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UNIFACS - Universidade Salvador Curso: Engenharias Disciplina: Cálculo III 3º Lista de Exercícios 1) Resolva as seguintes equações lincares homogêneas | — a yº+2y' -3y=0 . ,b) y-4y' + 13y=0 0) 0 y'-y=0. 1) o y7+5y=0 Ne) dytay + y=0 RR) 29" -3y +y=0 No y"=-2yty=o “hoy -9y'+9y=0 RR) y-2y-2y=0 : » y+2y+y=0 NO o yrmpamyeD DD yrtyp-By=0 “Nm = 6yr+y=0 sm yt-27+6=0 “o) yr +2y=0 “Do y+6p+13y=0 Do ytáy=0 y0D=0 yO=I Do ytapasyro vO=L y(D)=0 Respostas D Dysed+ eae b) y= Cie” cos3x + Coe?*sen3x oO y=eet+ee” » D) y=etacl e) y= ces coxo 3? - D y=ce? ce 9) ye cre + axe! my = cjelt/S)x 2 + opel H/5)xt2 ) y = cy +e2 (1=3)x D y=cet+cxe? k) y = cre'cosx + coe*senx D y= ce + egos m) yo cre exe n) y= A ercas 5x + casen 5 x) o) y = eXcjcosx + exsenx) ) «= cYcicos2x + casenZx pp y=e ; 9) Yy= c(cosx + 2senx) Menta : 4) a ytpay-3y=0 279 R-d= Kê= 4 | m=4 MA tu A SS Ho = 2 RX =ce'+cie Ux “2R ("= CIC Joe ) m) ye avrey=o tez X O ! poy+eyrisy= e EDDA e yy'= ee dH=o Viod=zo a Ytoj= 4 caemej e e” eXp (are fe) pas: (ax +aM Bjo” =; Ive, + dy yes OS ! ne + Ax + nu santelda Res am ypr3b= L+L o] a 3x Mayo ste Qvigy= Xe +6=p/+2/= pinst Em etix | N apr JBX (AB +IC)X 4 RB+ECHID A TLBX AC JgBx+(48c + LaB)x+48D+6CHAÉ= glsc= Ala a 4 Co g 302 - A PE ; Som3x + — Cop 3x + Ca cem 18 , a e = e O o B- o - VAN [ iy=Germxe+rce - x- 5A- Q(hxte)= (24 3) / ' ia mi et ii — “3A= a NYp=-x-4 Z UT — | | -“aAx+5A-2B= 2X+3 ) | .5-2B=3 Yer= (AXE EX Yrio (BAx+Blé q j Yi Exxon -e)x+ E] ya=fasx+2a-eje — vpi= [axa E)> Ie — Yer=[28% HAB) Ya=[-A xe (Ga E)x+ 6A HI -X YE-YASXO «pe (sA + (A+BI)x 46? +6A-48 Laxista-px+eJe TA qn ES 4 1 p 2 nx fer o Yp= 200 o Beon x 2A semx- Econ x Sem x 9Acvo =HÃ=0) 2 Eon> is AX . o , j => LA conbx? BSomêx | x=0T EL, teé Na A contt 8 y | | ASamx + Beorx Yp= -Aconx-BE2mx X +68 SenxX= Sem -AcopxX- Bona TÃ mm x FBesnx +68 Con (GA TB)tonA + (qu-B+6B BA-FBTo Pai tn+58B= 4 Az IB. , Ep EC tap) + kl vi Hai +ayi)=0 yad- 1 Temos, portanto, a equação a x | | Ei + KCl tavi)=0 es Assim, pa = ae Tg, x- “ L que é uma E.D.O. de 2º ordem do tipo especial (27) ãe - ; pr rd JE Fazendo a substituição kº=£,k = obtemos; (62) w=* je : x [ y dt , x L — yyti(2yy tayy)=0. E 1 de itesr) n=xjs Ipod , Separando as variáveis: 2x de. Bitay Portanto, o sistema fundamental é dado por : fil (Explique!) t x x e integrando, vem: Int=-2lnyy—Jay(x)dx,ou A solução geral da equação é Yg =cjx+c3 Ea CER. x t= yr? lata Usando (34), R k'= 972 e ÍA, aonde elade k =] sd . Exercícios propostos. ” . ou ainda, “1 ay=(x+2)y'+2y=0, py =e* Ryy=2)42x+2 Jade 02 xp y'=0,py=1 Ry= m=nJé qt. 3 wt+(+x)y47=0,91= ” +32 xy +v=0,m=Y 14 xp! +2y' tayp=0, py = Sex, Exemplo 3.2.4. xp t2y tay=D vi A Encontre a solução geral da equação 5 ns) + y= O, =x e vi=ins é "o y ” ” — ed dade 6. xp +(x-1)y'- y=0,pp=e"* Ryy=x-1 sabendo-se que Yy = X é uma solução particular da equação homogênea associada. Solução: Em primeiro lugar, escrevamos a equação dada na forma 7 + 2 =0. x Como o coeficiente de y” não é igual a 1, transformamos a equação de modo que possamos aplicar o T3.2.1. Obtemos: 188 189 Tas 483 n x 4: xy -G+a)yran=0, Nz e Votra)yrgr=o — >» que (44 E) feria O (aeoas ces Doado | t x Ya Ya | dx = “a ax e O (qo) dica ais bi) y- ye 1 yY=o XCDmx-s) XUnse= 3) | o -— dy — D XUme-3) ) O! WU Ymx- d) Eat | ERR 4 , x? Yecx-colmx RR e , Cut) Ta = o tm y= coxrca bm ] mllmx=-1) R 4 x Ya toz “O=JA 2 uu nes won (gp) op orquam ;j op ormgugod o “0807 ox2p +04 o :2 OYst vonsgIagoRIeo opáenba vp zIe1 9 ogu o(y nas So Sowsuopisuoo “eprogtioa efas pros Spepjenfy e onb eseq (em (a)ta=(x)4G(n + ola 4 (0) +) HO To + 0) + (O uma (7h) Wo opumnsqns à ()FO 0 + (e) LDL +(X) LD) wo? = =) UDO + (x) 4) np? HU) DO + (x) O) 20 = A (VOO) 9? = xp PAX VD + p= TO . sou “sozon senp (x)! = 14 opuranog “open snong Tourauaap SOUIaASp Sajuajo000 sofno su ne1S ap permomjod ogóumy eum 9 (x)! “PoWSHojoRIeo ZIP OUIOO 30 Op apeprordumm eo sopuo “O ppr= 1 d 1 . Us Jod vpep o(cy) openbo vp sejnonsed ogôngos v omua "sa(x)MI=(x)f vos (TED VRINOTL HYNINHELSO V SELNHIOLIHOO SOC. OCOLFW epep (2º) f opSuny e ojueyjamas vumos eu (ty) ogóenbo ep Jenonued ogánjos v emoord wa essisuoo onb “entmnajap e Sajtaroigaoo SoP Opoigm O opursn “eo8 opônjos e arutunorop somapod + a(t)4=(0)f PELOS ep Opómy tum 9 olquam opunãos o opuenb “ogienbo ep ody ojso sied Ch) “mola (x)f=dU+ Alp+ (06) opsenho ep Jejnopued osvo o somrerapisuos SELNVISNOO SEINHIOLIHOO WOOD - VENHOOWON OYN HVENFI TVIONHHEATO OVOVOBE “eee NT E bits sa tt -speroosse ougSomow ogóenha epaejnomed opónjos tum | x = Tá opusst | a=4 + A(T+X)+ 6 (8 T Et qr 4 = 64 -epetoosse Ed tougãomoy ogSenba ep Jenotavd ogóngos eum [= Iopuas i ag =, fx = ,4,x (1 + + xtorxlo=á 4 “eperoosse pougfowoy x £ ogsenbo pp Jejnopaed ogônjos eum = Tí opuas * ct= dt + fxt— AA (9 x x - o-— To+—-b=dmyg -epejoosse paugBoutou a T * a opsenbo ep xejnonred ogóngos vum — = Ef opuas ! | 2=4 + Mt+4 a) + dx (e . 1 a ” — (4 B=d: E =fg+Ag-A O KU] ço ço 9 + xçoho Ly = 6+,49-—, iu t z oo To=d: XTSOQUIXTSOO (+ XTUOS q A x Tuas as x7soo T=dY xqus=4p+,d [Ad (x8302 =x 008 S0o)ujx uos + xuos To x s09 D=4 4 x83o=4+,A (7 x =á: ==-4 00 =á ma x=5- 44 Tor axl+ t 4 oxtege sagãenba se sajosey :sojsodoud sora 19x "WOg'P XUosX+XSOIU]XSO+XUDSAXSODF = 84 9 epep ogsenbo ep [2:08 ogónjos y Gionbgnoa) xuasx px sooupxs0o=14 2 x=To* xsoouj= o “oprop x028 =x 509 pasa g=xuas top xsoo To “tuo (Th) emysis o opuesn “x uas (x) To + x sos (x ) To = Tevos 4) yceyiray= 3x E | Cat X dx | 1 do | | | Ye - XL E 59 xv'iaravey= Ens Ho fx+2 viado sipt'- O Vezmebthos 
