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Sistemas de Equac¸ ˜oes Lineares e Matrizes
- Quais das seguintes equac¸ ˜oes s˜ao lineares em x, y, z:
(a) 2 x +
2 y − 5 z = 1 (b) x + xy − z = 2 (c) x + y−^2 + z = 2
- A par´abola y = ax^2 + bx + c passa pelos pontos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ). Mostre que os n´umeros reais a, b, c s˜ao soluc¸ ˜oes de um sistema linear cuja matriz ampliada (aumentada) ´e:
x^21 x 1 1 y 1 x^22 x 2 1 y 2 x^23 x 3 1 y 3
- Discuta a posic¸ ˜ao relativa das rectas ax + by = k, cx + dy = p, ex + f y = s de forma a que o sistema definido por estas trˆes equac¸ ˜oes:
(a) n˜ao tenha soluc¸ ˜ao; (b) tenha exclusivamente uma soluc¸ ˜ao; (c) tenha infinitas soluc¸ ˜oes.
- As matrizes seguintes representam a matriz ampliada de um sistema de equac¸ ˜oes lineares depois da utilizac¸ ˜ao do m´etodo de eliminac¸ ˜ao de Gauss.
Tendo em conta a caracter´ıstica da matriz simples e da matriz ampliada de cada sistema, o que pode concluir quanto `a soluc¸ ˜ao? Determine-a quando poss´ıvel.
- Resolva os seguintes sistemas de equac¸ ˜oes lineares, utilizando o m´etodo de eliminac¸ ˜ao de Gauss:
(a)
2 x + y − z + w = 1 3 x − 2 y + 2z − 3 w = 2 5 x + y − z + 2w = − 1 2 x − y + z − 3 w = 4
Imp
(b)
y − z + w = 2 x − y − z = 0 x + y + z + w = − 1 y + w = 3 x = − 5 , y = − 6 , z = 1, w = 9
(c)
x + y − z + w = 2 2 x + y − z + w = 1 x + 2y − 2 z + 2w = 5 x − y + z = 1
x = − 1 , y = −2+z, w = 5, z qualquer
- Discuta, em func¸ ˜ao dos parˆametros reais a, b, c os seguintes sistemas de equac¸ ˜oes:
(a)
x + y + z = 3 x − y + z = 1 2 x − 2 y + az = 2 a = 2, sistema indeterminado (de grau 1 ); a 6 = 2, sistema determinado.
(b)
x + y + z = 1 x − y + 2z = a 2 x + bz = 2 b = 3, a = 1, sistema indeterminado (de grau 1 ); b = 3, a 6 = 1, sistema imposs´ıvel; b 6 = 3, sistema determinado
(c)
2 x + y = b 3 x + 2y + z = 0 x + ay + z = 2 b = − 2 , a = 1, sistema indeterminado (de grau 1 ); a = 1, b 6 = − 2 , sistema imposs´ıvel; a 6 = 1, sistema determinado
- Resolva os seguintes sistemas de equac¸ ˜oes lineares, utilizando o m´etodo de eliminac¸ ˜ao de Gauss:
(a)
x + y + 2z = 8 −x − 2 y + 3z = 1 3 x − 7 y + 4z = 10
x = 3, y = 1, z = 2
- Considere as matrizes A, B, C, D e E com as dimens˜oes:
A 3 × 5 , B 3 × 5 , C 5 × 2 , D 3 × 2 , E 5 × 3
Determine quais das express˜oes est˜ao definidas, e neste caso, indique a di- mens˜ao da matriz resultante.
(a) BA (b) AC + D (c) E(A + B) (d) ET^ A (e) BT^ ACDT
- Para cada al´ınea, determine a matriz A = [aij ] 5 × 5 , que satizfac¸a as condic¸ ˜oes. Dˆe uma resposta o mais geral poss´ıvel usando letras em vez de n´umeros.
(a) aij = 0 se i 6 = j (b) aij = 0 se i > j (c) aij = 0 se |i − j| > 1
(d) aij =
1 se |i − j| > 1 − 1 se |i − j| ≤ 1
- Considere as matrizes:
A =
(^) e B =
Sem calcular AB e BA determine
(a) a 1 a^ linha de AB. (b) a 1 a^ coluna de BA. (c) a 3 a^ coluna de AA = A^2. (d) a 2 a^ linha de BA. (e) a 2 a^ linha de AB. (f) Exprima cada coluna de AB como combinac¸ ˜ao linear das colunas de A. (g) Diga, justificando, se as matrizes A e B admitem inversa.
- Sejam A e B duas matrizes. Verifique as igualdades seguintes, indicando em cada caso, de que tipo tˆem de ser as matrizes A e B, para que as operac¸ ˜oes em causa estejam definidas:
(a) (AT^ )T^ = A (b) (A + B)T^ = AT^ + BT (c) (αA)T^ = αAT (d) (AB)T^ = BT^ AT (e) (A−^1 )T^ = (AT^ )−^1.
- Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir p ∈ N \ { 1 } tal que
Ap^ = A
e, para qualquer k ∈ N \ { 1 }, k < p, temos Ak^6 = A ent˜ao, A diz-se matriz peri´odica de per´ıodo p.
(a) Verifique que A =
[
]
e uma matriz peri´ ´ odica de per´ıodo 5 e
que A =
[
]
e uma matriz peri´ ´ odica de per´ıodo 3.
(b) Determine o per´ıodo da matriz A =
[
]
- Uma matriz quadrada de ordem n para a qual
A^2 = A
diz-se idempotente. Dˆe exemplo de uma matriz idempotente.
- Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e p ∈ N. A matriz A diz-se involutiva de ordem p, se Ap^ = In e Ak^6 = In para k ∈ { 1 ,... , p − 1 }.
Mostre que A =
[
]
e uma matriz involutiva de ordem ´ 4.
- Se para uma matriz A quadrada de ordem n existir p ∈ N tal que
Ap^ = On,n
- Indique a forma geral das matrizes triangulares inferiores de terceira ordem que permutam com
(a) M =
(b) N =
- Seja A =
[
]
(a) Mostre que A^2 =
[
]
(b) Deduza uma express˜ao geral para An. (c) Determine uma express˜ao geral para as matrizes que s˜ao permut´aveis com A. (d) Utilizando a al´ınea anterior determine A−^1.
- Considere as matrizes A =
, B =
(^) e C =
. Determine a matriz X que verifique:
(a) A + XT^ = BT^ + C (b) (A + B)T^ + X = BCT (c) X + AB = CT^ A (d) (A + X)T^ = BC + A^2 (e) (A − 3 X)T^ = 2C^2 − 4 B
- Considere as matrizes A =
(^) e B =
(a) Indique as caracter´ısticas de A e B. Justifique que s˜ao invert´ıveis. (b) Determine as matrizes inversas de A e B.
- Determine a soluc¸ ˜ao do sistema homog´eneo
2 x − y + z + w = 0 4 x + y − z − w = 0 − 2 x + 2y − 2 z − 2 w = 0
- Determine a soluc¸ ˜ao do sistema
x + y − 3 z + w = 1 2 x − y + z − 2 w = 2 7 x + y − 7 z + 3w = 3 Indique a caracter´ıstica de A, onde A e a matriz dos coeficientes.´
- Seja A =
. Verifique que^ A^ e n˜´ ao singular.
Calcule A−^1 , utilizando o algoritmo de Gauss-Jordan.
- Dadas as matrizes A =
[
]
e B =
[
4 n m 9
]
, calcule m e n para que B seja a inversa de A.
- Sabendo que A, B, C e D s˜ao matrizes quadradas da mesma ordem e in- vert´ıveis, resolva as equac¸ ˜oes matriciais em X:
(a) ADX = ABC (b) DXT^ = DC (c) ABCX^2 D^2 = ABCXD (d) D−^1 XD = AC (e) CX + 2B = 3B
- Determine o valor de k para que a matriz A =
[
6 k
]
n˜ao tenha inversa.
- Considere a matriz A =
0 0 α 1 2 2 0 α 0 0 α β 3 0 6 0
, com^ α, β^ ∈^ R.
(b)
2 x − 8 y + 24z + 18w = 84 4 x − 14 y + 52z + 42w = 190
- Uma matriz A ∈ Mm×n(K) diz-se ortogonal se AAT^ = I = AT^ A.
(a) Verifique que uma matriz ortogonal ´e uma matriz invert´ıvel e que A−^1 = AT^. (b) Para que valores de k e ortogonal a matriz´
1 / 3 2 / 3 k 2 / 3 1 / 3 2 / 3 k 2 / 3 1 / 3
∈ M 3 × 3 (R)?
Porquˆe? (c) Quest˜ao an´aloga `a anterior para a matriz
1 1 k 0 2 − 1 1 0 1
∈ M 3 × 3 (R)?
(d) Mostre que a matriz A =
[
1 5
− 2 √ 6 5 2 √ 6 5
1 5
]
´e uma matriz ortogonal.
- Mostre que a equac¸ ˜ao X^2 − 5 X + 4I 2 = 0 e satisfeita por cada uma das´ seguintes matrizes reais:
A =
[
]
, B =
[
]
, C =
[
]
- Mostre que as matrizes reais que comutam com
[
]
s˜ao da forma [ α 3 β β α
]
- Considere a matriz real A =
[
]
e calcule AAT^.
