Departamento de Física - ICE/UFJF
Laboratório de Física II
Pêndulos
Pêndulo 1
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Relatório sobre determinação de pendulo simples
Tipologia: Exercícios
2019
1 / 13
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Laboratório de Física II
Pêndulos
Laboratório de Física II
Pêndulo Simples e Pêndulo Físico
1 – Objetivos Gerais:
- Determinar experimentalmente o período de oscilação de um pêndulo físico e de um
pêndulo simples;
- Determinar experimentalmente o comprimento do pêndulo simples que tenha o
mesmo período que um pêndulo físico em forma de barra;
- Determinar a aceleração da gravidade.
* Anote a incerteza dos instrumentos de medida utilizados: ap
2 - Experimentos:
2.1 - O centro de oscilação do pêndulo físico em forma de barra:
1. Meça a distância L (em m) entre os pontos P e O sobre a
barra – não se esqueça de anotar a incerteza do
equipamento;
2. Suspenda a barra retangular pelo orifício da extremidade
(ponto P ), sem se esquecer da porca de proteção;
3. Meça o tempo de 10 oscilações completas e determine o
período de uma oscilação ( T ) do barra suspensa pelo
ponto P ;
*Execute este processo 3 vezes e determine o período
para cada uma das medidas. Complete a tabela 1 com
todas as medidas de tempo (10 oscilações) e os seus
correspondentes períodos T. Explique por que foi medido
o tempo de 10 oscilações e depois calculado o T
correspondente. Calcule o período médio 〈^ T^ 〉^ de
oscilação da barra suspensa pelo ponto P;
**A incerteza na medida do tempo de 10 oscilações da
tabela 1 esta associada ao tempo de reação do operador do cronômetro, tempo
entre dois disparos do cronômetro. Para medir esse tempo de reação, pressione
Figura 1 : Montagem do pêndulo físico em forma de barra
Laboratório de Física II
2.4 – Questões e Discussão dos resultados:
Atenção! As questões abaixo enumeradas não devem ser escritas, no relatório, como
perguntas/respostas. A discussão dos resultados deve ser feita em forma de texto
contínuo e auto-contido.
8. Compare o período médio para a suspensão pelo ponto P, 〈 T^ 〉 P , com o período
médio medido para a suspensão pelo ponto O, 〈 T^ 〉 O. Comente e explique;
9. Compare o período médio da primeira medida do pêndulo simples, para L 1 , com
os dois período médios encontrados para o pêndulo físico nos itens (3) e (4) e
comente seus resultados;
10. A partir do gráfico do item (7) encontre os valores de a e b da relação na eq.(01).
Caso seja necessário, consulte a Apostila de Análise Dados – Linearização de
gráficos;
11. Qual é a forma da relação entre o período e o comprimento do fio a partir dos valores
de a e b;
12. Com os valores obtidos no item 12 , encontre o valor da aceleração da gravidade
local, g. Discuta seus resultados, tendo como base o valor médio aproximado do
valor da aceleração da gravidade, g =9,78 m / s^2 ;
13. O valor encontrado para o coeficiente linear b está de acordo com o esperado?
Explique!
14. Discuta a validade da afirmação:
"O ponto de oscilação O, denominado de centro de oscilação, é o ponto por onde
deve ser suspenso o pêndulo físico para que ele tenha o mesmo período de oscilação
do pêndulo simples de mesmo comprimento L".
Laboratório de Física II
3 - Introdução teórica:
3.1 - O pêndulo simples:
O pêndulo simples ideal consiste em uma massa presa a um
fio de massa desprezível como mostra a figura ao lado. O
pêndulo simples é feito com um objeto pequeno e pesado
(para que o atrito com o ar possa ser desprezado) pendurado
na extremidade de um cordel bem fino e resistente.
São duas as forças que atuam sobre a bolinha de massa m : a
força peso m g e a força de tensão do fio T. Para um pêndulo
que faz um ângulo ^ com a posição de equilíbrio, o torque
produzido pela força gravitacional em relação ao ponto
de suspensão P , tem valor = mgL^ sen^ ^ , que é o produto da
intensidade da força ( mg ) pela distância da direção da força
ao ponto de suspensão ( L^ sen^ ^ ). A força de tensão T no fio
não produz torque, já que sua direção passa sempre pelo
ponto de suspensão.
Levando em conta o momento de inércia I da bolinha em relação ao ponto de suspensão,
I = mL^2 , chegamos à equação para :
I
d^2 dt
2 =^
d^2 dt
2 =−^
mgLsen mL²
d^2 dt
2 =−^
g L
sen ( 2 )
O sinal negativo é necessário porque a aceleração
d^2 dt
2 atua sempre no sentido de
diminuir ^. Para ângulos ^ pequenos, podemos substituir na equação acima sen^ ≃
(ângulo em radianos!)
Neste caso, a equação (2) torna-se:
d^2 dt
2 =−^
g L
Cuja solução geral tem a forma:
t = 0 cos t , ( 4 )
onde 0 é amplitude de oscilação, é a frequência de oscilação e é a fase
inicial de oscilação.
Na equação (4) o valor de ^ é definido como =
g L
e os valores da amplitude 0
e da fase inicial ^ dependem da posição e velocidade iniciais do pêndulo.
Figura 3: Pêndulo simples α L m g
T
P
Laboratório de Física II
3.3 - A determinação do comprimento do pêndulo simples equivalente ao pêndulo físico:
Igualando as expressões (5) e (8), é possível encontrar o comprimento L^ do pêndulo
simples equivalente ao pêndulo físico:
T S = T F 2
L
g
I
Mgh
resultando em
L =
I
Mh
O pêndulo simples de comprimento L^ tem o mesmo período do pêndulo físico
considerado. O ponto O , localizado a uma distância L^ do ponto de suspensão P , sobre a
linha que une P e o centro de gravidade G , é denominado centro de oscilação do pêndulo
físico.
3.4 - Pontos Conjugados:
No cálculo do momento de inércia do pêndulo físico, frequentemente é usado o
teorema dos eixos paralelos, porque é fácil encontrar em tabelas o momento de inércia das
principais figuras geométricas em relação a um eixo passando pelo centro de gravidade da
figura. Por exemplo, se o momento de inércia de um objeto de massa M em relação ao
centro de gravidade é ICG e o tal objeto é usado como pêndulo físico suspenso por um ponto
situado a uma distância h do centro de gravidade, o teorema dos eixos paralelos assegura
que o momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo ponto de suspensão
é
I = I (^) CG Mh 2
É conveniente definir o raio de giração K como
I CG = MK
2
Essa definição permite expressar o momento de inércia como
I = MK
2 Mh 2 = M K 2 h 2
Introduzindo a expressão (13) do momento de inércia na expressão (8) do período TF
do pêndulo físico, obtemos
T F = 2
K² h² gh
Observe que h é a distância do ponto de suspensão do pêndulo ao centro de gravidade. Para
estudar a variação do período TF com a distância h , podemos fazer um gráfico T^ F h × h^ ,
representado na Figura 5.
Laboratório de Física II
A Figura 5 apresenta dois ramos simétricos em relação ao centro de gravidade CG , o
que significa que, com exceção dos pontos de período mínimo, há sempre quatro pontos
com o mesmo período de oscilação, dois de um lado do CG e os outros dois simetricamente
localizados do outro lado. Na Figura 5, os pontos de suspensão P, P ', O e O' têm o mesmo
período.
Existem dois pontos com o período mínimo: são os pontos de suspensão K 1 e K 2 ,
simetricamente dispostos em relação ao CG. É fácil mostrar, tomando a derivada do período
TF em relação a h em (14) e igualando o resultado a zero, que a condição de mínimo da
função é obtida nos pontos h =± K^ :
dT (^) F dh
2
K
2 gh
h g − (^32) [
K
2 gh
2 ^
g ]
logo , −
K
2 gh
2 ^
g = 0 h 2 = K 2 h =± K
Figura 5 : Período do pêndulo físico como função da distância do ponto de suspensão ao CG
Laboratório de Física II
3.6 – Análise de dados
Na maioria das vezes, o valor médio, ou média aritmética, de várias determinações
independentes de uma grandeza física, que varia aleatoriamente, fornece a melhor
estimativa do valor esperado dessa grandeza. Se n é o número total das determinações
independentes xi da mesma grandeza x^ , então o valor médio será calculado por
〈 x 〉=∑ i − 1 n (^) x i n
O desvio padrão da média, ou desvio padrão experimental da média, é definido como
sendo
m =
n ^ n −^1 ^
∑ i = 1 n xi 2 −
n
∑ i = 1 n xi
2 ( 20 )
Esta expressão dá uma estimativa da maior ou menor incerteza da média 〈^ x^ 〉^ em relação
a uma média mais geral, que seria a média de diversas médias.
- Incertezas em medidas físicas diretas :
Quando uma grandeza física de interesse é obtida diretamente a partir de um
instrumento, ou aparelho, de medida, diz-se que o procedimento é feito por uma medida
direta. Sejam, por exemplo, n determinações de uma mesma grandeza x obtidas
diretamente por um mesmo aparelho de medida. O valor médio 〈^ x^ 〉^ da grandeza
representa o valor esperado, ou a melhor estimativa, dessa grandeza. Nesse procedimento,
a incerteza na medida ^ x^ deve incluir, não somente a incerteza aleatória expressa pelo
desvio padrão da média m , mas também a incerteza intrínseca ap do aparelho de
medida, isto é,
x = ap 2 m
O resultado final da medida da grandeza x deverá ser corretamente apresentado como:
x =〈 x 〉± x (^) ( 22 )
Quando se faz a medida da grandeza x somente uma vez, não se terá a disposição uma
incerteza aleatória no processo de medida. Nesse caso, m =^0 na Eq.20 e a incerteza na
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medida x será apresentada somente como a incerteza intrínseca do aparelho, isto é,
f = f x , y .
- Incertezas em medidas físicas indiretas :
Na maioria dos experimentos, a medição de uma grandeza f de interesse é feita de
maneira indireta, sendo esta grandeza obtida a partir de medidas de uma ou mais grandezas
primárias. O cálculo de f é feito a partir de uma função conhecida das grandezas primárias.
Estas grandezas são também denominadas grandezas de entrada, enquanto a grandeza f é
denominada grandeza de saída. Um exemplo é o cálculo da densidade de um objeto, no
qual se mede a massa e o volume do mesmo. A massa e volume são as grandezas de
entrada enquanto a densidade é a grandeza de saída. A partir do conceito da incerteza de
uma medida direta, é possível estimar a incerteza combinada ou propagada para a grandeza
indireta. Seja, por exemplo, o caso em que a grandeza indireta f é obtida a partir das duas
grandezas independentes x e y tal que
f = f x , y ( 23 ) Nesse caso a expressão para ^ f^ é Relação funcional Valor médio Incerteza propagada f x , y = ax ± by ; (^) a,b=constante 〈 f 〉= a 〈 x 〉± b 〈 y 〉 (^) f = a^2 x ^2 b^2 y ^2 f x , y = xy 〈 f 〉=〈 x 〉 〈 y 〉 (^) f =〈 y 〉^2 x ^2 〈 x 〉^2 y ^2 f x , y = x y 〈 f 〉= 〈 x 〉 〈 y 〉 f =
〈 y 〉 〈^ y^ 〉 2 x 2 〈 x 〉 2 y 2 Tab. 1: Expressões para os cálculos dos valores médios e incertezas propagadas de algumas grandezas f(x;y) que possuem duas variáveis independentes, onde, ^ x^ e ^ y^ são as respectivas incertezas nas medidas diretas de x e y.
Bibliografia:
- Tipler, Paul A. (2000). Física (2 volumes), 4ª Ed., LTC
- Halliday, Resnick, Walker (2002). Fundamentos de Física 2 , 6ª Ed., LTC