p^11453
2 N^ m2 3 1
0,029 m
3 21 0,019 m
T^2 p^
pt E c^22 r d r c 1
2 pt 3 (^31) cE 2 (^3) c^21
Quando ocorre o escoamento na superfície interna, a seção transversal está totalmentesob deformação plástica; temos da Equação (3.2):
f8,50 c^
g f c L^ t E c 1
LE cG 1
6 10 N^ m 221 1,5 m
1 0,019 m
21 77,^
9 10 N^ m
0,148 rad 22
Para ângulos de torção maiores, o torque permanece constante; o gráfico de T emfunção de
f^ do eixo é aquele mostrado na figura.
58 mm 38 mm
1,5 m
T '
T
B A
g
t^ (MPa) 145 MPa T^5 4 532 N · m E^
t^5 145 MP E^
a f^5 5,57 E^
c^5 0,029 m^2^ c^1 5 0,019 m T^5 5 324 N · m p^
t^5 145 MP E^
a
f^5 8,50 c^
f
T Tp TE^ f
f^ E t
